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高中数学平面向量数量积课件

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高三一轮复习课件平面向量的数量积

高三一轮复习课件平面向量的数量积
a. 确定两个向量的方向和长度
b解的.
题模计技和算巧方两：向个角a向的. 量利关的用系夹向c角量.
的 利
性 用
质 向
和 量
几 的何Biblioteka 加意 法义 和简 减
化 法
计 进
算 行
b. 简化
注 计
意 算
向
量
ca.. 利利用用数向量量积的公性式质求和解几 何 意 义 简 化 计 算
b. 注意向量的模和方向角的关系
定义：平面向量的数量积是两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余 弦值的乘积 几何意义：表示两个向量的夹角大小和方向
性质：数量积满足交换律、结合律和分配律
应用：在物理、工程等领域有广泛应用，如力矩、功等
结合律：a·(b+c) = a·b + a·c 交换律：a·b = b·a 分配律：a·(b+c) = a·b + a·c
平行四边形定 理：两个向量 的数量积等于 这两个向量的
模的乘积
余弦定理：两 个向量的数量 积等于这两个 向量的模的乘 积再乘以这两 个向量的夹角
的余弦值
向量数量积的 性质：向量数 量积的绝对值 等于这两个向 量的模的乘积 再乘以这两个 向量的夹角的
余弦值
向量数量积的 定理：两个向 量的数量积等 于这两个向量 的模的乘积再 乘以这两个向 量的夹角的余
记开方等
理解错误，如 混淆向量的数 量积和向量积
的性质
应用错误，如 无法正确应用 向量的数量积 解决实际问题
计算两个向量的数量积，并判断其 正负性
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因
计算两个向量的数量积，并判断其 方向
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因

高中数学课件 平面向量的数量积(2)

高中数学课件 平面向量的数量积(2)

解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 32 (1) 2 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a ||b | 2 10 5
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
4 x 2 y 0 2 2 x y 1
5 2 5 5 2 5 所求向量为 ( , )或( , ) 5 5 5 5
例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，
向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。 解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 1 所以k= 3 （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
o
2
2
练习2：已知|a|=1，|b|= 2 ，
(1)若a∥b，求a· b；
2
2
(2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； 3
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45°
练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i· 1 i=_______ ② j· 1 j=________ ③ i· 0 j=________
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a· b+9|b|2=108,
所以 | 2a 3b | 6 3
练习1： 已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求
（1）|a+b|；（2）|2a－3b|.

向量的数量积 第2课时 向量的向量积 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共17张PPT)

向量的数量积 第2课时 向量的向量积 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共17张PPT)

【解析】 由于 a2≥0，b2≥0，所以，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0， 故①正确；若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量， 所以 a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b 共线⇔a·b＝±|a||b|， 所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是 a·a·a＝|a|2a； ⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 a·b>0， 因此⑦错；
小结：
数量积运算律
(1)a b b a（交换律） (2)(a) b (a b) (a) b（数乘结合律）
(3)(a b) c a c b c （分配律）
所以
(a b) c a c b c
思考：向量的数量积满足结合律 ( a b ) c a ( b c ) 吗？
说明： (a b) c 表示一个与 c 共线的向量 ， 而 a (b c) 表示一个与a 共线的向量 但 c 与 a 不一定共线，
(a b) c a (b c)
∴ 向量数量积不满足结合律 .
例1.对任意a,b R ,恒有 (a b)2 a2 2ab b2，(a b)(a b) a2面类似的结论？
(1)(a
2(a
b)2 b)
a
2
(a b)
2a
a
b b 2 2 b2
解：（1）(a b)2 (a b)(a b) a a a b b a b b
即a2
k
2
2
b
0
因为
2
a
32
2
9, b
42
16
所以 9 16k 2 0
所以,当 k 3时, 4

平面向量的数量积PPT课件

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

人教A版数学必修四2.4_平面向量的数量积_课件_(共24张PPT)

