当角平分线遇到平行线……

角平分线与等腰三角形江苏 刘顿角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题，下面归类说明．一、角平分线+平行线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形．例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：AE ＝AP ．简析 要证AE ＝AP ，可寻找一条角平分线与EF 平行，于是想到AB ＝AC ，则可以作AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，而EF ⊥BC ，所以AD ∥EF ，所以可得到△AEP 是等腰三角形，故AE ＝AP ．例2 如图3，在△ABC 中，∠BAC ，∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB，BC 于点D ，E ．试猜想线段AD ，CE ，DE 的数量关系，并说明你的猜想理由． 简析 猜想：AD +CE ＝DE ．理由如下：由于OA ，OC 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，DE ∥AC ，所以△ADO 和△CEO 均是等腰三角形，则DO ＝DA ，EC ＝EO ，故AD +CE ＝DE ． 例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E ，F 分别在BD ，AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．求证：EF ∥AB ．简析 由于这里要证明的是EF ∥AB ，而AD 平分∠BAC ，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE ＝CD 的提示下，相当于倍长中线，即延长AD 至M ，使DM ＝AD ，连结EM ，则可证得△MDE ≌△ADC ，所以ME ＝AC ，又EF ＝AC ，∠M ＝∠CAD ，所以∠M ＝∠EFM ，即∠CAD ＝∠EFM ，又因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠EFD ＝∠CAD ，所以EF ∥AB ．二、角平分线+垂线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若C A B E D O图3 图4 F C D E B A M 图2F B A C D P E 图1① D ② C D C ④F C DAD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形．例4 如图6，已知等腰R ｔ△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D ．求证：BF ＝2CD ．简析 由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，并在图5的揭示之下，延长线BA ，CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则BF ＝CE ，故BF ＝2CD ．三、作倍角的平分线→等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形．如图7中，若∠ABC ＝2∠C ，如果作BD 平分∠ABC ，则△DBC 是等腰三角形．例5 如图8，△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC ．求证：∠A ＝90°．简析 由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对∠ACB ＝2∠B 进行技术处理，即作CD 平分∠ACB 交AB 于D ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则由∠ACB ＝2∠B 知∠B ＝∠BCD ，即△DBC 是等腰三角形，而DE ⊥BC ，所以BC ＝2CE ，又BC ＝2AC ，所以AC ＝EC ，所以易证得△ACD ≌△ECD ，所以∠A ＝∠DEC ＝90°．E 图5 AB C D 图6 B F DE C A 图7 B C D A E 图8 C B A D。

平行线的夹角平行线是指在同一平面内，永不相交的两条直线。

对于平行线，我们可以探讨它们之间的夹角。

在本文中，我们将讨论平行线的夹角的定义、性质以及相关的应用。

一、夹角的定义在平行线中，我们可以定义夹角为一对位于平行线之间的角。

在平行线中，夹角的大小只与其对应的直角相等，而与其它角度无关。

二、夹角的性质1. 同位角性质：平行线之间的夹角与平行线外的其他角度，如锐角、直角、钝角、平角等具有共同的性质。

2. 对顶角性质：如果两条平行线被一条横截线所切割，那么在两条平行线相交的两侧所形成的四个对顶角是相等的。

三、夹角的计算方法在计算夹角时，我们可以运用以下方法：1. 用角的平分线计算：当一条直线与平行线相交时，夹在平行线之间的两角可由直线与平行线的相交点的角平分线来计算。

