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中值定理的三个公式中值定理是微积分中的一个重要定理，用于研究函数的性质和推导函数的一些特征。
中值定理有三个不同的形式，罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理。
下面我将详细介绍这三个公式。
1.罗尔定理：罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情况。
设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，且满足$f(a)=f(b)$，则在开区间$(a,b)$内，存在至少一点$c$，使得$f'(c)=0$。
简而言之，如果一个函数在两个端点的函数值相等且在区间内可导，那么在该区间内一定存在至少一个导数为零的点。
2.拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它给出了一个函数在一个闭区间上存在一个导数与函数在区间两个端点的斜率相等的点的位置。
设函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可导，那么在$[a, b]$之间有一个点$c$，使得$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
换句话说，如果一个函数在闭区间内连续且在开区间内可导，那么在这个闭区间内至少存在一个点，其导数等于函数在这个区间两个端点的函数值斜率。
3.柯西中值定理：柯西中值定理是微积分中的一个重要定理，它给出了两个函数在一个闭区间上存在一个导数与函数在区间两个端点的函数值斜率之差的商相等的点的位置。
设函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可导，且$g'(x)\neq 0$ ，那么在$[a, b]$之间有一个点$c$，使得$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。
总结一下，如果两个函数在闭区间内连续且在开区间内可导，且其中一个函数的导数不为零，那么在这个闭区间内至少存在一个点，其导数与两个函数的函数值斜率之差的商相等。
第三章 导数的应用
本章将利用导数来研究函数的某些性态（如单调性、凹凸性），并应用这些知识描绘函数图形，解决有关极值的实际问题．中值定理是导数应用的理论依据，为此先介绍中值定理．
本章重点：罗彼塔法则、函数的单调性、曲线的凹凸性及拐点、函数的最大值和最小值、描绘函数的图形．
难点：求函数的极值、最值问题、描绘函数的图形．
§1 中值定理
一、罗尔定理
定理：如果函数()f x 满足下列条件：
(1)在闭区间[],a b 上连续；（2）在开区间(),a b 内可导；（3）()()f a f b =，那么在(),a b 内至少存在一点ξ使()0f ξ'=．
说明，()y f x =满足罗尔定理的条件，即在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且
()()f a f b =，则()y f x =具有罗尔定理的结论，即在(),a b 内至少存在一点ξ使曲线在该点
处有水平的切线，即()0f ξ'=．
例如，y C =满足罗尔定理的条件，则有罗尔定理的结论，y C =在(),a b 内有无数个点ξ使()0f ξ'=．
几何意义：如果()y f x =的弧段 AB 上（端点除外）处处具有不垂直于x 轴的切线，且两端点的纵坐标相等，那么这段弧上至少有一点C ，使曲线在该点的切线平行于x 轴． 注意：如果定理的三个条件中有一个不满足，则定理的结论就不能成立． 例1 验证()2
4f x x x =-在[]1,3上是否满足罗尔定理的条件及结论？
解：()2
4f x x x =-在[]1,3上连续，在()1,3内可导，且()1143f =-=-，()39123f =-=-，
则满足罗尔定理的三个条件
()240,2f x x x '=-==，故()f x 在()1,3内确实有一点2ξ=，能使()0f ξ'=成立．
二、拉格朗日定理
罗尔定理的几何意义由于()()f a f b =，弦AB 平行于x 轴，因此曲线弧 AB 上点C 处的切线实际上也平行于弦AB ．当()()f a f b ≠的情况，可以看出弧 AB 上至少有一点
练习： 课后第1题
()(),C f ξξ，使得C 处的切线平行于弦AB ．由于C 处切线斜率为()f ξ'，弦AB 的斜
率为
()()f b f a b a
--，即()()()
f b f a f b a ξ-'=-
定理：如果函数()f x 满足下列条件：
(1)在闭区间[],a b 上连续；（2）在开区间(),a b 内可导，那么在(),a b 内至少存在一点ξ使
()()()()f b f a f b a ξ'-=- 或 ()()()
f b f a f b a
ξ-'=
-．
定理中如果()()f b f a =，则()0f ξ'=，则罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况． 例2 对于()3
2
423f x x x x =-+-在[]0,2上验证拉格朗日定理的正确性．
推论：如果()f x 在(),a b 内导数恒为零，那么()f x 在(),a b 内是一个常数． 练习：证明()2
2
sin cos 1,,x x x +=∈-∞+∞．
三、柯西定理
定理：如果函数()f x 及()x ϕ满足下列条件：
(1)在闭区间[],a b 上连续；（2）在开区间(),a b 内可导且()0x ϕ'≠，那么在(),a b 内至
少存在一点ξ使()()()()()()
f b f a f b a ξϕϕϕξ'-=
'- ． 如果
()x x ϕ=，则()()b a b a
ϕϕ-=-
且()()1x ϕϕξ''==，就有a b ξ<<
()()()()f b f a f b a ξ'-=-．把柯西定理看成拉格朗日定理的推广．
上述三个定理中的ξ都是区间(),a b 中的某一个值，所以这三个定理统称为微分中值定理．其中尤以拉格朗日定理的应用最广．
小结：本节主要内容是三个中值定理，要注意区分它们的条件和结论，其中拉格朗日定理较为重要．
作业：2,3。
