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Chapter 1 复变函数与积分变换(英文版)

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复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换

复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换

解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d

8复变函数与积分变换中英文简介

8复变函数与积分变换中英文简介

复变函数与积分变换课程编码：08N1120310课程中文名称：复变函数与积分变换课程英文名称：Complex Functions and Integral Transformation总学时：46学分：3.0先修课程：工科数学分析课程简介：主要讲述复变函数与积分变换的基本理论、基本方法及其应用。

复变函数部分包括:1.复数与复变函数;2.解析函数;3.复变函数的积分：包括复变函数的积分、柯西积分定理和柯西积分公式;4.级数：包括幂级数、泰勒级数和罗伦级数;5.留数及其应用;6.保形映射。

积分变换包括:1.傅里叶积分变换;2.拉普拉斯积分变换。

Course Description:There are two parts in this course.The first part is on complex functions:1. Complex Numbers and Complex Functions;2. Analytic Functions;3. Complex Integral: The Integral of complex functions ,Cauchy Integral Theorem and Cauchy Integral Formula;4. Series: Power series Taylor series and Laurent series;5. Residues and application of residues;6. Conformal mappings.The second part is on integral transforms:1. Fourier transforms;2. Laplace transforms.。

复变函数与积分变换第1章

复变函数与积分变换第1章

*
复数 复平面点集 扩充复平面及其球面表示
第一章 复数和复平面
*
§1.1 复数
1.复数的概念
在实数范围, 方程 x2=-1是无解的. 引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定 i2 =-1 从而i是方程x2=-1的一个根. 对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x=Re(z), y=Im(z)
汇报人姓名
*
在复平面上, 复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应, 因此复数z也能用向量OP来表示. 向量的长度称为z的模或绝对值, 记作
O
x
y
x
y
q
P
z=x+iy
|z|=r
*显然, 下列各式成立来自Oxy
x
y
q
P
z=x+iy
|z|=r
*
在z0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的幅角, 记作 Arg z=q 这时, 有
上述结论可简明地表示为
*
乘幂 n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,记作zn
zn=rn(cos nq+isin nq). (1.14)
如|z|=1,则(棣莫弗(De Moivre)公式).
(cos q+isin q)n = cos nq+isin nq. (1.15)
则对任意正整数n, 我们有
如果E内的每个点都是它的内点, 则称E为
开集。
01
03
02
平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列 两个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的, 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.

复变函数论(英文版)

复变函数论(英文版)

z zz¯ |z|2
We also have the following important relationships between a complex number and its conjugate:
1. A REVIEW OF COMPLEX NUMBERS
3
Proposition 1.5. Suppose that z = x + iy is a complex number.
2101 Complex Analysis Autumn 2010
Alexander V. Sobolev
Department of Mathematics, University College London, Gower Street, London, WC1E 6BT
E-mail address: A.Sobolev@
Proof. (1) Write |z|2 = x2 + y2, z = x + iy. (2) Let us prove the triangle inequality:
|z + w|2 = (z + w)(z¯ + w¯) = zz¯ + ww¯ + (wz¯ + zw¯)
= |z|2 + |w|2 + 2 Re(wz¯)
Definition 1.3. The complex conjugate of a complex number z = x + iy is defined to be the complex number z = x − iy.
Graphically, (meaning represented on the Argand plane) z is the reflection of z in the real axis.

