“角平分线遇见平行线”
例1.如图，AD∥BC；且BD平分∠ABC，求证AB=AD?
例2.如图，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F. 试说明BE+CF=EF．
例题3.如图所示，已知ABC
∠的平分线BD
?中的的ACB
∠外角平分线CD与ABC
交于点D，过D作DE//BC交AB于E，交AC于F，则有EF=BE-CF；试说明理由。
例题4.已知四边形ABCD为平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交AB于G，求证：AF=BG
例题5.如图，已知AD是△ABC的角平分线，四边形MBEF是平行四边形．求证：AF=BM
例题6.如图,在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角∠AOG平分线于点F，求证：EO=FO
角平分线和平行线构成等腰三角形的探究 -----李春蕊北京市育英学校 一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据. 学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。 二、教学目标： （1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律； （2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系. （3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心. 教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题. 教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题. 突出重点方法:观察，思考，证明. 突出难点方法:自主探究 教学方法：启发与探究相结合 教学准备：PPT，课本，作图工具 三、教学设计： （一）复习等腰三角形相关知识 1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾： （由学生先进行回顾，教师补充） （二）探究过程 问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？ 解：是；EB=ED
义恒教育 备战中考答疑群：287502135 免费答疑自习室：41对过未来城23号楼601室 1 平行线与内角和（一） 1.把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠AEB+∠ADC 之间有一种数量关 系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发 现的规律是（ ） A.∠A=∠AEB+∠ADC B. 2∠A=∠AEB+∠ADC C. 3∠A=2∠AEB+∠ADC D. 3∠A=2（∠AEB+∠ADC ） 2.如图（2），把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落 在四边形BCDE 外部点A'的位置，则∠A'、∠1与 ∠2的数量关系，结论正确的是（ ） A. ∠1=∠2+∠A ′ B. ∠1=2∠2+2∠A ′ C. 2∠1=∠2+∠A ′ D. ∠1=2∠A ′+∠2 3.如图，D 为等边△ABC 内的一点，DB ＝DA ，BP ＝AB ， ∠DBP ＝∠DBC ．∠BPD 的度数为_______． （图1） （图2） （图3） 4.如图，∠A=48°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为 A.48° B.132° C.264° D.96° 5.如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，若 ∠BOC=118°，则∠A 的大小是__________. （第4题） （第5题） 6.在△ABC 中，∠A=47°，高BE ，CF 所在直线交于 点O ，且点E ，F 不与点B ，C 重合，则∠BOC=_____. 7.将一副直角三角板如图摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D ．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC ．∠E=30°， ∠BCE=40°，则∠CDF=________． 8.如图，∠ABD ，∠ACD 的∠平分线交于点P ，若 ∠A=50°，∠D= 10°，则∠P=_______. （第7题） （第8题） （第9题） 9.如图，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点P ，若 ∠A=60°，则∠P=_________. 10.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，垂足 为点D ，E 为AD 上一点，连接BE. 求证：∠BED ＞∠C 11.如图，在等腰ΔABC 中，CH 是底边上的高 线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意 一点，连结AP 交BC 于点E ，连结BP 交AC 于点F. 证明：∠CAE=∠CBF 12.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数.
