2019届高三金学导航大联考试卷数学(理)答案

2019年高三上学期联考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合M ={0,1,2,3}，N =，则=（ ） A ．{0}B ．C ．D ． {1,2}2．已知函数，则 ( ) A ．1B ．－2C ．2D ．3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度4． 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为( ) A ．103B ．4C ．163D ．6 5．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若2221cos cos sin ,()4a B b A c C S b c a +==+-，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．若a ，b 为实数，则“”是“”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7． 已知函数()()1ln 1f x y f x x x ==--，则的图象大致为（ ）8． 已知锐角满足，,则= （ ） A ． B ．πC ． 或πD ．9．如果实数满足不等式组302301x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．定义域为R 的函数,若对任意两个不相等的实数，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数：①②③④其中为“H 函数”的有（ ） A ．①②B ．③④C ． ②③D ． ①②③二、填空题（大题共5题，每小题5，共25分，把答案填写在答题卡中横线上） 11． 已知复数,且是实数，则实数k ＝12． 已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2=__________13． 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为____14．已知定义在上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有 ；②函数的图象关于轴对称；③对于任意的，且 ，都有。

理科数学 第 1 页（共 11 页）3 + 3i 2 - 2 3i 3( 3 + i) 2(1- 3i)3 3 7 52019 年第三次全国大联考【新课标Ⅰ卷】理科数学·全解全析1．A 【解析】 A ={x ∈ Z | x 2 - 2x - 3 ≤ 0} ={x ∈ Z | -1 ≤ x ≤ 3} ={-1, 0,1, 2,3}，B ={x | x < 0 或 x > 1 }， ∴ C ={x | x ∈ A 且 x ∉ B } ={0,1}，故选 A ．2．D 【解析】 a = 2q 2 ，∴ a= 2 ，∴ a 2 ⋅ a 8 = a 2= 4 ，故选 D.3．C 【解析】 z = 1-3i ，∴ 2 = = = = 3 i，故选C ．24(-x )2 4x 2 4x 24．A 【解析】依题意， x ∈ R ，且 f (-x ) === f (x ) ，故函数 f (x ) =为偶函数，其图3|- x |3|x |3|x |象关于 y 轴对称，排除B ；因为 f (1) = 4> 1，排除C ； f (2) =16< 2 ，排除D ，故选A ．3 95．B 【解析】由程序框图可得，初始值：x = 1，n = 1，第 1 次循环，x = -1，n = 2 ；第 2 次循环，x = 2 ，2n = 3 ；第 3 次循环， x = 1， n = 4 ……依次类推得到此算法得到的 x 值具有周期性且周期为3 ，因为2n = 24 ，1025 ，7 ，2020 是各选项不满足条件的n 值，其被3 除的余数分别为0 ，2，1，1，所以当n = 1025 时不满足条件且输出的 x = -1，故选B ．6．B 【解析】由| FM |= 3 | FB | ，且 OB ∥AM （O 为坐标原点），得| OF |= | OB | = | FB | = 1，∴a + c = 3c且| AM |= 3b ，∴a = 2c ，∴b =3c ，又 △AFM | AF | | AM | | FM | 3的面积为9 ，∴ 1 ⨯ (c + a ) ⨯ 3b = 9 ， 2∴c =，∴a = 2，b = ，∴椭圆的标准方程为 x 8 + y 2 6= 1，故选B ． 7．C 【解析】 g (x ) = ln 1 - x ，∴ g (-x ) = ln 1 + x = -g (x ) ，∴函数 g (x ) 是奇函数，设t = 1 - x，1 + x 1 - x 1 + xt = -1 +2 x + 1 ，∴ t = 1 - x 在区间(-1,1) 上是减函数，又 y = ln t 在区间(0,+∞) 上是增函数，1 + x∴ g (x ) 在区间(-1,1) 上是减函数，∴ f (x ) 是定义在(-1,1) 上的奇函数且在区间(-1,1) 上是减函数，2z +1+ 2 3i 2z - 3i 3i ⋅ (1- 3i) 2(1- 3i) 2 2 6 52理科数学 第 2 页（共 11 页）2 23 2 5 2 4f ( 1 ) = -1，∴ f (- 1) = 1，又 f (0) = 0 ，∴ f (0) ≤ f (x - 2) ≤ f (- 1) ，又 f (x ) 在区间(-1,1)2 2 2上是减函数，∴ - 1 ≤ x - 2 ≤ 0 ，∴ 3 ≤ x ≤ 2 ，∴所求不等式的解集为[ 3,2] ，故选 C ．2 2 28．D 【解析】由几何体的三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 A - BCD ， 三角形 BCD 是等腰直角三角形且CB = CD = 4 ，∴S △BCD = 8 ； △ABC 是直角三角形， AB = 2 ，∴S △ABC = 4 ；△ACD 是等腰三角形，且 AC = AD =2 ，∴S △ACD = 4 ；又 BD = 4 ，∴ AB 2 + AD 2 =BD 2 ，∴∠BAD = 90 ，∴S = 4 ，∴该几何体的表面积是8 + 4 2 + 4 3 + 4 5 ，故选 D.9．A 【解析】方法一：因为嘉宾甲、乙主持的两期节目必须相连，所以有A 2A 5 种安排方案，又因为嘉宾A 2A 5丙必须排在前 3 期主持节目，所以该节目嘉宾主持人的安排方案种数是2 5 = 120 ，故选 A ．方法二：若嘉宾丙主持第 1 期节目，则安排方案有A 2A 4= 48 种；若嘉宾丙主持第 2 期节目，则安排方案有A 1 A 2A 3 = 36 种；若嘉宾丙主持第 3 期节目，则安排方案有A 2A 3 + A 2A 2A 2= 36 种，所以该节目3 2 32 33 2 2嘉宾主持人的安排方案种数是48 + 36 + 36 =120 ，故选 A ．10．A 【解析】 3 tan ϕ = 2sin( π+ ϕ) ，∴3tan ϕ = 2cos ϕ ，∴3sin ϕ = 2cos 2 ϕ ，∴3sin ϕ = 2 -22sin 2 ϕ ，∴2sin 2 ϕ + 3sin ϕ - 2 = 0 ，∴sin ϕ = 1 ， 0 < ϕ < π ，∴ϕ = π，∴ f (x ) = 2cos(ωx +2 2 6π) ，又 直线 x = π 6 3 是 函 数 f (x )的 图 象 的 一 条 对 称 轴 ， ∴ωπ + π = k π(k ∈ Z ) ， 3 6∴ω = 3k - 1 (k ∈ Z ) ， ω > 0 ，∴ ω 的最小值为 5 ，此时函数 f (x ) 的最小正周期T = 4π，故选 A ．2 2 511．B 【解析】 2a n = a n +1 + a n -1 + 2 ，∴ (a n +1 - a n ) - (a n - a n -1 ) = -2 ，∴数列{a n +1 - a n } 是公差为- 26 5 2 △ABD理科数学 第 3 页（共 11 页）3 ⎨ ⎩的 等 差 数 列 ， a 1 = 1, a 2 = 30 ， ∴a 2 - a 1 = 29 ，∴a 16 - a 15 = 29 + (15 -1)⨯ (-2) = 1 > 0 ，a 17 - a 16 = 29 + (16 -1)⨯ (-2) = -1 < 0 ，又 数列{a n +1 - a n } 是单调递减数列，∴数列{a n +1 - a n } 的前15 项和最大，即(a 2 - a 1) + (a 3 - a 2 ) + + (a 16 - a 15 ) = a 16 -1最大，∴数列{a n } 的最大项是第 16项 a ，又 a -1 = 15⨯ 29 +15⨯14⨯(-2) = 225 ，∴a = 226 ，∴数列{a }的最大项的值是226 ，16162故选B ．16 n12．B 【解析】若 f (x ) = ln x +2e - 2 ，则[xf (x )] x' =( x l n x 2e + 2 -)x l n ' = x 1 l n - ≠x，所以①是错误的；[xf (x )]' = ln x ，∴ f (x ) + xf '(x ) = ln x ，∵ f (e) = 1 ，∴令 x = e ，得 f '(e) = 0 ，所以②是正确的； xf '(x ) = ln x - f (x ) ，∴ x 2f '(x ) = x ln x - xf (x ) ，∴[x 2f '(x )]' = ln x +1-[xf (x )]' = ln x +1 - l n x = 1 > 0 ，∴函数 x2 f '(x ) 在区间(0,+∞) 上是增函数，当0 < x < e 时，x 2 f '(x ) < e 2 f '(e) = 0 ， 即 f '(x ) < 0 ， ∴ 函数 f (x ) 在区间 (0, e) 上是减函数； 当 x > e 时， x 2f '(x ) > e 2f '( e )= ，即f '(x ) > 0 ，∴函数 f (x ) 在区间(e, +∞) 上是增函数，∴ f (x ) ≥ f (e) =1，∴ f (x ) 的最小值为1且 f (x )没有零点，即③是错误的，④是正确的，所以正确的说法是②④，故选 B ．⎧x - y ≤ 0 13．