向量中的“奔驰定理”与“等和线定理”

平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC=C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++=== 图2∴ CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B AOABCDOA BC推论:O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OCOB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OCOB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

平面向量奔驰定理的内容及推导《平面向量奔驰定理的奇妙世界》
嘿，大家知道吗？平面向量里有个超厉害的定理，叫奔驰定理！这名字是不是很有意思呀？就好像跟汽车还有点关系呢。

先来说说这个定理的内容吧。

简单来说，就是三角形内的一点与三角形三个顶点连线构成的三个向量，它们的和与三角形面积之间有着特别的关系。

哎呀，具体的数学表达式我就不详细写啦，不然你们该觉得头疼啦。

那这个定理是怎么来的呢？这可得好好琢磨琢磨。

就好像我有一次在家拼拼图，一开始我也是毫无头绪，不知道从哪儿下手，但是慢慢尝试、摸索，突然就找到了规律，一块一块就拼起来了。

推导奔驰定理也是这样，数学家们通过不断地思考、尝试，一点一点地找到了其中的奥秘，最后就得出了这么个厉害的定理。

其实呀，平面向量的世界真的很神奇，奔驰定理就是其中一颗闪亮的星星。

它让我们能更好地理解和处理平面向量的问题，就像一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。

总之，平面向量奔驰定理那真的是相当重要和有趣呀，大家可得好好去研究研究哦！
以上作文仅供参考，你可以根据实际情况进行调整和修改。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第21讲平面向量“奔驰定理”平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用．考点一 平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·P A →＋S △P AC ·PB →＋S △P AB ·PC →＝0.例1 已知O 是△ABC 内部一点，满足OA →＋2OB →＋mOC →＝0，且S △AOB S △ABC ＝47，则实数m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 由奔驰定理得S △BOC ·OA →＋S △AOC ·OB →＋S △AOB ·OC →＝0， 又OA →＋2OB →＋mOC →＝0，∴S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝1∶2∶m . ∴S △AOB S △ABC ＝m 1＋2＋m ＝47， 解得m ＝4.易错提醒 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P 为△ABC 内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比． 跟踪演练1 设点O 在△ABC 内部，且AO →＝13AB →＋14AC →，则S △OAB S △OBC＝________.解析 由AO →＝13AB →＋14AC →，得－12OA →＝4(OB →－OA →)＋3(OC →－OA →)， 整理得5OA →＋4OB →＋3OC →＝0， 所以S △OAB S △OBC ＝35.考点二 “奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)(1)O 是△ABC 的重心⇔S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝1∶1∶1 ⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (2)O 是△ABC 的内心⇔S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝a ∶b ∶c ⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. (3)O 是△ABC 的外心⇔S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝sin 2A ∶sin 2B ∶sin 2C ⇔sin 2A ·OA →＋sin 2B ·OB →＋sin 2C ·OC →＝0. (4)O 是△ABC 的垂心⇔S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝tan A ∶tan B ∶tan C ⇔tan A ·OA →＋tan B ·OB →＋tan C ·OC →＝0. 考向1 “奔驰定理”与重心例2 已知在△ABC 中，G 是重心，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且56aGA →＋40bGB →＋35cGC →＝0，则B ＝________.解析 依题意，可得56a ＝40b ＝35c ， 所以b ＝75a ，c ＝85a ，所以cos B ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫85a 2－⎝⎛⎭⎫75a 22a ×85a＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3.考向2 “奔驰定理”与外心例3 已知点P 是△ABC 的外心，且P A →＋PB →＋λPC →＝0，C ＝2π3，则λ＝________.答案 －1 解析 依题意得，sin 2A ∶sin 2B ∶sin 2C ＝1∶1∶λ， ∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π(舍)， ∴A ＝B ，又C ＝2π3，∴A ＝B ＝π6，又sin 2B sin 2C ＝1λ， ∴λ＝sin 2Csin 2B ＝sin4π3sinπ3＝－1.