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传递函数阵传递函数矩阵指的是在多输入、多输出线性时不变系统下，将系统各个输入与各个输出之间的关系统一表示为矩阵的形式。
该矩阵被称为传递函数矩阵。
系统的物理特性可以用数学模型来描述，通常采用微分方程的形式来表示。
而当系统具有多个输入和多个输出时，为了方便描述，我们可以采用矩阵的形式表示系统的状态，即将状态向量、输入向量和输出向量都表示为矩阵的形式：$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \quad\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m \end{bmatrix} , \quad\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_p \end{bmatrix}$$其中$\mathbf{x}$表示状态量矩阵，$\mathbf{u}$表示输入量矩阵，$\mathbf{y}$表示输出量矩阵。
$n, m, p$分别表示状态量、输入量和输出量的个数。
在线性时不变系统中，系统的状态方程可用矩阵形式表示：$$\begin{aligned}\dot{\mathbf{x}} &= \mathbf{Ax}+\mathbf{Bu} \\\mathbf{y} &= \mathbf{Cx}+\mathbf{Du}\end{aligned}$$我们可以根据线性时不变系统的传输特性，将输入矩阵$\mathbf{B}$和直流增益矩阵$\mathbf{D}$组成一个$m\times p$的矩阵，称为传递函数矩阵$\mathbf{G}(s)$:其中，$\mathbf{G}_{ij}(s)$表示第$i$个输入对第$j$个输出的传递函数。
传递函数矩阵$\mathbf{G}(s)$反映了系统各个输入与各个输出之间的传递特性。
第八章 传递函数矩阵的矩阵分式描述传递函数矩阵的矩阵分式描述是复频率域理论中表征多变量线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。
设一个多变量线性时不变系统如下图所示。
其输入与输出之间的关系可以用传递函数矩阵来描述。
我们将寻找新的描述方式来对该系统进行描述。
1111211221222212()()()()()()()()()()()()()()()()()()p p q q q qp p Y s g s g s g s U s Y s g s g s g s U s Y s G s U s Y s g s g s g s U s ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦在上式中Y i (s )是各个输出的拉氏变换，U j (s )是各个输入的拉氏变换，g ij (s )是一个有理函数。
8.1矩阵分式描述矩阵分式描述（matrix-fraction description ，MFD ）实际上将原来为有理分式矩阵的传递函数矩阵G (s )表达为两个多项式矩阵之“比”或者说是“分子矩阵”与“分母矩阵”之“比”。
这显然也是对单变量系统的一种推广。
虽然传递函数矩阵是描述多变量系统的一个有力工具，但是，到目前为止我们还无法定义有关系统的特征多项式、零点、极点等概念，同时系统的维数与传递函数矩阵之间存在什么关系、传递函数矩阵描述方式与状态空间描述方式之间又有着怎样的关系，诸如此类的问题都要求我们扩展系统的描述方式，通过新的描述方式定义系统的结构以及各种概念；然后进一步对系统进行分析。
右MFD 和左MFD考虑p 维输入和q 维输出的连续时间时不变系统，设表征其输入输出关系的传递函数G (s )为p q ⨯有理分式矩阵。
定义8.1 右MFD如果对于G (s )，如果存在p q ⨯多项式矩阵N (s ) 和非奇异的p p ⨯多项式D (s )使：)()()(1s D s N s G -= （8.1）则称（8.1）是G (s )的一个右MFD 。
传递函数部分分式展开留数矩阵留数矩阵是在复变函数中常常使用的一种工具，它可以帮助我们求解函数的部分分式展开。
在这篇文章中，我们将介绍留数矩阵的概念，以及如何使用留数矩阵来进行部分分式展开的计算。
