控制第4章时域分析

pi

一. 二阶系统的数学模型
Xi(s)
_
开环传递函数 G ( s)
Km n s (Tm s 1) s s 2n
2
n2 s( s 2n )
Xo(s)
2 X 0 ( s) n G( s) 2 闭环传递函数 (s) 2 X i (s) 1 G(s) s 2n s n
0 1 t T
dt
t 0
T2
t 0
T2
（6）对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度 小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。
四、一阶系统的单位斜坡响应
设系统的输入信号为单位斜坡函数xi(t)＝ｔ· １(t)，则系统 输出量的拉氏变换式为 1 1
X o (s) ( s) X i ( s) Ts 1 s 2

实际中可以实现或近似实现。
１阶跃函数
xi (t ) 0 (t 0) R0 (t 0)
２斜坡函数
xi (t ) 0 (t 0) v0 t (t 0)
３抛物线函数
xi ( t ) 0 (t 0) 1 2 (t 0) a0 t 2
xo t 1
e
n t
1 2
sin d t
1 2 arc tg

特点 1) xo(∞) = 1，无稳态误差； 2) 瞬态分量为振幅等于 e t 1 2 的阻 尼正弦振荡，其振幅衰减的快慢由ξ和ωn 决定。阻尼振荡频率 1 2
取反拉氏变换，求得系统的响应为
T T 1 1 1 1 x o (t ) L1 L 2 2 s s 1/ T Ts 1 s s
xo(t ) t T Te
1 t T
(t 0)
xi(t), xo(t)
xi(t)=t x0(t)
xo t 1 ent 1 nt
特点 1）单调上升，无振荡、无超调； 2）xo (∞) = 1，无稳态误差。
2. 过阻尼（ξ＞1） 系统有两个不相等的负实数根 n 2 s1s2 1TT 且有 s1 1 s2 1T 令 s 2 1 1,2 n n T1 2 1 2
系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。
系统传递函数为 G ( s )
4 2s 4
求输入xi(t)=4· 1(t)时,系统的输出响应。
系统传递函数为 G(s)
1 1 求输入xi(t)=4· 1(t)时,系统的输出响应。 10 s 1 s 1
§4-3 二阶系统的时间响应
n
d
n
3) 振荡幅值随ξ减小而加大。
4. 无阻尼（ξ=0）
单位阶跃响应
n 2 1 1 s Xo s 2 2 2 s n s s s n 2
拉氏反变换得到时间响应
xo t 1 cos nt
特点：频率为ωn的等幅振荡。
小结
1. 二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性： ξ≥ 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长； 0<ξ<1时，有振荡， ξ愈小，振荡愈严重，但响应愈快， ξ=0 时，出现等幅振荡。
ζ=0.1 ζ=0.2 ζ=0.3 ζ=0.5 ζ=0.7 ζ=1
0: xo t n sin nt, t 0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
小结 （1）当ζ=0时，系统的输出为正弦曲线。这种情况称为无阻尼振 荡，系统处于临界稳定状态。 （2）当0＜ζ＜1时，系统为欠阻尼振荡状态。ζ增加，将减少系统 的振荡，减少超调量；但上升时间、调节时间加大。阻尼比ζ一般 选择在0.4~0.8之间，其响应曲线能较快地达到稳态值，同时振荡 也不严重。因此实际工程系统常常设计成欠阻尼状态，且阻尼比ζ 选择在0.4~0.8之间为宜。 （3）当ζ=1时，系统为临界阻尼状态，这是总能保持Байду номын сангаас统的输出 值小于1的最小阻尼值。 （4）当ζ>1时，系统为过阻尼状态，响应没有超调，没有振荡， 但过渡时间较长。阻尼比ζ增加时系统的响应减慢。由于过阻尼响 应迟缓，在实际控制系统中几乎不采用。 （5）当阻尼比ζ一定，自然频率ωn增加时，系统的响应速度加快 但是系统响应的峰值保持不变，超调量由阻尼系数唯一确定。
三.一阶系统的单位脉冲响应
特点： （1）瞬态响应的特性反映系统本身的特性，时间常数大的系统，其 响应速度慢于时间常数小的系统。 （2）系统的特性只取决于组成系统的参数，不取决于外作用的形式。 （3）瞬态响应为(1/T)e–t/T，稳态响应为0； （4）当t=0时，xo(0)=1/T，随时间的推移，xo(t)指数衰减， 1 （5）dx (t ) 1 e
n
取拉氏反变换，得其时间响应xo(t)。
xo(t)
1: xo t n te
2
nt
,t 0
2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
n 1: xo t (es t e s t ), t 0 2 2 1
1
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
式中 ωn 无阻尼固有频率 Tm 时间常数 它们之间的关系： Km n
Tm
ξ 系统的阻尼比 Km 开环增益
1 2 Tm Km
Tm
1 2n
n Km 2
二阶系统的特征方程:
极点（特征根）：
s 2n s n 0
2 2
s1,2 n n 2 1
第4章 控制系统的时域分析
时间响应的概念 一阶系统的时间响应
二阶系统的时间响应
瞬态响应的性能指标 稳态误差的分析与计算
§4-1 时间响应的概念
一.系统的输入信号
在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输 出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。 优点：直观、简便 选取输入信号的原则： 形式简单，便于解析分析； 能够使系统工作在最不利的情形下；
Xi(s)=R0/s
Xi (s)=v0 /s2
Xi (s)=a 0 /s3
４脉冲函数
0 (t t ) xi (t ) H (0 t ) L[ (t )] 1
５正弦函数
xi (t ) A sin t
X i (s) A
s2 2
i i 1
i 1 n
设系统闭环极点均为单极点（实际系统大都如此）， 单位阶跃响应的拉氏变换式为：
M ( 0) 1 C (s) D ( 0) s