复变函数与积分变换中的英文单词和短语解读

复变函数与积分变换中的英文单词和短语解读

复变函数与积分变换Functions of ComplexVariable and IntegralTransforms第一章复数与复变函数Chapter 1 Complex Numbers and Functions of Complex Varialble 复数complex number实部real number虚部imaginary unit纯虚数pure imaginary number共轭复数complex conjugate number运算operation减法subtraction乘法multiplication除法division复平面complex plane分派律distribute rule互换律exchange rule复合函数complex function复数的三角形式trigonometrical form of complexnumber模modulus辐角argument乘方power开方extraction开集open set闭集closed set邻域neighborhood充分必要条件sufficient and necessary condition 边界点boundary point 有界集bounded set区域domain简单闭曲线simple closed curve连通区域connected region分段滑腻piecewise smooth无穷远点point at infinity复变函数function of complex variable 单值函数single-valued function 多值函数multi-valued function持续continuity不等式inequality第二章解析函数Chapter 2 Analytic Functions微分differential奇点singularity解析函数analytic function导数derivative柯西-黎曼方程Cauchy-Riemann equation 调和函数harmonic function 指数函数exponential function对数函数logarithm function三角函数trigonometric function双曲函数hyperbolic function幂函数power function高阶导数higher order derivative求导法那么derivation rule链式法那么chain rule概念域domain导函数derivative function反函数inverse function复变函数与积分变换中的英文单词和短语第三章复变函数的积分Chapter 3 Integrals of functions of complex variable 柯西积分公式Cauchy integral formula柯西不等式Cauchy inequality第四章解析函数的级数表示Chapter 4 Series Expressions of Analytic Functions 复函数序列sequences of complex function级数series幂级数power series函数项级数series of functions收敛性convergence收敛半径radius of convergence泰勒级数Taylor series洛朗级数Laurent series发散divergence麦克劳林级数Maclaurin series泰勒级数展开Taylor series expansion绝对收敛absolutely convergent一致收敛uniform convergence部份和partial sum第五章留数及其应用Chapter 5 Residues and their Applications 留数residue 孤立奇点isolated singularity可去奇点removable singularity本性奇点essential singularity极点polem阶极点pole of order m当且仅当if and only if亚纯函数meromorphic function第六章共形映射Chapter 6Conformal Mappings从A到B的转角oriented angle from a to b保角映射angle-preserving mapping自映射self-mapping不动点fixed point分式线性变换linear fractional transformation 多边形polygon 第七章傅里叶变换Chapter 7Fourier Transforms傅里叶变换Fourier transform傅里叶积分Fourier integral卷积convolution线性性linearity对称性symmetry延迟性time shifting积分变换integral transform反演公式inversion formula共轭傅里叶积分conjugate Fourier integral广义傅里叶积分generalized Fourier integral傅里叶逆变换inverse Fourier transform傅里叶反演公式Fourier inversion formula傅里叶正弦变换Fourier sine transform傅里叶余弦变换Fourier cosine transform第八章拉普拉斯变换Chapter 8Laplace Transforms 拉普拉斯变换Laplace transform像image。

复变函数与积分变换精品PPT课件

复变函数与积分变换精品PPT课件
间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,

复变函数与积分变换(第一章)

复变函数与积分变换(第一章)

z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr 1 2 z1 z2
Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
两个复数相乘，积的模等于各复 数的模的积，积的幅角等于这两 个复数的幅角的和.
z1z2 rr 1 2 z1 z2
(6)简单曲线、光滑曲线
设x(t)和y(t)是实变量t的两个实函数，它们在闭区 间[,]上连续，则由方程组 x x(t ) y y(t ) 或由复值函数 z (t ) x(t ) iy(t ) 定义的集合称为复平面上的一条曲线，上述方程称为 曲线的参数方程.点A=z() 和B=z()分别称为曲线的 起点和终点.如果当 t1 , t2 [ , ], t1 t2 时，有 z(t1 ) z(t2 ) ， 称曲线为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线. z ( ) z ( ) 的简单曲线称为简单闭曲线.
3 i 2eiπ / 6
复数乘法的几何意义
z1 r1 (cos1 i sin 1 ), z2 r2 (cos2 i sin 2 ).
z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 r2 ((cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )) r1r2 (cos(1 2 ) i sin(2 2 ))
a 0, ； (3) a ，则 a
a (4) a 0 ，则 ； 0
(5) , 的实部、虚部、幅角都无意义； (6)为了避免和算术定律相矛盾，对
0 , 0 , , 0

