1平行线的概念

平行线的基本模型（一）引言概述：平行线是几何学中重要概念之一。

它是指永远不会相交的两条直线，无论它们延长到哪里。

在平行线的研究中，我们需要考虑其基本模型。

本文将介绍平行线的基本模型，包括定义、性质和应用。

正文内容：一、平行线的定义1. 平行线的基本定义：两条直线在同一平面内，且它们的斜率相等，那么这两条直线是平行线。

2. 平行线的符号表示：可用符号“||”表示平行线关系，例如AB || CD。

二、平行线的性质1. 平行线的传递性：若AB || CD，且CD || EF，则必有AB || EF。

2. 平行线的对应角性质：若两条平行线与第三条直线相交，则对应角相等。

3. 平行线的同位角性质：若两条平行线与第三条直线相交，则同位角之和为180度。

4. 平行线的内错角性质：若两条平行线被第三条直线截断，则内错角相等。

5. 平行线的外错角性质：若两条平行线被第三条直线截断，则外错角相等。

三、平行线的应用1. 三角形中的平行线应用：平行线可用于解决三角形中的各种问题，如证明三角形相似、求解三角形面积等。

2. 平行线与平行四边形关系：平行线与平行四边形的性质密切相关，通过平行线的性质可以证明平行四边形各边之间的关系。

3. 平行线的等分线应用：平行线可用于构建等分线，从而分割线段或角度为等份。

4. 平行线与横截性质：平行线在横截线上形成的等角可用于解决各种几何问题。

四、应用实例1. 实例1：证明两条平行线与第三条直线所形成的同位角之和为180度。

2. 实例2：利用平行线证明两个三角形相似。

3. 实例3：证明平行四边形的对角线相等。

4. 实例4：应用平行线构建线段的等分线。

5. 实例5：利用平行线证明两条直线平分一对内角。

总结：平行线的基本模型涉及了定义、性质和应用。

通过研究平行线的基本模型，我们可以更好地理解和运用平行线的概念，解决各种几何问题。

在进一步学习中，我们将探讨更多与平行线相关的高级概念和定理。

5.2.1 平行线【学习目标】1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系；2．理解并掌握平行公理及其推论的内容；3．会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线；4．了解平行线在实际生活中的应用，能举例加以说明．重点：平行线的概念与平行公理；难点：对平行公理的理解．【自主学习】问题1 同一平面内两条直线的位置关系平面内任意两条直线的位置关系除平行外，还有哪些呢？平行线：在同一平面内，_______________的两条直线叫做平行线。

直线a与b平行，记作“a∥b”。

在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：_______或_______。

**对平行线概念的理解：两个关键：一是“在同一个平面内”（举例说明）；二是“不相交”．一个前提：对两条直线而言．问题2 平行线的画法平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．归纳：（1）平行公理：经过_____一点，有且只有一条直线与这条直线_____。

