复变函数与积分变换(宋苏罗主编)思维导图

浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z
n
z n = zzLz = r n (cos nθ + i sin nθ)
复数的方根
设
iθ
z = re
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
w =z
n
的所有w值为z的n次方根，并且记为
w= n z
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设
w= ρeiϕ ,
则
ρ neinϕ = reiθ
w0 = r (cos + i sin ) n n 1 θ + 2π θ + 2π n w1 = r (cos ) + i sin n n 1 θ + 4π θ + 4π n w2 = r (cos + i sin ) n n
1 n
1 n
θ
θ
wn−1 = r (cos
θ + 2(n −1)π
n
+ i sin
Re z 2 = x2 − y2 ≤ 1
Im z 2 ≤ 1
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例： 指出不等式 0 < arg 解：
z −i π < 中点z的轨迹所在范围。 z +i 4
z −i x2 + y2 −1 − 2x = 2 +i 2 2 z + i x + ( y +1) x + ( y +1)2
z −i π 因为 0 < arg < , 所以 z +i 4 +i x2 + y2 −1 − 2x > 2 >0 2 2 2 x + ( y +1) x + ( y +1)

x 2yi . x yi
设 z 沿着平行于x 轴的 方向趋向于 0, 即
x 0, y 0.
oLeabharlann yzy 0
x
于是
x 2yi x lim lim 1. x 0 x yi x 0 x y 0
设 z 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即
也可用
dw df ( z ) , dz dz
等表示 f ( z ) 在z点的导数.
例1
设
f ( z ) z 2 , 则 f ( z ) 在复平面内
处处可导，且 f ( z ) 2 z . 解 因为
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z

f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f (z) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) (5) , ( g( z ) 0). 2 g (z) g( z ) (6) f [ g( z )] f ( w ) g( z ), 其中 w g ( z ).
虽然 lim( z z0 ) z 2 z0 z0 2 z0 , 但是当
z z0 2
z z0 z分别从平行于x, y轴方向趋于z0时， 分别 z z0 z z0 以1和-1为极限，因此 lim 不存在. 又因为 z z0 z z 0
f ( z ) f ( z0 ) z0 0, 所以 lim 不存在，即 f ( z ) z z0 z z0
§1.3.4
1 2 3
解析函数的概念
导数与微分 C-R条件 解析与奇点
一、复变函数的导数
1、 复变函数导数的定义 定义2 设 w f ( z ) 是定义在区域E上的

i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
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除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
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x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2

x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n


2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
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复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
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y
z1
z2

0 0 2π n i nt
Cr 2π
O
n +1
x
2π
⋅ ire ( n +1) t dt.
n +1
若 n ≠ −1, ir 若 n = −1, ir 故
n +1
∫
2π
0 2π
e
i ( n +1) t
dt = ir
e i (n + 1) 0
i ( n +1) t
= 0,
n ( z − z ) dz , n ∈ Z, Cr :| z − z0 |= r 0 ∫Cr y 沿逆时针方向一周. Cr it 解: Cr : z = z0 + re , 0 ≤ t ≤ 2π . z0 n ( z − z ) dz 0 ∫
例 3.3
计算积分
= ∫ (reit ) n ⋅ (re it )′dt =∫ r e
k =1
→0 ⎯Δ ⎯ ⎯→
n
∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy.
Γ Γ
(2) 由
∑ f (c )Δz
k =1 k
n
k
≤ ∑ f (ck ) ⋅ Δz k ≤ M ∑ Δz k
k =1 k =1
Γ
n
n
∫
Γ
f ( z )dz ≤ ∫ | f ( z ) | ⋅ | dz | = ∫ | f ( z ) | ⋅ds ≤ M ⋅ l (Γ) Γ
Δ →0 k =1
n
(Δ = max | Δsk |)
1≤ k ≤ n
第二型曲线积分
∫
C
P( x, y )dx + Q( x, y )dy

傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义

11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25



开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.

（5）乘法对于加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 复数运算的其它结果：
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6

2 2

0
x
2 2
z z r x y ----复数z的模 z与x轴正向的夹角弧度 ----复数z的辐角(argument)
记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个辐角,将满足
x
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则 Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
z r (cos i sin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z re
i
(r z , Arg z )
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z 12 2i; 2) z sin
[解] 1)
i cos . 5 5 r | z | 12 4 4. z在第三象限, 因此
得知线段
z1 z2
的中点为
例3 求下列方程所表示的曲线:
z1 z2 z 2
1) 2) 3)
| z i | 2; | z 2i || z 2 |; Im(i z ) 4.
[解]：1)
| z i | 2
y x i
设 z = x + i y , 方程变为
| x ( y 1)i | 2 x ( y 1) 2,
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
z xx yy x y xy i ( z 0) z x x x x
1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