第16课时线段、角、相交线与平 行线（含命题） 知识点： 两点确定一条直线、相交线、线段、射线、线段的大小比较、线段的和与差、线段的中点、角、角的度量、角的平分线、锐角、直角、钝角、平角、周角、对顶角、邻角、余角、补角、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角、平行线、平行线的性质及判定、命题、定义、公理、定理 教学目标： 1．了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一个交点，解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形； 2．了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概 念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂 线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角， 会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互 补判定两条直线平行 教学重难点： 1、了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念。 2、会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行 教学过程：
2. 线段中点(2011版新课标新增内容) （1）定义：若点B在线段AC上，且把线段AC分 成相等的两条线段AB与BC，点B叫做线段AC的中点. 如图 （2）线段中点的几何表示：AB=②_____= AC, 或AC=2AB＝2BC. 3. 两点之间的距离: 连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离 考点2 角及角平分线 1.角：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置时所成的图形叫做角.如图（2），记作∠AOB. 2. 角平分线的概念及其定理 （1）定义：以一个角的顶点为端点的一条射线， 如果把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做该角的角平分线. 如图（3），若OC平分∠AOB，则∠AOC=③______= ∠ AOB. 2）定理：角平分线上的点到角两边的距离 ④_____.如图（3），若OC平分∠AOB,点P在OC上，且PM⊥OA，PN⊥OB,则PM=⑤_____. （3）逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在⑥________上. 1周角＝2平角＝4直角＝④_____; 1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°； 1°＝60′,1′=60″,1′= ,1″= . 5. 余角和补角 (1）余角的定义:如果两个角的和等于一个直角，那么说这两个角互为余角（简称互余)，也说其中一个角是另一个角的1余角. （2）补角的定义：如果两个角的和等于一个平角，那么说这两个角互为补角（简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角. （3）余角与补角的性质：同角（或等角)的余角相等，同角（或等角)的补角相等. 考点3 相交线 1. 两相交直线所成的角 (1)对顶角和邻补角 对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 如图(4)，∠1与∠3，∠2与∠4都是对顶角.对顶角的性质： 对顶角?_____. 邻补角：两个角有一个公共顶点和一
8765432 1a b c b c a 1234567822211121 D. C.B.A.相交线与平行线 一、知识提要 1． 有一条公共边,另一边互为反向延长线,具有这样关系的两个角互为邻补角; 有公共顶点,另两条边互为反向延长线,具有这样位置关系的两个角互为对顶角; 与为90度的两个角互为余角,与为180度的两个角互为补角; 余角与补角都就是大小角、同位角、内错角、同旁内角就是位置角、 2． 定理①对顶角相等;②同角或等角的余角相等;③同角或等角的补角相等、 3． 平行的两个定理 ① 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行; ② 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行、 简记为:如果b //a ,c //a ,那么b //c 、 4． 垂直的两个定理 ① 平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短、 5． 认识同位角、内错角、同旁内角、 二、精讲精练 1. 如图,∠1与∠2就是对顶角的就是( ) 2. 下列说法正确的个数就是( ) ①若∠1与∠2就是对顶角,则∠1＝∠2; ②若∠1与∠2就是邻补角,则∠1＝∠2; ③若∠1与∠2不就是对顶角,则∠1≠∠2; ④若∠1与∠2不就是邻补角,则∠1＋∠2≠180°、 A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 3. 下列说法中正确的个数为( ) ①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 ②经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④平行同一直线的两直线平行 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4. 下列推理正确的就是( ) A .因a ⊥b ,b ⊥c ,故a //c B .因a ⊥b ,b //c ,故a //c C .因a //b ,b ⊥c ,故a //c
平行线及角平分线类相似 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？ 不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345 ∶∶． 数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘．
例题精讲 模块一 平行线类相似问题 平行线类相似的基本模型有 ?模型一、二类综合题 【例1】 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1 4 AE AB = ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =____ ___． M E C B A 【难度】3星 【解析】先介绍常规的解法： B C F E D M A B C F E D M A 如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB = ∴2BF EF = ∵//CF DE ∴ 2BC BF CD EF == 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．