18 【解析】作出约束条件⎪2x - 3y + 6 ≥ 0 表示的平面区域如图中阴影部分所示， ⎪x ≥ 1由图象得目标函数 z = 2x + y 取得最大值的最优解为(6,6) ，所以 z 的最大值为18 ．14.【解析】设将OA 绕原点逆时针旋转120得到向量OA ' ， OA = ( 3, 0) ，∴| OA ' |=| OA |=3,理科数学 第 4 页（共 11 页）4 23, ) OA∠AOA ' = 120 ，∴OA ' = (-3 3 ，' =- 1 OB ，∴OB = ( 3, -3) ， A , B ,C 三点共线， 2 22∴OC = (1- λ)OA + λOB ，∴OC = ( 3, -3λ) ，∴ OC 在OA 方向上的投影是= 3 ．15. 2 【解析】设| MF 1 |= x ,| MF 2 |= y ， 点 M 为双曲线右支上一点，∴ x - y = 2a ①；又 △MF 1F 2的周长为9a ，∴ x + y = 9a - 2c ②；又 直线 MF 与直线 y = - bx 平行，∴tan ∠MF F = b，2a2 1a∴cos ∠MF F = a，∴在△MF F 中，由余弦定理可得 y 2 + 4c 2 - x 2 = 4cy cos ∠MF F ，结合①②2 1 c1 2 2 1得 2a (2c - 9a ) + 4c 2= 2a (7a - 2c ) ，∴ c 2 + 2ac - 8a 2 = 0 ，∴e 2 + 2e - 8 = 0 ，解得e = 2 ，∴该双曲线的离心率为2 ．16.πR 【解析】设底面正三角形 ABC 的边长为 x (x > 0) ， 顶点 P 到底面 ABC 的距离为 R 且三棱锥 P - ABC 的体积为5 3R 3 ，∴ 1 ⨯ 3 x 2 R = 5 3 3 ，∴ x = 15R ，∴正三角形 ABC 的外 36 3 4 36 3接圆半径为5 R ，∴球心O 到底面 ABC 的距离为 2R ，又 顶点 P 到底面 ABC 的距离为 R ，∴顶33R 点 P 的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面 ABC 和截面圆之间）且球心O 到该截面圆的距离为 3，截面圆的半径为 2 2 R ，∴顶点 P 的轨迹长度是 4 2 πR ． 3 317．（本小题满分12 分）【解析】（1） b =3， a 2 + c 2- sin A sin C tan B = 1，6 12∴ a 2 + c 2 - sin A sin C tan B = b 2 ，即a 2 + c 2 - b 2 = sin A sin C tan B ，由余弦定理得2ac c os B = sin A sin C tan B ，∴2ac sin A sin C = tan B ，（2 分） cos B由正弦定理得 2b 2 tan B = ，即2b 2 cos B = 2，∴ 1 cos 2 B = sin 3 B ，sin 2 B cos B sin B tan B 6∴ 1- sin 2 B = 6sin 3 B ，即6sin 3 B + sin 2 B -1 = 0 ，（4 分）OA ⋅OC = 3| OA | 3理科数学 第 5 页（共 11 页）(2 + 3)(a + c )2(2 - 3)(a + c )2(2 - 3)(a + c )2 变形得(2sin B -1)(3sin 2B + 2sin B +1) = 0 ，解得sin B = 1，20 < B < π ，∴ B = π．（6 分）2 6（2） b = 3 ， B = π ，∴由余弦定理得a 2 + c 2 - 2ac cos π = 1 ，化简得a 2 + c 2- 3ac = 1 ，6∴(a + c )2- (2 + 6 3)ac = 1 12，（8 分）6 12 12 (a + c )2ac ≤，∴-(2 + 4 ac ≥ - ，4∴(a + c )2- (2 + 3)ac ≥， 4∴ ≤ 1 4 12，∴(a + c )2 ≤ ，（10 分） 3∴(a + c + 2b )(a + c - 2b ) = (a + c )2 - 4b 2 ≤ 1 + 33 ，当且仅当a = c 时等号成立，∴ (a + c + 2b )(a + c - 2b ) 的最大值为1 + 33.（12 分）18．（本小题满分12 分）【解析】（1）估计生猪重量达不到 270 斤的概率为(0.0005 + 0.002) ⨯ 40 + 0.005⨯ 30 = 0.25 .（2 分） （2）生猪重量的平均数为180⨯0.02 + 220⨯0.08 + 260⨯0.2 + 300⨯0.32 + 340⨯0.24 +380⨯0.1+420⨯ 0.04 = 305.6 （斤）.所以估计该企业本养殖周期的销售收入是305.6 ⨯8⨯ 5000 = 1222.4 （万元）.（6 分）（3） 由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到 270 斤及以上的概率为1- 0.25 = 3，4由题意可得随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2 ，则Y ~ B (2, 3) ，（8 分） 4∴ P (Y = 0) = C 0⨯ 3 0 ⨯1 2 = 1 ，( ( ) 24 4 16 P (Y = 1) = C 1⨯ 3 1 ⨯ 1 1 = 3 ，( ( ) 24 4 8 P (Y = 2) = C 2⨯ 3 2 ⨯ 1 0 = 9 ，（9 分）( ) ( ) 24 4 162 + 3理科数学 第 6 页（共 11 页）2 33∴随机变量Y 的分布列为∴随机变量Y 的方差 D (Y ) = 2⨯ 3 = ．（12 分）4 4 819．（本小题满分12 分）【解析】（1）如图，连接 AB 交OC 于点 N ，连接 MN ，PA ∥平面 MOC ，∴ PA ∥ MN ， BM = 2MP ，∴ B N = 2NA ，OA = OB = 2 ， ∠AOB = 120 ，∴ AB = 2 ，∴ BN = ，（2 分）又 ∠OBA = 30 ， ∴ 在 △BON 中， 根据余弦定理得 ON =， ∴ON 2 + OB 2 = BN 2 ，∴∠BON = 90 ，∴ON ⊥ OB ，又 PO ⊥平面AOB ，∴ON ⊥ OP ，∴ON ⊥平面 POB ，（4 分）又 ON ⊂ 平面 MOC ，∴平面 MOC ⊥ 平面 POB ．（5 分）（2）由（1）得OC ⊥ OB ,OP ⊥ OC ,OP ⊥ OB ，如图建立空间直角坐标系O - xyz ，OP = ， OA = OB = OC = 2 ，∴ OP = (0, 0, 5) ， OA = ( 3, -1, 0) ， OC = (2, 0, 0) ，OB = (0, 2, 0) ， 点 M ∈ PB 且 BM = 2MP ，∴OM = (0, 2 ,2 5，（7 分） 3 3设平面 POA 的法向量为n = (x , y , z ) ，则⎧⎪n 1 ⋅ O P = 0 ，即 ⎧⎪5z 1 = 0，令 x= 1，得 y =，111 1⎨ ⎪⎩n 1 ⋅ O A = 0⎨11⎩⎪ 3x 1 - y 1 = 0 3 3 4 3 3 5理科数学 第 7 页（共 11 页）152 6 | AF |= 1 4 p θ ⎨z 1 = 0 ，∴ n 1 = (1, 3, 0)，⎧⎪n⋅ OC = 0⎧2x 2 = 0设平面 M O 的 法 向 量 为 n = (x , y , z ) ，则 ⎨2，即⎪，即2222⎪n ⋅ OM = 0 ⎨ 2 y +2 5z = 0 ⎩ 2⎪⎩3 23 2⎧⎪x 2 = 0，令 z = 1，得 y = -，x = 0 ，∴ n= (0, -5,1) ，（10 分）⎨y + 5z = 0 2222⎩⎪ 2 2设平面 POA 和平面 MOC 所成二面角的大小为θ ，则| cos θ |= =10 6 ，∴sin = ， 4 4∴平面 POA 和平面 MOC 所成二面角的正弦值的大小为6 .（12分） 420．（本小题满分12 分）【解析】（1） 点 A 的纵坐标为2 ，∴点 A 的横坐标为x = 1 ， 2 4 p点 A 到 y 轴的距离等于| AF | ，∴ 1 34 p = | AF |，（2 分） 3又+ p ，∴ 1 2 4 p = 1 12 p p ，∴ 1 =p ， 6 6 p 6p > 0 ，∴ p = 1，∴此时抛物线的标准方程为 y 2= 2x .（4 分）p⎧x = my + p（2）设直线l 的方程为 x = my + (m ≠ 0) ，由⎪2 ⎪⎩ y 2 = 2 px2 得 y 2 - 2mpy - p 2 = 0 ，设 A (x 1 , y 1 )( y 1 > 0), B (x 2 , y 2 ) ，⎧ y 1 + y 2 = 2mpp 25理科数学 第 8 页（共 11 页）由根与系数的关系得⎨y ⋅ y = - p 2 ，∴ x 1 ⋅ x 2 = ，（6 分） 4 ⎩ 1 2y y y x + y x y (my + p) + y(my + p)∴ k + k = 1 + 2 = 1 2 2 1 = 1 2 2 2 1 2 x 1 x 2 x 1 ⋅ x 2x 1 ⋅ x 21 2理科数学 第 9 页（共 11 页）23 (x +1- 3)(x +1+ 3)3 3 3 3 '2my y + p( y + y ) = - 2mp 2 + mp 2 = -=1 22 1 2x 1 ⋅ x 24m p 2 ，4y y y x - y xy (my + p ) - y (my + p ) p ( y - y ) k 1 - k 2 = 1 - 2= 1 2 2 1 = 1 2 2 2 1 2 = 2 1 2 ，x 1 x 2 x 1 ⋅ x 2x 1 ⋅ x 2 x 1 ⋅ x 2y 1 > 0, y 2 < 0 ，∴ y 1 - y 2 > 0 ，p 4m 2p 2+ 4 p 2= p 2m 2 + 1 ∴k 1 - k 2 = 2x 1 ⋅ x 2= 2x 1 ⋅ x 2p 2= 4 4，（10 分） k =1 m，且k ≥ ，∴ k 1 + k 2 = -4m == = 1k 1 - k 2 ∴ k 1 + k 2 < 0 ，即 k 1 + k2 的取值范围是[.（12 分）3 k 1 - k 2 k 1 - k 2 321．