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平面向量数量积习题课 ppt课件

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平面向量的数量积PPT课件

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

平面向量的数量积PPT课件

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【答案】
5 4
(2)△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D 是 边 BC 上一点，DC＝2BD，则A→D·B→C＝________.
【思路分析】 考查平面向量的基本定理及向量数量 积运算．
【解析】 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→C＋23A→B， 又∵B→C＝A→C－A→B，A→C2＝1，A→B2＝4， ∴A→B·A→C＝2×1×cos120°＝－1，
3．注意 ①两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0. ②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)． ③a·b 中的“·”不能省略．
1．关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： ①若 a·b＝a·c，则 b＝c. ②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b. ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由 a·(2a －b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得 k＝ 12.
5．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1 ＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
【思路分析】 根据非零向量数量积的定义直接求解即 可，只需确定其夹角 θ.
【解析】 ①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的 夹角为 0°，
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180°， ∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当 a⊥b 时，它们的夹角为 90°， ∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0. ③当 a 与 b 的夹角为 30°时， a·b＝|a||b|cos30°＝2×5× 23＝5 3.

数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件

数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件

向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2

2.4.1平面向量的数量积：课件一(15张PPT)

2.4.1平面向量的数量积：课件一(15张PPT)

⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ· ) · ａ·ｂ · ｂ c= ( c)
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
小结：
• 1. a b | a || b | cos
• 2. a b a b 0
2 2 a | a |
可用来求向量的模
3.投影
a b | a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
返回
三、讲解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时， 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB ＝ BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与ka 4b 也 互相垂直，求 的值。 k 2、设a是非零向量，且 c , 求证： b a b a c a (b c )
返回
4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或 | a | a a 4 cos =

平面向量的数量积PPT课件

平面向量的数量积PPT课件
|b|＝ (2n－3m )2＝ 4n2－12m ·n＋9m 2＝ 7. 而a·b＝(2m ＋n)·(2n－3m )＝m ·n－6m 2＋2n2＝－72， 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝|aa|··|bb|＝－772＝－12. 又θ∈[0°，180°]，故a与b的夹角为120°.
20
题型四 平面向量的垂直问题 例4 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．
＝2×((－－44))＋2＋37×2 7＝
13 ＝ 65
65 5.
6
4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量 a 在向量 b 方
向上的投影是
(A )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析 a·b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上
的投影的乘积，而 cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝－23， ∴|a|·cos〈a，b〉＝6×－23＝－4，故选 A.
23
变式训练4 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上， OA
＝(－2，m)，O→B＝(n,1)， OC ＝(5，－1)，且O→A⊥ O→B ，
求实数m，n的值．
解 由于A、B、C三点在同一条直线上， 则 AC ∥A→B， AC ＝OC OA ＝(7，－1－m)， A→B＝O→B－O→A＝(n＋2,1－m)，
4
基础自测 1．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，
|b|＝ 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a·b ＝___3_____. 解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝2× 3× 23＝3.
5
3
2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10 ,则 AB·AC ＝___2 ___.

平面向量的数量积课件课件


并完成下表：
a夹 角b的 的范正围负0 90
90
90 180
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
4.研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习
一物体质量是10千克, 分别做以下运动, 求重力 做功 的大小。
5.已知a2
2
1, b
2, (a
b)
a
0, 求a与b的夹角.
6.已知a+b c 0，| a | 3,| b | 5,| c | 7,
求a与b的夹角.
1.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60 , 求|a 3b | 2.已知a,b满足：| a | 1，| b | 2,| a b | 2, 求|a b | 3.已知平面上三点A, B,C满足：| AB | 2，
ab
|
a
||
b
|
cos
其中θ是 a 与 b 的夹角，| b | cos(| a | cos) 叫做向量 b 在 a
方向上（ 在 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为a 零，b 即
。
a0 0
0时 b 在 a 方向上的射影| b | .是为锐角时，
b
θ O
B
| OB1 || b | • cos , b 在 a 方向上的射影是正数
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
S
①、在水平面上位移为10米；
G
W 0
②、竖直下降10米；
S G
WGS
③、竖直向上提升10米；

《平面向量数量积》课件2[1][1].ppt1

2
或 AD BC AD 9
2
120
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
或 AB CD AB 16
3. AB与AD的夹角是60 , AB与DA的夹角是120
1 AB DA AB DA cos120 4 3 6 2
返回
B
b
O
θ
a
A B1
当θ为锐角时，它是正值；
返回
B
b
θ
B1
O
a
A
当θ为钝角时，它是负值；
返回
2、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求 BC CA
A
3、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹角为 3 , 则 a在e方向上的投影为
B
C
4、 如图, 在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60 ,
பைடு நூலகம்
基础练习
1、判断下列命题的真假: （1）平面向量的数量积可以比较大小 （2）若a 0 则 与 的夹角为钝角 b ,a b . （3）已知b为非零向量因为0×a =0， a · = 0,所以a = 0 b (4 ) 对于任意向量a、 b、 c，都有a · · = a· · b c （b c）
求 : 1. AD BC
2.AB CD
3.AB DA
D
C
解: 1因为AD与BC平行且方向相同 ,
AD与BC的夹角为 . 0 A AD BC AD BC cos0 3 3 1 9
60
B
2. AB与CD平行, 且方向相反