（2）两条直线都与第三条直线平行（平行线是在同一平面内定义的），那么这两条直线_______. 即b∥a，c∥a,那么_______。

问题3 在同一平面内，直线a与b满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上。

（1）a与b没有共同点，则a与b_______。

（2）a与b有且只有一个共同点，则a与b_______。

在同一平面内，若两条直线相交，则公共点的个数是____；若两条直线平行，则公共点的个数是____。

【合作学习】1、若直线a∥b，b∥c,则a____c,理由是：_______________。

直线l1是l2的平行线，记作：_______，读作：_______________。

平行线与垂直线的判定在几何学中，平行线和垂直线是基本的概念。

它们在解决几何问题时具有重要的作用。

在本文中，我们将探讨如何判断两条线是否平行或垂直，并介绍几种常用的方法。

一、平行线的判定1. 通过斜率判断我们知道，直线的斜率是通过直线上两个点的纵坐标差除以横坐标差得到的。

如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行线。

设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，如果k1=k2，则l1和l2为平行线。

2. 通过角度判断另一种判定平行线的方法是通过角度判断。

如果两条直线的倾斜角度相等，那么它们就是平行线。

可以通过绘制两条直线并测量它们的角度来判断是否平行。

3. 通过向量判断平行线还可以通过向量判断。

如果两条直线的方向向量平行，则它们是平行线。

设直线l1的方向向量为v1，直线l2的方向向量为v2，如果v1与v2平行，则l1和l2为平行线。

二、垂直线的判定1. 通过斜率判断垂直线的一个特点是，两条直线的斜率的乘积等于-1。

设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，如果k1*k2=-1，则l1和l2为垂直线。

2. 通过角度判断另一种判定垂直线的方法是，如果两条直线的倾斜角度之和等于90度或π/2弧度，那么它们是垂直线。

可以通过绘制两条直线并测量它们的角度来判断是否垂直。

3. 通过向量判断垂直线也可以通过向量判断。

如果两条直线的方向向量垂直，则它们是垂直线。

设直线l1的方向向量为v1，直线l2的方向向量为v2，如果v1与v2垂直，则l1和l2为垂直线。

总结判定平行线和垂直线的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法。

通过斜率、角度或向量判断都是常用的方法，而且它们互相印证，可以增加结果的准确性。

在几何学问题中，正确判断平行线和垂直线的关系对于解题至关重要，希望本文的讨论能为读者提供一些帮助。

注意：以上所介绍的方法仅适用于直线。

对于曲线或其他特殊情况，判定平行线和垂直线的方法可能略有不同。

在实际问题中，应根据实际情况选择合适的方法进行判断。

平行四边形和梯形第 1 节平行与垂直【知识梳理】1.平行与垂直（1）平行①.平行的含义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

如图：［提示：平行是两条直线的位置关系，所以提到平行时，不能孤立地说某条直线是平行线，至少要有两条直线才成立。

]②.表示方法：平行可以用符号“∥”表示。

a与b相互平行，记作a∥b，读作a平行与b。

(2)垂直①.垂直的含义：两条直线相交成直角，就是说这两条直线相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

如图：（互相垂直的两条直线相交成直角，与怎样摆放无关)［提示：垂直是两条直线相交的特殊情况，两条直线垂直是相互的，所以不能独立地说哪条直线是垂线。

］②.表示方法：垂直可以用符号“⊥”表示。

如图中a与b相互垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。

（3）归纳总结：①.同一个平面内的两条直线的位置关系不相交-—平行相交—-垂直或不垂直②。

平行:在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

③。

垂直：两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足. （4）拓展提高：①.阐释“同一平面内”：“同一平面内”是确定两条直线是不是平行关系的前提，如果不在同一个平面内，那么有些直线虽然不相交，但也不能称为互相平行.图1 图2 图1：a与b在同一个平面内,而且不相交，就说a与b相互平行。

图2：a与b不在同一个平面内，所以不能称a与b相互平行。

②。

把两根小棒都摆成和第三根小棒平行，这两根小棒会有什么关系？在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

即如果a∥c,b∥c，则a∥b。

③。

把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直,这两根小棒会有什么关系？在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。

即如果a⊥c，b⊥c，则a∥b。

2.垂线的画法及应用（1)过直线上一点画已知直线的垂线①.方法一:用三角尺画垂线②.用量角器画垂线（2)过直线外一点画已知直线的垂线同过直线上一点画已知直线的垂线的方法相同。