人教A版数学必修四2.4_平面向量的数量积_课件_(共24张PPT)
例1. 已知|a|＝3，|b|＝4且a与b的夹角为θ＝120°， 求：a·b，(a＋b) 2，|a-b|.
分析：根据向量的运算律求(a＋b)2,|a-b|，求模时转化为 求向量的平方问题，即|a|2＝a2.
解析：a·b＝|a||b|cos 120°＝－6.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9－12＋16＝13， (a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9＋12＋16＝37， ∴|a－b|＝ 37.
| OuuAu1ur|| auu| ucuor s1r
| A1B1 || AB2 || b | cos2
uuuur uuur uuuur
Q|
Or B1r||
OA1
|

| r
A1B1
|
r
A
B2
2
ab B
r | a r b |rcos r| ar| cosr1 | b | cos2
1
c (a b) | c || a b | cos
rrLeabharlann rrOA1 c B1 C
|
c r
|| a r
|
cos rr
1

|
c
||
b
|
cos

2
r r rc ar crb r r
(a b) c a c b c
4.例题剖析 加强应用
题型一 求向量的数量积及向量的模
＝4×4×(－cos A)，
∵A→B·C→A＝－8，
∴cos A＝12，又∵A 为三角形的内角，
| | | | ∴A＝60°，又
→ AB
＝
→ AC
＝4
点评：∴△向A量B的C夹为角正必三须角共形起．点．所以向量A→B与C→A的夹角为(π－A).

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2

数学人教A版(2019)必修第二册6.2.4平面向量数量积(共15张ppt)

数学人教A版(2019)必修第二册6.2.4平面向量数量积(共15张ppt)


，求

∙ .
设 =12， =9， ∙ =-54 ，求与的夹角
向量的数量积的几何意义是什么？
B
a
A
b
C A1
B2
D
两个非零向量、，他们的夹角为，
探究向量在上的投影向量的情况.
两个非零向量、，他们的夹角为，是与方向相同的单位
向量.
（1） ∙ = , = .（求向量长度的工具）
如何规定向量的乘法.
向量的乘法的结果是什么量？这个值由那些量决定？符号
由什，我们把数量
cos量叫做、的数量积，记作 ∙
即 ∙ = cos
规定零向量与任一非零向量的数量积为0.
已知 = , = , 与的夹角 =
6.2.4向量的数量积
学习目标
1、向量数量积的运算.
2、向量投影及投影向量的概念
重点、难点 向量数量积的概念与运算律.
向量的概念源自哪一门学科？我们已经研究了向量的哪些
运算？这些向量的运算表运算结果是什么？
前面学习了向量的加，减，数乘（线性运算）.
其运算结果是向量.
向量能否相乘？如何规定向量的乘法？我们该怎样研究？
（2） ⊥ ⟺ ∙ =0.（直线垂直的重要条件）
（3） ∙ = ∙ = cos.
已知 = , = , 与的夹角 = °，求 ∙ ，
（ + ）2 ， + .
1、本节课学习了哪些知识和内容.
2、结合实例说明向量数量积的几何意义.
感谢聆听！

6-3-5平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册

6-3-5平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册



2
2
2
2
a x1 y1 , b x2 y 2 .
A、B两点间的距离公式:已知 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y 2 ),
AB ( x2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ,
cos
x1x2 y1 y2
x1 y1
2
2
x2 y2
3
2
1→ 1→
1
1
4
＝－ AB 2＋ BC2＝－ ×2＋ ×4＝ .
3
2
3
2
3
四、课堂练习
方法二：以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在
直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．
∵AB＝ 2，BC＝2，
∴A(0，0)，B( 2，0)，C( 2，2)，D(0，2)．
∵点 E 为 BC 的中点，∴E( 2，1)．
于是 AB AC.
所以△ABC是直角三角形．
向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一
三、典型例题
例1 若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是
什么形状？证明你的猜想．
3), BC (4，
2),
1), AC (3，
解析： 因为 AB (1，
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2
四、课堂练习
思考题 3
(1)a，b 为平面向量，已知 a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则 a，
b 夹角θ的余弦值等于(
8
A.65
16
65
C.
C
)

平面向量数量积的坐标表示 课件 高中数学人教A版(2019)必修第二册

平面向量数量积的坐标表示 课件 高中数学人教A版(2019)必修第二册
想.；
解法1：因为 = (2 − 1，3 − 2) = (1，1)
= −2 − 1，5 − 2 = −3，3 ， = (−4，2),
所以

2
=
所以
2
= 12 + 12 = 2,
(−3)2
2
+ 32
+
2
= 18,
=
2
= (−4)2 + 22 = 20,，
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
课标ห้องสมุดไป่ตู้位
学习
目标
1.掌握平面
向量数量积
的坐标表示；
学习
目标
2.会运用两
个向量的数
量积的坐标
表示解决有
关长度、角
度、垂直等
几何问题；
学习
目标
3、通过对
平面向量数
量积的坐标
表示的学习，
培养学生数
学抽象、数
学运算等数
学素养。
目录
01
温
故
知
新
02
例
题
讲
解
03
当
堂
检
测
04
∙
||∙||
=
+
∙