r
1 n
cos
2(n n
1)π
i
sin
2(n n
1)π
.
当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
13
例如 k n时,
wn
r
1 n
cos
2nπ n
i sin
2nπ n
r
1 n
cos
n
i
sin
n
w0
.
从几何上看, n z 的 n 个值就是以原点为中心,
1
r n 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.
2kπ n
(k 0,1,2,,n 1)
推导过程如下:
11
设 z r(cos i sin ), w (cos i sin ),
根据棣莫佛公式,
wn n(cosn i sin n ) r(cos i sin ),
于是 n r, cosn cos , sin n sin ,
旋转
3
(或
3
)就得
y
z3
3
o z1 1
z2 2 i
x
z3
到另一个向量, 它的终点即为所求顶点z3 (或 z3 ).
因
为复
数
e
i 3
的模为1,
转角
为
,
3
8
i
z3 z1 e 3 (z2 z1 ) 1 3 i (1 i)
2 2 1 3 1 3 i
2 2 2 2
4
设复数z1和z2的指数形式分别为 z1 r1ei1 , z2 r2ei2 , 则 z1 z2 r1 r2ei(12 ) .
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:

例如， f (z) 1 在z 0, z 1都不解析, 但在
z(1 z)
圆环域: 0 z 1及0 z 1 1内处处解析.
当0 z 1时,
f
(z)

1 z(1
z)

1 z

1 1
z 1
z
1 z
1
z

z2

zn

当0 z 1 1时,
以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在 区 域D内 解 析, z0 D, R为z0到D的 边 界
上 各 点 的 最 短 距 离 当 z z0 R时,

f (z) cn(z z0 )n
n0
(1)
f (z)在z0处 的Taylor级数
当z0 0时,Taylor级数为：
f (z) f (0) f '(0)z f ''(0) z2 f (n)(0) zn
2!
n!
函数展开成Taylor级数的方法：
• 代公式 ---直接法
• 由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分
析运算和 已知函数的展开式来展开 ---间接法
第七讲 泰勒(Taylor)级数 罗朗(Laurent)级数
§4.3 泰勒(Taylor)级数
1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式
1. 泰勒(Taylor)展开定理
由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。
现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？）

|z|=2的内接正方形的四个顶点(如图).
1
一般情况下, n z z n
n个根就是以原点为中心、
y
w1
w0
1
半径为 r n 的圆的内接正多边
o
x
形的n个顶点所表示的复数.
w2
w3
1.1.5 复球面与无穷远点
第一章 复变函数与解析函数
§1.1 复 数
1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍 理论，引入等式
i2 1. 由该等式所定义的数称为虚数单位
cosq i sinq n (cos nq i sin nq )
称为De Moivre公式.
如果定义负整数幂为
zn
1 zn
,
那么
De Moivre公式仍然成立. 设
z1 r1(cosq1 i sinq1 ), z2 r2(cosq2 i sinq2 ),
当 z2 0 (即 r2 0 )时,
y
y
为起点而以点P为终点的向
量表示(如图).
o
Pz x iy
x
x
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平
行四边形法则. 用 OP表示复数z时, 这个向量在x轴和y轴上
的投影分别为x和y.
把向量 OP 的长度r 称为复数z的 模 或称为z
的绝对值, 并记做|z|. 显然 z r x2 y2 ,
q r1
o
q1
q2
•
r2
z2
z2 r2(cosq2 i sinq2）.

复变函数与积分变换》
举例
函数 f(z)=sin z/z 在0<|z|< 内的Laurent级数展开
函数 f(z)=1/(1-z2) 分别在1<|z|< 和 0<|z-1|<2内的 Laurent级数展开
1 -1 1 -1 2
1
1<|z|<
复变函数与积分变换》
0<|z-1|<2
例3把函数 f z z e 展开成 z 的级 数
解: 因为 所以
2 3 n z z z z e 1 z 2 ! 3 ! n !
1 3 z
1 1 1 z e z f z 1 2 3 ! z 3 ! z z 2 z 1 1 1 3 2 z z 2 , 0 z . 2 ! 3 ! 4 ! z 5 ! z
n 被称为双边幂级数的正幂部分 a ( z z ) n 0 n0

其中
n1
n a ( z z ) n 0 被称为双边幂级数的负幂部分
复变函数与积分变换》
• 收敛环的确定
设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换
=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2 ，则其在
收敛的充分必要条件－－定理4.1.3
设 w ，则级数 u i v ( n 1 , 2 , ) n n n 充分必要条件是 vn皆为实数。