5.2.1 平行线教学设计课题 5.2.1 平行线单元第五单元学科初中数学年级七下学习目标1.了解平行线的概念，能说出平行公理以及平行公理的推论;2.能叙述平行线的概念，通过观察实际模型，直观感知并记住基本事实(即平行公理);3.会用符号语言表示平行公理及其推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；4.通过观察、操作、思考，培养学生学习数学的兴趣.重点了解平行线的概念，能叙述平行公理以及平行公理的推论;难点会用符号语言表示平行公理及其推论；会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课【创设情境】在同一平面内，两条直线有怎样的位置关系呢？预设答案：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和不相交两种.追问：你能举出一些生活中两直线不相交的例子吗？教师通过层层提问，引出本节课将要学习的内容. 学生思考并回答学生举例通过现实生活背景，让学生初步感受相交与不相交直线的特殊位置关系，为引出新课的学习埋下伏笔.讲授新课【合作探究】请同学们自主阅读教材11页思考，观看动画，回答问题.阅读思考环节，并观看动画，回答问题学生通过观察、思考，直观了解两直线平行的位置关系-平行，并旋转过程中，直线a与直线b有没有不相交的位置呢？答：存在这时，我们就说直线a与直线b平行.记作：a//b归纳:在同一平面内，两条直线有相交和平行两种位置关系.教师通过动画演示，让学生感受同一平面内两条直线的位置关系，不重合的两条直线位置关系：相交和平行.【总结归纳】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行线的定义包含三层含义:①“在同一平面内”，是前提条件.②“不相交”，就是没有交点.③平行线指的是“两条直线”，而不是两条射线或线段.【小试牛刀】判断下列说法是否正确：(1)两条不相交的直线叫平行线. ×(2)没有公共点的两条直线是平行线. ×(3)在同一平面内，不相交的两条线段是平行线. ×解析：(1)、(2)忽略了“在同一平面内”这个前提.(3)没有弄清两条线段的平行是指它们所在的直线平行.教师设置抢答环节，学生主动回答问题，巩固对平行线概念的理解.【合作探究】转动木条a的过程中，有几个位置使得直线a与直线b平行？答：有且只有一个通过教师引导，归纳平行线的概念学生思考并抢答问题学生观看动画，并思考举手回答与学生一起归纳总结得到两直线位置关系只有平行和相交.深入理解平行线概念，培养学生抽象概括能力.巩固平行线的概念.引导学生探究同一平面内两直线的平行的情形只有一种.教师演示动画，学生观察、思考，作答.如何过直线外一点，画已知直线的平行线呢？能画几条？教师提出问题，引出过直线外一点，画已知直线平行线的画法.如图，过点B画直线a的平行线，能画出几条？答：有且只有一条让学生分组动手操作，尝试画出过点B的平行线，教师巡视检查，各小组完成情况，对于有困难的学生进行提示，最终讲师在黑板演示画图过程，并总结归纳画平行线的步骤.总结过已知直线外一点画直线的平行线的步骤：①“一重合”：三角板的一边与已知直线重合；②“二靠紧”：把直尺靠紧三角板的另一边；③“三移动”：沿直尺移动三角板，使三角板与直线重合的边过已知点；④“四画线”：沿三角板过已知点的边画直线如图，再过点C画直线a的平行线，能画出几条？答：有且只有一条平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.让学生动手操作画过点C的平行线，通过画过点C 与过点B的平行线，让学生感受平行公理，最后教师给出平行公理的文字语言.直线b与直线c平行吗？教师引导让学生观察出直线b、c的平行关系，从而引出平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直先分小组操作，并交流派代表发言或展示动手操作，思考回答问题与老师一起总结学生经历动手操作、观察、思考，总结出画平行线的方法.让学生感受知识的形成过程,培养学生严谨的科学态度，锻炼学生自主探究学习的能力，激发学生的学习兴趣.通过动手操作感受平行公理，并得出公理,并将文字语言转化为数学语言即符号语言.线也互相平行.几何语言：如果b//a,c//a,那么b//c.【典型例题】例1：如图，CD∥AB，CE∥AB，试说明C、D、E三点共线．解：因为CD∥AB，CE∥AB所以CD∥CE∥ABCD和CE在同一条直线上.(平行公理)C、D、E三点共线【教学建议】教师适当引导，学生自主完成.【课堂练习】1．在同一平面内，两条直线的位置关系是（）A．平行或垂直B．平行或相交C．垂直或相交D．平行、垂直或相交答案：B2．经过一点A画已知直线a的平行线，能画（）A．0条B．1条C．2条D．0条或1条答案：D如图所示，AD∥BC,E为AB的中点，(1)过点E作EF∥BC,交CD于点F；(2)EF和AD平行吗？说明理由；(3)用测量法比较DF和CF的大小．解:(1)如图.(2)平行.因为AD∥BC，EF∥BC，所以EF∥AD(平行公理的推论)(3)DF=CF【教学建议】教师给出练习，随时观察学生完成情况并给与指导，根据学生完成情况适当分析讲解.思考并积极回答.自主完成练习通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性.进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.课堂小结以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.板书1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.2.平行公理及其推论：(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.3.例题讲解。