第27课时线段、角、相交线与平行线 ◆考点聚焦 1．运用两点确定一条直线解决实际问题． 2．会比较角的大小，掌握角的表示法，能进行角的有关计算． 3．明确线段、直线、射线的概念及区别与联系，线段的表示方法，?会进行有关线段的计算． 4．掌握角平分线的定义及性质． 5．掌握两角互余、互补的概念，并能进行有关计算． 6．掌握对顶角、同位角、内错角、同旁内角等概念． 7．掌握平行线的性质与判定，并能运用这些知识进行有关计算或推理． 8．掌握两条直线垂直的概念． ◆备考兵法 1．能运用方程思想解决互余、互补、平行线的性质以及三角形内、?外角和等知识和一些有关计算线段、角的问题． 2．在进行角的计算时，要注意单位的换算，即1°=60′，1′=60″． 3．要注意区分平行线的判定与性质，不要混淆滥用． ◆识记巩固 1．直线公理是指____________． 2．在田径比赛中，裁判测量跳远成绩的依据是______，?测量铅球成绩的依据是______________________． 3．两点之间_______最短，_________叫做两点间的距离． 4．线段的中点：由点M是线段AB的中点可得到__________． 5．角是___________________． 6．角平分线及性质：（1）如图1，OC平分∠AOB,可推出___________．
图1 图2 （2）如图2，由OC 平分∠AOB ，PM OA PN OB ⊥??⊥? 可得___________． 7．两直线相交，________相等；同角（或等角）的余角_______；同角（或等角）的补角________．两个角的和为90°，称这两个角_________；两个角的和为180°，称这两个角________． 8．点到直线的距离是_____________． 9．线段的垂直平分线的性质是_________． 10．两直线平行，同位角_______；两直线平行，内错角______；两直线平行，?同旁内角_______． 识记巩固参考答案: 1．两点确定一条直线 2．垂线段最短 两点之间，线段最短 3．线段 ?连结两点之间线段的长度 4．AM=BM=AB 5．由有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 6．（1）∠AOC=∠BOC=∠AOB （2）PM=PN 7．对顶角 相等 相等 互余 互补 8．从直线外一点向已知直线作垂线，?这一点和垂足之间线段的长度 9．?线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ? 10．相等 相等 互补
角、相交线与平行 1.平行线的性质. 【例1】如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=55°,则∠1等于(). A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【例2】如图,把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°,那么∠2的度数是(). A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【例3】如图,直线l1∥l2,l3⊥l4,∠1=44°,那么∠2的度数(). A. 46° B. 44° C. 36° D. 22° 2.平行线的判定. 【例4】(2014·湖南湘潭)如图,直线a,b被直线c所截,若满足,则a,b平行. 名师点拨 1.能记住点、线、面的概念. 2.能利用角的概念判断角的大小及角的表示方法;会进行角的换算;能正确区分角的大小;会进行角的和、差运算.
3.能区分补角、余角的概念,记住补角、余角的性质. 4.掌握角平分线定理和线段垂直平分线定理并能正确使用. 5.会画直线的垂线;能区分垂线、垂线段的联系与区别. 6.掌握平行的概念,会进行平行线的判断. 7.能利用直尺画直线的平行线;会作两平行线间的距离;能确定并准确度量两平行线间的距离. 【例1】如图,△ABC中,∠A=90°,点D在边AC上,DE∥BC.若∠1=155°,则∠B的度数为. 2.平行线的性质和判定的应用. 主要理解和掌握:(1)平行线的性质;(2)平行线的判定. 【例2】如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠P AB,∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以证明. 专项训练 一、选择题 1. (2014·四川峨眉山二模)如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠COB.若∠BOD=70°,则∠COE的度数是(). A. 45° B. 70° C. 55° D. 110° (第1题)
角与角平分线 典题探究 例1 把15°30′化成度的形式，则15°30′＝____度． 例2 命题“相等的角是对顶角”是______命题.（填“真”或“假”） 例3 已知∠A =67°，则∠A 的余角等于 度. 例4 如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE =4㎝，则点P 到边 BC 的距离为 ㎝. E P D C B A 课后练习 A 组 1．如图，表示下列各角： （1） （2） （3） 2．下列各图中有多少个小于180度的角？并把它们表示出来。 （1） （2） 3.下列四个图中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一个的是（ ） 4. 计算：① 57.3°=______°=______′； ②18°15′= ° ；
