第七章 传递函数矩阵的矩阵分式描述

Copyright (c) Qianchuan Zhao
11
Discussion
Strict proper G(s) may have non-proper Smith-McMillan form The reason is that unimodular matrix may introduce poles at s=∞.
Copyright (c) Qianchuan Zhao 9
Discussion
Smith-McMillan form is obtained by reducing the elements of
λ1(s) d(s) 1 O Λ(s) = λ r (s) d(s) d(s) 0
s (s + 1)2 (s + 2)2 G(s) = −s 2 (s + 2) s 2 (s + 2) −s (s + 2)2
Rank G(s)=2
Copyright (c) Qianchuan Zhao 12
U(s)G(s)V( s) 1 = 2 (s + 1) s 0 (s + 1)2 (s + 2)2 −s 1 2 (s + 2) 0 2 s (s + 2) s 2 2 1 (s 1) − + (s + 2) −s 0 1 2 (s + 2)
s (s + 1)2 (s + 2)2 = 0
Copyright (c) Qianchuan Zhao
13
Discussion
• Obtain irreducible MFD through Smith-McMillan form of G(s) Let M(s)=U(s)G(s)V(s)=Ε(s)ΨR-1(s) where

创建英国第一个专门的物理实验 室;建立了麦克斯韦方程组; 主要成就： 创立了经典电动力学;预言了电磁 波的存在;提出了光的电磁说。 代表作品： 《电磁学通论》 Harbin Engineering University
出生日期： 1831年06月13日 逝世日期： 1879年11月5日 职业： 物理学家
Harbin Engineering University
3 公因子和最大公因子
公因子的定义
• 相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多项式 矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,若 N ( s) N ( s) R( s)
D(s) D (s) R(s) 则R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子.
认识他们吗？？
Edward John Routh ：1831年1月20日出 生在加拿大的魁北克。
Routh 11岁那年回到英国，在de Morgan指导下学 习数学。在剑桥学习的毕业考试中，他获得第一名。并 得到了“Senior Wrangler”的荣誉称号。 毕业后Routh开始从事私人数学教师的工作。从 1855年到1888年Routh教了600多名学生，其中有27位获 得“SEnior Wrangler”称号。建立了无可匹敌的业绩。
Harbin Engineering University
哈罗德·史蒂芬·布莱克( Harold Stephen Black)
Harold Stephen Black (April 14, 1898 – December 11, 1983) was an American electrical engineer, who revolutionized the field of applied electronics by inventing the negative feedback amplifier in 1927. To some, his invention is considered the most important breakthrough of the twentieth century in the field of electronics, since it has a wide area of application. However, a negative feedback amplifier can be unstable such that it may oscillate. Once the stability problem is solved, the negative feedback amplifier is extremely useful in the field of electronics. Black published a famous paper, Stabilized feedback amplifiers, in 1934.

d11(s) d21(s) d22 (s) DH (s) = M M O d p1(s) d p2 (s) L d pp (s)
d L11(s) d L12 (s) L d L1q (s) d L22 (s) L d L2q (s) DLH (s) = O M d Lqq (s)
−1
为G(s)的任意两个不可简
约右MFD 必存在：D1(s) = D2(s)U(s)， N1(s) = N2(s)U(s) 所以D1(s)和D2(s)具有相同的列埃尔米特形 D 导出
−1 −1 −1
H
(s)
。
−1
N 1(s) D1 (s) = N 1H (s) D H (s), N 2(s) D 2 (s) = N 2 H (s) D H (s)
9.1 史密斯-麦克米伦形
实质：有理分式矩阵的一种重要的规范型， 是在多项式矩阵的史密斯型基础上提出的。 作用：为定义和分析多输入多输出线性时不 变系统传递函数矩阵的极点和零点提供重 要概念性和理论性工具。
9.1 史密斯-麦克米伦形
史密斯-麦克米伦形及其构造原理
结论9.1 G(s)为q×p有理分式矩阵， rankG(s)=r≤min{q，p}，则必存在q×q和p×p单 模矩阵U(s)和V(s)，使
C.将上式等式两边乘以1/d(s)，可以导出
s 2 2 (s +1) (s + 2) Λ( s) M (s) = = U ( s)G ( s)V ( s) = d ( s) 0 2 2 ( s + 2) s (s +1) 2 2 (s +1) (s + 2) 0
导出任一不可简约MFD： ( s) = N ( s) D −1 ( s ) G