（本小题满分12 分）x 2 + 2ax + 22x + 2a - x 2 - 2ax - 2-x 2 + (2 - 2a )x + 2a - 2【解析】（1） f (x ) = ，∴ f '(x ) ==，2e xx = -1为 f (x ) 的极值点，∴ f '(-1) = 0 ，∴-( 2e x-1)2 + (2 - 2a )( 2e x-1) + 2a - 2 = 0 ，解得a = 2 ，（2 分）-x 2 - 2x + 2∴ f (x ) == - ，2ex2e x由 f '(x ) > 0 得 -1- < x < -1+ ，此时函数 f (x ) 单调递增；由 f '(x ) < 0 得 x < -1- 或x > -1+ ，此时函数 f (x ) 单调递减，（4 分）∴函数 f (x ) 的单调增区间是(-1- 3,-1+ 3) ，单调减区间是(-∞，-1- 3),(-1+ 3，+ ∞) （. 5 分）（2）由（1）得 f (x ) =x 2 + 4x + 2，m 2 +1 3 3 32ex理科数学第10 页（共11 页）理科数学 第 11 页（共 11 页）3⎩x f (x ) ≤ g (x )，∴ x 2 + 4x + 2 ≤ kx + k ， ≥ - 2 ， 2e x∴ x 2 + 4x + 2 ≤ 2k e x (x +1) ，∴ 2k e x (x +1) - x 2 - 4x - 2 ≥ 0 ，（6 分）令 h (x ) = 2k e x (x +1) - x 2 - 4x - 2 ， x ≥ -2 ，则h '(x ) = 2k e x (x + 2) - 2x - 4 = 2(x + 2)(k e x -1) ， x ≥ -2 ，∴ x + 2 ≥ 0 .①当 k ≤ 0 时， h '(x ) ≤ 0 ，函数 h (x ) 在区间[-2,+∞) 上是减函数，∴h (x ) ≤ h (-2) = 2 - 2k e -2 > 0 ，h (0) = 2k - 2 < 0 ，∴不等式2k e x (x +1) - x 2 - 4x - 2 ≥ 0 在区间[-2,+∞) 上不能恒成立；（8 分）②当k > 0 时，由k e x -1 = 0 得 x = - ln k ，（i ）若- ln k ≤ -2 ，即 k ≥ e 2 ，则 k e x -1 ≥ 0 ，∴ h '(x ) ≥ 0 ，∴函数h (x ) 在区间[-2,+∞) 上是增函数，∴h (x ) ≥ h (-2) = 2 - 2k e -2，∴ 2 - 2k e -2 ≥ 0 ，∴k ≤ e 2 ，∴k = e 2 ；（10 分）（ii ）若 - ln k > -2 ，即 0 < k < e 2 ，则当- 2 ≤ x < -ln k 时， h '(x ) ≤ 0 ，函数 h (x ) 单调递减，当x ≥ - l n k 时，则 h '(x ) ≥ 0 ， 函数 h (x ) 单调递增， ∴h ( x ) ≥ h (- l n k∴ 0 ≤ ln k ≤ 2 ，即1 ≤ k ≤ e 2 ，又0 < k < e 2 ，∴1 ≤ k < e 2 .由①②得， k 的取值范围是[1, e 2] .（12 分）)= - ( l k n 2 )+ 2 k l n ≥， 22．（本小题满分10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 【解析】（1） 切线l 的极坐标方程为 ρ = 3 ，∴ 2 3ρ cos θ - 2ρ sin θ = 3 ，则切2 3 cos θ - 2sin θ线l 的直角坐标方程为2 3x - 2y - 3 = 0 ，（2 分）∵曲线C 的参数方程为 ⎧⎪x = 2t （ t 为参数），∴曲线C 的普通方程为 x 2 = 2 y ，即 y = 1 x 2 ，则 1y ' = x ，又切线l 的斜率为 ⎨⎪ y = t 2 1 2 ，∴ x =，此时 y = 3 ，0 0 23故切点 P 的直角坐标为( 3, ) .（5 分 ） 2 3理科数学 第 10 页（共 11 页） 3 1⎧x = π⎪ 3 + 1 t 2 （2） 切线l 的倾斜角为 3 ，∴切线l 的参数方程为⎨ （ t 为参数），3 3⎪ y = + t⎩⎪ 2 2曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ 2 - 4 3ρ cos θ - 6ρ sin θ +16 = 0 ， ∴曲线 C 2 的直角坐标方程为x 2 + y 2 - 4 3x - 6y +16 = 0 ，（7 分）⎧ x = ⎪ 将⎨ 3 + 1 t 2 代入 x 2 + y 2 - 4 3x - 6y +16 = 0 ，得4t 2 -10 3t +1 = 0 ， ⎪ y = 3 + 3 t ⎩⎪ 2 2设交点 A , B 对应的参数分别是t 1 , t 2 ，⎧ 5 3 ⎪t 1 + t 2 = 21 1 t + t 则⎨ ，∴ + = 12 = 2 = 10 ， ⎪t ⋅ t = 1 t 1 t 2 12 1 ⎪⎩ 1 2 4 故 + 1 = 10 4 .（10 分） | PA | | PB |23．（本小题满分10 分）选修 4-5：不等式选讲【解析】（1）依题意， | x - 3 | + | 3x +1|≤ 7 ，若 x <- 1 ，原式化为3 - x - 3x -1 ≤ 7 ，解得 x ≥- 5 ，故- 5 ≤ x < - 1； 3 4 4 3 若- 1 ≤ x ≤ 3 ，原式化为3 - x + 3x +1 ≤ 7 ，解得 x ≤ 3 ，故- 1 ≤ x ≤ 3 ； 3 2 3 2 若 x > 3，原式化为 x - 3 + 3x +1 ≤ 7 ，解得 x ≤ 9 ，无解；4 综上所述，不等式 f (x ) ≤ 7 的解集为{x | -5 ≤ x ≤ 3}.（5 分）4 2（2）由题意知，不等式| x - 3 | + | mx +1|≤ 4 - x 在[1, 3] 上恒成立， 即3 - x + | mx +1|≤ 4 - x ，则| mx +1|≤ 1，故-1 ≤ mx +1 ≤1，（7 分）即-2 ≤ mx ≤ 0 在[1, 3] 上恒成立，得- 2≤ m ≤ 0 ，5 3 33理科数学第10 页（共11 页）故实数 m 的取值范围为[ 2, 0].（10 分）3理科数学第11 页（共11 页）。

2019-2020年高三联考数学理试题-含答案2019-2020年高三联考数学理试题 含答案本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知{}2|450 A x xx =--=，{}2| 1 B x x==，则AB =（ ）A ．{} 1B ．{} 1 , 1 , 5 -C ． {} 1 -D ．{} 1 , 1 , 5 --2．设条件p ：0≥a ；条件q ：02≥+a a，那么p 是q的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 6则双曲线的渐近线方程为A ．2y x =±B ．xy 2±= C ．x y 22±=D ．12y x =± 4．下列命题不正确．．．的是 A ．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；B ．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；C ．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；D ．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直. 5．已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A.()x f 是偶函数B. ()x f 的值域为[)+∞-,1C.()x f 是周期函数D. ()x f 是增函数 6．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1=•BC AB ，则___BC =. A.3722237．节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （） A ．14B ．12C ．34D ．788．在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P ff Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（ ）A ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045 B ．平面α与平面β垂直 C ．平面α与平面β平行 D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060开始2,1S k ==2013k <否1k k =+是 输出S结束11S S =-二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）(一)必做题(9～13题)9. 复数121i i +-的值是 ． 10.若数列{}n a 满足：1111,()2n n a a a n N *+==∈，其前n 项和为nS ，则44S a= ． 11. 执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .12. 已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为__________.13．将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分)14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线1:C 22x t a y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）， 曲线2:C 2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.若曲线1C 、2C 有公共点，则实数a 的取值范围____________． 15．（几何证明选讲）如图，点,,A B C 是圆O 上的点, 且2,6,120AB BC CAB ==∠=,则AOB∠对应的劣弧长为 ．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）在平面直角坐标系下，已知(2,0)A ，(0,2)B ，(cos 2,sin 2)C x x ，()f x AB AC=⋅．（1）求()f x 的表达式和最小正周期； （2）当02x π<<时，求()f x 的值域。