2. 利用已知角度计算：如果我们已知与平行线相交所形成的角度，通过应用对顶角性质，可以计算出夹角的大小。

四、平行线夹角的应用1. 几何证明：在几何证明中，平行线夹角的性质经常被用于证明定理和命题。

2. 建筑学：平行线夹角的性质被广泛应用于建筑设计中，以保证建筑结构的准确性。

3. 导航定位：平行线夹角的相关知识可以帮助我们在导航和地图导引中确定方向和位置。

总结：平行线的夹角是指在平行线中夹在两条平行线之间的角。

夹角具有一系列性质，如同位角性质和对顶角性质等。

我们可以通过角的平分线或已知角度来计算夹角的大小。

平行线夹角的应用广泛，包括几何证明、建筑学和导航定位等领域。

最后，了解平行线夹角的性质和应用有助于我们更好地理解和应用几何学知识，提高问题解决能力和综合思维能力。

角平分线+平行应用模型的构造一、近几年中考题往往由平行线，角平分线来推证同一三角形两个角相等，从而推证两边相等。

或者由其中两个条件推证另一个条件已知：如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．1、如图,AC和BD相交于O，且AB∥DC，OA=OB,求证：OC=OD.OD CBA2．如图，△ABC中，AM，CM分别是角平分线，过M作DE∥AC求证：AD+CE=DE3．如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE∥AO交OB于ECE=20cm，求CD的长。

4．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，5．则图中等腰三角形的个数（）（A）1个（B）3个（C）4个（D）5个AEB CD第16题EFCBAD5如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF 等于（ ）Ａ．5 Ｂ．4 C ． 3 D ．26、如图，四边形ABCD 中，AD∥BC ，∠ABD =30o，AB=AD ，DC ⊥BC 于点C ，若BD =2，求CD 的长。

二 由平行线想到全等三角形和等腰三角形。

例. 如图，已知，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。

并证明这个命题（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF已知：EG ∥AF,_______,_________. 求证：___________. 证明:GFEDCBA1、已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，D 点在AB 上，E 点在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE ，交BC 于F.求证：DF=EF.C第6题FECDBA三、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。

角平分线中常用的作辅助线的方法角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作辅助线的方法：（1）角平分线+平行线→必有等腰三角形①OP是平分线，②AB//ON，则③△OAB是等腰三角形；可知二⇒一。

（2）角平分线+两边垂线→线等全等必出现角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；（3）角平分线+垂线延长→等腰三角形必呈现（4）角平分线+截取相等线段→必有对称全等图1 图2 图3 图4方法1：角平分线+平行线1.△ABC的两条角平分线OB、OC相交于点O，MN经过点O，且 MN∥BC交AB、 A C分别于点M、N；求证：△AMN的周长是AB+AC；方法2：作一边的垂线段2.如图,已知△ABC的周长是20cm,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=1.8cm,求△ABC的面积。

方法3：作两边的垂线段3.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D,求证:PC=PD。

方法4：延长作对称图形法4.如图,在△AOB中,AO=OB,∠AOB=90°,BD平分∠ABO交AO于点D,AE⊥BD交BD的延长线于点E，求证:BD=2AE方法5：截取作对称图形法5.如图,AD为△ABC的中线,DE,DF分别是△ADB和△ADC的角平分线,求证:BE+CF>EF。

综合演练题1.已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由．八年级《数素》之练习（13） 1、如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，求PQ 的最小值．2、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD ＋BD ＝BC3、如图，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ．求证：BE=CF ．A CB D。

角平分线的妙用教学目标：掌握角平分线的解题技巧，运用角平分线的解题技巧解决图形的问题。

重点：角平分线的方法灵活运用 难点：解决角平分线问题的能力 【方法指导】与角平分线有关的几何问题，是初中数学的重要题型，当你在已知条件中看到有角平分线时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。

看到角平分线该想到什么？常见的方法有:1、对顶角的平分线成一条直线，邻补角的平分线的位置关系是 ；两条直线平行，同位角的平分线的位置关系是 ，内错角的平分线的位置关系是 ，同旁内角的平分线的位置关系是 。

2、三角形中的内、外角的平分线3、角平分线 垂两边4、角平分线 造全等5、角平分线+平行线 等腰三角形要出现6、角平分线+垂线， 等腰三角形要出现 【知识回顾】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离 。

