8 传递函数矩阵的零极点

第七章：矩阵分式描述

传递函数矩阵的矩阵分式描述是复出频域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。

采用矩阵分式描述（MFD ）和多项式矩阵理论可使线性时不变系统的频域分析和综合的理论和方法简便和实用。

主要介绍：1、矩阵分式描述的形式和构成

2、矩阵分式描述的真性和严真性

3、矩阵分式描述的不可简约性

7-1 矩阵分式描述的基本概念

矩阵分式描述（MFD ）的实质：就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之比。

MFD 形式上是对标量有理分式形式传递函数g(s)相应表示的一种推广

右MFD ： 对p 输入，q 输出线性时不变系统。有理分式矩阵G(s)，存在多项式矩阵p q s N ⨯)(和多项式矩阵p p s D ⨯)(使下式成立：

称p p p q s D s N ⨯-⨯)()(1为G(s)的一个右MFD 。 左MFD ：p q L q q L p q s N s D s G ⨯⨯-⨯=)()()(1

称p q L q q L s N s D ⨯⨯-)()(1

为G(s)的一个左MFD 。

例：8.1 构造G(s)的一个右MFD ，=)(s G ⎥⎥

⎥⎦⎤++++⎢⎢⎢⎣⎡210

210

1

1

2s s s s s s

方法：先确定各列的最小公分母，)2(1+=s s d c

22s d c =

)2(3+=s d c

1

2

22)2(10)1(012210

)

2()

1(01

)

2(2)(-⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥

⎥⎦⎤+++⎢⎢⎢⎣

⎡

=⎥⎥⎥⎦⎤++++++⎢⎢⎢⎣⎡

=s s s s s s s s s s s s s s s s s s s G p

p p q p q s D s N s G ⨯-⨯⨯=)()()(1

可见：⎥⎥

⎥⎦⎤

+++⎢⎢⎢⎣⎡=10)1(012)(s s s s s N ，⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡++=2)2()(2

s s s s s D G(s)的一个左MFD 的构造，先确定各行的最小公分母。21s d r =

22+=s d r

可类似求得。

MFD 的特性：

1、 MFD 的实质

类似于标量形式：)()()

()

()(1s d s n s d s n s g -==

分式化表示：p q L q q L p p p q p q s N s D s D s N s G ⨯⨯-⨯-⨯⨯==)()()()()(1

1 称q q L

p p s 、D s D ⨯⨯)()(为p q s G ⨯)(的分母阵，一般q q L p p s D s D ⨯⨯≠)()(

2、

MFD 的次数

规定MFD 的次数=分母矩阵行列式的次数。 3、 MFD 的非唯一性

一个p q s G ⨯)(，MFD 表达不唯一且次数也不唯一。 所有p q s G ⨯)(的MFD 中次数最小的MFD 称为最小阶MFD 。

最小阶MFD 也不唯一。

通常称最小阶MFD 为不可简约MFD ，不可简约MFD 的判据、属性见本章7.4

4、 MFD 的基本特性

对p q s G ⨯)(的MFD ，不管是右MFD ，还是左MFD 。表征其结构特性的两个基本特性为真性严真性和不可简约性。

7-2 p q s G ⨯)(真性和严真性

真性严真性是表征其物理可实现性的一个基本特性，或者说只有真性或严真性MFD 所表征的系统才是用实际物理元件可以构造的。

1、 真性和严真性

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡=)()()()(..

)()(..........)()

()(1

1111111s d s n s d s n s d s n s d s n s G qp

qp q q p

p 真性定义：对所有的p j q

i ,........1,.....1==p q s G ⨯)(元

满足)(deg )(deg s d s n ij ij ≤

严真性定义：对所有的p j q

i ,........1,.....1==p q s G ⨯)(元

满足)(deg )(deg s d s n ij ij 〈

另一种定义： 真性：)()(lim 0s G s G s

−−→−∞

→ （非零常阵） 严真性0)(lim −−→−∞→s

s G 2、 MFD 真性严真性

MFD 严真的充分必要条件：传递函数阵p q s G ⨯)(为严真。 MFD 真的充分必要条件：传递函数阵p q s G ⨯)(为真。 3、

真性及严真性判定

p q s G ⨯)(以MFD 形式给出时，基于定义判定真性及严真性十分不便。

MFD 的分母矩阵为既约和非既约时，给出判定方法。

分母矩阵为既约阵情形：

列既约右MFD p p p q p q s D s N s G ⨯-⨯⨯=)()()(1 p p s D ⨯)(为列既约， p p p q s D s N ⨯-⨯)()(1为真的充分必要条件：

)()(s D s N cj cj δδ≤ p j ,.......1= （cj δ表示列数）

严真的充分必要条件：

)()(s D s N cj cj δδ< p j ,.......1=