你永远是最棒的2019 年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析1．A 【解析】易得 A = {x | x 2≤ 4} = {x | -2 ≤ x ≤ 2}， B = {x |x ≤ 0} = {x | 0 ≤ x < 2} ，所以 x - 2A B = [0,2) ，故选 A ．12 3 2019 2 ⨯ (2 2019-1) = 2 2020- 2 ．故选 D. 5．D 【解析】由图知输出的结果 S = 2 + 2 + 2+ + 2 = 2 -16．D 【解析】由已知 T = 2π = π ，解得 ω = 2，故 f ( x ) = sin(4 x π ，若 x ∈( π , π ) ，则 2 π 2 π 5π2ω345π4 x - ∈ ( , ) ，由正弦函数的图象可知函数 f ( x ) 在 ( π , π ) 上有增有减；若 x = π ，则 4x - π = ，3 3 3 π4 2 2 π 3 3 此时函数 f ( x ) 取不到最大值或者最小值，故 x = 不是函数 f ( x ) 图象的对称轴；若 x = ，则 2 π π 3 4x - = π ，此时函数 f ( x )=0 ，故 f ( x ) 的图象关于点 ( , 0) 对称.逐一观察各选项可知，答案为 D.3 37．A 【解析】由题意， (x -1n的通项为 T = ( -1) r C r x n - 3r ，当 n =3 r 即 2n = 3r 时，所得项为常数 2r +1 n2项，其中 r = m -1，所以 m ， n 应满足 2n = 3(m -1) ，故选 A.你永远是最棒的 8．C 【解析】易得圆锥的母线长为13 cm ，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过 5 cm 时，蚂蚁应爬行在底面半径为25cm ，母线长为 5 cm 的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过 5 cm 的概率为 1325 ⨯ 5π⨯ 1441 - 13 = ，故选 C ． π⨯ 5 ⨯13 1699．B 【解析】由 a + a + a = 42 ， a + a = 28 ，可得 S = 70 ，由已知得 tS = 52-12 ⨯ 5 ，得 t = - 1 ，13 5 245521故 - S = n 2-12n ，即 S = -2n 2 + 24n = -2(n - 6)2+ 72 ，所以当 n = 6 时, S 取得最大值．故选 B.2 nnn11．B 【解析】设抛物线 C 的焦点为 F ，则 F (a4 ,0) ，可得直线 l : y = 4x - a 过焦点 F ，设直线 l 交抛物线 C于点 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，由抛物线定义可知 | AB |= x 1 + x 2 + a2 ，联立直线 l 与抛物线 C 的方程，消去y 得16 x 2 - 9ax + a 2= 0 ，所以 x 1 + x 2 = 169 a ，则 | AB |= 169a + a 2 = 17 ，解得 a =16 ，则抛物线C 的方程为 y 2 = 16x . 设与抛物线 C 相切且平行于直线 l 的直线方程为 y = 4x + b ，联立方程⎧ 2= 16x，消去 y 得16x2+ (8b -16)x + b 2= 0 ，则 ∆ = (8b - 16) 2 - 4 ⨯ 16b 2 = 0 ，解得 b =1，故⎨y⎩y = 4x + b所求直线方程为 4x - y +1 = 0 .故选 B.． 【解析】由题意，得 f '1 - m 1 mx 2+ x + 1 - m ( mx - m + 1)( x +1) （ x > 0 ），令12C x 2 + x = x 2=( x ) = m +x 2 mx - m + 1 = 0 ，由 m > 0 ，得 x = m -1 .当 0 < m ≤1 时， m -1 ≤ 0 ，此时函数 f (x ) 在 (0,+∞) 上单m m 调递增，且 x → 0 时， mx → 0 ， - 1- m → -∞ ， ln x → -∞ ，故 f (x ) → -∞ ，不合题意，舍去；m -1 x m -1 m -1当 m >1时， > 0 ，此时函数 f (x ) 在 (0, ) 上单调递减，在 ( ,+∞) 上单调递增，所以 m m m你永远是最棒的f (x )min = f ( m-1) = m -1 + m + ln m -1mm= 2m -1 + ln m -1，要使函数 f (x ) > 0 恒成立，只需m 2m -1 + ln m -1 > 0 ，即 m -1 e 2 m -1> 1 .故选 C. m m13．254 π【解析】由题意作出区域 Ω ，如图中阴影部分所示，2 - 13 3易知 tan ∠MON = 2 =，故 sin ∠MON = ，又 MN = 3，设 △OMN 的外接圆的半径为 R ，1 +2 ⨯ 12则由正弦定理得 MN = 2R ，即 R = 5 ，故所求外接圆的面积为 π⨯ ( 5 )2 = 25π .sin ∠MON 2 2 415．(1, 2 33 ) 【解析】由题意设双曲线 C 的半焦距为 c ，则右焦点 F 2 (c ,0) 到渐近线 y = ± ba x 的距离均为| bc | = b ，圆 F 的半径为 c ，要使圆 F 与双曲线 C 的两渐近线有公共点，需满足 c > b ，即a +b 22 22c 242) .c 2> 4(c 2- a 2) ，解得 < ，又双曲线的离心率 e >1 ，故双曲线 C 的离心率的取值范围为 (1, 3a 2 3 316． 193π【解析】作出图形如图（1）所示，由图可知在四面体 A - CDM 中， MA ⊥ AD ， MA ⊥AC ，AC AD = A ，故 MA ⊥ 平面 ACD ，将图形旋转得到如图（2）所示的三棱锥 M - ACD ，其中△ACD自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的为等边三角形，过△ACD 的中心 O1作平面 ACD 的垂线 l1，过线段 MC 的中点 O2作平面 MAC 的垂线 l2，易得直线 l1与 l2相交，记 l1l 2= O ，则 O 即为三棱锥 M - ACD 外接球的球心.设外接球的半径为 R，连接OC、O C，可得O C=2,OO=1,在Rt△OO C中，OC2= OO 2+ O C 2=19= R2，1131211112故外接球的表面积 S =4πR2=19π，故答案为19π.33图（1）图（2）17．（本小题满分 12 分）（2）由（1）可知，b=2a+ c，2a + c222a 2+ c 2- b2a+ c- ()2a2+ 3c2- 22a c在△ABC 中，由余弦定理，知cos B ==2=≥2ac2ac8ac你永远是最棒的2 6 a c - 2 2 a c = 6 - 2 （当且仅当 2 a 2 = 3c 2 时，等号成立），（8 分）8ac41 - (- ) = + ，（10 分）6 2 6 2 ∴ sin B = 1 - cos 2B ≤ 4 4则 BC 边上的高 h = c ⋅sin B ≤ 4 ⨯+ =6 2+，624∴ BC 边上的高的取值范围为 (0, 6 + 2 ] ．（12 分）18．（本小题满分 12 分）∴ PA ⊥ PB ，（4 分）∵ AD ⊥ 平面 PAB ，∴ AD ⊥ PB ，又 PA AD = A ，∴ PB ⊥ 平面 PAD ， 又 PB ⊂ 平面 PBC ，∴平面 PAD ⊥ 平面 PBC .（6 分）（2）由 PA = PB ，可得 PE ⊥ AB ，故以 E 为原点， EP , EB , EC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图，同（1），设 AD = 1 ，则 P (1,0,0) ，A (0,-1,0) ，D (0,-1,1) ，C (0,0,1) ，则 PD = ( - 1, -1,1) ，AD = (0, 0,1) ，CD = (0, -1, 0) ，（8 分）∴平面 PCD 的一个法向量为 n 2 = (1, 0,1) ，（10 分）∴ cosn , n = n 1 ⋅n 2 =1 = 1 ，12| n 1 || n 2 | 2 ⨯ 2 2π故平面 PAD 与平面 PCD 所成锐二面角的大小为 3 ．（12 分）19．（本小题满分 12 分）【解析】（1）由统计表可得 x 1 =15 ⨯ (74.31 + 41.08 + 38.37 + 30.55 + 26.46) =42.154 ， x 2 =15 ⨯ (41.82 + 39.08 + 23.43 + 18.99 + 18.36) = 28.336 .可知 x 1 > x 2 .（4 分）（2）由定义，知男性中只有肺癌属于高发率癌种，女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种，（6 分）设 X 、 Y 分别为男、女性前 5 类癌种中抽到的高发病率癌种的类数，则X 的可能取值有 0，1，P ( X = 0) = C 42= 3, P ( X = 1) = C 11C 14= 2.C 52 5 C 525故 X 的分布列为（8 分）故 E ( X ) = 0 ⨯ 53 +1⨯ 52 = 52.Y 的可能取值有 0，1，2P (Y = 0) = C 32 = 3 , P (Y = 1) = C 12 C 13 = 3, P (Y = 2) = C 22 = 1 .C 52 10 C 52 5 C 52 10故 Y 的分布列为（10 分）故 E (Y ) = 0 ⨯ 103+ 1 ⨯ 53 + 2 ⨯ 101 = 54.可得 E ( X ) < E (Y ) ，故男性前 5 类癌种中含有高发病率癌种的类数的均值较小.（12 分）20．