复变函数

复变函数
例1、求 z 平面上的下列图形在映射 w z2下的象。
1 0 r z , ； 4
2 0 , 0 r 2
4
3 x2 y2 C1 , 2xy C2； 4 x , y .
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解 (1) w z2 u x2 y2, v 2xy | w || z |2, arg( w) 2arg( z)
乘法的模与辐角定理
How complex the expression are!
张 长 华
复变函数与积分变换
(1)记
w
Complex Analysis and
ei (z rei )，则
注：①闭区域 D 区域D D的边界，它不是区域。
②任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不相 交的点集：有界区域称为 C的内部；无界区域， 称为 C的外部； C，称为内部与外部的边界。
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
四、复变函数的概念
（值域）的一个映射（或映照）。
G — 原象 G* — 象映象;
w叫z的象 G*叫G的象
注：单值函数w f (z)的反函数存在且为单值函数。
G*与 G 中的点为一一对应
映射为双射
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
五、典 型 例 题
由 x z z , y z z 代入 F(x, y) 0知
2
2i
曲线C的方程可改写成复数形式 F( z z , z z ) 0 2 2i

复变函数与积分变换 经典 英文教材

复变函数与积分变换 经典 英文教材

复变函数与积分变换经典英文教材一、概述复变函数与积分变换是大学数学中的重要分支，它们在工程、物理、统计学以及其他领域中有着广泛的应用。

学习复变函数与积分变换不仅对于数学专业的学生而言是必修课程，对于其他专业的学生也是十分重要的。

经典的英文教材是学习这一领域的重要工具，它们通常由国际知名的数学学者编写，内容丰富，方法新颖，深受广大学生和教师的欢迎。

二、经典英文教材1. "Complex Variables and Applications" by James Ward Brown and Ruel V. Churchill这本教材是由著名数学家James Ward Brown和Ruel V. Churchill合著的，已经出版了数个版本。

它以清晰的讲解和生动的例题著称，内容涵盖了复数、复变函数、解析函数、积分变换等重要知识点。

书中还包括了大量实际应用的例子和习题，对于读者来说是难得的宝藏。

2. "Complex Analysis" by Elias M. Stein and Rami ShakarchiElias M. Stein和Rami Shakarchi是普林斯顿大学的数学教授，他们合著的这本教材被认为是关于复分析领域的经典之作。

书中包含了对复变函数、积分变换、共形映射等内容的全面讲解，不仅理论严谨，而且注重应用，是复变函数与积分变换领域的一部权威之作。

3. "Complex Variables" by Stephen D. FisherStephen D. Fisher是加利福尼亚大学伯克利分校的教授，他的这本教材被广泛应用于复变函数与积分变换的教学中。

书中以清晰的逻辑结构和直观的图表展示著称，讲解内容全面，适合初学者使用。

书中还包含了大量的习题和练习题，方便学生巩固所学知识。

三、经典英文教材的特点1. 理论严谨经典英文教材在讲解内容上通常具有理论严谨的特点，对于各种定理、公式的证明和推导都会进行详细解释，有助于学生深刻理解知识点。

《复变函数与积分变换》课程教学大纲

《复变函数与积分变换》课程教学大纲

《复变函数与积分变换》课程教学大纲课程代码：ABJD0601课程中文名称:复变函数与积分变换课程英文名称：Comp1exFunctionsandIntegra1Transformation课程性质：必修课程学分数：2.5学分课程学时数：40学时授课对象：电子信息工程专业本课程的前导课程：高等数学一、课程简介复变函数与积分变换是高等院校理工科电子信息专业、电子科学与技术等专业的一门重要专业课。

通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基础理论和方法，掌握解析函数、柯西定理与柯西积分公式、留数、共形映射等内容，以及掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的性质与方法，为学习有关后继课程和解决实际问题奠定必要的基础。

本课程的宗旨是使学生掌握复变函数与积分变换的数学理论体系；使学生熟悉基本概念和定理的几何背景和实际应用背景，强调对课程内容知识的本质理解和实际工程应用；培养学生的数学素质，提高其数学认知能力和应用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学基本内容和要求(-)复数与复变函数课程教学内容：复数；复数的三角表示；平面点集的一般概念；无穷大和复球面；复变函数。

课程的重点、难点：重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义，复变函数的概念、极限与连续难点：复数的辅角，无穷大与复球面课程教学要求：1掌握复数的表示法及复数的运算法则2 .理解复变函数的概念3 .了解复变函数的极限与连续性的概念4 .了解无穷大和复球面(-)解析函数课程教学内容：解析函数的概念；解析函数和调和函数的关系；初等函数。