浙教版2022年七年级数学下册第1章平行线平行线练习(含答案)第1章平行线1．1平行线知识点1平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示，直线a和b是平行线，记做a∥b，读做“a平行b”．平行线的定义包含三层意思：(1)“在同一平面内”是前提条件；(2)“不相交”就是说两条直线没有交点；(3)平行线指的是“两条直线”，而不是“两条射线”或“两条线段”．1．下列说法正确的是()A．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线段B．不相交的两条直线是平行线C．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种D．在同一平面内，不相交的两条射线是平行线知识点2平行线的画法用三角尺和直尺画平行线．如图1－1－1所示，把三角尺的一边紧靠直线CD，用直尺紧靠三角板尺的另一边，沿直尺推动三角尺，然后过三角尺的一边画直线AB，这时就可画出CD的平行线AB.图1－1－12．如图1－1－2所示，过三角形ABC的三个顶点分别作它对边的平行线，标出交点，并将平行线用“∥”符号表示出来．图1－1－2知识点3平行线的性质过直线外一点只能画一条已知直线的平行线，过直线上一点不能画已知直线的平行线．3．先在纸上画三角形ABC，再任取一点P，过点P画一条直线与BC 平行，则这样的直线()A．有且只有一条B．有两条C．不存在D．有一条或不存在一利用平行线的性质进行简单的推理教材例题变式题在同一平面内，已知直线AB∥EF，直线CD与AB相交于点P，试问直线CD与EF相交吗？为什么？[归纳总结]由本题可以得出一个常用的结论：在同一平面内，如果一条直线与一组平行线中的一条相交，那么它必定与其余的直线都相交．二平面内直线交点个数的探究教材补充题已知平面内有三条互不重合的直线，请画图探究它们的位置关系并说出它们的交点个数．[反思]判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)不相交的两条直线叫做平行线；(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．一、选择题1．在同一平面内两条不重合直线的位置关系有()A．两种：平行或相交23B．两种：平行或垂直C．三种：平行、垂直或相交D．两种：垂直或相交2．如图1－1－3，在同一平面内，过点C作线段AB的平行线，下列说法正确的是()图1－1－3A．不能作B．只能作一条C．能作两条D．能作无数条3．下列关于平行的表示方法正确的是()A．a∥AB．AB∥cdC．A∥BD．a∥b4．下列四边形中，AB与CD不平行的是()图1－1－5．在同一平面内，有三条互不重合的直线，其中只有两条是平行的，那么交点有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．下列结论正确的是()A．不相交的直线互相平行B．不相交的线段互相平行C．不相交的射线互相平行D．有公共点的直线一定不平行7．已知直线a，b在同一平面内且不相交，直线c也在这一平面内，且c与a相交，则()A．b与c相交B．b与c平行C．b与c平行或相交D．b与c的位置关系不确定二、填空题8．如图1－1－5所示，AE∥BC，AF∥BC，则A，E，F三点________，理由是____________________．图1－1－59．把图1－1－6中互相平行的线段一一写出来：______________________________________．4图1－1－610．列举现实生活中体现平行的一个例子：________.11．在同一平面内，有两条直线l1与l2.(1)若l1与l2没有公共点，则l1与l2________；(2)若l1与l2有且只有一个公共点，则l1与l2________；(3)若l1与l2有两个公共点，则l1与l2________．三、解答题12．如图1－1－7，在长方体中，A1B1∥AB，AD∥BC，你能找出图中的平行线吗？图1－1－713．如图1－1－8所示，点P在∠AOB的一边OA上，点Q在∠AOB的另一边OB上，按下列要求画图：(1)过点P，Q的直线；(2)过点P画平行于OB的直线；(3)过点Q画平行于OA的直线．图1－1－814．如图1－1－9，点P是∠ABC内一点．(1)过点P画一条直线平行于直线AB，且与BC交于点D；(2)过点P画一条直线垂直于直线BC，垂足为E；(3)过点P作直线AB的垂线段PF.图1－1－91．[实践操作题]如图1－1－10所示，D，E是线段AC的三等分点．(1)过点D作DF∥BC交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G；(2)量出AF，FG，GB的长度(精确到0.1cm)，你有什么发现？(3)量出FD，GE，BC的长度(精确到0.1cm)，你有什么发现？(4)根据(3)中发现的规律，若FD＝1.5cm，则EG＝________cm，BC＝________cm.图1－1－102.[操作探究]我们知道在同一平面内，两条平行直线的交点有0个，两条相交直线的交点有1个，平面内三条平行直线的交点有0个，经过同一点的三条直线的交点有1个……(1)平面上有三条互不重合的直线，请画图探究它们的交点个数；(2)若平面内的五条直线恰有4个交点，请画出符合条件的所有图形；(3)在平面内画出10条直线，使它们的交点个数恰好是32.详解详析5【预习效果检测】1．[解析]C根据平行线的概念“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”即可得出答案．[点评]正确理解平行线的概念是解决本题的关键．学习此概念时，我们要特别注意“在同一平面内”“不相交”“直线”等关键词．2．解：如图所示．过点A作BC边的平行线，过点B作AC边的平行线，过点C作AB边的平行线，两两相交于点D，E，F，所以DE∥BC，EF∥AC，DF∥AB.3．[解析]D当点P在直线BC外时，根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”这个基本事实，可知有且仅有一条；但当点P在直线BC上时，就不存在这样的直线，故本题应选择D.【重难互动探究】例1[解析]由于直线AB，EF的位置关系已确定，AB与CD的位置关系也确定了，根据平行线的性质即可确定CD与EF的位置关系．解：直线CD与EF相交．因为AB∥EF，CD与AB相交于点P，而过点P只能作一条直线AB与EF平行，所以直线CD与EF相交．例2[解析]在同一平面内，两条不重合直线的位置关系只有两种：相交和平行．若在同一平面内有三条或三条以上直线，其位置关系就变得比较复杂，交点个数也不确定，因此需分类讨论进行探究．解：①如图①，三条直线互相平行，此时交点个数为0；②如图②，三条直线相交于一点，此时交点个数为1；③如图③，三条直线两两相交且不交于同一点，此时交点个数为3；④如图④，其中两条直线互相平行且都与第三条直线相交，此时交点个数为2.【课堂总结反思】[反思](1)不正确，理由：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．(2)不正确，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；过直线上一点，不能画已知直线的平行线．【作业高效训练】[课堂达标]1．A2.B3.D4.D5.C6.D7.A68．[答案]共线经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行9．[答案]GH∥MN，EF∥AB，CD∥PQ10．[答案]如双杠．两条笔直的铁轨等(答案不唯一，写出一个即可) 11．[答案](1)平行(2)相交(3)重合12．解：图中的平行线有AB∥DC∥D1C1∥A1B1，AD∥BC∥B1C1∥A1D1，AA1∥BB1∥CC1∥D D1.13．[解析]借助三角尺和直尺画平行线．用三角尺和直尺画图，其基本步骤如下：一落：三角尺的一边落在已知直线上；二靠：紧靠三角尺其余两边中的任意一边放上直尺；三移：三角尺沿直尺移动，使三角板尺的边经过已知点；四画：沿三角尺过已知点的一边画直线．解：如图所示．14．解：如图所示．[数学活动]1．解：(1)如图所示．(2)测量略，AF＝FG＝GB.(3)测量略，FD∶GE∶BC＝1∶2∶3或FD＋BC＝2GE.(4)34.52．解：(1)如图所示．(2)如图所示．(3)如图所示．78。