平面向量的数量积(PPT)5-3

5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，怎样 表示向量 AB
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
y a
（x，y）叫做向量a的坐标，记作
还”
5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )，b (x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
即
a + b (x1 x2 , y1 y2 )
j
a=(x , y)
OiBiblioteka x那么i =（1 ，0 ） j =（ 0 ，1 ） 0 =（ 0 ，0）
类而意思相对的词或词素的前面，表示“既不…也不…”。ɑ）表示适中，恰到好处：～多～少｜～大～小｜～肥～瘦。）表示尴尬的中间状态：～方～ 圆｜～明～暗｜～上～下｜～死～活。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【不才】〈书〉①动没有才能（多用； 油猴脚本；来表示自谦）：弟子～｜～之士。②名“我”的谦称：其中道理，～愿洗耳 聆教。 【不测】①形属性词。不可测度的；不可预料的：天有～风云。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，以防～。 【不曾】副没有?（“曾经” 的否定）：我还～去过｜除此之外，～发现其他疑点。 【不差累黍】形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。 【不成】①动不行?。②形不行?。③助用在 句末，表示推测或反问的语气，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？｜这么晚他还不来，莫非家里出了什么事～？ 【不成比例】指 数量或大小等方面差得很远，不能相比。 【不成话】不像话。 【不成体统】说话、做事不合体制，没有规矩。 【不成文】形属性词。没有用文字固定下来 的：～的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 【不成文法】名不经立法程序而由国家承认其有效的法律，如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。 【不 逞】动不能实现意愿；不得志：～之徒（因失意而胡作非为的人）。 【不齿】〈书〉动不与同列（表示鄙视）：人所～。 【不耻下问】不以向地位比自己低、 知识比自己少的人请教为可耻。 【不啻】〈书〉动①不止；不只：工程所需，～万金。②如同：相去～天渊。 【不揣】动谦辞，不自量，用于向人提出自己 的见解或有所请求时：～浅陋｜～冒昧（不考虑自己的莽撞，言语、行动是否相宜）。 【不辞】动①不告别：～而别。②不推脱；不拒绝：～辛劳｜万死～。 【不错】形①对；正确：～，情况正是如此｜～，当初他就是这么说的。②不坏；好：人家待你可真～｜虽说年纪大了，身体却还～。 【不打自招】还没有 拷问就招供了。比喻无意中泄露真实情况和想法。 【不大离儿】〈方〉形①差不多；相近：两个孩子的身量～。②还算不错：这块地的麦子长得～。 【不带 音】ī发音时声带不振动。参看页〖带音〗。 【不待】副用不着；不必：自～言｜～细说，他就明白了。 【不单】①副不仅?：超额完成生产任务的，～是这 几个厂。②连不但：她～教孩子学习，还照顾他们的生活。 【不但】连用在表示递进的复句的上半句里，下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、

