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《现代控制理论》MOOC课程1.4从状态空间表达式求传递函数矩阵一. 传递函数矩阵的定义定义：对于多输入－多输出线性定常系统，输入向量为,输出向u =u 1u 2⋯u r T 量为, 且假定初始状态为零。
分别表示的拉氏y =y 1y 2⋯y m T ෝu i s ,ෝy i s u i ,y i ොy 1s =w 11s ොu 1s +w 12s ොu 2s +⋯+w 1r s ොu r sොy 2s =w 21s ොu 1s +w 22s ොu 2s +⋯+w 2r s ොu r s⋮ොy m s =w m1s ොu 1s +w m2s ොu 2s +⋯+w mr s ොu r sෝy (s)=ොy 1(s)⋮ොy m (s)=w 11s⋯w 1r s⋮⋯⋮w m1s⋯w mr s ොu 1(s)⋮ොu r (s)=W (s )ෝu (s )写成向量形式：称为系统的传递函数矩阵。
W (s )变换，表示第j 个输入端到第i 个输出端的传递函数，系统的输入输出关系可描述为：w ij (s )x=A x+Bu x0=0y=C x+Du结论：对应于状态空间描述W(s)=C(sI−A)−1B+D 其传递函数矩阵为:证明：lims→∞W s=D且有：W(s)并且，当D≠0时，为真有理分式矩阵，当D=0时，为严格真有理分式矩阵，W s对状态空间表达式取拉氏变换：s X(s)=AX(s)+BU(s)Y(s)=CX(s)+DU(s)由状态方程的拉氏变换表达式可得：X(s)=(sI−A)−1B U(s)Y(s)=(C(sI−A)−1B+D )U(s)代入输出方程的拉氏变换表达式可得：故传递函数矩阵为：W(s)=C(sI−A)−1B+D对于传递函数矩阵：W(s )=C (sI −A )−1B +D 考虑：(sI −A)−1=Τadj(sI −A )det (sI −A )且伴随矩阵每个元素多项式的最高次幂都小于的最高次幂，故adj (sI −A )det (sI −A )lim s→∞W s =D因此有：lim s→∞(sI −A )−1=0当D ＝0时，为严格真有理分式；W s 故当D ≠0时，为真有理分式；W s三. 传递函数矩阵的唯一性证明：一个系统的状态空间表达式是非唯一的，但其传递函数矩阵是唯一的。
实验题目：传递函数到状态空间的实现 课程名称：计算机仿真 一、实验目的1、 理解并掌握传递函数转换为状态空间方程的方法2、 理解状态初值的计算方法二、 实验内容1、 应用MATLAB 编写一个可以实现传递函数到状态空间方程的可控可观规范型的ni 文件。
并用相应例题验证程序的止确性。
2、 完善该程序使具可以用來计算状态初值。
并用相应的例题验证程序 的正确性。
3、 程序中需要考虑分子分母同阶以及分母首系数不为1的两种情况。
三、 报告内容1、 给出m 文件的程序框图，及验证结果，并记录出现的错误，并给出 解决的方案。
若没有得到解决，请说清楚你的问题2、 如呆做了程序的状态初值得求解，请给岀相应的验证结杲，及程序 编写过程中出现的问题，若已经解决，给出貝体方法。
能观标准型为:2、计算状态变量初值：(1)不含u 的导数项时，则冇:A= • 0 0 •■1 0• •0 1■ ■… 0 ■…• • ••B=O' 0 ■ ■~a n~a n-l~a n-l…一如・丄Z?o s n +b 1s n "1+•••+d n ^1s+c n+…+01八一］s+a 八那么其状态空间模型能控标准型为:C=［（b n — bo （z n ） （&n _i — …@1 —加血）］ D=b n!1!实验理论传递函数为G(s)=1、 力能观=B 能观D 能观和0)X?(O) 1(0)」 yj(o)（2）系统微分方程不仅包含u 的输入项，而口包含u 的导数项，则:五、程序检验（1）输入一个分母首系数为1月.分子分母不同阶传递函数:2S 3+ 4S 2+ 3S + 5 G = -------------------------------S 4 + 2S 3 + 5S 2 + 4S + 2程序运行结果： 能控标准型:A 二0 1 0 00 1 00 0 0 1-2-4-5-2B =兀 1(0)a n-l an-2 …兀2（0）a n-2%一3…七(0) ■ • = an-3•■ • • • • • • ■^-1(0)■ 1 … _ 兀“(0)..10 (x)n xa x 1 y （o ）~Cn-l1 0 y （o ）一 Cn-2 • •… •■ y(0) ■ •+ _ Cn-3■ ■ ■…0 严)(0)_C]…0 严(()) ■ ■_ 0nxl /ix(n -1)一 C] w(O)〃(()):M(O)•• • ••• :宀(0)0 ]“"-2)(0)(/?-l)xly(0) y(0)5 342D 二能观标准型：A =0 00-21 00-40 10-50 01-2B =5342C =0 001D 二初值部分：请输入系统输出的初值二[1 ;1;1;1]请输入系统输入的初值二[0; 0; 0] x0 二12831运行结果正确（2）输入一个分母首系数为2 口分子分母同阶传递函数:S 2 + 2S + 3G =2S 2 + 5S + 3程序运行结果: 能控标准型:0. 5000初值部分：请输入系统输出的初值二[1；1] 请输入系统输入的初值二[0]xO 二A =0 -1. 5000 B =0 1 C 二1. 5000 D =0. 5000能观标准型:A 二0 1.0000 B =1. 5000 1.5000 C 二1.5000 D =1.0000 -2. 50001. 5000-1. 5000 -2. 50001. 50003. 50001.0000运行结果正确六.流程图七、实验小结通过木次实验我了解了如何通过matlab的编程来实现传递函数转化为状态空间方程的能控和能观性，并掌握了程序的状态初值的求解。
现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统用从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定(1)对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的(3)对系统采用输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u u y y 222++=+&&&&&&&，试求其状态空间最小实现。