考向3 “奔驰定理”与内心例4 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝4，O 为△ABC 的内心，若AO →＝λAB →＋μBC →，则3λ＋6μ的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 AO →＝λAB →＋μBC →可化为 OA →＋λOB →－λOA →＋μOC →－μOB →＝0， 整理得(1－λ)OA →＋(λ－μ)OB →＋μOC →＝0， 所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2， 解得λ＝59，μ＝29，所以3λ＋6μ＝3×59＋6×29＝3.考向4 “奔驰定理”与垂心例5 已知H 是△ABC 的垂心，若HA →＋2HB →＋3HC →＝0，则A ＝________. 答案π4解析 依题意，可得tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3， 代入tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ， 可得6tan A ＝6tan 3A ， 因为tan A ≠0， 所以tan A ＝±1.又因为tan A <tan B <tan C ， 所以tan A ＝1，所以A ＝π4.规律方法 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件． 跟踪演练2 (1)设I 为△ABC 的内心，且2IA →＋3IB →＋7IC →＝0，则角C ＝________. 答案π3解析 由2IA →＋3IB →＋7IC →＝0，可得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7， 令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝7k ， 则cos C ＝4k 2＋9k 2－7k 22·2k ·3k ＝12，又C ∈(0，π)， 所以C ＝π3.(2)设点P 在△ABC 内部且为△ABC 的外心，∠BAC ＝π6，如图．若△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为12，x ，y ，则x ＋y 的最大值是______．答案33解析 方法一据奔驰定理得， 12P A →＋xPB →＋yPC →＝0， 即AP →＝2xPB →＋2yPC →，平方得AP →2＝4x 2PB →2＋4y 2PC →2＋8xy |PB →|·|PC →|·cos ∠BPC ， 又因为点P 是△ABC 的外心， 所以|P A →|＝|PB →|＝|PC →|， 且∠BPC ＝2∠BAC ＝π3，所以x 2＋y 2＋xy ＝14，(x ＋y )2＝14＋xy ≤14＋⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，解得0<x ＋y ≤33，当且仅当x ＝y ＝36时取等号， 所以(x ＋y )max ＝33. 方法二 S △PBC ∶S △PCA ∶S △P AB ＝ sin 2A ∶sin 2B ∶sin 2C ，sin 2A ∶sin 2B ∶sin 2C ＝12∶x ∶y ，又∠BAC ＝π6，∴sin 2A ＝32， ∵x ＝33sin 2B ，y ＝33sin 2C ， ∴x ＋y ＝33(sin 2B ＋sin 2C ) ＝33⎣⎡⎦⎤sin 2B ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π3－2B ＝33sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3. 又∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，5π6， ∴2B －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，4π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3∈⎝⎛⎦⎤－32，1， ∴x ＋y ∈⎝⎛⎦⎤0，33， ∴(x ＋y )max ＝33. 专题强化练1．点P 在△ABC 内部，满足P A →＋2PB →＋3PC →＝0，则S △ABC ∶S △APC 为( )A ．2∶1B ．3∶2C ．3∶1D ．5∶3 答案 C解析 根据奔驰定理得， S △PBC ∶S △P AC ∶S △P AB ＝1∶2∶3. 所以S △ABC ∶S △APC ＝3∶1.2．点O 为△ABC 内一点，若S △AOB ∶S △BOC ∶S △AOC ＝4∶3∶2，设AO →＝λAB →＋μAC →，则实数λ和μ的值分别为( ) A.29，49B.49，29 C.19，29D.29，19 答案 A解析 根据奔驰定理， 得3OA →＋2OB →＋4OC →＝0，即3OA →＋2(OA →＋AB →)＋4(OA →＋AC →)＝0， 整理得AO →＝29AB →＋49AC →，故λ＝29，μ＝49.3．△ABC 的重心为G ，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝213，则△BGC 的面积为( ) A ．123B ．8 3 C ．43D ．4 答案 C解析 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝36＋64－522×6×8＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴S △ABC ＝12×6×8×sin π3＝123，又G 为△ABC 的重心， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0，即S △AGB ∶S △AGC ∶S △BGC ＝1∶1∶1， ∴S △BGC ＝13S △ABC ＝4 3.4.