引入：物体在 F 作用下产生位移 S，那么F作功W=|F|
F
θ S
|S|cosθ
从力做的功出发，类比引入向量数量积概念
一、两个非零向量的夹角
已知非零向量 a b b 作OA = a，OB = b 那么∠AOB=θ（0≤ θ≤π） 叫做 a 与 b 的夹角 注意： （1）夹角θ=0 夹角θ=π (2) θ=π/2时 a，b 同向 a，b 反向 a⊥b O B b O a A a b B a A
3、你能由数量积定义提出下列性质吗？（ a ≠0，b ≠0 ）
① e 单位向量 e· a=|a|cosθ |a| |b|
② a，b同向，a · b =
a，b反向，a · b= ﹣|a| |b| a· a= a 2=| a |2 ③cosθ =a ·b/|a||b| ④a⊥b a ·b=0 向量平方等于模的平方 夹角余弦等于数量积除以模的积， 非零向量垂直的充要条件是数量积为0
· 注意： （1）不能省略； （2）规定 0 与任一向量数量积等于0；
（3）a · b是一数量。
2、向量数量积几何意义
（1）向量b在a上的投影 B b B1 θ B1 O B θ O(B1) b
B
b
O
θ
a
A
a
A
a
A
OB1 = |b|cosθ ，叫b在a上投影 (数量)
|b|cosθ 的值可正、可负、也可为0。由θ 决定 （2）a· b=|a| |b| cosθ 的意义是：a 的模| a |与另一向量 b 在 a 上 投影 | b |cosθ 之积
练习：
①由 a · b =0，能得出 a =0或 b =0？ ② e1，e2 是两个单位向量，e1 2= e2 2吗？ ③| p |=2，| q |=3，夹角θ=450，p q= ·？
④a ·b =0 ( a ≠0，b ≠0)， a，b的夹角是多少？
小结：
1、两向量夹角：两向量共起点后构成的角 2、数量积：模的积与夹角余弦积（是一实数）
3、性质：
① a 2=| a |2 ② a⊥b （向量平方等于模的平方） a·b=0（非零向量垂直的充要条件是数量积为零）
③cosθ =a · b/|a||b| （夹角余弦等于数量积除以模的积）
作业：P121 练习中2、3、4
习题中3。
θ
a∥b
(3)向量夹角是共起点后形成的角
例如：在三角形ABC中，∠ABC=450，BA 与 BC 夹角是多少？ A BA 与 CB 夹角呢？ 1350 D B 1350
E
450
C
二、数量积的定义
1、两非零向量 a 和 b ，夹角为θ，把|a| |b|cos θ， 叫a 与 b 的数量积
记作：a · b=|a| |b|cosθ
⑤| a ·b |≤| a | | b |
三、数量积运用
例1：已知| a |=3，| b |=6，当① a ∥ b ； ② a ⊥ b；③ a 与 b 夹角为600时， 分别求 a ·b 分析：数量积定义是什么？夹角余弦与模 的积。由此知只要找出它们夹角，代入即可
解：①若 a 、b 同向，夹角θ=00， a b= · | a || b |coห้องสมุดไป่ตู้00=18
若 a 、 b 反向，夹角θ=1800 a b= · | a || b |cosθ=-18
②∵a ⊥ b ∴a · b=0
③ a ·b =| a || b |cos600=9
例2：在△ABC中，AB· CA>0， △ABC是什么△？ 分析：画出图形弄清AB，CA夹角
C
A π-A B D
解：AB，CA夹角为π-A 由cos(π-A)=AB CA/|AB||CA|>0 · 得cosA<0，又0<A<π ∴A为钝角，故△ABC为钝角三角形。