【典型例题】一、三角形的角平分线认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC=90°+21∠A ，理由如下： ∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1+∠2=21(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ∴∠1+∠2=21 (180 °-∠A)=90°-21∠A ∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-21∠A ）=90°+21∠A 探究2：如图2中，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A有怎样的关系？ （只写结论，不需证明）结论： ．探究3：如图3中，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：3题图D C BA．二、角平分线，垂两边 解题方法：过角平分线上一点向角的两边做垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质来证明问题。

角平分线与平行线编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（角平分线与平行线）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为角平分线与平行线的全部内容。

专题一 角平分线与平行线一、教学目标:1、知识与技能：使学生掌握角平分线与平行线结合应用时，等量间的迁移关系。

2、过程与方法:培养学生观察图形，研究问题的能力,掌握等量代换的技巧。

3、情感态度与价值观：渗透分类讨论的思想,指导相应的学习方法，使学生不仅学会数学,而且会学数学。

二、教学重点、难点：1、教学重点：综合掌握角平分线和平行线间的关系.2、教学难点:等量关系的确定。

三、教学方法：引导发现、练习提高 四、教学手段:多媒体电脑、黑板 五、具体内容： （一）复习引入例1 如图1, 已知△ABC 中,∠BAC 的外角∠EAC 的平分线交BC 延长线于D ．求证：。

设计思想:融合平行、相似、角平分线.分析:从问题来看，本题需要证明的是一个比例式,显然要与三角形“相似"挂钩,构造相似的方法可以过点C 作AD 的平行线,这样既可以有相似,又可以使“平行”、“角平分线”结合起来，构成等量关系.DC BDAC AB证明思路:过点C 作CF ∥AD 交AB 于F , 可证明AF =AC 。

由△BFC ∽△BAD得。

经等量代换得. 即。

点拨：这道题辅助线的添加是个关键，需要联系着相似和平分线两个角度来构造等腰三角形.例2 （09抚顺）已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点C 作一条直线与两条直线分别相交于点．（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系,请直接写出结论，不用证明； (2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，(1）中的结论是否成立?如果成立,请证明：如果不成立，请说明理由； (3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立?如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD 、BE 、AB 之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．设计思想：这道题会用到“平行线间同旁内角角平分线形成夹角为90°”,这是关于角平分线非常普遍的应用环境之一。

中考常考几何模型专题16 角平分线四大模型1、角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。

结论：PB=PA。

2、截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。

结论：△OPB≌△OPA。

3、角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。

结论：△AOB 是等腰三角形。

4、角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。

结论：△POQ 是等腰三角形。

模型精练：1．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°2．（2019•桂平市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm3．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定4．（2019•兰山区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB 于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为．5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．6．如图，在△ABC中，∠ABE＝2∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，垂足为E （1）若∠C＝30°，求证：AB＝2BE．（2）若∠C≠30°，求证：BE=12（AC﹣AB）．7．（2019•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．8．（2019•临洮县期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．9．（2019•自贡期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，（1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长；（2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．10．（2019•宜昌期中）（1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD＝AB+AC；（2）对于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．11．（2019•潮南区期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D．（1）求证：∠2＝∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．12．（2019•蔡甸区校级月考）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．13．（2019•崇安区校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．14．（2019•江夏区校级月考）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；（2）如图（2），若∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；（3）在（1）的条件下，当∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．15．（2019•东湖区校级月考）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是，△AEF的周长是（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC ＝10”其余条件不变，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．中考常考几何模型专题16 角平分线四大模型1、角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。