课程的重点、难点：重点：函数解析的充分必要条件，初等解析函数难点：解析函数与调和函数的关系，初等多值函数课程教学要求：1 .深刻理解解析函数的概念2 .熟练掌握用柯西---黎曼条件判断函数解析性的方法3 .了解初等函数的解析性4 .掌握解析函数与调和函数的关系（三）复变函数的积分课程教学内容：复积分的概念；柯西积分定理；柯西积分公式；解析函数的高阶导数。

复变函数与积分变换第1章

复变函数与积分变换第1章

（1）乘积与商的几何意义
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。
证明
设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)
若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有|z|<R，则D是
有界区域；否则无界。
r2
(1) 圆环域: r1zz0r2;
r1z0
(2) 上半平面: Im z0;
y
(3) 角形域: arzg;
(4) 带形域: a Im z b .
o
x
zz0 r 表示以 z0 为圆,点 以r为半径的圆内所. 有的
Rze,Im z表示分y别 轴x平 和 轴行 的. 于
2
x 0, y R
x 0, y 0
的公式
arctayn
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
2
x2
当z落于一,四象限时，不变。
当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。
由向量表示法知
y
(z)
z2z1 —点z1与z2之间的距离
由 此 得:
z1
例 1 .设 z 1 1 ,z 2 i,则 z 1 z 2 i
A 1 r 2 m gm z 0 , 1 , 2 ,
Ar2 g 2z 2n n0,1,2,
A(z r1z2 g )22 k
k0 , 1 ,2 ,
代 入 3 2 上 m n 式 2 k
2

复变函数与积分变换解读

复变函数与积分变换解读

复变函数与积分变换课程名称：复变函数与积分变换英文译名：Complex Function and Integral Transformation课程编码：070102B06适用专业：信息与计算科学课程类别：专业必修学时数：48 学分：3编写执笔人：韩仲明审定人：刘晓华编写日期：2005年4月一、本课程的内容、目的和任务：复变函数与积分变换是高等师范院校数学专业的基础课程之一，是数学分析的后续课程，其任务是使学生获得复变函数与积分变换的基本理论与方法。

它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，其方法是自动控制、自动化、信号处理的常用方法之一，本课程主要讨论复变函数和积分变换。

内容主要包括：复数运算，解析函数，初等函数，复变函数积分理论，级数展开及留数理论，保形映射，拉普拉斯变换，富里叶变换。

复变函数与积分变换是微积分学在复数域上的推广和发展，通过本课程的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。

复变函数与积分变换在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，通过学习，学生对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。

二、课程教学内容及教学基本要求由于该课程的基础课地位，及在应用科学中的重要性，要求学生应对本课程有基本的理解与掌握。

凡涉及自动化或自动控制专业、信号处理的各类专业，都要用复变函数与积分变换的理论，因此学生必须熟练掌握（1）复变解析函数理论（2）复变函数的积分理论及留数理论（3）拉氏变换与富氏变换理论。

学生还应掌握复变函数的一些基础理论如罗朗级数理论及奇点理论。

学生还应理解调和函数理论。

学生还应初步了解保形映射的理论。

第一章复数与复变函数(4学时)1、教学内容复数的概念；复球面、无穷远点及扩充复平面。

区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域；复变函数的概念；复变函数的极限与连续的概念、性质。

2、教学目的和要求：理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。

(完整版)复变函数与积分变换中的英文单词和短语

(完整版)复变函数与积分变换中的英文单词和短语
纯虚数
pure imaginary number
共轭复数
complex conjugate number
运算
operation
减法
subtraction
乘法
multiplication
除法
division
复平面
complex plane
分配律
distribute rule
交换律
exchange rule
幂函数
power function
高阶导数
higher order derivative
求导法则
derivation rule
链式法则
chain rule
定义域
domain
导函数
derivative function
反函数
inverse function
第三章
Chapter 3Integrals of functions of complex variable
复合函数
complex function
复数的三角形式
trigonometrical form of complex number
模
modulus
辐角
argument
乘方
power
开方
extraction
开集
open set
闭集
closed set
邻域
ghborhood
充分必要条件
sufficient and necessary condition
绝对收敛
absolutely convergent
一致收敛
uniform convergence