③ 33°52′+21°54′=__________； ④28°23′×2 － 6°2′= __________； ⑤ 90°—43°18′= __ ； ⑥360°÷7≈ ___ （精确到分） 5.按图填空： 6.下列四个图形中2∠大于1∠的是（ ） 7.如图，OC 平分∠AOB ，如果∠COB=42°,那么∠AOB=_________° B 组 8.尺规作图：求作一个角，使它等于已知角∠AOB ，不写作法，保留作图痕迹。 结论： 9.尺规作图：已知∠AOB ，求作∠AOB 的角平分线。不写作法，保留作图痕迹。 结论： 10. Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝， 则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a 、b 两种情形： a 、 如图甲：一直线与角的一边平行 b 、 如图乙：一直线与角的平分线平行 2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a 、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行 b 、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行 3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线 a 、如图甲：与一腰平行 b 、如图乙：与底边平行 角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。这种思维方法称为“知识板块”思维。 角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例： 例1、如图1：已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。求证：DE=BD+CE 。 证明： 例2、如图2：已知I 是△ABC 的内心，DI//AB 交BC 于点D ，EI//AC 交BC 于E 。求证： △DIE 的周长等于BC 。 证明： 31∠=∠?? ??∠=∠∠=∠?2123//OA CD DC DO =?() DOC 等腰三角形()ODE 等腰三角形?? ? ?? ∠=∠?? ?∠=∠∠=∠?214231//OC DE OE OD =?∠=∠?43???∠=∠∠=∠?=2131DC CO OA CD //32?∠=∠????∠+∠=∠∠=∠?=4343AOB OE OD ??? ???? ∠=∠∠=∠?AOB AOB 21 1213DE OC //31?∠=∠?? ?? ∠=∠?=∠=∠?1323//DC CO DC OA 21∠=∠?214231//43∠=∠?? ? ?? ? ???∠=∠∠=∠?∠=∠?=OC DE OE OD ??? ∠=∠∠=∠?1232//BC DE 31∠ =∠????==?EI CE DI BD 同理：CE BD IE DI DE +=+=?? ?? ∠=∠∠=∠?2131//AB DI BD DI =?∠=∠?23图甲 1 3 A B C D E I 图（2） 2 3 2 1 I E D A B C 4 3 2 O D E C B A 1 图乙
一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点E，则EO=EP. AAA EPCEC DFEP OBBCOFB 图1图2图3 例1 如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作 EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF， PE=PF. 例2 如图4，BD是∠ABC的平分线， AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于
在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D A E AP / BC DB /BC 图5图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点. 求证：PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ ECD ． 二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 2 1F E D C B A N P E D C B A A B D C E F 图
相交线与平行线知识点整理 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： ⑵如果αβ∠∠与是对顶角，那么一定有αβ∠=∠；反之如果αβ∠=∠，那么αβ∠∠与不一定是对顶角； ⑶如果αβ∠∠与互为邻补角，则一定有180αβ∠+∠=?；反之如果180αβ∠+∠=?，则αβ∠∠与不一定是邻补角。⑷两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 简称：垂线段最短。 3、垂线的画法：直线，垂足，直角记号 ⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， ⑶三画：沿着这条直角边画直线，不要画成给人的印象是线段的线。 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 记得时候应该结合图形进行记忆。 如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点P 到 直线AB 所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 ⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 ⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量； 线段是一种图形，它们之间不能等同。 ?P A B O A B C D O
平行线与相交线知识点 1. 相交线 同一平面中，两条直线的位置有两种情况： 相交：如图所示，直线AB 与直线CD 相交于点O ，其中以O 为顶点共有4个角： ∠1，∠2，∠3，∠4； 邻补角：其中∠1和∠2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像∠1和∠2这样的角我们称他们互为邻补角； 对顶角：∠1和∠3有一个公共的顶点O ，并且∠1的两边分别是∠3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角； ∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠3。 所以，对顶角相等 例题： 1.如图，3∠1＝2∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数。 2.如图，直线AB 、CD 、EF 相交于O ，且AB CD ⊥，∠=?127，则∠=2_______，∠=FOB __________。 C E A 2 O B 1 F D 垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，图中AB ⊥CD ，垂足为O 。垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90?。 例题： 如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O ，∠1＝26?，求∠EOD ，∠2，∠3的度数。(思考：∠EOD 可否用途中所示的∠4表示？) 垂线相关的基本性质： （1） 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； （2） 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （3） 从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 例题：假设你在游泳池中的P 点游泳，AC 是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？