角平分线和平行线出等腰例题角平分线和平行线出等腰例题角平分线和平行线是我们在几何学中经常遇到的概念。

它们是几何学中的基础知识，很多几何问题都离不开这两个概念。

在这篇文档中，我将讨论关于角平分线和平行线出等腰三角形的例题。

例题1：证明：如果一条角平分线与另一条边相交，那么这条角平分线将这个角分成两个相等的小角。

解析：首先，我们假设有一个角ABC，角平分线AD将其分成两个小角BAD和DAC。

我们需要证明角BAD等于角DAC。

根据角平分线的定义，角BAD和角DAC是由角ABC的两边所构成的。

我们可以将角BAD和角DAC的顶点放在一起，形成一个角BAC。

那么，角BAC的两条边AB和AC都是角ABC的边，这意味着角BAC等于角ABC。

然后，我们可以通过角相等的性质来得到结论。

角BAD等于角BAC，而角DAC等于角BAC，所以角BAD等于角DAC。

这样，我们就证明了角平分线将角ABC分成了两个相等的小角。

例题2：证明：如果一条平行线与一个角的两边相交，那么这条平行线将这个角分成两个相等的小角。

解析：给定一个角ABC和一条平行线DE，我们需要证明角ADE等于角BAC。

首先，我们可以通过转角的定义知道角ADE和角BAC 都是由角ABC的两条边所构成的。

我们将角ADE的顶点放在一起，形成一个角ABC。

由于平行线DE与角ABC的两边相交，可以知道平行线DE和线段AC构成了交角。

接下来，我们可以应用平行线的性质。

平行线与一条直线相交时，对应角相等。

所以，角ADE等于角ABC。

最后，我们可以通过角相等的性质得到结论。

角ADE 等于角ABC，而角BAC也等于角ABC，所以角ADE等于角BAC。

这样，我们就证明了平行线将角ABC分成了两个相等的小角。

例题3：证明：如果一条角平分线与一条平行线相交，那么这条平行线将角平分线所分的角分成两个相等的小角。

解析：给定一条角平分线AD和一条平行线BC，我们需要证明角BAD等于角DAC。

高中数学中的平行线与角平分线性质在高中数学中，平行线与角平分线是两个重要的概念。

它们在几何学中具有许多有趣的性质和应用。

本文将探讨平行线与角平分线的性质，以及它们在解决几何问题中的应用。

一、平行线的性质平行线是指在同一平面内永远不相交的直线。

平行线具有以下几个重要的性质：1. 平行线的对应角相等：如果两条平行线被一条横截线所切，那么对应的内角和对应的外角相等。

2. 平行线的同位角相等：如果两条平行线被一条横截线所切，那么同位角相等。

3. 平行线的内错角互补：如果两条平行线被一条横截线所切，那么内错角互补，即相加等于180度。

这些性质是解决平行线相关问题时非常有用的工具。

通过应用这些性质，我们可以证明两条线平行，或者求解未知角度的值。

二、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。

角平分线具有以下几个重要的性质：1. 角平分线与角的两边相等：角平分线将一个角分成两个相等的角，因此它与角的两边相等。

2. 角平分线的交点在角的内部：角平分线的交点必定在角的内部，而不在角的边上或外部。

3. 角平分线的交点到角的两边的距离相等：角平分线的交点到角的两边的距离相等，这个性质被称为角平分线的垂直性。

这些性质使得角平分线成为解决角相关问题的重要工具。

通过利用角平分线的性质，我们可以证明两个角相等，或者求解未知角度的值。

三、平行线与角平分线的应用平行线与角平分线的性质在几何问题的解决中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 平行线的证明：通过利用平行线的性质，我们可以证明两条线平行。