1
MFD的特性
（1）MFD的实质 类同于单输入单输出线性定常系统
的传递函数的分式表示，多输入多输出线性定常系统 传递函数矩阵的MFD实质上也是G(s)的分式化表示。 称D(s)和DL(s)为G(s)的分母矩阵，N(s)和NL(s)为
G(s)的分子矩阵。
G(s) N(s)D (s)
-1
-1 DL (s)NL (s)
-1 2 1
2s 1 2s2 s 1


N(s)D-1 (s)为 非 真 。
结论8.11 [行既约左MFD真性严真性判据]
对左MFD D -1 N L (s)为q p阵， L (s) N(s), D L (s)为q q阵且为行既约，
则D -1 为真，当且仅当 L (s)N(s)
（4）不同次数MFD的扩展构造 对 q p 的传递函数矩阵G(s)， N(s)D-1 (s) 为其 中一个右MFD，而W(s)为任一 p p 非奇异 矩阵，定义
N(s) N(s) W (s), D (s) D(s) W (s) 则 N(s) D -1 (s) 也 为G(s)的 一 个 右 MFD， 且 有 degdet D(s) degdetD(s)
并 使D (s)为 列 既 约 。 则 N(s)D-1 (s)为 真 ， 当 且 仅 当
cj N(s) cj D (s)
j 1,2,...p
j 1,2,...p
则N(s)D-1 (s)为 严 真 ， 当 且 仅 当
cj N(s) cj D (s)
cj为所示矩阵第 j列的列次数。
定义8.2 对传递函数矩阵G(s)，称G(s)为真，当且仅当非零常阵）
称G(s)为严真，当且仅当

008
绪论
5、线性系统理论的研究对象
p研究对象为线性系统：
实际系统理想化模型， 可用线性微分方程或差分方程来描述。 p研究动态系统，动力学系统：
用一组微分方程或差分方程来描述，
对系统的运动和各种性质给出严格和定量的数学描述。 数学方程具有线性属性时，则为线性系统，满足叠加性。
009
绪论
例：某系统的数学描述为L，任意两个输入变量 u1和
u2以及任意两个有限常数 c1和 c2，必有： L ( c1u1 + c 2 u 2 ) = c1 L (u1 ) + c 2 L (u 2 )
数学处理上的简便性，可使用的数学工具： 数学变换（傅里叶变换，拉普拉斯变换）、线性代数 实际系统——非线性的，有条件地线性化。
线性定常系统——方程中每个系数均为常数。
故设计方法为试行错误法，无法得到“最好的设计”。
给定传递函数
闭环特性分析
与给定指标比较
004
绪论
1950年代 , 是控制理论的“混乱时期”。
1960年代 , 产生了“现代控制理论”（状态空间法）。 庞特里亚金极大值原理 贝尔曼 动态规划法 可控、可观性理论
卡尔曼
极点配置
观测器
内模原理 至1970年代前半期，为状态空间法的全盛时期。
1895年，赫尔维茨稳定性分析——代数判据。
1945年， 波特频率法。 1948年，伊万思根轨迹法。
至此，古典控制理论（传递函数法）体系确定。
003
补
补
补
绪论
2、古典控制理论的局限性
①局限于线性定常系统：难以解决非线性、时变系统等问题。 ②采用输入/输出描述（传函），忽视了系统结构的内在特性， 难以解决多输入多输出系统（耦合）。 ③处理方法上，只提供分析方法，而不是综合方法。

r (s)
r (s)
0
0
diag ii ((ss))
0
0
0
0
定义： Szp {s | s C,i (s) 0, i (s) 0, i 1,2,, r}
则 Szp 是G(s)的有限极点和零点的集合。
diag{i i}可表为
M (s) diag{(s )1( ) ,,(s )r ( )}
（3）对零点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管有时相 同。
（4）若s=是G(s)的零点，则必有
rankN(s) |s rankG(s)
rankB(s) |s rankG(s)
但不一定rankG(s= )<rankG(s).
如：
s2
G(s)
s
3
0
0
1
s 2
G(s)的零点为s=-2, rankG(-2)=rankG(s) 因此，不能误把rankG(s)降秩与否作为判断G(s)零点的依据。
使E(s)降秩的s值 使N (s)降秩的s值
而
G(s)的极点 i (s) 0的根,i 1,2,r
det r (s) 0的根 det D(s) 0的根
对左不可简约MFD有同样的结论。 2. G(s)严格真时，对应的状态空间描述{A,B,C}能控，能观
则
G(s)的极点 det(sI A) 0的根 G(s)的零点 使sICA B0 降秩的s值
三. 传递函数矩阵的零极点的性质
1. 关于极点
SISO系统：考虑具有正则传递函数g(s)及不可简约实现
—{A,b,c,d}的单变量系统
定理：数是g(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初 始状态 x0 ，使得系统的零输入响应