七年级数学学情监测卷 （时间90分，总分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1、 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 12 1 2 1 2 1 2 2、在下面四个图形中，能用三种方法表示同一个角的图形是（ ） A B C D 3、点P 为直线l 外一点，点A 、B 、C 为直线l 上三点，PA ＝4cm ，PB=5cm ，PC=3cm ， 则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．小于3cm D ．不大于3cm 4、如右图，已知∠AOC=∠BOD=90o，∠AOD=150o， 则∠BOC 的度数为（ ） A 、30o B 、45o C 、50o D 、60o 5、已知OC 是∠AOB 内部一条射线，下列所给条件中，不能判定OC 为∠AOB 的角平分线的是（ ） A. ∠AOC+∠BOC=∠AOB B. ∠AOC=2 1 ∠AOB C. ∠AOB =2∠AOC D. ∠AOC=∠BOC 6、下列所示的四个图形中，1∠和2∠是同位角的是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④ 7、下列说法不正确的是( ) A ．平面内两条不想交的直线叫做平行线 B ．一条直线的平行线有且只有一条 C ．过直线外一点能画一条直线与已知直线平行 D ．过直线外一点能画一条直线与已知直线垂直 8、如图所示,已知DE ∥BC,CD 是∠ACB 的平分线, ∠B=72°,∠ACB=40°,那么∠BDC 等于( ) A.78° B.90° C.88° D.92° 9、如图，直线a ，b 都与直线c 相交，给出下列条件： ①∠1＝∠5；②∠3＝∠5；③∠1＝∠6 ； ④∠2＝∠7；⑤∠4＝∠8．其中，能够得出 a ∥ b 的条件是 （ ） A ．①②⑤ B ．②③⑤ C ．③④⑤ D ．①②④ 10．已知AB ∥CD ∥EF ，BC ∥AD ，AC 平分∠BAD ，那么图中与∠AGE 相等的角有( ) A 5个． B 4个． C 3个． D 2个． C D B O （第10题） ①2 12 1②12 ③1 2 ④ c 3 b a 4 1 2 5 6 7 8 （第9题） 第8题
87 65432 1a b c b c a 123 4567 82 22 11 12 1 D. C. B. A. 相交线与平行线 一、知识提要 1． 有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这样关系的两个角互为邻补角； 有公共顶点，另两条边互为反向延长线，具有这样位置关系的两个角互为对顶角； 和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角互为补角； 余角和补角都是大小角.同位角、内错角、同旁内角是位置角. 2． 定理①对顶角相等；②同角或等角的余角相等；③同角或等角的补角相等. 3． 平行的两个定理 ① 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ② 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 简记为：如果b //a ，c //a ，那么b //c . 4． 垂直的两个定理 ① 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 5． 认识同位角、内错角、同旁内角. 二、精讲精练 1. 如图，∠1和∠2是对顶角的是（ ） 2. 下列说法正确的个数是（ ） ①若∠1与∠2是对顶角，则∠1＝∠2； ②若∠1与∠2是邻补角，则∠1＝∠2； ③若∠1与∠2不是对顶角，则∠1≠∠2； ④若∠1与∠2不是邻补角，则∠1＋∠2≠180°. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3. 下列说法中正确的个数为（ ） ①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 ②经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
图1 O D C B A 图2l 3 l 2 l 187 65432 1图5 F B D E C O A 图34 32 1 图4E 876 54321 B D A O ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④平行同一直线的两直线平行 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 下列推理正确的是（ ） A ．因a ⊥b ，b ⊥c ，故a //c B ．因a ⊥b ，b //c ，故a //c C ．因a //b ，b ⊥c ，故a //c D ．因a ⊥b ，b //c ，故a ⊥c 5. 如果直线a //b ，b //c ，那么a //c ，这个推理的根据是（ ） A .等量代换 B .平行线定义 C .平行于同一直线的两直线平行 D .经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 6. 直线a 外有一定点A ，A 到a 的距离是5cm ，P 是直线a 上的任意一点，则（ ） A ．AP >5cm B ．AP ≥5cm C ．AP =5cm D ．AP <5cm 7. 平面上两条直线的位置关系只有两种，即 和 . 8. 如图1，直线AB 、CD 相交于O ，对顶角有 对， ∠AOD 的邻补角是 . 9. 如图2，直线l 1、l 2和l 3相交构成8个角，已知∠1＝∠5，则与∠5相等的角有 个，是 ，与∠5互补的角有 个，是 . 10. 如图3，在所标识的角中，对顶角是 ，同位角 是 ，同旁内角是 . 11. 如图4，直线DE 与∠O 的两边相交，则∠O 的同位角是 ；∠8 的内错角是 ；∠1的同旁内角是 ． 12. 如图5，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOE 的对顶角是 ，∠COF 的邻补角是 ，若∠AOC ：∠AOE =2：3，∠EOD =130°，则∠BOC = .