例如，当两条线的对应角相等或同位角相等时，我们可以得出这两条线是平行的结论。

2. 角的平分线的应用：角平分线的性质可以帮助我们解决一些与角有关的问题。

例如，当我们需要求解一个角的大小时，可以利用角平分线将角分成两个相等的角，从而简化计算。

3. 平行线与角平分线的复合应用：在实际问题中，我们常常需要综合运用平行线与角平分线的性质。

平面几何的平行线与角平分线在平面几何中，平行线和角平分线是两个基本的概念。

它们在解决许多几何问题和证明中起着重要的作用。

本文将介绍平行线和角平分线的定义、性质以及应用。

一、平行线的定义与性质1.1 定义在平面上，如果两条直线在同一平面内没有交点，我们称它们为平行线。

用符号“∥”表示平行关系。

例如，若AB∥CD，则表示线段AB 与线段CD平行。

1.2 性质（1）平行线的性质1：平行线具有传递性。

如果AB∥CD且CD∥EF，则有AB∥EF。

（2）平行线的性质2：平行线与一直线的交线上的对应角相等。

（如图1所示）图1：平行线与对应角（3）平行线的性质3：平行线与一直线的交线上的内错角互补，即内错角和为180°。

（如图2所示）图2：平行线与内错角1.3 平行线的应用平行线的概念与性质在几何问题的解决中有着广泛的应用。

以下是一些例子：（1）构建平行线：在给定线段上作一条与给定直线平行的线段。

（2）判定平行线：通过已知条件判断两条直线是否平行。

（3）平行线截图定理：若两条直线被平行线切割，则对应的线段成比例。

二、角平分线的定义与性质2.1 定义在平面上，如果一条直线将一个角分成两个相等的角，我们称这条直线为角的平分线。

如图3所示，线段DE是∠C的角平分线，∠CED与∠DEB是相等的。

图3：角平分线2.2 性质（1）角平分线的性质1：角平分线将角分成相等的两个角。

（2）角平分线的性质2：角平分线与角的对边垂直。

（如图4所示）图4：角平分线与对边垂直2.3 角平分线的应用角平分线的概念与性质在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些例子：（1）角平分线的构造：给定一个角，作出它的角平分线。

（2）判定角平分线：通过已知条件判断一条直线是否为角的平分线。

（3）角平分线的性质在解决相关角度关系的问题中起着重要的作用，如证明两条直线平行等。

结论平面几何中的平行线和角平分线是重要的概念，它们在解决几何问题和证明中起着重要的作用。

初中数学经典几何模型专题04 角平分线模型在三角形中的应用在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。

不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。

实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。

能做到这三点，就能在解题时得心应手。

【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线，点P 角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P 作PM //OB 或PM //OA 即可.即有OMP ∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN ∠=∠, P 为BN 上的一点，并且PD BC ⊥于点D ,2AB BC BD +=,求证：180BAP BCP ∠+∠=︒.2、如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.3、已知:如图7,2,,AB AC BAD CAD DA DB =∠=∠=，求证:DC AC ⊥.4、如图,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ，使得2AD EM =.【基础训练】1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则BFEF的值是___________.2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为______3、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =13CE时，EP+BP =________.【巩固提升】1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG=S△PMN，试问点P是否在∠AOB 的平分线上？2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长（2）求证：DG平分∠EDF.5、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠B PC=∠BP A，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OP A=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。

专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.双角平分线模型（导角模型）【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。

【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A ∠=︒+∠ 1902BDC A ∠=︒-∠ 12BDC A ∠=∠ 1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O ．4231AFCB4321DAB(1)求证：∠AOC＝90°＋1∠ABC；2(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A ＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+1∠A(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点2O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。

平面几何平行线与角平分线在平面几何中，平行线和角平分线是非常常见的概念和性质。

平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线，而角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线或线段。

本文将探讨平面几何中平行线和角平分线的性质及应用，帮助读者更好地理解和运用这些概念。

一、平行线的性质与应用1. 平行线的定义与判定平面几何中，平行线的定义是指在同一个平面上的两条直线，永不相交。

判断两条直线是否平行有多种方法，其中常用的有以下两种：（1）平行线判定法一：同位角相等法。

当两条直线分别与第三条直线相交时，同位角（即对顶角）相等，则可以判定这两条直线是平行的。

（2）平行线判定法二：内错角相等法。

当两条直线分别与一条横穿它们的第三条直线相交时，内错角（即内角和相等）相等，则可以判定这两条直线是平行的。

2. 平行线的性质（1）平行线之间的距离始终相等。

对于平行线上的任意两点A和B，与这两点对应的垂直平分线始终相等。

（2）平行线之间的夹角始终相等。

对于平行线上的任意两个交线形成的相邻内错角、相邻同位角都相等。

（3）等于同一直线与另一条平行线相交所得内错角的外角，也叫同旁外角，等于一个直角（即90°）。

3. 平行线的应用平行线的概念与性质在日常生活和实际应用中得到广泛运用。

以下列举几个应用示例：（1）建筑工程设计中，平行线可以帮助建筑师确定水平线，确保建筑物的水平度。

（2）地图绘制中，经纬线相互平行，能够清晰表示地球表面的地理位置。

（3）公路和铁路的设计和施工中，平行线的概念被用来保证道路或铁轨的平直和行车的顺畅。

二、角平分线的性质与应用1. 角平分线的定义与判定平面几何中，角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线或线段。