多输入多输出系统传递函数矩阵
多输入多输出系统传递函数矩阵是指将一个多变量系统的所有输入和输出以矩阵形式表示的传递函数。

在控制系统设计中，我们经常会遇到多输入多输出系统的问题，因此需要有一种有效的方法来描述和分析这种系统。

对于一个n输入n输出的系统，传递函数矩阵H(s)可以表示为： H(s) = [H11(s) H12(s) ... H1n(s)]
[H21(s) H22(s) ... H2n(s)]
[... ... ... ]
[Hn1(s) Hn2(s) ... Hnn(s)]
其中，Hij(s)表示第i个输出对第j个输入的传递函数。

传递函数矩阵可以简化多输入多输出系统的分析和设计过程，使得我们可以更方便地进行控制器设计和系统优化。

同时，传递函数矩阵也可以用于描述多个子系统之间的相互作用，帮助我们更好地理解系统的整体行为。

在实际应用中，我们可以使用矩阵运算来计算传递函数矩阵，并根据需要对其进行简化或扩展。

通过对传递函数矩阵的分析，我们可以找到系统的稳定性、响应速度、误差等特性，从而选择合适的控制策略和参数来实现系统的控制和优化。

- 1 -。

能控形实现的维数？
⎡0 ⎢1 ⎢ A = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 0 0 0 ⎤ 0 0 0 − 2⎥ ⎥ 1 0 0 − 7⎥ ⎥ 0 1 0 − 9⎥ 0 0 1 − 5⎥ ⎦
⎡0 ⎢3 ⎢ B = ⎢5 ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣0
4⎤ 6⎥ ⎥ 4⎥ ⎥ 1⎥ 0⎥ ⎦
C = [0 0 0 0 1]
（6-1）
或简写为（A，B，C，E）是其传递函数矩阵 G ( s ) 的一个实现， 如果两者为外部等价即成立关系式：
C(sI − A)−1 B + E = G(s)
（6-2）
传递函数矩阵 G ( s ) 的实现（A，B，C，E）的结构复杂程 度可由其维数表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维 数，即有
L O
0 q ⎤ −α 1 I q ⎥ ⎥ , M ⎥ ⎥ −α l −1 I q ⎥ ⎦ lq × lq Iq ⎤ ⎦
q × lq
⎡ P0 ⎤ ⎢ P ⎥ B0 = ⎢ 1 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ P ⎣ l −1 ⎦ lq × p
(6-9)
而真传递函数矩阵 G ( s ) 的能观形实现为 ( A0 , B0 , C0 , E ) 。 例：试建立
co = [0, L, 0, 1]
（6-5）
这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得出 传递函数的分母是 n 次多项式的结果。 6.1.2 传递函数矩阵的实现 考虑以有理分式矩阵描述给出的真 q × p 传递函数矩阵 G ( s )
G(s) = (gij (s)), i = 1,L, q j = 1,L, p
（6-4）
能观测规范形实现 式（6-3）所示标量传递函数 g(s)的严真部分n(s)/d(s)的 4 能观测规范形实现具有形式：