传递函数阵的最小实现例题传递函数阵的最小实现是一个重要的概念，它涉及到线性系统的稳定性和可控性。
下面是一个简单的例子来说明如何实现传递函数阵的最小实现。
考虑一个简单的线性时不变系统，其传递函数为\(H(s) = \frac{b_0 + b_1s + b_2s^2}{a_0 + a_1s + a_2s^2}\) 其中\(a_0, a_1, a_2, b_0, b_1, b_2\) 是系统的参数。
为了实现传递函数阵的最小实现，我们需要找到一组状态空间表示，使得该状态空间表示的传递函数等于给定的传递函数\(H(s)\)。
状态空间表示通常由以下四个方程组成：\[\begin{aligned}x' &= Ax + Bu \\y &= Cx +Du\end{aligned}\]其中\(x\) 是状态向量，\(u\) 是输入向量，\(y\) 是输出向量，\(A, B, C, D\) 是系统的状态矩阵和输出矩阵。
根据给定的传递函数\(H(s)\)，我们可以将系统参数转换为状态空间表示的参数。
具体地，我们可以使用以下步骤：1. 首先将传递函数\(H(s)\) 转换为多项式形式，即\(H(s) = \frac{\sum_{i=0}^n b_i s^i}{\sum_{i=0}^n a_i s^i}\)。
2. 然后将多项式形式的传递函数转换为状态空间表示的参数。
具体地，我们可以使用以下公式：\[\begin{aligned}a_0 &= 1 \\a_1 &= -A \\a_2 &= A^2 -B^2 \\b_0 &= -D \\b_1 &= C \\b_2 &= -B\end{aligned}\]3. 最后将参数代入状态空间表示的公式，即可得到状态空间表示。
下面是一个具体的例子：考虑传递函数\(H(s) = \frac{s^2 + 2s + 1}{s^2 + 2s + 3}\)，我们可以将其转换为多项式形式：\(H(s) = \frac{(s+1)^2}{(s+1)^2 + 2}\)然后使用上述公式将多项式形式的传递函数转换为状态空间表示的参数：\[\begin{aligned}A &= -1 \\B &= 0 \\C &= 1 \\D &=-1\end{aligned}\]最后代入状态空间表示的公式，得到状态空间表示：\[\begin{aligned}x' &= -x \\y &= x\end{aligned}\]这是一个简单的例子，说明如何实现传递函数阵的最小实现。
由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统高阶微分方程化为状态空间表达式SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211)(2211110nn n n mm m a s a s a s b s b s b s G +++++++=--- 假设1+=m n外部描述←—实现问题：有了部结构—→模拟系统部描述SISO ⎩⎨⎧+=+=ducx y bu Ax x实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。
一、直接分解法因为1011111()()()()()()()()1m m m mn n n nY s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----⨯=⨯=⨯++++++++⎩⎨⎧++++=++++=----)()()()()()(1111110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m 对上式取拉氏反变换，则⎩⎨⎧++++=++++=----z a z a za z u zb z b z b z b y n n n n m m m m 1)1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x zx z x ，于是有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+----===-u x a x a x a xx xx xn n n n 12113221写成矩阵形式式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。
只要系统状态方程的系数阵A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。
则输出方程121110x b x b x b x b y m m n n ++++=--写成矩阵形式⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--n n m m x x x x b b b b y 121011][ 分析c b A ,,阵的构成与传递函数系数的关系。
传递函数矩阵的状态空间最小实现————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：传递函数矩阵最小实现方法——降阶法人们在设计复杂系统时，总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。
给定严格真传递函数矩阵()G s ，为寻找一个维数最小的（A,B,C ）,使1()()C sI A B G s --=，则称该（A,B,C ）是()G s 的最小实现，也称为不可约实现。
最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论：（1）（A,B,C ）为严格真传递函数矩阵()G s 的最小实现的充要条件是（A,B ）能控且（A,C ）能观测。
（2）严格真传递函数矩阵()G s 的任意两个最小实现（A,B,C ）与(,,)A B C 之间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T 使得式子11,,A T AT B T B C CT --===成立。
