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平面向量的数量积PPT课件

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平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文

平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文

三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线

平面向量的数量积PPT课件

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

人教A版数学必修四2.4_平面向量的数量积_课件_(共24张PPT)

人教A版数学必修四2.4_平面向量的数量积_课件_(共24张PPT)
例1. 已知|a|＝3，|b|＝4且a与b的夹角为θ＝120°， 求：a·b，(a＋b) 2，|a-b|.
分析：根据向量的运算律求(a＋b)2,|a-b|，求模时转化为 求向量的平方问题，即|a|2＝a2.
解析：a·b＝|a||b|cos 120°＝－6.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9－12＋16＝13， (a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9＋12＋16＝37， ∴|a－b|＝ 37.
| OuuAu1ur|| auu| ucuor s1r
| A1B1 || AB2 || b | cos2
uuuur uuur uuuur
Q|
Or B1r||
OA1
|

| r
A1B1
|
r
A
B2
2
ab B
r | a r b |rcos r| ar| cosr1 | b | cos2
1
c (a b) | c || a b | cos
rrLeabharlann rrOA1 c B1 C
|
c r
|| a r
|
cos rr
1

|
c
||
b
|
cos

2
r r rc ar crb r r
(a b) c a c b c
4.例题剖析 加强应用
题型一 求向量的数量积及向量的模
＝4×4×(－cos A)，
∵A→B·C→A＝－8，
∴cos A＝12，又∵A 为三角形的内角，
| | | | ∴A＝60°，又
→ AB
＝
→ AC
＝4
点评：∴△向A量B的C夹为角正必三须角共形起．点．所以向量A→B与C→A的夹角为(π－A).

高三数学一轮复习基础过关5.3平面向量的数量积PPT课件

高三数学一轮复习基础过关5.3平面向量的数量积PPT课件

5 ，|a|cos
θ
=|a|
ab |a ||b |
2 (4) 3 7 13 65 .
(4)2 72
65 5
2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为
30°，则a·b等于
（ B）
A. 3
B. 3
C. 2 3
D. 1
2
2
解析 a b | a || b | cos 30
§5.3 平面向量的数量积
基础知识 自主学习
要点梳理
1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ ，则数量 |a |·|b|cos θ 叫做a与b的数量积（或内积），记 作a ·b=|a ||b|·cos θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a ·b=0 ，两非 零向量a与b平行的充要条件是 a ·b=±|a ||b| .
4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成 立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c 共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线 的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c ≠(b·c)a.
失误与防范
1. 零 向 量 :(1)0 与 实 数 0 的 区 别 ， 不 可 写 错 ： 0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任 意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只 定义了非零向量的垂直关系.
·sin(
π -θ )=sin
θ cos
2 θ -sin θ
cosθ =0.
∴a⊥b. 2
（2）解 由x⊥y得x·y=0,
即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，

6.1.2空间向量的数量积课件(苏教版)

6.1.2空间向量的数量积课件(苏教版)
＝CA2＋CC1 2＋CB2＝12＋22＋12＝6，
形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明 在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得，BD＝ 3AD，
所以AD2 ＋BD2 ＝AB2 ，
→ →
所以 DA⊥BD，则BD·DA＝0.
→ →
由 PD⊥底面 ABCD，知 PD⊥BD，则BD·PD＝0.
→ →
（2）AM 在直线 BC上的投影向量 BC
C
D
0
A
B
D1
C1
2
AM BC BC BC BC | BC |2 1
B1
A1
（问）AM BC还有没有其他方法？
M
C
D
A
B
典型例题
例3.量a，
b，
c均为单位向量, 它们的夹角均为600，求 | a 2b c |
2
2
2
解：
| a 2b c | （a 2b c） a 4b c 4a b 2a c 4b c


4
4
→
所以|BN|＝
→
|BN|2＝ 3.
典型例题
—→ —→ → → —→ →
（2）因为 BA1 ＝ CA1 －CB＝CA＋CC1 －CB，
—→ → —→
CB1 ＝CB＋CC1 ，
—→
—→
→ → →
所以| BA1 |2＝ BA1 2＝(CA＋CC1－CB)2
—→
→ —→ →
| BA1 |＝ 6，
| m|| n |
典型例题
一、数量积的计算
例4