+ +
例1：设Ԧ ＝(4，－3)， ＝(5，12)，求Ԧ ·
解：Ԧ ∙ = 4 × 5＋(－3) × 12＝20－36＝－16
变式：求Ԧ ， 的夹角θ的余弦值．
Ԧ ∙ = ||
Ԧ ∙ ||
则Ԧ ⋅ Ԧ − = −2,4 ⋅ −3,3 = 18
）
2、若向量 = −, ， = , ，则向量 + 与 + 的夹角的余弦

6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册

6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
解：如图，在平面直角坐标系中画出点，，，
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③

i i =

ij=
1
②
0
④

j j =

j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2

1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.

《平面向量数量积》课件2[1][1].ppt1

《平面向量数量积》课件2[1][1].ppt1
2
或 AD BC AD 9
2
120
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
或 AB CD AB 16
3. AB与AD的夹角是60 , AB与DA的夹角是120
1 AB DA AB DA cos120 4 3 6 2
返回
B
b
O
θ
a
A B1
当θ为锐角时，它是正值；
返回
B
b
θ
B1
O
a
A
当θ为钝角时，它是负值；
返回
2、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求 BC CA
A
3、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹角为 3 , 则 a在e方向上的投影为
B
C
4、 如图, 在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60 ,
பைடு நூலகம்
基础练习
1、判断下列命题的真假: （1）平面向量的数量积可以比较大小 （2）若a 0 则 与 的夹角为钝角 b ,a b . （3）已知b为非零向量因为0×a =0， a · = 0,所以a = 0 b (4 ) 对于任意向量a、 b、 c，都有a · · = a· · b c （b c）
求 : 1. AD BC
2.AB CD
3.AB DA
D
C
解: 1因为AD与BC平行且方向相同 ,
AD与BC的夹角为 . 0 A AD BC AD BC cos0 3 3 1 9
60
B
2. AB与CD平行, 且方向相反

平面向量数量积的坐标表示 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册

平面向量数量积的坐标表示 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
AE 1 AB (1, 2), 2
又OA (1, 1) (O为坐标原点), 则OC OA AC (0, 3),所以点C(0, 3)
OD OA AD (3, 9), 所以点D的坐标为(3, 9)
OE OA AE (2, 1), 所以点E的坐标为(2, 1)
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(2)由(1, 3) ( x 1, y 5), 得点B的坐标为(0, 8); (3)由(2, 5) ( x 3, y 7), 得点B的坐标为(1, 2)
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6), 求顶点D 的坐标.
由题意知AD
BC
,
设D(
x,
(2) EF EG,
EF·EG
1 3
b
1 2
a
1 2
a
1 3
b
1 2 1 2 19 2 1 2 b a a a 0,
9 4 94 4
EF EG, 即EF EG
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(3) E、F、G三点共线. 证明：因为EF (8, 4), EG (1, 0.5), 所以EF 8EG,因为直线EF与直线EG有公共点E, 所以E、F、G三点共线.

《平面向量的数量积 》课件

《平面向量的数量积 》课件

数量积的性质

对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包 括对称性、分配律等。

平面向量的数量积课件-——2025届高三数学一轮复习

平面向量的数量积课件-——2025届高三数学一轮复习

则 AB • AC 16
（二）以 AB、AC 作为基向量
AB
AD
1 2
BC
①
AC
AD
1 2
BC
②
AB• AC (AD 1 BC) • (AD 1 BC)
2
2
2
AD
1
2
BC
4
16
合作探究
【变式练习】
已知正三角形
ABC
的边长为
2，点 M
满足 CM
1 CA 3
3 2
CB
，则 MA MB
的值为（
cos
1 cos 2 1 sin 2 1 2 sin(2 )
2
2
22
4
∵
0 ,则
4Leabharlann 4244,
∴当
2
4
4
时,
PA • PD有最大值1
合作探究
【变式练习】
圆 C 的方程为 (x 3)2 y2 2 ， AB 是圆 C 的任意一条直径， M 是抛物线 y2 4x 上的 动点，则 MA MB 的最小值是
【解析】
2
2
2
2a b 4a 4a •b b
16 4 a b cos 9
25 24cos
2a b 49
max
2a b 1
m in
2a b 1,49
回归思教考材辨析 人教A版第二册第24页第21题
2.已知 ABC 的外接圆圆心为O ，且2 AO AB AC , OA AB ,则向 量 BA 在向量 BC 上的投影向量为（ ）
回归思教考材辨析 人教A版第二册第23页第10题
1.若 a ，b 满足 a 2, b 3 ，则 a b 的最大值为