（本小题满分 12 分）（2）显然过点 F 2 的直线 l 不与 x 轴重合，可设直线 l 的方程为 x = ty +1，且 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ，⎧ 2⎪ x + y 2 = 1，消去 x 2 2+ 2ty -1 = 0 ，联立方程 ⎨ 2得 (t + 2) y⎪⎩x = ty +1根据根与系数的关系，得 y + y2 = - 2t ， y y 2= -1 ，（6 分）1t 2 + 2 1t 2 + 2⎧y = y 1y 2联立直线 m 与直线 PB⎪y 2(x -x 0 )，消去 y，整理得 y1=(x - x 0 ) ，的方程⎨y =ty +1 - x⎪x 2 - x 0 2 0⎩解得 x = ty 1 y 2 + y 1 - x 0 y 1+ x ，将 y y 2 =-1， y = - y 2t 代入， 01t 2+ 2 12t 2+ 2y 2-3t- y+ x( y+2t)t 2+2t 2+2得 x =202+ x0y2-3t+2t⋅ x- y+ x y t(2x-3)-y+ x yt 2+2t 2+2t 2+2=0202+ x =0202+ x，（10 分）y20y2若存在点 P(x0,0)满足直线 PB 与直线 m 的交点恒在一条定直线上，3t(2 x0- 3) -y2+x0y2可令 x0=，则 x =t 2+2+ x0= 2 ，与t无关，2y2故在 x 轴上存在点P，使直线PB与直线 m 的交点恒在一条定直线上，此时点P的坐标为(32,0)，定直线的方程为 x =2.（12分）令2x2+ (b+ 4)x+ (2b-1) = 0 （*），则∆ = (b+ 4) 2- 8(2b- 1) = (b- 4) 2+ 8 > 0 ，∴方程（*）有两个不相等的实根，且x=- (b+ 4) - (b- 4)+ 8， x=- (b+ 4) + (b- 4)+ 8,1424若 x 1> -1，整理得b+ (b- 4) 2+ 8 < 0 ，又b≥ 1，∴b+ (b- 4) 2+ 8 < 0 不成立，故x1≤ -1；你永远是最棒的若 x> -1，解不等式- (b+ 4) + (b- 4)2+ 8> -1，得b< 3 ，24当1 ≤b< 3 时，函数g(x)在[-1,x2]上单调递减，在 (x2 ,+∞) 上单调递增，（9分）∵g(-1)=1- b ≤0， g (1)=1+ b -ln 3≥2-ln 3>0，∴当 b =1时，函数g(x)有2个零点，当1 <b< 3 时，函数g(x)有1个零点，（10分）- (b+ 4)若 x2≤ -1，解不等式+ (b- 4)2+ 8≤ -1，得 b ≥3，此时g'(x)≥0，故函数4上单调递增，∴ g ( x )≥ g (-1)= 1 -b，∵1 -b< 0 ，∴函数g ( x) 有1个零点.综上，若 b ≥1，函数g(x)至少有1个零点．（12分）（2）（法一）由（1）知曲线C是以(3,1) 为圆心，2为半径的圆，当曲线 C 上至少有3个点到直线 l 的距离为1时，此时圆心到直线 l 的距离不大于1，（5分）设直线 l 的直角坐标方程为y=kx，即kx-y=0，其中 k =tanα，∴圆心 (|3k -1 |≤ 1，解得 0 ≤k≤，即 0 ≤ tan α ≤到直线l的距离为dk +1∵α ∈ [0, π) ，∴α ∈[0,π] ．（10分）3g( x) 在[-1,+∞)3 ，（8分）你永远是最棒的（法二）由题意及（1）知曲线 C 是以 (3,1) 为圆心，2 为半径的圆，直线 l 与圆 C 相交于原点，当曲线 C 上至少有 3 个点到直线 l 的距离为 1 时，直线 l 与圆 C 相交的弦长不小于 2 3 ，将 θ = α 代入曲线 C 的极坐标方程 ρ = 4 sin(θ + π3) ，得 4 sin(α + π3 ) ≥ 2 3 ，即 sin(α + π3 ) ≥ 23 ，（8 分）又 α ∈ [0, π) ，∴α + π3 ∈[ π3 , 43π) ，故α + π3 ∈[ π3 , 23π] ，即α 的取值范围是[0, π3 ] ．（10 分）∴ | 3x + 2a | +ax + | x -1|≤ 0 ，即为 3x + 2a + ax - x +1 ≤ 0 ，化简得 (2 + a )x + 2a +1 ≤ 0 ，（8 分）∵ x ∈ (- 2a,1) 时， f (x )+ | x -1 |≤ 0 恒成立，3⎧ 2a⎪(2 + a )(- ) + 2a +1 ≤ 03⎪ 3∴ ⎨(2 + a ) ⨯1+ 2a +1 ≤ 0 ，解得 - < a ≤ -1 ．2⎪ 2a⎪< 1 ⎩- 3故实数 a 的取值范围为 ( - 32 , -1] .（10 分）自信是迈向成功的第一步。

2019届2019年5月高三第三次全国大联考（新课标Ⅱ卷）数学（理）学试题一、单选题1．已知集合{|20}A x x =-≤，2{|log 2}B x x =<，则A B ⋂= A ．]2,0( B ．(,2]-∞C ．)2,0(D ．)4,(-∞【答案】A【解析】解一元一次不等式以及对数不等式得到集合A 和B ，结合交集的定义计算即可. 【详解】由题可得集合(,2]A =-∞，(0,4)B =，所以]2,0(=B A ，故选A ． 【点睛】本题主要考查了不等式的解法以及交集的运算，需注意对数函数的定义域，属于基础题. 2．已知i 为虚数单位，若复数z 在复平面内对应的点的坐标为)1,2(-，则复数(13i)z -的虚部为 A ．7 B ．7i -C ．1-D ．7-【答案】D【解析】根据复数的几何意义得到2z i =-，计算出(13i)z -结合虚部的概念即可得结果. 【详解】由题可得复数2z i =-，所以(13i)(2i)(13i)17i z -=--=--， 所以复数(13i)z -的虚部为7-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，复数乘法的运算以及复数的分类，属于基础题. 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12B ．3C ．π5D ．3【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是底面半径为2的圆锥的14，由椎体体积公式即可得结果. 【详解】由三视图可知该几何体是底面半径为214，故该几何体的体积14V =⨯21233π⨯=，故选B ． 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据是解题的关键，属于中档题.4．已知324ππα<<，若sin()4πα+=，则sin(2)4πα-=A ．B ．C ．102 D 【答案】C【解析】将sin()45πα+=展开，两边同时平方可得sin2α，根据α的范围cos2α，最后利用两角差的正弦公式即可得结果. 【详解】因为sin()4πα+=，所以sin cos αα+=，两边同时平方可得212sin cos 5αα+=，所以3sin 25α=-，因为324ππα<<，所以322αππ<<，所以4cos 25α=-，所以sin 24πα⎛⎫-=⎪⎝⎭2cos 2)210αα-=，故选C ． 【点睛】本题主要考查了两角和与差公式、三角恒等式在求值中的应用，首先得到sin2α的值是解题的关键，属于中档题.5．已知x ，y 满足约束条件1010240x y x y x y ++≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，若使z ax y =-取得最小值的最优解有无穷多个，则实数=a A ．1- B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域，z ax y =-可化为y ax z =-，由z ax y =-取得最小值的最优解有无穷多个可得y ax z =-的斜率与直线AB 的斜率相等，即可得a 的值. 【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，z ax y =-可化为y ax z =-，要使z ax y =-取得最小值，只需直线y ax z =-在y 轴上的截距最大，又z ax y =-取得最小值的最优解有无穷多个，所以直线y ax z =-的斜率与直线AB 的斜率相等，因为直线AB 的斜率为12，所以21=a ，故选B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z 的几何意义是解决本题的关键，属于中档题.6．在边长为2的正方形OABC 中，点D 为线段BC 的中点，点M 在线段OD 上，则MA MB ⋅的最大值为A1 BC ．4D ．5【答案】C【解析】设线段AB 的中点为N ，连接MN ，根据221[()()]4MA MB MA MB MA MB ⋅=+--=2221[(2)]14MN BA MN -=-即可得结果. 【详解】设线段AB 的中点为N ， 连接MN ，则221[()()]4MA MB MA MB MA MB ⋅=+--=2221[(2)]14MN BA MN -=-，易得22max ()5MN ON ==，所以MA MB ⋅的最大值为4，故选C ． 【点睛】本题主要考查了向量数量积最值的求法，得到21MA MB MN ⋅=-是解题的关键，属于中档题.7．执行如图所示的程序框图，则输出的T 的值为A ．12020B ．12019C ．20182019D ．20192020【答案】B【解析】模拟程序的运行过程，寻找其规律第2018次循环：20182019N =，12019T =，2019i =，此时2019i <不成立，结束循环，可得结果.【详解】初始值：1T =，1i =，第1次循环：12N =，12T =，i 2=； 第2次循环：23N =，13T =，3i =；…； 第2017次循环：20172018N =，12018T =，2018i =；第2018次循环：20182019N =，12019T =，2019i =，此时2019i <不成立，结束循环，输出12019T =，故选B ．【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法，属于基础题.8．已知点P 位于第一象限，双曲线22:14x C y -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，记直线1PA ，2PA 的斜率分别为1k ，2k ，若点P 在双曲线C 上，则1211k k +的取值范围为 A ．[1,)+∞ B ．[1,4]C ．[4,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】设),(00y x P 且2214x y =-，根据两点间斜率计算公式得1214k k =，结合基本不等式得121k k +>，根据12121211k k k k k k ++=即可得结果.