平行线和垂直线的概念和性质平行线和垂直线是几何学中非常重要的概念和性质。

它们在解决许多几何问题时起着关键的作用。

本文将介绍平行线和垂直线的定义、性质以及它们在实际生活中的应用。

一、平行线的概念和性质1. 定义平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。

即使它们延长到无穷远，它们仍然保持相同的距离。

2. 性质（1）平行线上的任意两条线段，它们与平行线上的其他线段的长度比例相等。

（2）如果一个角与一条平行线上的直线相交，则与另一条直线的对应角也是相等的。

（3）平行线之间的夹角是等于180度的。

相邻角是互补角，这意味着它们之和等于180度。

二、垂直线的概念和性质1. 定义垂直线是指两条相交直线之间的角为90度，也称为直角。

2. 性质（1）垂直线上的任意两条线段，它们与垂直线上的其他线段的长度比例相等。

（2）两条相互垂直的线段之间的角度关系满足垂直线性质。

三、平行线和垂直线的应用1. 实际生活中的应用平行线和垂直线有许多实际应用，如建筑设计、工程测量等。

在建筑设计中，平行线可用于确定墙壁、门窗等的位置，垂直线可用于保证建筑物的垂直度。

在工程测量中，平行线可用于确定道路的宽度、分隔不同车道等等，垂直线可用于确保建筑物的垂直度。

2. 数学中的应用平行线和垂直线在数学学科中也有广泛应用。

在几何学中，通过应用平行线和垂直线的性质，我们可以很方便地解决各种几何问题，如计算角度、判断线段的相对位置等。

在解析几何学中，平行线的概念和性质是研究平面和空间中的直线关系的基础。

总结：平行线和垂直线是几何学中重要的概念和性质。

它们在实际生活中有着广泛的应用，如建筑设计和工程测量等。

在数学学科中，平行线和垂直线的应用主要体现在几何学和解析几何学等领域。

熟练掌握平行线和垂直线的定义和性质，可以帮助我们解决许多几何问题，提高问题解决能力。