平面向量数量积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

平面向量数量积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

量，符号由cosθ的符号确定。
2、在数量积中 ，若
a
b
0
，且
a0
,
不能推出 b 0 。因为其中cosθ有可能为0
3得、.但已是知有实数aba,bb,cc(不b 能0)得aab
bc
c
则有a
c
4、在实数中 (a
但 (a
bb))cc
a(b a(b
c) c)
,
2
b
2
例2
已知
a
5,
b
4
，a与
b的夹角为120°,求
a
b
例3
已知
a
求 a
2b6 ,
b
a
3b4 ,
a
与b的夹角为60°，
.
3 例4
量
a
已知
a
kb 与
3, b
a
4
且a
与b
不共线.求当k为何值时，向
kb 互相垂直？
4
练习：
求(1)已(a 知 2|ba)|(a3,| b3b|),4,|且a a与b|,b|的a 夹b角| θ 150o ,
θ O
a cos
A
b
B A1
投影是向量还是数？投影与什么有关系？
2．数量积的几何意义
根据投影的概念数量积 的几何意义如何？
a b = | a || b | cos
B
O
θ b c os
B1
A
数量积
a
b等于
的a 模
与a 在
影上的a 投cob影sθ的b 乘积的，乘或积等，于a
的模
cob |
|2 或
| a |
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b在a上的投影：| b | cos
a在b上的投影：| a | cos
| b | cos 0
数量积a b等于 | a | 与投影 | b | cos的乘积。
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． ×
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 × 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0×． 5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c ×
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
a
b 等于
a
的长度
|
a
|与
b在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
投影
a b | a || b | cos
b Oθ
b aO
b
a
Oθ a
| b | cos 0
| b | cos 0
aa
a
2
(4) cos a b
| a || b |
(5) | a b || a || b |
例1：已知 a 1, b 2
(1)a // b,求a b; (2) 3 ,求a b
4
解：（1）由a // b，分两种情况：
当a,b同向，a b 2; 当a,b反向，a b 2。
２
思考 ａｂ
ａｂ2
2(ａ2
ｂ2 )
是一个常用的结论，如何构造一个 图形解释这个公式的几何意义？
例5.已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
例4
(a kb)(a kb) 0
2
a
k
2
2
b
0
9 16k 2 0
k3 4
小结：
a b | a || b | cos
2
2
a a b 6b
| a |2 | a || b | cos 6 | b |2
72
(a b)2
a
2
2a
b
2
b
|
a
|2
2 | a || b | cos | b |2
28
| a b |2 (a b)2 28 | a b | 28 2 7
例5 已知ａ=７,ｂ=４，ａｂ 9 求ａｂ.
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
(a + b) ·c = ON |c|
b
a a+b
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－
（2）a b 1 2 cos 3 1
4
例2 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10
例3 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
设a,b为任意向量，λ,μ为 任意实数，则有：
① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当
a=0 时成立．× 7．对任意向量 a 有 a2 | a |2 √
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)a
b
b
a
(2)(
a
(b )
(3)(a b) c a c b c
其注中：，a(a、bb)、 c c是a 任(b意 c三) 个向量， R
单位设向a量、，b是是非a与零向e 的量夹，e角是，与则b
方向相同的
a b | a || b | cos
(1)e
a
a
e|a
|
cos
bB
((32)当)aa与bb同向a 时b ，0a
b
|
a
||
b
|;
Oθ
A
B1 a
当a与b反向时，a
b
|
a
||
b
|;
特别地
a
a
|
a
|2
或
|
a
|
记为a⊥b.
A
A
B
O
B
B
b
Oa A
我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积”的概念。
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b
b·b ＝a2－b2.
P116 例4
已知 | a | 6,| b | 4,a与b的夹角为60，求
a
b，
2
a
,
2
b,
(a 2b) (a 3b),
(a b)2, | a b |
解:a b | a || b | cos 12
2
a
|
a
|2
36
2
b
|
b
|2
16
(a 2b) (a 3b)
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向 量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
a·b=|a| |b| cosθ
|a| cosθ（|b| cosθ）叫 做向量a在b方向上（向 量b在a方向上）的投影。
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。