n 1
u n 和 v n 都收敛，其中un和
n 1



4
称级数


n 1
的幂级数，其中an是复变常数。 定理4.2.1（阿贝尔定理）
n1
复变函数与积分变换》

实轴对称的.
o
zz
z x iy
x
z x iy
想一想，z与z的辐角主值有什么关系？
(1) 若z=0，则辐角无意义
(2) 若z位于负实轴上，则arg(z) arg(z)=
(3) 若z不在原点和负实轴上，则arg(z) -arg(z)
25
例2：求Arg(-3 4i) Arg(-3 - 4i)
e19i ,
故三角表示式为 z cos19 i sin19 ,
指数表示式为 z e19i .
30
例4：写出1，i, - 2, - 3i的三角表示式.
解：1 = 1(cos0 + i sin 0)
i = 1(cos + i sin )
2
2
-2 = 2(cos +isin )
-3i = 3[cos(- ) + i sin(- )]
3
26
4.复数的三种表示及其相互转化
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
cos , sin ,
复数可以表示成 z (cos i sin)
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 ei cos i sin , 欧拉介绍
复数可以表示成 z ei
复数的指数表示式
27
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面. 复数 z x iy 可以用复平
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
19
2. 复数的模(或绝对值)
从原点O到点 z x iy所引的向量与复数z构成一一

，z2对应的向量分别为 1， 由复数的运算法那么知复数的加减法与向量
的加减法一致，于是在平面上以
为邻边的平行四边形的对角线 就表示
复数z1+z2〔图1.2〕，对角线 就表示复数z1-z2.
图1.2
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复变函数与积分变换
由上述几何解释知下面两个不等式成立：
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其中
表示向量 的长度，也就是复平面上点z1，z2之间的距
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复变函数与积分变换
复数域 形如
1.1复数
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的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚部，记作
x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称为纯虚数；特别
地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
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复变函数与积分变换
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如图1.1所示，复数z=x+iy还可以用向量 来表示，x与y分别是向量 在x轴与 y轴上的投影.这样，复数z就与平面上的向量 建立了一一对应的关系. 引进了复平面后，为方便起见， “复数z〞、“点z〞及“向量 〞三者不再区分. 向量 的长度称为复数z=x+iy的模或绝对值，记作|z|，于是
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复变函数与积分变换
例1.4求z=1的n次方根. 解因为 所以 特别地，1的立方根为
它们均匀地分布在以原点为中心，以1为半径的圆周上 〔图1.5〕.
图1.5
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复变函数与积分变换

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即函数 但由于
在点z=0处满足C.-R.条件式(2.3).
不存在，所以
在点z=0处是不可导．
由定义2.3及定理2.2，便可得到复变函数f(z)解析的等价刻画．
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复变函数与积分变换
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定理2.3f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充分必要条件是u(x,y)与 v(x,y)在D内处处可微，且在D内处处满足C.-R.条件式(2.3)． 定理2.4若u(x,y)与v(x,y)在区域D内有连续偏导数，且在D内满足C.-R.条件 式(2.3)，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析． 例2.5判别下列函数的可导性与解析性，并在可导点处求出导数.
① 的定义域为有限复平面 ，且
② 是C上的解析函数，且(ez)′=ez；
③
，有
④ 是以2π i为周期的周期函数；
⑤函数
(w≠0,∞)把z平面上的宽度为2π 的带形区域
均映射为w平面上的角形区域G=C \{负实轴及原点}．
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复变函数与积分变换
证①因为 ②依定义知：
，故
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它们在全平面上处处可微且满足C.-R.条件，故 在 上处处解析，且
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复变函数与积分变换
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证必要性．记Δ z=Δ x+iΔ y，f(z+Δ z)－f(z)=Δ u+iΔ v，f′(z)=a+ib， 若f(z)在点z=x+iy可微，则有
其中 ，得
，且
根据复数相等的意义
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复变函数与积分变换

k 1
z0是f ( z )的阶数不超过m级的极点
Re s[ f ( z ), z0 ] 1 m m 1 lim g z , g z ( z z0 ) f ( z ). ( m 1)! z z0
(5)
P, Q解析，Q z0 0, P z0 Q z0 0 Re s[
复变函数知识框架
一、复数及其几何意义概念 代数形式，三角式与指数式
欧拉公式：e i cos i sin .
二、复数运算 代数形式与三角形式（指数式）的六种运算法则
复数运算的几何意义 三 . 复变函数及其反函数的定义（多值）与几何意义（映射） 四、极限与连续 复极限与复连续的定义，运算法则及其与实连续的关系
C i 1 Ci
n
3. z f z
z2
z1
f z dz z2 z1 .
十一、高阶导数公式（特例：柯西积分公式）
? f
Hale Waihona Puke nn! z0 2 i
z z
C 0
f z
n 1
dz n N .

1 z n z 1; 1 z n 0
1
n
2n 1
z 2 n1;
n n 1 z C z z 1.


n 0
展开方法：直接法与利用已知展式法 注意：变量替换 .
十四、留数
1.孤立奇点 分类
z0是可去奇点 f ( z ) cn ( z z0 )n lim f ( z ) c0 ；
P ( z0 ) P( z) , z0 ] . Q( z ) Q '( z0 )