Chapter 1 复变函数与积分变换英文版.ppt

Chapter 1 复变函数与积分变换英文版.ppt
The first part includes Chapter 1-6. The second part is Integral Transforms: the Fourier Transform and the Laplace Transform. The second part includes C1 hapter 7-8.
(x1 iy1) (x2 iy2 ) (x1 x1) i( y1 y2) (x1 iy1)(x2 iy2 ) (x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1) If x2 iy2 0,
x1 iy1 (x1 iy1)(x2 iy2 ) (x1x2 y1y2 ) i(x2 y1 x1y2 )
Complex analysis has become an indispensable and standard tool of the working mathematician, physicist, and engineer. Neglect of it can prove to be a severe handicap in most areas of research and application involving mathematical ideas and techniques.
Chapter 1 Complex Numbers and Functions of Complex Variable
1. Complex numbers field, complex plane and sphere
1.1 Introduction to complex numbers As early as the sixteenth century Ceronimo
Re z x, Im z y Two complex numbers are equal whenever they have the same real parts and the same imaginary parts, i.e.

数学物理方法chapter-1

数学物理方法chapter-1

不妨让引用科学家柯朗在《数学物理方法》一书
（德文版 序言）中的一段话加以描述，柯朗写道：
“从17世纪以来，物理的直观，对于数学问题和方法
是富有生命力的根源，然而近年来的趋向和时尚，已
将数学与物理间的联系减弱了，数学家离开了数学的 直观根源，而集中推理精致和着重于数学的公设方面,
甚至有时忽视数学与物理学以及其他科学领域的整体 性.而且在许多情况下,物理学家也不再体会数学家的 观点,这种分裂,无疑地对于整个科学界是一个严重的 威胁,科学发展的洪流, 可能逐渐分裂成为细小而又细 小的溪渠,以至于干涸,因此,有必要引导我们的努力转
z r(cos i sin )
称为复数的三角表示式. 即为
z r cos ir sin r(cos isin) z cosArgz isinArgz
定义 1.2.6 复数的指数表示 利用欧拉(Euler) 公式
ei cos i sin 我们可以把任意非零复数 z x iy r cos i sin 表示
第一章 复数与复变函数
要求掌握：
1. 复数：复数运算和复数的各种表示方法； 模与幅角； 2. 曲线和区域的判断：简单曲线、简单闭曲 线；单、复（或多）连通区域；有、无界区 域；区域（开、闭区域）；映射的概念； 3. 复变函数的极限和连续； 4. 复球面与无穷远点概念；
重点：复数的运算和各种表示法； 复变函数极限的概念；
《数学物理方法》
参考资料：
第一部分 复变函数论 （含积分变换）
第二部分 数学物理方程 第三部分 特殊函数
参考资料（教材）
第四部分 计算机仿真
数学物理思想
数学思想是人类创造性思维最具活力的体现
爱因斯坦相对论的建立便是最有力的佐证。将数学思 想方法应用于现代高科技各专业技术领域，并构建成典 型的（物理）模型和解决问题的方法是数学思维和现代 专业技术领域的结晶，从而形成科学研究中实用性很强 的数学物理方法。它既利用精妙的数学思想，又联系具 体的研究任务和研究目标, 建立数学物理模型，给出解决 方法，是思维和研究任务、数学和物理模型有机结合的 方法，是统一数学思想和物理模型的系统化理论。脱离 了数学思维，具体研究任务失去了理论指导方法；脱离 了所研究的物理模型，作为最具生命力根源的数学思维 没有发挥其解决实际问题的巨大潜能。既非数学思想， 也非物理模型本身能达到尽善尽美，只有两者的有机结 合才能形成推动人类科学技术赖以发展的最有成效的动 力之源。
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Polar
representation
of
complex
numbers
simplifies the task of describing geometrically the
product of two complex numbers. Let z1 r1 (cos1 isin 1 ) and z2 r2 (cos 2 isin 2 ) .
As a result of the preceding discussion, the second equality in Th3 should be written as arg z1z2 arg z1 arg z2 (mod 2 ) . “ mod 2 ” meaning that the left and right sides of the equation agree after addition of a multiple of 2 to the right side. Theorem 4. (de Moivre’s Formula). If z r (cos isin ) and n is a positive integer, then z n r n (cos n isin n ) . Theorem 5. Let w be a given (nonzero) complex number with polar representation w r (cos isin ), Then the n th roots of w are given by the n complex numbers
a 0i
to stand for a
. In other words, we are this
regarding the real numbers as those complex
numbers a bi , where b 0.
If, in the expression a bi the term a 0 . We call a pure imaginary number.
1 is now given the widely accepted designation i 1 .
The important expression It is customary to denote a complex number:
z x iy
The real numbers x and y are known as the real and
a bi r cos (r sin )i
This way is writing the complex number is called the polar coordinate( triangle ) representation.