七年级数学(下)期末复习知识点整理 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 3、垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 A B C D O
画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。 如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条。 现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 ⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。 5.2平行线 1、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。 2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 P A B O
角平分线模型 模型 4 角平分线+平行线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。 结论：△POQ 是等腰三角形。 模型证明 ∵PQ∥ON ∴∠PON=∠OPQ 又∵OP 是∠MON 的平分线 ∴∠POQ=∠PON ∴∠POQ=∠OPQ ∴△POQ是等腰三角形 模型分析 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
模型实例 解答下列问题： （1）如图①所示，在△ABC 中，EF∥BC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系； （2）如图②所示，BD 平分∠ABC、CD 平分∠ACG，DE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。 （3）如图③所示，BD、CD 分别为外角∠CBM、∠BCN 的平分线，，DE∥BC 交 AB 延长线于点 E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什 么数量关系？ 解析：（1）由模型可知，ED=BE,DF=CF ∴EF=ED+DF=BE+CF （2）∵DE∥BC ∴∠EDB=∠DBC 又BD 平分∠ABC ∴∠DBE=∠DBC ∴∠EDB=∠DBE ∴△EBD为等腰三角形 ∴BE=ED 同理可证：FD=CF ∴EF=ED-FD=BE-CF ∴EF=BE-CF （3）EF=BE+CF（由模型可轻松证明）
模型练习 1．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为。 解析：由模型可得，ME=BM,EN=CN ∴MN=ME+EN=BM+CN=9 2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE=CD，EF=AC 求证：EF∥AB。
角平分线与平行线构造等腰三角形问题 基本图形1 已知：AB∥CD, （1）CE平分∠ACD交AB于E.问⊿ACE是什么特殊三角形 （2）反过来，若AC＝AE,问CE是∠ACD的平分线吗 基本图形2 已知：△ABC,AB＝AC,（1）AE是外角∠BAD的平分线.问AE与BC平行吗 （2）若AE∥BC，问∠DAE＝∠BAE吗（3）若AE是外角∠BAD的平分线，且AE∥BC， AB＝AC吗 问题举例 1.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF 是菱形。 2．（2016?泰安）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F ，则AE+AF的值等于（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，AB＝8，AC＝6 。则△AEF的周长是______ 4.（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4 D．8 5.（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ= 3 CE时，EP+BP= ． 6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边C D上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7.已知：□ABCD,BE平分∠ABC, CF平分∠BCD,BE、CF分别交AD于E、F，BE与CF交于点G． (1)求证：BE⊥CF． (2)若AB=5，BC=8，求EF的长． 8.（2013?张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.求证：OE=OF； 9.（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2=AB?AD； （2）求证：CE∥AD； 10.已知：△ABC，AB＝AC，AE是外角∠BAD的平分线，点D为BC的 中点，DE∥AC交AE于E,连接BE.求证：四边形AEBD是矩形.