i 1
n
M (s) (s) sD
s pi
1 s pi
对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为：
M (0) n M ( s ) c(t ) e pi t (s) D(0) i 1 sD s pi M (0) D(0)
Xo s 1 T1T2 b b 1 a 1 2 1 1 s s 1 1 ( s )( s ) s s T1 T2 T1 T2
(t 0)
e t / T1 e t / T2 x0 (t ) 1 T2 T 1 1 1 T1 T2
e s1t e s2t xo t 1 2 s2 2 1 s1
二、动态响应和稳态响应 动态响应是指系统在某一信号的作用下，其输出量从初始状 态到稳定状态的响应过程。 稳态响应是指时间 t 趋向于无穷大时系统的输出状态。
系统的性能可以通过动态性能指标和稳态性能指标来描述。主要 包括： （1）跟随性能指标：在给定信号xi(t)的作用下，系统输出xo(t)的 变化情况可以用跟随性能指标来描述。 （2）抗扰动性能指标：如果控制系统在稳态运行中受到扰动作用， 经历一段动态过程后，又能达到新的稳态，则系统在扰动作用下 的变化情况可用抗扰动性能指标来描述。 （3）稳态性能指标：稳态性能指标中的稳态误差ess是指系统的期 望值与实际输出的最终稳态值之间的差值。
四、高阶系统的暂态性能近似分析
高阶系统的闭环传递函数一般表示为：
M ( s) bm s bm1 s b1 s b0 n n 1 D( s) an s an1 s a1 s a0
m m 1
( s)
k (s z i )
m
(s p )
(4)零阻尼二阶系统 ξ＝0 具有一对共轭虚极点 s1,2 jn
二.
二阶系统的单位阶跃响应
Xi 1 单位阶跃输入的拉氏变换为： s 其响应的拉氏变换为： n 2 Xo s s( s 2 2n s n 2 ) 1. 临界阻尼（ξ=1） 系统有两个相等的负实根 n 2 n 2 1 1 n Xo s 2 2 2 s( s 2n s n ) s( s n ) s s n ( s n )2
特点： 1）单调上升，无振荡，过渡过程时间长； 2）xo (∞) = 1，无稳态误差。
n
3.
欠阻尼（0＜ξ＜1）
s1,2 n jn 1 2 n jd
系统特征方程有一对实部为负的共轭复根：
ωd阻尼振荡角频率
n 2 b1s b2 1 a Xo s 2 2 s 2n s n s s s n jd s n jd
β
(1)欠阻尼状态（振荡环节）0＜ξ＜1 具有一对共轭复数极点 s1,2 n jn 1 2 jd (2)临界阻尼二阶系统 ξ＝1 具有两个相等的负实数极点 s1,2 n (3)过阻尼二阶系统 ξ>1
具有两个不相等的负实数极点 s1,2 n n 2 1