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2

数学人教A版(2019)必修第二册6.2.4平面向量数量积(共15张ppt)



，求

∙ .
设 =12， =9， ∙ =-54 ，求与的夹角
向量的数量积的几何意义是什么？
B
a
A
b
C A1
B2
D
两个非零向量、，他们的夹角为，
探究向量在上的投影向量的情况.
两个非零向量、，他们的夹角为，是与方向相同的单位
向量.
（1） ∙ = , = .（求向量长度的工具）
如何规定向量的乘法.
向量的乘法的结果是什么量？这个值由那些量决定？符号
由什，我们把数量
cos量叫做、的数量积，记作 ∙
即 ∙ = cos
规定零向量与任一非零向量的数量积为0.
已知 = , = , 与的夹角 =
6.2.4向量的数量积
学习目标
1、向量数量积的运算.
2、向量投影及投影向量的概念
重点、难点 向量数量积的概念与运算律.
向量的概念源自哪一门学科？我们已经研究了向量的哪些
运算？这些向量的运算表运算结果是什么？
前面学习了向量的加，减，数乘（线性运算）.
其运算结果是向量.
向量能否相乘？如何规定向量的乘法？我们该怎样研究？
（2） ⊥ ⟺ ∙ =0.（直线垂直的重要条件）
（3） ∙ = ∙ = cos.
已知 = , = , 与的夹角 = °，求 ∙ ，
（ + ）2 ， + .
1、本节课学习了哪些知识和内容.
2、结合实例说明向量数量积的几何意义.
感谢聆听！

平面向量的数量积-


平面向量数量积的性质
设a , b 是两个非零向量， e 是单位向量，于是
有：① eaaeacos② abab0
③当a与 b同向时，ab a b ；
当a与 b反向时，ab a b，
特别地，aa
a2

2
a
。
(4)cos a b
a b
⑤ ab a b
平面向量数量积的运算律
①交换律成立：abba
②对实数的结合律成立：
a b a b a b R
③分配律成立：
a b c a c b ccab
特别注意：
（1）结合律不成立：a b ca bc；
当且仅当反方向时θ =1800，同时0 与其它任何
非零向量之间不谈夹角这一问题。
(2)a与 b垂直；如果 a , b 的夹角为900,则称垂直， 记作a b 。
(3)a与 b 的数量积：两个非零向量 a , b ，它们
的夹角为θ ，则 a b cos叫做称 a与 b 的
(4)数量积（或内积），记a作 b ，
（2）消去律不成立 abac不能得到 b c
（3）a b =0不能得到 a = 0 或 b = 0
④但是乘法公式成立：
2 2 2 2
a b a b a b a b；
a b 2 a 2 2 a b b 2a2
2
2abb
；
平面向量数量积的坐标表示:
2019届高考数学复习 强化双基系列课件
《平面向量的数量积》
1、知识精讲：
（1）平面向量的数量积的定义
①向量a , b 的夹角：已知两个非零向量 a , b ，

6.3.5+平面向量数量积的坐标表示+课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册


a b

a b
a⊥b
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x2 2 y2 2
x1x2＋y1y2＝0
夹角公式的特例
探索新知
例10 若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是什么形状？
证明你的猜想．
3 2) (11)
，
法一： 因为 AB (2 1，
AC (2 1，
1), AC (3，
法二：因为 AB (1，
3), BC (4，
2),
2
2
所以 AB 1 1 2, AC (3) 2 32 18,
2
2
2
BC (4) 2 2 2 20 ,
2
2
2
所以 AB AC BC ,
所以△ABC是直角三角形．
勾股定理逆定理是判断两条直线是否垂直的重要方法之一
(1)求 2a b 的值;
解析：
（1）因为 a 1, 2 ， b 1, 1 ，
所以 2a b 2 1, 2 1, 1 3, 3 ，
所以 2a b 3 3 3 2 ;
2
2
当堂检测
2.Байду номын сангаас知平面向量 a 1, 2 ， b 1, 1 .
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
探索新知
问题1 若a＝(x，y)，如何计算向量的模|a|呢？
a x 2 y 2 或|a|2＝x2＋y2
问题2 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别
为A (x1，y1) ，B (x2，y2)，如何计算向量a的模？
a AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 ) 2