Functions of Complex Variable and Integral Transforms
Department of Mathematics Harbin Institutes of Technology Gai Yunying
Preface
There are two parts in this course. The first part is Functions of complex variable(the complex analysis). In this part, the theory of analytic functions of complex variable will be introduced. The complex analysis that is the subject of this course was developed in the nineteenth century, mainly by Augustion Cauchy (1789-1857), later his theory was made more rigorous and extended by such mathematicians as Peter Dirichlet (1805-1859), Karl Weierstrass (1815-1897), and Georg Friedrich Riemann (1826-1866).
1.2 Four fundamental operations
The addition and multiplication of complex numbers are the same as for real numbers.
( x1 iy1 ) ( x2 iy2 ) ( x1 x1 ) i( y1 y2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )
geometrically as a (two-dimensional) vector and
pictured as an arrow from the origin to the point in 2 given by the complex number.
Because the points ( x,0) 2 correspond to real numbers, the horizontal or x axis is called the real axis the vertical axis (the y axis) is called the imaginary axis.
form a
If the usual ordering properties for reals are to hold, then such an ordering is impossible.
1.3 Properties of complex numbers
A complex number may be thought of
z1 z2 x1 x2 and y1 y2 .
In what sense are these complex numbers an extension of the reals? We have already said that if a is a real we also write
Complex analysis has become an indispensable and
standard tool of the working mathematician, physicist,
and engineer. Neglect of it can prove to be a severe
Then
z1 z2 r1r2 ([cos1 cos2 sin 1 sin 2 ]
i[cos1 sin 2 cos 2 sin 1 ])
r1r2 [cos(1 2 ) isin(1 2 )]
Theorem 3. | z1 z2 || z1 | | z2 | and arg( z1z2 ) arg z1 arg z2
The crucial rules for a field, stated here for reference only, are: Additively Rules: i. z w w z; ii. z ( w s ) ( z w) s ; iii. z 0 z ; iv. z ( z ) 0. Multiplication Rules:
imaginary parts of z , respectively, and we write
Re z x,
Im z y
Two complex numbers are equal whenever they have
the same real parts and the same imaginary parts, i.e.
r sin
x

0
r cos
Figure 1.2 Polar coordinate representation of complex numbers
The length of the vector z a ib is denoted | z | and is called the norm, or modulus, or absolute value of z . The angle is called the argument or amplitude of the complex numbers and is denoted arg z . Argz arg z 2k k 0, 1, 2, arg z It is called the principal value of the argument. We have y z I or IV arctan x y arg z arctan z II x y z III arctan x
i. zw wz ; ii. ( zw) s z ( ws) ; iii. 1 z z ; iv. z ( z 1 ) 1 for z 0 .
Distributive Law:
z ( w s ) zw zs
Theorem 1. The complex numbers field.
Chapter 1 Complex Numbers and Functions of Complex Variable
1. Complex numbers field, complex plane and sphere
1.1 Introduction to complex numbers As early as the sixteenth century Ceronimo Cardano considered quadratic (and cubic) equations such as x 2 2 x 2 0, which is satisfied by no real number x , for example 1 1 . Cardano noticed that if these “complex numbers” were treated as ordinary numbers with the added rule that 1 1 1 , they did indeed solve the equations.