【详解】由题可得1(2,0)A -，2(2,0)A ，设),(00y x P ，因为点P 在双曲线C 上，所以22014x y =-，且02x >，00y >，则01002y k x =>+，2k =0002y x >-， 所以01202y k k x =⋅+2002001244y y x x ==--，所以1221k k +≥==，当且仅当1212k k ==时取等号，因为12k k ≠，所以121k k +>，所以12121212114()4k k k k k k k k ++==+>， 故1211k k +的取值范围为(4,)+∞，故选D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线上点的特征，整体代换思想的应用，基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.9．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++--=，(2)(2)0f x f x +--=．当(0,2]x ∈时，()3x f x =，则(2018)(2019)f f -+=A ．6-B ．3-C ．3D ．12【答案】A【解析】由(1)(1)0f x f x ++--=得()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，由(2)(2)0f x f x +--=得函数()f x 的周期为8，结合(0,2]x ∈时，()3x f x =即可得结果. 【详解】令1t x =+，由(1)(1)0f x f x ++--=可得()()f t f t =--， 所以函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =． 由(2)(2)0f x f x +--=可得)2()2(x f x f -=+， 所以(4)f x +=()()f x f x -=-，所以(8)()f x f x +=，故函数()f x 的周期为8，所以(2018)(25282)f f -=-⨯-=(2)(2)9f f -=-=-，(2019)(25283)(3)(1)3f f f f =⨯+===，所以(2018)(2019)6f f -+=-，故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性在求值中的应用，得到周期性与奇偶性是解题的关键，属于中档题.10．已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<满足下列两个条件：①函数()12y f x π=-是奇函数；②12max |()()|2f x f x -=，且12min (||)3x x π-=．若函数()f x 在(,]4t π-上存在最小值，则实数t 的最小值为 A ．4π B ．3πC ．512πD ．712π【答案】C【解析】由②可得1A =，周期23T π=，从而3ω=，根据函数()12y f x π=-是奇函数结合ϕ的范围可得4πϕ=，进而()sin(3)4f x x π=+，由x 的范围求出34x π+的范围，根据()f x 存在最小值列出不等式3342t ππ+≥，解出即可.【详解】由12max |()()|2f x f x -=可得1A =， 由12min (||)3x x π-=可得23T π=（其中T 为函数()f x 的最小正周期）， 所以223T ππω==，解得3ω=，所以()sin(3)f x x ϕ=+，所以()12y f x π=-=sin(3)4x ϕπ+-，因为函数()12y f x π=-是奇函数，所以()4k k ϕπ-=π∈Z ，即()4k k ϕπ=π+∈Z ， 因为02πϕ<<，所以4πϕ=，所以()sin(3)4f x x π=+，当4x t π-<≤时，33244x t πππ-<+≤+，因为函数()f x 在(,]4t π-上存在最小值，所以3342t ππ+≥，即512t π≥，故实数t 的最小值为512π．故选C ．【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求法，通过三角函数的图象研究其性质，熟练掌握图象是解题的关键，属于中档题.11．如图，在矩形ABCD 中，22AD AB ==，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE ，CE 折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABC DE 的外接球的表面积为A ．332πB ．8πC ．4πD ．π34【答案】C【解析】设BE ，EC ，BC 的中点分别为M ，N ，O ，通过平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，易得⊥OM 平面ABE ，⊥ON 平面DEC ，从而1OA OB OC OD OE =====，即外接球的球心为O ，可得半径，进而可得表面积.【详解】由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图，设BE ，EC ，BC 的中点分别为M ，N ，O ，连接AM ，OM ，AO ，DN ，NO ，DO ，OE ，则OM BE ⊥，ON CE ⊥． 因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，所以⊥OM 平面ABE ，⊥ON 平面DEC ，易得1OA OB OC OD OE =====， 则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径1=R ，所以几何体ABCDE 的外接球的表面积为ππ442==R S ．故选C ．【点睛】本题主要考查了求几何体外接球的表面积，找到球心的位置是解题的关键，属于中档题.12．已知函数2(2),1()(1),1x x f x f x x ⎧+<-=⎨-≥-⎩，若函数()()log ||(0a g x f x x a =->且1)a ≠有6个零点，则a 的取值范围为 A ．(3,4] B ．[3,4)C ．(4,5]D ．[4,5)【答案】A【解析】令||log )(x x h a =，由题意可得函数()f x 的图象与函数()h x 的图象有6个交点，作出函数图象，易知1a >，当0x <时，由3个交点，当0x >时，根据临界位置列出不等式组(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，解出即可.【详解】令||log )(x x h a =，因为函数()()log ||(0a g x f x x a =->且1)a ≠有6个零点， 所以函数()f x 的图象与函数()h x 的图象有6个交点，作出函数()f x 与函数()h x 的大致图象，如下图所示:易知1a >，显然当0x <时，函数()f x 与函数()h x 的图象有3个交点，所以当0x >时，函数()f x 与函数()h x 的图象有3个交点，所以(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，即log 31log 41a a<⎧⎨≥⎩，解得43≤<a ，故a 的取值范围为(3,4]，故选A ．【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数，转化为函数图象交点的个数，作出函数的图象是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．已知91(2)x ax -的展开式中x 项的系数为634，则实数a =________________． 【答案】4.【解析】根据二项式定理写出通项99291C 2(1)r r r rr rT x a--+⨯⨯-=，令921r -=,列方程求解即可. 【详解】91(2)x ax -的展开式的通项为9992919C 2(1)1C (2)()rr r r rr r r rT x x ax a ---+⨯⨯-=-=，921r -=，解出r ，结合常数项的值即可得a 的值.令921r -=，可得4r =，所以494494C 2(1)634a -⨯⨯-=，解得4a =，故答案为4. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，写出通项是解题的关键，属于中档题.14．在V ABC 中，已知3AB =，2=BC ，若1cos()2C A -=，则sin B =________________．【答案】1435. 【解析】在线段AB 上取点D ，使得AD CD =，设AD x =，则3BD x =-，易得1cos 2BCD ∠=，由余弦定理可得54x =，在BCD △中，由正弦定理即可得结果.【详解】在线段AB 上取点D ，使得AD CD =，设AD x =，则3BD x =-， 因为cos()C A -=12，即1cos 2BCD ∠=，所以在BCD △中，由余弦定理可得221(3)442x x x -=+-⨯，解得54x =，在BCD △中，由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠，因为54CD =，734BD x =-=，sin BCD ∠=，所以sin B =故答案为1435 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，通过辅助线将1cos()2C A -=转化是解题的关键，属于中档题.15．已知曲线ln(23)()3x f x x-=+在点(2,(2))f 处的切线为l ，抛物线2:)0(C ax a y ≠=的焦点为F ，若切线l 经过点F ，且与抛物线C 交于M ，N 两点，则||MN =________________． 【答案】8.【解析】对函数进行求导求出曲线的切线方程为1y x =+，进而可得焦点坐标，所以抛物线C 的方程为24x y =，将抛物线与直线方程联立结合韦达定理可得12||2MN y y =++的值.【详解】 由题可得22(23)ln(23)()(23)x x x f x x x ---'=-，所以(2)1f '=，又(2)3f =，所以切线l 的方程为32y x -=-，即1y x =+，则(0,1)F ．将2(0)y ax a =≠化为标准方程即21x y a =，所以114a =，解得14a =， 所以抛物线C 的方程为24x y =．