传递函数矩阵模型
传递函数矩阵模型是一种用于描述系统运行规律的模型，它以矩
阵乘法的形式表示并可进行计算。

传递函数矩阵模型是由一个输入向
量和一个输出向量合成的矩阵所表示的，它通常用于描述复杂系统的
行为，以及提供有关系统的静态及动态特性的信息。

传递函数矩阵模型主要用于分析复杂系统的输入与输出的传递关系，能够模拟系统在固定的输入条件下对输出响应的规律，深入了解
系统运行状态和输出结果规律。

传递函数矩阵模型的矩阵表示法描述
的是复杂系统中输入到输出之间的传递过程，有利于深入了解系统内
部的工作原理及运行规律。

传递函数矩阵模型的主要特点是，可以根据经验获得系统的参数，从而进一步确定系统的运行规律并保证系统性能。

使用传递函数矩阵
模型还可以发现系统中所存在的算法等实际问题，从而更好的对复杂
系统的控制策略进行优化设计。

此外，传递函数矩阵模型可以用于分析系统的稳定性，确定各参
数的恒定性，以进一步确定系统的运行特性。

传递函数矩阵模型也可
以用于系统架构优化以及系统参数变更操作，以满足系统特定目标的
要求，如效率、精确度、低噪声等性能指标。

总的来说，传递函数矩阵模型是一种综合表示复杂系统特性的模型，可以用来定量分析系统参数的影响，以实现系统最优性能匹配，
进而达到提高工作效率的目的。

研究生课程教学大纲课程编号：S293001课程名称：线性系统理论开课院系：电气学院任课教师：宋博先修课程：自动控制原理适用学科范围：电气工程、控制科学与工程学时：54 学分：3开课学期：2 开课形式：课程目的和基本要求：线性系统理论是系统与控制学科领域最为基础的课程，是以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论。

通过本课程的学习，要求学生达到1、掌握线性系统理论的基本知识及其分析方法，能够用状态空间表达式来描述系统，并根据系统的微分方程建立其状态空间表达式的方法。

2、掌握系统特征值的求取方法，掌握线性定常系统非齐次方程的解和线性时变系统的解的求取方法，以及离散时间系统状态方程的两种解法。

3、掌握能控性、能观性的定义及各自的判别准则。

4、掌握用李雅普诺夫第一法和第二法分析系统的稳定性的方法。

5、掌握状态反馈和状态观测器设计的基本方法。

6、掌握频域理论的基本知识。

7、对线性系统理论的新发展有所了解。

课程主要内容：第一部分线性系统概述(3学时)了解系统控制理论的研究对象与线性系统理论的基本概貌。

第二部分线性系统的状态空间描述(9学时)理解状态和状态空间概念；掌握线性系统的状态空间描述；了解连续变量动态系统按状态空间描述的分类；掌握由系统输入输出描述导出状态空间描述；掌握线性时不变系统的特征结构；掌握状态方程的约当规范形；掌握由状态空间描述导出传递函数矩阵；理解线性系统在坐标变换下的特性；掌握组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵。

第三部分线性系统的运动分析(9学时)理解连续时间线性时不变系统的运动分析；掌握连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵；掌握连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵；掌握连续时间线性时变系统的运动分析；理解连续时间线性系统的时间离散化；掌握离散时间线性系统的运动分析。

第四部分线性系统的能控性和能观测性(9学时)掌握能控性和能观测性的定义；掌握连续时间线性时不变系统的能控性判据；掌握连续时间线性时不变系统的能观测性判据；掌握连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据；掌握离散时间线性系统的能控性和能观测性判据；理解线性系统的对偶性；掌握离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件；掌握能控规范形和能观测规范形；掌握连续时间线性时不变系统的结构分解。

02 x 02
a3I2
I2 02 a2I2
02 02 I2 x02u a1I2 I2
2021/6/16
x1 0 0 1 0 0 0 x1 0 0
x2
0
0
0
1
0
0
x2
0
0
xx34
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
xx34
0 0
0 0
u1 u2
x5
2
0
5
0
4
0
x5
ci lsi m iG(s)(si)
2021/6/16
c3 9 c4 3
c11 3 c12 6
31
x1 3 1 0 0 x1 0
x2
0
3
0
0 x21u
xx34
0
0
0 0
2 0
01xx34
1 1
y 36 93 x 1 x 2 x 3 x 4T
问题：该系统状态空间模型的对偶式？
2021/6/16
0 0 4
1
AT
1
0
0
,
C
T
5
0 1 3
2
BT0 0 1
2021/6/16
18
推广到一般的传递函数：
G (s)b a((s s))sna b n n 1 1 ssn n 1 1 a ..n . 2s b n 1s 2 b .0 ..a0
此系统的能控标准型和能观标准型？
2021/6/16
19
3、对角标准型
若有：
G(s)Y(s) U(s)
sn
bmsm...b1sb0 an1sn1an2sn2 ...a0