判断角平分线的方法有以下两种：（1）角平分线判定法一：作角平分线的垂直平分线。

如果一条直线垂直平分一个角，则这条直线是该角的角平分线。

（2）角平分线判定法二：同位角相等法。

当两条角平分线的同位角相等时，可以判定这两条直线是角的平分线。

平行线与角平分线的性质平行线与角平分线是几何中非常重要的概念和性质。

平行线在平面几何中有着独特的性质，而角平分线则是指将角分成两个相等的角的线段或线。

一、平行线的性质1. 定义：平面上的两条直线如果在同一个平面内永不相交，则称这两条直线是平行线。

2. 平行线之间的距离是恒定的。

也就是说，对于任意一点到一条直线的距离，与这条直线平行的另一条直线上任意一点到这条直线的距离相等。

3. 平行线具有传递性。

如果直线a || 直线b，直线b || 直线c，则直线a || 直线c。

4. 平行线具有对应角相等的性质。

如果直线a || 直线b，直线c与这两条直线相交，则对应角相等，即∠1 = ∠5，∠2 = ∠6，∠3 = ∠7，∠4 = ∠8。

5. 平行线具有同位角相等的性质。

如果直线a || 直线b，直线c与这两条直线相交，则同位角相等，即∠1 = ∠4，∠2 = ∠3，∠5 = ∠8，∠6 = ∠7。

二、角平分线的性质1. 定义：角平分线是指将角分成两个相等的角的线段或线。

2. 角平分线分割出的两个角相等。

即，如果直线AC是∠B的角平分线，则∠BAC = ∠CAB。

3. 角平分线同时是∠B的高线。

也就是说，角平分线AC垂直于边BC。

4. 角平分线所在的直线上的任意一点到角内的两边的距离相等。

即，对于任意点P在角的平分线AC上，PA = PC。

5. 在一个三角形中，三条角平分线交于一点，这个点叫做内心，内心是三角形内接圆的圆心。

综上所述，平行线与角平分线的性质对于几何推理和证明都有重要意义。

平行线的性质包括平行线之间距离的恒定、传递性以及对应角和同位角的相等性质。

而角平分线的性质主要在于将角分成两个相等的角，角平分线同时也是角的高线，并且角平分线所在的直线上的任意一点到角内的两边的距离相等。

在三角形中，三条角平分线相交于内心，内心是三角形内接圆的圆心。

通过深入理解和应用平行线和角平分线的性质，可以帮助我们解决各种几何问题，扩展我们的数学思维和解题能力。

角平分线与平行线构造等腰三角形问题基本图形1已知：AB∥CD, （1）CE平分∠ACD交AB于E.问⊿ACE是什么特殊三角形（2）反过来，若AC＝AE,问CE是∠ACD的平分线吗基本图形2已知：△ABC,AB＝AC,（1）AE是外角∠BAD的平分线.问AE与BC平行吗（2）若AE∥BC，问∠DAE＝∠BAE吗（3）若AE是外角∠BAD的平分线，且AE∥BC，AB＝AC吗!问题举例1.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF 是菱形。

2．（2016•泰安）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F ，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．63．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，AB＝8，AC＝6 。