《平面向量的数量积 》课件


数量积的性质

对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包 括对称性、分配律等。
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（2）比较
a

b
与a
b
么结论？
的大小，你有什
2、数量积的性质
设向量 a
与

b 都是非零向量，则
（1） a⊥b

a ·b=0
（2）当 a 当a
与

b
同向时，a
与

b
反向时，a
··bb==|-a||a||b||b
|
特别a地，a · a 2 =︱︱a 或︱︱=
学生练习
1((、 12))若若判aa断下00，，列则a各对b命任题a一是c非,则否正零b确向 c， 量b并，说有明 a b理 由0
或 2、a已 b知0A时B，C中试，判 AB断aA,BACC的形b,状 当。 a b 0
活动六、课堂小结与布置作业
四、教学媒体设计
１、高效实用的电脑多媒体课件
２、科学合理的板书设计
平面向量数量积的物理背景及其含义
一、数量积的概念
二、数量积的性质
１、概念：
２、概念强调：（1）记法
（2）“规定” 三、数量积的运算律 3、几何意义：
4、物理意义：
四、应用与提高 例1：
例2：
例3：
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/16
其中θ 是 a 与 b 的夹角，| b | cos (| a | cos ) 叫做向量 b 在 a
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为零，即
B
a

0

0
。
| OB1 || b | cos
b
θ O
aA
B1
2（、1数）量定积义的：定a 义 b

a
1、本节课我们学习的主要内容是什么？ 2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？ 3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归 纳 和性质的探究？在运算律的探究过程中， 渗透了哪些数学思想？ 4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研 究数量积？
返回
作业: 课本P121习题2.4A组1、2、3。
拓垂展直已与，知提aa高与4：bb与都7是a 非2零b向垂量直，，且求a a与3bb与的7a夹角5b。
（3）︱a

·b
︱≤|a

|b |
|
aa
3、性质的证明
探究数量积的运算律
1、运算律的发现
问题９: 我们学过了实数乘法的那些运算律？
这些 运算律对向量是否也适用？ 学生可能的回答:
① a·b= b·a ②（a·b）c= a (b·c) ③（a + b）·c=a·c +b ·c
2、运算律
已知量
向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.
①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；
③0－
AB ＝ BA
④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0； ⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ) ·c= ａ·(ｂ ·c)
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
b
c os
（2）定义的简单说明：
问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什 么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
a夹 角b的 的范正围负0 90 90 90 180
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
θ是
。
S
探究数量积的含义
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
二、平面向量的数量积
1、定义
已知非零向量 a 与 b，我们把数量 | a || b | cos 叫作 a与 b 的
数量积（或内积），记作 a b ，即规定
a b | a || b | cos
2.4.1《平面向量数量积 的物理背景及其含义》
教学目标
• 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； • 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； • 3.平面向量的数量积简单应用； • 4.掌握向量垂直的条件. • 教学重点：平面向量的数量积定义 • 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的
理解和平面向量数量积的应用
一 探究？
问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？
问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？
问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产 生位移S，
（１）力F所做的功W=
。
（２）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是
量，
F
F（力）是
量，
S（位移）是 量
a,
b,
c

和实数λ，则：
((12))aabb
b
a
a

b
a

b
(3)
a

b
c

a

c

b

c
3、运算律的证明
应用与提高
例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b.
例2、已知a
S G
WGS
③、竖直向上提升10米；
S
W G S
G
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米；
S
G
W G S cos(180 30)
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THANK YOU
2019/8/16
探究数量积的运算性质
1、性质的发现
问题８：
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量，
你能得到哪些结论？
4、研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
S
①、在水平面上位移为10米；
G
W 0
②、竖直下降10米；
6，b

4，a与b的夹角为60，求
a

2b

a

3b
.
？
例3、已知
a

3 ，b

4，a与b不共线， k为何值时，
向量a

kb与a

kb 互相垂直？
三、例题赏析：
例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，