子系统串联后的传递函数矩阵传递函数矩阵（也称为系统矩阵）是指多个子系统串联后的总传递函数矩阵。

在控制系统中，传递函数矩阵是用于描述输入和输出之间关系的一个重要工具。

下面我们将详细介绍子系统串联后的传递函数矩阵，并给出一个使用示例。

在传递函数矩阵中，每个元素代表一个输入与一个输出之间的传递函数关系。

对于一个具有n个输入和m个输出的线性时不变系统，传递函数矩阵的大小为m×n。

传递函数矩阵的第i行第j列元素表示第i个输出对第j个输入的响应关系。

假设我们有两个子系统S1和S2，它们分别有两个输入和两个输出。

传递函数矩阵可以表示为：[G11G12][G21G22]其中G11、G12、G21和G22分别是子系统S1和S2的传递函数矩阵。

我们可以通过将两个子系统的传递函数矩阵相乘来得到它们串联后的总传递函数矩阵。

注意，子系统的顺序很重要，因为不同的顺序会导致不同的结果。

假设子系统S1的传递函数矩阵为：[G11G12][G21G22]子系统S2的传递函数矩阵为：[G33G34][G43G44]那么它们串联后的传递函数矩阵为：[G11G33+G12G43G11G34+G12G44][G21G33+G22G43G21G34+G22G44]接下来我们以一个实例来说明子系统串联后的传递函数矩阵的计算方法。

假设我们有两个子系统S1和S2，它们的传递函数分别为：S1的传递函数为：G1(s)=1/(s+1)S2的传递函数为：G2(s)=1/s我们将子系统串联起来，得到总系统传递函数G(s)。

首先，我们计算S1和S2的传递函数矩阵：G11=1/(s+1)G12=0G21=0G22=1/s然后，将它们相乘得到总传递函数矩阵：G(s)=G11*G22+G12*G21=1/(s+1)*1/s简化上式得到：G(s)=1/(s*(s+1))因此，总系统的传递函数为G(s)=1/(s*(s+1))。

总结起来，子系统串联后的传递函数矩阵可以通过将每个子系统的传递函数矩阵相乘来计算。

矩阵传递函数矩阵传递函数是一种用于信号处理中的线性系统表示法。

矩阵传递函数是用矩阵表示系统输入和输出之间的关系，并且可以在频域中分析线性动态系统的性能特征。

在矩阵传递函数中，所有输入和输出都被表示为向量，而矩阵则表示系统响应。

矩阵传递函数在信号处理中的应用非常广泛，例如在控制理论中，可以使用矩阵传递函数设计控制系统的增益和稳定性，同时还可以在通信系统中进行频域分析和信号处理。

矩阵传递函数是将线性动态系统表示为矩阵的一种形式。

简单来说，矩阵传递函数是一个矩阵，将输入矩阵转换为输出矩阵。

这个矩阵被称为系统传递函数或系统矩阵。

系统矩阵通常用大写字母A表示。

如果输入信号为向量x，则输出信号为向量y，可以使用以下公式表示：y = A * x在这个公式中，矩阵A是系统的传递函数。

任何输入向量x通过矩阵A可以得到对应的输出向量y。

在矩阵传递函数中，输入信号可以如下表示：x = [x1, x2, ..., xn]'其中，单引号表示向量的转置。

输出信号可以表示为：在这个公式中，m和n分别是输出和输入信号矩阵的维数。

在实际应用中，系统可能具有多个输入和多个输出，因此需要使用多个输入向量和多个输出向量来表示输入和输出信号。

系统矩阵A的维数将随着输入和输出信号的数量而发生变化。

矩阵传递函数还可以用于分析线性动态系统的稳定性和频率响应。

在矩阵传递函数中，系统的增益和相位可以通过对传递函数进行频域分析来确定。

这种分析通常涉及将传递函数转换成频率域中的傅里叶变换，从而得到系统的频率响应特性。

总的来说，矩阵传递函数是一种非常有用的表示方式，可以用于描述许多不同类型的线性动态系统，并提供了一种可视化系统性能的方法。

在信号处理中，矩阵传递函数是一种非常常用的工具，可以通过它进行信号处理、控制系统设计等多个领域。

(8 61)
其中
d ( s) s n n 1s n 1 1s 0 n( s) n 1s n 1 1s 0 { 0 ,1 ,, n 1}, { 0 , 1 ,, n 1}, e 为实常数
那么，对g(s)的各类实现就归结为对严格真传递函数n(s)/d(s)导出相应的实现 ，而常数e为各类实现中的输入输出直接传递系数。 1 可控标准型实现 式(8-61)所示g(s)的严格真部分n(s)/d(s)的可控标准型实现具有形式
…
co [0

