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z 0
z
x x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的 联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以 求出导数来.
(3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导w=f (z) 点 z0 处连续.
?
证明: 若f (z)在z0可导,则 0, 0,
使得当0
z
,时,有
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
,
令z
f (z0 z) z
f (z0 )
f
(
z0
),则
lim
z0
z
0,
""（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：
u
u x
x
u y
y
1x
2y
v
v x
x
v y
y
3x
4y
其
中lim x0
k
0, (
k
1，2,3,4)
y0
f (z z) f (z) u iv
证明
对于复平面上任意一点z0，有 lim lim zn z0n
zz0 z zz0 z z0
lim
zz0
(z
z0 )(zn1
zn2z0 z z0
z n1 0
)
nz0n1
③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
z 1
解
f
( z )
2( z 2
5 z )( 2 z
5)
(z
1 1)2
例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
解 lim f (z z) f (z)
z0
z
x x 2( y y)i ( x 2 yi)
lim
z0
x iy
x 2yi 1
lim
z0
x yi
2
当y 当x
0, x 0, y
若沿平行于实轴的方式 z z z(y 0)
f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
[u( x x, y) iv( x x, y)] [u( x, y) iv( x, y)]
lim
x0
x
lim u( x x, y) u( x, y) i lim v( x x, y) v( x, y)
问题 如何判断函数的解析性呢？
一. 解析函数的充要条件
设函数w f (z) u( x, y) iv( x, y)在点 z x iy可导,则
f (z z) f (z) z
[u(x x, y y) iv(x x, y y)] [u(x, y) iv(x, y)] x iy
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程 u v v u x y x y
z0
z
设 (z) f (z z) f (z) f '(z)
z
则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且
lim (z) 0
z0
令：f (z+Δz) f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx2Δy)
记作
f '(z0 )
dw dz
z z0
lim z 0
f (z0
z) z
f (z0 )
如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域 D内可导。
(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)
例1 证明: f (z) Re z在平面上的任何点都不 可导.
x0
x
x0
x
u i v x x
若沿平行于虚轴的方式 z z z(x 0)
f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
lim [u( x, y y) iv( x, y y)] [u( x, y) iv( x, y)]
y0
iy
u( x, y y) u( x, y)
由此可得f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z zz,
lim
z0
f (z0 z)
f (z0 ),所 以f (z)在z0连 续
二. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。
第二章 解析函数
§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
GO
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限 lim f (z0 z) f (z0 ) 存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
其中w=g(z)。
⑤ 反函数的导数
f
'(z)
1 '(w
)
，其中:
w=f
(z)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导; 复 函 数 中, f (z) z 2的 可 导 性?
例2 已知 f (z) z2 5z)2 1 ，求f '(z)
利用该定理可以判断哪些函数是不可导的.
使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，
ii) 验证C-R条件.
iii)
求导数：f
'
(
z)
u x
i
v x
1 i
u y
v y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成 的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实 函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
0时 0时
不
存
在!
故函数f (z) x 2 yi处处不可导.
例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。
证明
(z z) Re( z z) z Re z
lim
z0
z
lim z Re( z z) z Re z
z0
z
lzi m0
z
Re z
z
0
lim (Re( z z) z
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。
(2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析
例2 求证函数
w
u( x,
y) iv(x,
y)
x2
x
y2
i
x2
y
y2
在z x iy 0处解析，并求 dw . dz
证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C-R条件：
u x
v y
y2 x2 ( x2 y2 )2
( u x
i
v )x x
( u y
i
v y
)y
(1
i 3 )x
( 2
i 4
)y
由C
R方程
(
u
x
i
v x
)z
(1
i 3 )x
( 2
i4 )y
f (z z) z
f
(z)
u z
i
u x
(1
i 3 )
x z
( 2
i
4
)
y z
| x | 1, z
|
y z
|
1
x z
( 1
i 3 )
0
f (z) lim f (z z) f (z) u i v
f '(z) u i v e x cos y ie x sin y f (z) x x
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x u 2 y v 0 v 0
x
y
x
y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 2 仅在z 0处可导，但处处不解析。
x
)不存在 !
z0