（3）传递函数矩阵()G s 的最小实现的维数为()G s 的次数n δ，或()G s 的极点多项式的最高次数。
为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。
求最小实现的方法有三种：1、降阶法。
根据给定的传递函数矩阵()G s ，第一步先写出满足()G s 的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足()G s 的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。
2、直接求取约当型最小实现的方法。
若()G s 诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。
3用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。
下面主要研究降阶法（先求能控型再求能观测子系统的方法）并举例说明。
先求能控型再求能观测子系统的方法设（p ×q ）传递函数矩阵()G s ，且p ＜q 时，优先采用本法。
取出()G s 的第j 列，记为j ()G s ，是j u 至()y s 的传递函数矩阵，有j ()G s =1[()....()]Tj qj g s g s =11()()[]()()j qj T j qj p s p s q s q s L记()j d s 为1()j q s ,L ()qj q s 的最小公倍式，则j ()G s =11[()()]()T j qj j n s n s d s L 设()j d s =1,1,1,0jj j nn j n j j s a sa s a --++++L则12,1,2,1,0()j j j j n n ij ij n ij n ij ij n s sss ββββ----=++++L ，1,...i q =在此()j d s 是q 个子系统传递函数的公共部分，由单输入-多输出系统的实现可知，能用能控规范Ⅰ型的j A 、j b 实现()j d s ，由()ij n s 的诸系数确定j C ，这时j ()G s 的实现为1,0,0,10j j j jn j j j j n n n I A a a a --⨯⎡⎤=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦L1001j j n b ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M1,01,11,1,0,1,1j j q n jj j j n j qj qj qj n C ββββββ⨯--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M MM L 令1,,j p =L ，便可得j ()G s 的实现为12n nP A A A A ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O12n pP b b B b ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O []12q n P C C C C ⨯=L当p ＜q 时，显见A 、B 、C 的维数均较小，且有1pj j n n ==∑。
上述实现一定能控，但不一点能观测，需要找出能观测部分，为此需要判别（A,C ）的能观测行。
若（A,C ）能观测，则（A,B,C ）为最小实现；若001n C CA rankQ rank n CA -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ＜n 则从0Q 中选出0n 个线性无关行，记为S ；在附加（0n n -）个任意行（通常为单位矩阵n I 的任意行），记为1S ，即01TT n v S v ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M , 011T n T n v S v +⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 构造n n ⨯的非奇异变换阵T ，1S T S ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦引入变换x Tx =，由能观测性的结构分解可知012100A A TATA A -⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 00B B TB B ⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦100C CT C -⎡⎤==⎣⎦其中能观测子系统000(,,)A B C 即为所求的最小实现。
000(,,)A B C 有如下简化求法：记1T -为001()0()0111n n n n n n n n n n S T U U S -⨯-⨯-⨯-⨯⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦由[]00111111100n n n I S SUSU TTU U S S US U I --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 有0n SU I = 由[][]11100CT C U U CU CU C -⎡⎤===⎣⎦， 有0C CU =由[]011111112100A S SAUSAU TATA U U S S AUS AU A A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，有0A SAU = 由0110B S SB TB B S S B B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 有0B SB = 于是由能控型化为能控能观测型的简化步骤可归结为： 1.构造S 阵（从0Q 中选出0n 个线性无关行）；2.由0n SU I =，求出U 阵；3.计算最小实现。