0 1]
(8 71)
严格真部分n(s)/d(s)的可观测标准型实现的方块图如图8-2所示：
ß 0
+ +
ß 1
ß 2
ß n-1
1 x
∫
x1 + +
2 x
∫
x2 + +
3 x
…
xn-1 + +
n x
∫
xn
y
-a0
-a1
-a 2
-an-1
…
图8-2可观测标准型实现的方块图
将严真部分n(s)/d(s)的可观测标准型实现推广到式(8-61)所示真标量传递 函数g(s)，得到g(s)的可观测准型实现为(Ao, bo, co, e)，其中， Ao, bo, co如式 (8-71)所示。 注 n(s)/d(s)的可控型实现(Ac, bc, cc)与可观测型实现(Ao, bo, co)有对偶关系
n( s) / d ( s) n 1 1 s n

i 1
n 1
s zi s i
(8 85)
则严真部分n(s)/d(s)串联型实现为(AT, bT, cT)， g(s)的串联型实现为(AT, bT, cT, e)，其中

多输入多输出系统传递函数矩阵多输入多输出系统（MIMO系统）是指同时接收多个输入信号，同时输出多个反馈信号的系统。

MIMO系统是一类非常重要的实际工程系统，被广泛应用于通信、控制、信号处理等领域。

而传递函数矩阵是MIMO系统的一个重要工具，用于描述MIMO系统进出信号之间的关系，非常有利于对系统进行控制、优化和分析。

一、传递函数矩阵的定义和意义在MIMO系统中，输入信号和输出信号一般都是向量形式的，即：u(t)=[u1(t),u2(t),...,um(t)]Ty(t)=[y1(t),y2(t),...,yn(t)]T其中，u(t)是输入信号的向量，y(t)是输出信号的向量，m和n分别是输入信号的数目和输出信号的数目。

这时，我们可以使用传递函数矩阵来描述系统的动态响应：G(s)=[G11(s) G12(s) ... G1m(s) G21(s)G22(s) ... G2m(s) ... ... ... Gn1(s) Gn2(s) ... Gnm(s)]其中，Gij(s)表示第i个输出信号对第j个输入信号的响应函数。

可以看出，传递函数矩阵是一个n×m的矩阵，它描述了系统的m个输入信号对n个输出信号的影响。

传递函数矩阵的意义在于，它可以方便地描述系统进出信号之间的关系。

对于一个MIMO系统，可能存在多种输入和输出之间的相互作用关系，这时，传递函数矩阵提供了一种非常方便的方式来描述这些相互作用。

我们可以通过研究传递函数矩阵，了解系统输入信号和输出信号之间的相互影响，从而有效控制系统的响应性能。

二、传递函数矩阵的计算方法对于一个MIMO系统，其传递函数矩阵可以通过多种方式计算得到。

这里介绍两种比较常见的计算方法。

（一）矩阵分块法矩阵分块法是传递函数矩阵的一种常见计算方法。

对于一个MIMO系统，其状态方程可以表示为：dx(t)/dt=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t)其中，x(t)是系统的状态变量，A、B、C、D分别是系统的状态方程矩阵和输出矩阵。

三、线性相关和线性无关 当且仅当存在一组多项式 1 s, 2 s,, p s 若 1 s 2 s p s 0 时，上式成立，则为线性无关。
p 个多项式向量 q1 s, q2 s,, qp s 为线性相关
1 sq1 s 2 sq2 s p sqp s 0
则称R为两个多项式矩阵的一个右公因子。
Rs W s R1 s
则称R为最大右公因子，记gcrd。
定理（ gcrd构造定理）：对给定的N,D, 如果存在单模阵 U，满足 Ds Rs
U(s) 0 N s
则称R为N,D的一个最大右公因子。
任 意 多 项 式 阵 推论6： Qsmr , R(s)r p 为
sRs minrankQs, rankRs rankQ
五、单模矩阵
Qs 为单模阵，当且仅当其行列式是独立于s的非零常数。
推论1： Qs 为单模阵，当且仅当其逆是一多项式阵 推论2： Qs 为单模阵，则 Qs 是非奇异，反之未必 推论3： 两个单模阵的乘积也是单模阵
七、 Hermite 定理和 Smith 定理（埃尔米特、史密斯）
Hermite 定理 设 Qs为多项式矩阵，并且第一行（列）不恒为零，其
秩为k，则必存在一个下（或上）三角形多项式矩阵 Qs与 Qs 列（或行）等价，并且 Qs具有如下性质：
（1）若 k r ，则的最后r-k列全为零； （2）若1 j k ，则第j行第j列上元素是首1多项式，并且 其是该行中的行次最高的； （3）若 1 j k ，则第j行第j列上元素为1时，该行中的其 它元素全为零。
s minm,r 推论3： Qs 满秩，当且仅当 rankQ 推论4： Qs 为 m m方阵，Qs 非奇异等价于 rankQs m