留数矩阵是由函数的留数构成的矩阵。
在复变函数中，留数是指函数在某一点处的围道积分的值。
对于一个简单的闭合曲线，函数在其中的留数可以通过计算曲线内部的奇点来确定。
留数矩阵可以将函数的所有留数按照一定的顺序排列成一个矩阵。
在进行部分分式展开时，我们通常会遇到一个有理函数，即分子和分母都是多项式的函数。
我们的目标是将这个有理函数表示为一系列简单的分式之和。
例如，我们可能希望将一个二次函数展开为两个一次函数的和。
在这种情况下，我们可以使用留数矩阵来进行计算。
我们需要找出有理函数的所有奇点，即分母为零的点。
然后，我们可以计算这些奇点处的留数，并将它们按照一定的顺序排列成一个留数矩阵。
接下来，我们可以使用留数矩阵来确定部分分式展开的系数。
假设我们要将一个有理函数展开为一系列一次函数的和。
我们可以使用留数矩阵的方法来进行计算。
首先，我们找出有理函数的所有一次奇点，并计算它们处的留数。
然后，我们将这些留数按照一定的顺序排列成一个留数矩阵。
接下来，我们可以通过计算留数矩阵的逆矩阵来确定部分分式展开的系数。
具体来说，我们可以将逆矩阵的第一行与有理函数相乘，得到一个一次函数。
然后，我们用逆矩阵的第二行与有理函数相乘，得到另一个一次函数。
以此类推，直到得到所有的一次函数。
通过使用留数矩阵的方法，我们可以将一个有理函数展开为一系列简单的分式之和。
这种方法可以帮助我们简化复杂的函数，并提高计算的效率。
同时，留数矩阵也是解析几何和复分析等领域中重要的工具。
总结起来，留数矩阵是在复变函数中常常使用的一种工具，它可以帮助我们求解函数的部分分式展开。
通过计算函数的留数，并将它们按照一定的顺序排列成一个矩阵，我们可以确定部分分式展开的系数。
留数矩阵的方法可以帮助我们简化复杂的函数，并提高计算的效率。
传递函数矩阵
函数矩阵的定义是指数学中的一种概念，其指的是在一个二元变量的函数中，所有不
同的可能情况的函数的集合。
它可以通过构建一个表格表示。
在线性代数的范畴中，函数
矩阵也可以被认为是线性代数的核心概念。
它是解决一个方程或系统的一种方法，其中每
一行和每一列代表一个元素，并且每一个元素都对应一个未知数或变量。
举个例子，假设有以下函数矩阵：
\[F(x,y)=[xy+3,x^2-xy]\]
这意味着x和y是两个随机变量，它们可以以不同的形式出现，每个元素分别代表不
同类型的函数，即，首先是\[xy+3\]，其次是\[x^2-xy\]。
一旦在函数矩阵中建立了这些元素，接下来的步骤就是对其进行求解和处理，以获取
正确的解决方案。
这可以通过求解函数矩阵的特征值和特征向量而实现，特征值可以定义
为所求矩阵X的特征值，而特征向量则是所求矩阵X与其特征值之间的乘积。
另一方面，函数矩阵也可以被用于计算函数的梯度，梯度也可以被定义为函数的导数，可以用来有效确定函数的变化情况，而函数矩阵可以反应函数在不同情况下的变化趋势。
总的来说，函数矩阵是一种快速有效的方法来求解一个二元变量的函数，而这样的函
数也是构建各种数学模型所必须的基础。
因此，正确理解和使用函数矩阵对于用户来说是
非常重要的。
传递函数矩阵基本关系式
函数矩阵是一种用于描述线性变换的矩阵形式。
在传递函数矩
阵的基本关系式中，我们需要考虑以下几个方面：
1. 线性变换，函数矩阵描述了一个线性变换，它将一个向量空
间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。
线性变换具有保持向
量加法和标量乘法的性质。
2. 基向量的映射，函数矩阵的列向量表示了基向量在变换后的
映射结果。
通过函数矩阵乘以一个列向量，可以得到变换后的向量。
3. 基向量的线性组合，任意一个向量可以表示为基向量的线性
组合。
函数矩阵的作用是将基向量的线性组合映射为另一个向量空
间中的线性组合。
4. 矩阵乘法，函数矩阵的乘法运算可以用来表示多个线性变换
的复合。
通过将多个函数矩阵相乘，可以得到复合变换的函数矩阵。
5. 基变换，函数矩阵可以用来描述基向量的变换。
通过将函数
矩阵乘以一个基向量，可以得到基向量在变换后的映射结果。
综上所述，传递函数矩阵的基本关系式包括线性变换、基向量的映射、基向量的线性组合、矩阵乘法和基变换等方面。
这些关系式可以用函数矩阵的定义和性质来推导和解释。