平面向量数量积课件


综合练习题
总结词
综合运用平面向量数量积的知识，解决实际问题。
详细描述
综合练习题是平面向量数量积练习题的最高级别，需要 学生综合运用平面向量数量积的知识，解决实际问题。 这些练习题会涉及多个知识点和多种解题技巧，包括利 用向量数量积的运算规则进行复杂向量问题的运算、利 用向量数量积的几何意义解决与几何图形相关的问题等 。通过这些练习题，学生可以培养综合运用知识的能力 和解决实际问题的能力，提高对平面向量数量积的综合 运用水平。
THANKS
感谢观看
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，可以将一个力分解为多个 方向的力，然后通过计算各个方向的 力与物体质量的关系，得到物体加速 度等物理量。
速度与加速度
能量与动量
在物理中，能量和动量是两个重要的 物理量，可以通过计算向量数量积来 计算它们的变化。
可以通过计算速度和加速度的数量积 来计算物体在某可以表示两个向量在某个方向上的投影分量的乘积。例如，在力学中 ，力的大小和方向可以用一个向量来表示，而力的作用点也可以用一个向量来表示。当 两个力作用于同一物体上时，它们会产生一个合力，这个合力的方向和大小可以通过两
个力的数量积来计算。
02
平面向量数量积的运算
数量积的运算律与性质
平面向量数量积的例题解析
基础题解析
总结词
掌握平面向量数量积的基本概念和性质，熟悉向量数量积的运算规则。
详细描述
通过分析例题，让学生了解平面向量数量积的基本概念和性质，掌握向量数量积的运算规则，包括如何进行向量 的数乘、向量的加法、向量的减法以及向量的数乘、向量的加法、向量的减法的混合运算。同时，让学生了解平 面向量数量积在几何和物理问题中的重要应用，例如在求解距离、夹角等问题中的应用。
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3.设两个向量e1、e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的 夹角为钝角,求实数t的取值范围.
(-7,1- 4)∪ (- 14,-1).
2
22
4.点O是△ABC所在平面上一点,且满足 O•O A B O•O B C O•O A,C 则点O是△ABC的( B ) (A)重心 (B)垂心 (C)内心 (D)外心
为何值时，向量 a kb 与 a kb 垂直
解：已知akb与 akb 互相垂直的充要条件 是
(akb) •(akb)0
a2k2b20
即a 2 3 2 9 ,b 2 4 2 1,6
91k620.
k 3 4
也就是说，当且仅当 k 3 时，akb与akb
互相垂直.
4
用数量积解决垂直问题 【例 3】设平面内两向量 a与 b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又 k与 t是两个不同时为 零的实数. (1)若 x=a+(t-3)b与 y=-ka+tb垂直,求 k关于 t的函数关系式 k=f(t); (2)求函数 k=f(t)的最小值. 解:(1)∵a⊥b,∴a·b=0.又 x⊥y,∴x·y=0, 即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0, -ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.
法二:如 C ,
则 =a+b, =a-b, ∵|a|=|b|, ∴| |=| |, 故▱ AO B C 为菱形, ∴O C 平分∠AO B , 由于|a|=|b|=|a-b|, 即| |=| |=| |, ∴△AO B 为正三角形,
则∠AO B = ,
(A)一次函数且是奇函数 (B)一次函数但不是奇函数 (C)二次函数且是偶函数 (D)二次函数但不是偶函数
2.(2010年高考浙江卷)
已知平面向量α、β,|α|=1,|β|=2, α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是
10
数量积的综合应用
类型三：向量的夹角问题
用数量积解决夹角问题 【例 4】 已知 a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求 a与 a+b的夹角.
(1)arcco3s(2) 1 (3) 19
4
2
8
2.在ABC中，若 B Ca,C A b,A Bc，且 a • b b • c c • a . 则 ABC的形状为 等边三角形
2.变式题：O为ABC所在平面内任意一点，且满足
(O O B )•( C O O B 2 C O ) A 0则 ABC的形状为 等腰三角形
平面向量数量积习题课
基本知识回顾
1，平面向量数量积的定义 2，数量积的几何意义 3，数量积的性质 4，数量积的运算律 5，数量积的坐标表示
数量积的综合应用
类型一：向量的模
例1： 已知向量
a与
b的夹角为 120 ，且
a 4,b 2
r r
求：（1）a b
rr （2） 3a 4b
（3）
304 4 19
总结：求向量长度的方法,即一个向量的长度为它与自身数
量积的算术平方根.即
2
a a
1.已知向量|a|=,a·b=10,|a+b|=5,求|b|.
.
2.已知向量 a , b 满足 a1,3 b1,9 ab2,4
求 ab .
3.已知 a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，
若向量 满足c， (ac)•(bc)，0则求 的c最大
数量积的综合应用
综合题型
1.已知a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|= 2 ,则a·b+b·c+c·a的
值为( D )(A)7 (B) 7 (C)- 7 (D)- 7
2
2
1.变式题：（1）求 a与 b的夹角 .
（2）是否存在实数使 ab与
a2b共线.
（3）是否存在实数
使
ab
与
a2b垂直.
思路点拨:利用夹角公式 cos θ= 计算或根据向量加减法的几何意义求解.
解:法一:∵|a|=|a-b|, ∴|a|2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2, 又|a|=|b|,∴a·b= |a|2,
又|a+b|=
=
设 a与 a+b的夹角为 θ,
= |a|.
则 cos θ=
=
=
=,
又θ∈[0,π],∴θ= , 即 a与 a+b的夹角为 .
∵|a|=2,|b|=1,∴-4k+t2-3t=0,即 k= (t2-3t).
(2)由(1)知,k= (t2-3t)= (t- )2- ,
即函数 k=f(t)的最小值为- .
1.(2010年高考北京卷) 若a,b是非零向量,且a⊥b,|a|≠|b|,
A 则函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)是( )
故∠AO C = ,即 a与 a+b的夹角为 .
求两向量夹角的方法主要是应用公式 cosθ= 来解决,为此应 求出 a·b与|a||b|的大小,或在 a·b已知的情况下直接代入运算.
变式训练 4 1:向量 a、b满足(a-b)·(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,求 a与 b的夹角.
解:设 a,b的夹角为θ, ∵(a-b)·(2a+b)=2a2+a·b-2a·b-b2 =2|a|2-|a||b|cosθ-|b|2=8-8cosθ-16 =-8cosθ-8=-4. ∴cosθ=- , 又∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.
值. 变式题（09高考）:设 a,b, c是单位向量，且a•b0
则 (ac)•(bc)的最小值.
数量积的综合应用
类型二：向量的垂直问题
若要证明某两个非零向量垂直,只需判断它们的 数量积是否为零;两个非零向量的数量积为零, 则它们互相垂直.
已知| a | 3,| b | 4.( a 与 b 不共线)，当且仅当 k
rr r r ab•a2b
((13 ())2a( )a 3 a a b b 2 ) 4 b • a ( (a a • a 2 b ( b2 3 c )b a 2 2) a 1 o 4 • b a b a )2 2 2 s 2 c 2 a 2 b 1 0 o a • 9 2 b • a b 2 2 s 1 2 b 2b 2 b 0 2 2 2 a • b 4 1 21 b 2 2 36