1.（2014山东省枣庄市，3,3分）如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=340，∠DEC=900，则∠D的度数为（） A．170B．340 C．560D．1240 【答案】C 2.（2014甘肃省白银市，5，3分）将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 考点：平行线的性质；余角和补角． 分析：由互余的定义、平行线的性质，利用等量代换求解即可． 解答：解：∵斜边与这根直尺平行， ∴∠α=∠2， 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠α=90°， 又∠α+∠3=90° ∴与α互余的角为∠1和∠3． 故选C． 点评：此题考查的是对平行线的性质的理解，目的是找出与∠α和为90°的角． 3.（2014河北省，4，2分）如图2，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图）， 则a，b相交所成的锐角是（） A．20°B．30°C．70°D．80°
4.（2014湖北省十堰市，2，3分）如图，直线m∥n，则∠α为（） A．70°B．65°C．50°D．40° 【答案】C 5.（2014山东省济宁市，3，3分）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其道理正确的是 A．两点确定一条直线B．垂线段最短 C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边 【考点】线段的性质：两点之间线段最短 【解析】选C. 根据数学知识，连接两点的所有线中，线段最短，即两点之间线段最短解答． 6（2014山东淄博9，4分）如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A—B—F—C的路径行走至C，乙沿着A—F—E—C—D的路径行走至D，丙沿着A—F—C—D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（） A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙 【答案】B 7.（2014湖北荆门3，3分）如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF＝70°，则∠F AG的度数是( ) A．155°B．145°C．110°D．35° F A B G E C D 第3题图 【答案】B 8.（2014陕西省，7，3分）如图，AB//CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（） A．17°B．62°C．63°D．73° 【答案】D 9（2014湖北省咸宁市，5，3分）如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1= 20°， 则∠2的度数为（） A．60°B．45°C．40°D．30°
华师版七年级数学平行线测试 一、填空. 1.______________________________________,不相交的两条直线叫做平行线. 2.在同一平面内,两条直线(不重合)的位置关系有_____种,它们是_______________. 3.经过已知直线外一点,有且只有______条直线与已知直线平行. 4.平行于同一直线的两条直线(不重合)的位置关系是__________________. 5.如图1,(1)如果∠1=∠2,根据___________________________________,得DE ∥BC; (2)如果∠2+∠BED=180°,根据_______________________________,得DE ∥BC; (3)如果∠EGF=∠GFC,根据____________________________________,得DE ∥BC; (4)如果AB ∥GF,根据________________________________________,得∠2=∠GFC; (5)如果AB ∥GF,根据______________________________________,得∠A+∠FGA=180°; (6)如果AB ∥GF,根据_______________________________________,得∠A=∠3. 3 21 (1) E G D C F A H B (2) E D C A B 32 1(3) D C A B n m 2 1 (4) (5) O D A E 6.如图2,已知CD 平分∠ACB,DE ∥BC,∠AED=80°,则∠EDC=________. 7.不相邻的两个直角,如果它们有一条公共边,那么另两条边相互_______. 8.如图3,已知AB ∥CD,∠1=43°,∠2=47°,则∠B=________,∠ACB=_______. 9.如图4,已知m ∥n,∠1=105°,∠2=140°,则∠α=________. 10.如图5,已知AB ∥CD,AD ∥BC,∠B=60°,∠EDA=50°,则∠CDO=_______. 11.若两条平行线被第三条直线所截,则同旁内角的平分线互相________. 12.如图6,ABC 是直线,∠1=150°,∠D=65°,要证AB ∥DE,请完善证明过程,?并在括号内填上相应依据.∵ABC 是直线(已知),∴∠1+∠2=_______°( ), ∵∠1=?115°(已知),∴∠2=_______°.∵∠D=65°,∴∠2=∠D( ), ∴AB ∥DE( ) 21 (6) O D C A E B 2 1 (7) C F M A E B N 43 2 1 (8) D C F A E B 21 (9) D C F M E B N 13.如图7,已知∠1=∠A,∠2=∠B,要证MN ∥EF,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据:∵∠1=∠A(已知),∴_______∥______( ). ∵∠2=∠B(已知),?∴______∥________( ), ∴MN ∥EF( ) 14.如图8,已知AD ∥BC,∠1=∠2,要证∠3+∠4=180°,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据:∵AD ∥BC(已知),∴∠1=∠3( ), ∵∠1=∠2(已知),∴∠2=∠3( ),