0A SAU =， 0B SB = ， 0C CU =。
由于S 选择的任意性及求解U 的任意性，最小实现不唯一，但最小实现的维数是唯一的，且系统都是能控能观测的。
下面举例说明该法。
例1、已知传递函数矩阵()G s ，求最小实现。
2113()112s s s G s s s s s +⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦解: 化()G s 为严格真传递函数矩阵ˆ()Gs 111013ˆ()()111112s s G s G s D s s ⎡⎤⎢⎥⎡⎤++=+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥++⎣⎦求ˆ()Gs 的最小实现。
11111()1111s g s s s ⎡⎤⎢⎥⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 21213()13(2)(3)2s s g s s s s s ⎡⎤⎢⎥+⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥---++⎣⎦⎢⎥⎢⎥+⎣⎦令212()1,()56d s s d s s s =+=++，其能控规范Ⅰ型实现为11A =- 11b = 111C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦20165A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦ 201b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 22131C ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦ˆ()Gs 的能控型实现为 1210000010065A A A -⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎣⎦ 1210000001b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦[]12121131C C C ⎡⎤==⎢⎥---⎣⎦(A,C)的能观测性判别：由于2rankC m ==01211313163162n m C C rankQ rank rank rank n CA CA -⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦即(A,C)能观测。
（A,B,C ）能控且能观测，即为ˆ()Gs 的最小实现。
()G s 的最小实现为（A,B,C,D ）。
例2、求下列()G s 的最小实现维数及最小实现4623(1)(2)(1)(3)()21(1)(2)(1)(2)s s s s s s G s s s s s ++⎡⎤⎢⎥++++⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦解（1）确定最小实现维数n δ：所有()G s 的一阶子式的最小公分母为(1)(2)s s ++；二阶子式只有一个0，其分母为任意常数。
故所有子式的最小公分母仍为(1)(2)s s ++，有n δ=2。
（2） 1461()2(1)(2)s g s s s +⎡⎤=⎢⎥-++⎣⎦ 2231()1(1)(2)s g s s s +⎡⎤=⎢⎥-++⎣⎦令12()()(1)(2)d s d s s s ==++，其能控规范Ⅰ型实现为120123A A ⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦, 1201b b ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 16420C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 23210C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 1200AA A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1200b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]12C C C = (A,C)的能观测性判别：由于2rankC m ==02643220108643202011210654623n m C C CA rankQ rank rank CA rank CA CA -⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦M <4 (A,C)不完全可观测。
从0Q 中选出二行构成S 阵 ,64322010S ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦ 由2SU I =求U 阵：1112212231324142643210201001u u u u u u u u ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦四个方程含8个未知数，设任意规定313241420u u u u ====，可解得10213440000U ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故最小实现为031221322A SAU ⎡⎤--⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦04200B SB ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 01001C CU ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦。