由214y x x y =+⎧⎨=⎩，消去x 可得2610y y -+=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则126y y +=， 所以12||2628MN y y =++=+=，故答案为8. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，直线与抛物线相交时弦长问题，属于中档题.16．已知P 在圆22:()(4)1C x a y a -+-+=上，点P 关于y 轴的对称点为A ，点P 关于y x =的对称点为B ，则||AB 的最小值为________________． 【答案】33-=-.【解析】设出P 的坐标为(,)x y ，根据对称性得,A B 坐标，根据两点间距离公式可得||AB OP =，判断点O 在圆C 外，由||||1OP OC r ≥-≥即可得结果.【详解】因为圆C 的方程为22()(4)1x a y a -+-+=，所以(,4)C a a -，半径1=r ． 设点P 的坐标为(,)x y ，则由题可得(,)A x y -，(,)B y x ，所以||AB===|OP（O为坐标原点），又||OC==≥2a=时取等号），所以点O在圆C外，所以||||1OP OC r≥-≥（当且仅当2a=，O，P，C三点共线时取等号），所以||4AB≥-||AB的最小值为33-=-，故答案为33-=-.【点睛】本题主要考查了对称关系以及两点间的距离，圆上一动点到圆外一点距离的最值问题，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a的前n项和为n S，11a=，11(2)n na S n-=+≥．（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）设221logn nb a+=，求数列11{}nn nab b++的前n项和nT．【答案】（Ⅰ）12nna-=；（Ⅱ）34244nnnTn+=-+.【解析】（Ⅰ）由已知等式可得11n na S+=+，两式相减可得12(2)n na a n+=≥，再验证1n=时的情形即可得结果；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得2nb n=，利用裂项相消法即可得结果.【详解】（Ⅰ）由11(2)n na S n-=+≥可得11n na S+=+，上述两式相减可得1n n na a a+-=，即12(2)n na a n+=≥，因为11a=，所以2112a S=+=，所以21221aa==，所以*12()nna a n N+=∈，所以数列{}n a是首项为1，公比为2的等比数列，所以12nna-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得12nna-=，221log2n nb a n+==，所以111111()2(22)41n nb b n n n n+==-++，所以12111111134()21241223144n n n n T n n n -+=+⨯-+-++-=--++． 【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11+=n n a n ，错位相减法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.18．某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加．根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示：（Ⅰ）从这5年中随机抽取2年，求至少有1年维修费用高于2万元的概率； （Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅲ）由于成本因素，若年维修费用高于6万元，则该种工程车需强制报废，根据（Ⅱ）中求得的线性回归方程，预测该种工程车最多可以使用多少年？参考公式：1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx ====---==--∑∑∑∑，x b y aˆˆ-=． 【答案】（Ⅰ）CF BC ⊥；（Ⅱ）ˆ0.430.71y x =+；（Ⅲ）12年.【解析】（Ⅰ）根据古典概型概率计算公式可得11232225C C C C P +=；（Ⅱ）将表中数据与公式相结合可得ˆ0.430.71y x =+；（Ⅲ）令0.430.716x +≤，可得结果.【详解】（Ⅰ）由题可得第4年与第5年的维修费用高于2万元，则至少有1年维修费用高于2万元的概率11232225C C C 7C 10P +==． （Ⅱ）由题可得1(12345)35x =⨯++++=，1(1.1 1.62 2.5 2.8)25y =⨯++++=，511 1.12 1.6324 2.55 2.834.3i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，521149162555ii x==++++=∑，所以5152221534.3532ˆ0.4355535i ii ii x y x ybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ20.4330.71a b y x =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.430.71yx =+． （Ⅲ）令0.430.716x +≤，可得131243x ≤，又*N x ∈，所以12≤x ， 故该种工程车最多可以使用12年． 【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算公式的应用以及线性回归方程的求法及应用，属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，AD AB ⊥， 2PA AD CD AB ===，F 为CD 的中点，点E 在线段PC 上，且(01)PEk k PC=<<．（Ⅰ）若12k =，求证：平面BEF ⊥平面CDP ； （Ⅱ）若二面角E BD P --的余弦值为}{n a ，求k 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）31=k . 【解析】（Ⅰ）通过证明四边形ABFD 是平行四边形可得BF CD ⊥，通过CD ⊥平面PAD 可得PD CD ⊥即CD EF ⊥，再得线面垂直最后得面面垂直；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1AB =，分别求出面PBD 的法向量(2,1,1)m =，平面BDE 的一个法向量为31(2,1,)1k n k -=-，根据余弦值为}{n a 即可得结果. 【详解】（Ⅰ）因为AD AB ⊥，AB CD ∥，所以AD CD ⊥． 因为2CD AB =，F 为CD 的中点，所以AB DF =， 又AB CD ∥，所以四边形ABFD 是平行四边形，所以BFAD ，所以BF CD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为A PA AD = ，所以CD ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以PD CD ⊥， 因为12PE PC =，所以E 为PC 的中点， 又F 为CD 的中点，所以EF PD ∥，所以CD EF ⊥， 又BF EF F =I ，所以CD ⊥平面BEF ， 因为CD ⊂平面CDP ，所以平面BEF⊥平面CDP ．（Ⅱ）由题可知AB ，AD ，AP 互相垂直，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1AB =，则2PA AD CD ===，则(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，所以(2,2,2)PC =-， 因为(01)PEk k PC=<<，所以(2,2,2)PE k PC k k k ==-，所以(2,2,22)E k k k -， 设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z =，因为(1,0,2)PB =-，(0,2,2)PD =-，所以20220m PB x z m PD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，令2x =，可得1y z ==，所以平面PBD 的一个法向量为(2,1,1)m =． 设平面BDE 的法向量为(,,)n a b c =，因为(1,2,0)BD =-，(21,2,22)BE k k k =--，所以20(21)2(22)0n BD a b n BE k a kb k c ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++-=⎩， 令2a =，可得1b =，311k c k -=-，所以平面BDE 的一个法向量为31(2,1,)1k n k -=-．因为二面角E BD P --的余弦值为}{n a，所以31|41||cos ,|6k m n -++〈〉== 化简可得23830k k +-=，解得3k =-或31=k ， 又01k <<，所以31=k ． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定，已知二面角的余弦值求参数的值，解题的关键是求出面的法向量，属于中档题.20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，离心率为12，过点2F 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，当直线l x ⊥轴时，1F MN △的面积为3． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线'l 的方程为4x =，直线AM 交直线'l 于点P ，直线AN 交直线'l 于点Q ，线段PQ 的中点为H ，试判定2F H MN ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（Ⅰ）13422=+y x ；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）根据离心率可得12c a =，求出点M 纵坐标，得1F MN △的面积为212232b c a⨯⨯⨯=，解出,,a b c 即可得椭圆方程；（Ⅱ）当直线l x ⊥轴时，易知20F H MN ⋅=，当斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(4,)P P y ，(4,)Q Q y ，利用三点共线可得1122P y y x =-，2222Q y y x =-，联立直线与椭圆方程结合韦达定理可得32P Qy y k+=-，得H 点坐标，代入即可得结论.【详解】（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(,0)F c ， 因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，即2a c =，又222a b c =+，所以b =，当直线l x ⊥轴时，假设点0(,)M c y位于第一象限，则20y ba==，因为1F MN △的面积为3，所以212232b c a ⨯⨯⨯=，即23232c c c ⨯=，解得1c =，所以2a =，b =C 的标准方程为13422=+y x ．（Ⅱ）当直线l x ⊥轴时，根据对称性易知20F H MN ⋅=． 由（Ⅰ）可得(2,0)A ，)0,1(2F ，当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(4,)P P y ，(4,)Q Q y ，则11=(2,)AM x y -，(2,)P AP y =， 因为M ，A ，P 三点共线，所以AM AP ，所以112(2)0P y y x --=，即1122P y y x =-．同理可得2222Q y y x =-，因为线段PQ 的中点为H ，所以(4,)2P Qy y H +． 将(1)=-y k x 代入13422=+yx ，消去y 可得01248)43(2222=-+-+k x k x k ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以121221122112121212(2)(2)(1)(2)(1)(2)222(2)(2)2()4P Qy y y y y x y x k x x k x x x x x x x x x x +-+---+--=+===-----++2222121222121222824244[23()4]33434412162()443434k k k x x x x k k k k k x x x x kk k --+-++++=⋅=---++-+++，所以3(4,)H k-，故23(3,)F H k =-， 又21212121(,)(,)MN x x y y x x kx kx =--=--， 所以2212133()()0F H MN x x kx kx k⋅=---=．综上所述，20F H MN ⋅=，故2F H MN ⋅是定值，该定值为0． 【点睛】本题主要考查了通过,,a b c 求椭圆的方程，直线与椭圆相交时交点的坐标，计算量较大，属于难题.21．已知函数()(32)e 2x f x x ax =---，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）若函数()f x 在]1,2[-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若对于任意的[0,)x ∈+∞，不等式()1f x ax ≤+恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）(,e][,)e-∞-+∞； （Ⅱ）),21[+∞.【解析】（Ⅰ）函数单调等价于()0f x '≤恒成立或()0f x '≥恒成立，利用分离参数的思想，令()(12)e xg x x =-，对()g x 进行求导，求出其最值即可；（Ⅱ）原题等价于(32)e 230x x ax ---≤，令()(32)e 23x t x x ax =---，对其二次求导求出最值即可.【详解】（Ⅰ）由题可得()2e (32)e (12)e x x xf x x a x a '=-+--=--，因为函数()f x 在]1,2[-上是单调函数，所以当[2,1]x ∈-时，()0f x '≤恒成立或()0f x '≥恒成立，即当[2,1]x ∈-时，(12)e 0x x a --≤恒成立或(12)e 0xx a --≥恒成立，所以当[2,1]x ∈-时，max [(12)e ]x a x ≥-或min [(12)e ]xa x ≤-．令()(12)e xg x x =-，21x -≤≤，则()(12)e x g x x '=--，令()0g x '>，可得122x -≤<-；令()0g x '<，可得112x -<≤， 所以函数()g x 在1[2,)2--上单调递增，在1[,1]2-上单调递减，所以max 1()()2g x g =-=． 又25(2)eg -=，(1)e g =-，所以(2)(1)g g ->，所以min ()(1)e g x g ==-，所以a ≥a e ≤-，故实数a 的取值范围为(,e][,)e-∞-+∞． （Ⅱ）()1f x ax ≤+可化为(32)e 230x x ax ---≤，令()(32)e 23xt x x ax =---，0≥x ，因为对于任意的[0,)x ∈+∞，不等式()1f x ax ≤+恒成立，所以max ()0t x ≤， 易得()(12)e 2xt x x a '=--，令()(12)e 2xh x x a =--，0≥x ，则()(12)e 0xh x x '=--<， 所以函数()t x '在[0,)+∞上单调递减，(0)12t a '=-， ①当21≥a 时，021≤-a ，所以()(0)0t'x t'≤≤，所以函数)(x t 在[0,)+∞上单调递减，所以()(0)330t x t ≤=-=，即max ()0t x ≤，符合题意； ②当12a <时，120a ->，所以存在00x >，使得0()0t'x =， 当),0[0x x ∈时，()0t x '>，所以函数)(x t 在0[0,)x 上单调递增， 因为(0)0t =，所以当),0(0x x ∈时，()0t x >，不符合题意． 综上所述，21≥a ，故实数a 的取值范围为),21[+∞． 【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，已知单调性求参数，利用导数证明不等式，综合性较强，有一定难度. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为315(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin4cos 0ρθθ-=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【答案】（Ⅰ）4340x y --=，24y x =.（Ⅱ）254. 【解析】（Ⅰ）消去参数t 可得直线l 的普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入极坐标方程可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入抛物线方程，根据参数的几何意义将12|||t t |AB =-和韦达定理相结合即可得结果. 【详解】（Ⅰ）将315(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)消去参数t 可得4(1)3x y -=，即4340x y --=， 故直线l 的普通方程为4340x y --=． 由2sin4cos 0ρθθ-=可得0cos 4sin 22=-θρθρ，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，可得042=-x y ，即24y x =， 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（Ⅱ）将31545x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =，可得2415250t t --=，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12154t t +=，12254t t =-，所以1225||||4AB t t =-===， 故线段AB 的长为254． 【点睛】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x =+．（Ⅰ）求不等式()2|1|f x x ≤+-的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()|2|1f x x a ++≤有解，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]2-∞； （Ⅱ）13[,]22.【解析】（Ⅰ）分2x -≤，21x -<<，1x ≥三段去绝对值解不等式，再取并集即可；（Ⅱ）不等式()|2|1f x x a ++≤有解⇔min (|2||2|)1x x a +++≤，再根据绝对值三角不等式求得最小值代入可解得． 【详解】（Ⅰ）()2|1|f x x ≤+-可化为|2||1|2x x +--≤，当2x -≤时，|2||1|2x x +--≤可化为212x x --+-≤，解得2x -≤； 当21x -<<时，|2||1|2x x +--≤可化为212x x ++-≤，解得122x -<≤； 当1x ≥时，|2||1|2x x +--≤可化为212x x +-+≤，无解． 综上，12x ≤，故不等式()2|1|f x x ≤+-的解集为1(,]2-∞．（Ⅱ）()|2|1f x x a ++≤即|2||2|1x x a +++≤，因为关于x 的不等式()|2|1f x x a ++≤有解，所以min (|2||2|)1x x a +++≤． 因为|2||2||(2)(2)||22|x x a x x a a +++≥+-+=-， 所以|22|1a -≤，即1221a -≤-≤，解得1322a ≤≤． 故实数a 的取值范围为13[,]22． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。