则△AEF的周长是______4.（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4 D．85.（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=3CE时，EP+BP= ．（6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边C D上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．47.已知：□ABCD,BE平分∠ABC, CF平分∠BCD,BE、CF分别交AD于E、F，BE与CF交于点G．(1)求证：BE⊥CF．(2)若AB=5，BC=8，求EF的长．&8.（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.求证：OE=OF；|9.（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；^10.已知：△ABC ，AB ＝AC ，AE 是外角∠BAD 的平分线，点D 为BC 的中点，DE ∥AC 交AE 于E,连接BE.求证：四边形AEBD 是矩形.~~11.（2017.岱岳区）如图，已知一次函数y=23x-3与反比例函数y=x k的图象相交于点A （4，n ），与X轴相交于点B.（1）求反比例函数的表达式；（2）将线段AB 沿X 轴向右平移5个单位到DC ，设DC 与双曲线交于点E ，求点E 到x 轴的距离.、。

三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型） 模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。

（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1 图2图3 条件：如图1，OO ’平分∠MON ，过OO ’的一点P 作PQ//ON. 结论：△OPQ 是等腰三角形。

条件：如图2，△ABC 中，BD 是 ∠ ABC 的角平分线，DE ∥ BC 。

结论：△BDE 是等腰三角形。

条件：如图3，在中，平分，平分，过点O 作的平行线与，分别相交于点M ，N ．结论：△BOM 、△CON 都是等腰三角形。

2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE 平分∠CBA ，∠ACB ＝∠CDA ＝90°. 结论：三角形CEF 是等腰三角形。

ABC !BO ABC ÐCO ACB ÐBC AB AC FCDE××○○×线交于点．若，则的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．例2．（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O 为△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，OD // AB 交BC 于点D ， OE // AC 交BC 于点E ．若AB =5 cm ，BC =10 cm ，AC =9 cm ，则△ODE 的周长为( )A ．10 cmB ．9 cmC ．8 cmD ．5 cm例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，BE 平分∠ABC 交AD 于E 点，CF 平分∠BCD 交AD 于F 点，则EF 的长为 cm ．例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D ，的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若，，则_____________．例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC 中，AB =AC ，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F .(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF 与BE 、CF 之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC 中∠B 的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F .这时图中还有等腰三角形吗?EF 与BE 、CF 关系又如何?说明你的理由.AF 1l B 130BCA Ð=°1Ð20°25°30°50°ABC △90BAC Ð=°AD BC ^ABC Ð3AE =2DF =AD =ABF EDC模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型图1 图2图3例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在中，D 是边上的点（不与点B 、C 重合），连接．(1)如图1，当点D 是边的中点时，_____；(2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m 、n 的式子表示）；(3)如图3，平分，延长到E ．使得，连接，若，求的值．ABC !BC AD BC :ABD ACD S S =△△AD BAC ÐAB m =AC n =:ABD ACD S S △△AD BAC ÐAD AD DE =BE 3,5,10BDE AC AB S ===△ABC S !课后专项训练1．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，中，，点I 为各内角平分线的交点，ABC !90ABC Ð=°ABC !11．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）12.（2023.广东九年级期中）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =CE 时，EP +BP =________.13．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，在中，，是斜边上的高，的平分线交于点，交于点．(1)求证：是等腰三角形．(2)若，．求的长度．14．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点，求证：是等腰三角形．15．（2023广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________．（2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长．13ABC !90ACB Ð=°CE AB ABC ÐBD CE M AC D CDM V 10AB =8AC =ME ABC !90ACB Ð=°CD AB AE BAC ÐAE CD F CEF △ABC !10AB AC ==BD ABC ÐCD ACB ÐD EF BC AB AC E F EF BE CF AEF △ABC !10AB AC ==ABC !8AB =10AC =EF BE CF AEF △（3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．16.（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）如图，为的角平分线．（1）如图1，若于点，交于点，，．则________； （2）如图2，若，，的面积是10，求的面积；（3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示）D ABC !AB AC >BD ABC ÐCD ABC !ACG ÐD DE BC AB AC EF EF BE CF AD ABC D CE AD ^F AB E 7AB =5AC =BE =7AB =5AC =ACD D ABC D 2C B Ð=ÐAB m =AC n =BD m n。