如图所示，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠BAC ＝60°，M 为△ABC 的外心，若AM →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则4λ＋3μ等于( )A.34B.53C.73D.83 答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理，可得BC ＝82＋62－2×8×6cos 60°＝213， 所以圆M 的半径R ＝2132sin 60°＝2393，所以S △AMB ＝12×8×⎝⎛⎭⎫23932－42＝833，S △BMC ＝12×213×⎝⎛⎭⎫23932－(13)2＝1333，S △CMA ＝12×6×⎝⎛⎭⎫23932－32＝5 3. 由AM →＝λAB →＋μAC →，可得MA →＋λMB →－λMA →＋μMC →－μMA →＝0， 整理得(1－λ－μ)MA →＋λMB →＋μMC →＝0， 所以S △AMB ∶S △BMC ∶S △CMA ＝μ∶(1－λ－μ)∶λ ＝8∶13∶15， 解得λ＝512，μ＝29，所以4λ＋3μ＝73.5.(多选)如图，设P ，Q 为△ABC 内的两点，且AP →＝25AB →＋15AC →，AQ →＝23AB →＋14AC →，则( )A.S △ABP S △ABC ＝15B.S △ABQ S △ABC ＝13 C.S △ABP S △ABQ ＝45D.S △ABP S △ABQ ＝34 答案 AC解析 由AP →＝25AB →＋15AC →，可得P A →＋25PB →－25P A →＋15PC →－15P A →＝0，整理得25P A →＋25PB →＋15PC →＝0，所以2P A →＋2PB →＋PC →＝0， S △ABP S △ABC ＝12＋2＋1＝15.由AQ →＝23AB →＋14AC →，可得QA →＋23QB →－23QA →＋14QC →－14QA →＝0，整理得QA →＋8QB →＋3QC →＝0， 所以S △ABQ S △ABC ＝31＋8＋3＝14，S △ABP S △ABQ ＝45.6．△ABC 的内切圆圆心为O ，半径为2，且S △ABC ＝14,2OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的外接圆面积为________． 答案64π7解析 ∵2OA →＋2OB →＋3OC →＝0， 且O 为内心， ∴a ∶b ∶c ＝2∶2∶3， 令a ＝2k ， 则b ＝2k ，c ＝3k ，设△ABC 内切圆半径为r ，外接圆半径为R ， 又S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )·r⇒12×7k ×2＝14⇒k ＝2， ∴a ＝4，b ＝4，c ＝6， ∴cos C ＝－18，sin C ＝378，又2R ＝c sin C ＝6378⇒R ＝87＝877，∴外接圆面积S ＝πR 2＝64π7.7．若△ABC 内接于以O 为圆心，以1为半径的圆，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0.则△ABC 的面积为______．11 / 11 答案65解析 ∵3OA →＋4OB →＝－5OC →，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，∴9|OA →|2＋16|OB →|2＋24OA →·OB →＝25|OC →|2，∴OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB ，∴S △AOB ＝12×1×1＝12， 由奔驰定理知，S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝3∶4∶5，∴S △AOB ＝53＋4＋5·S △ABC， ∴S △ABC ＝125S △AOB ＝65. 8.已知点P ，Q 在△ABC 内，P A →＋2PB →＋3PC →＝2QA →＋3QB →＋5QC →＝0，则|PQ →||AB →|＝________.答案130解析 根据奔驰定理得S △PBC ∶S △P AC ∶S △P AB ＝1∶2∶3，S △QBC ∶S △QAC ∶S △QAB ＝2∶3∶5，∴S △P AB ＝S △QAB ＝12S △ABC ，∴PQ ∥AB ， 又∵S △PBC ＝16S △ABC ，S △QBC ＝15S △ABC ， ∴|PQ →||AB →|＝S △QBC －S △PBC S △ABC ＝15－16＝130.。

平面向量奔驰定理公式一、奔驰定理内容。

设O是ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，且→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c，则S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0二、证明（以向量法为例）1. 设→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c- 因为ABC的面积S = S_ BOC+S_ AOC+S_ AOB- 对于→OA与→OB的夹角∠ AOB=α，→OB与→OC的夹角∠ BOC = β，→OC与→OA的夹角∠ COA=γ，且α+β+γ = 2π2. 根据向量的三角形面积公式。

- S_ AOB=(1)/(2)|→OA||→OB|sinα- S_ BOC=(1)/(2)|→OB||→OC|sinβ- S_ AOC=(1)/(2)|→OA||→OC|sinγ3. 要证明S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0- 以O为原点建立平面直角坐标系。

- 设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)- 则→OA=(x_1,y_1)，→OB=(x_2,y_2)，→OC=(x_3,y_3)- 根据上述面积公式计算出S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，然后代入S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC中，通过向量运算可以得到结果为→0三、推论及应用。

1. 推论。

- 若O是ABC的重心，则S_ BOC=S_ AOC=S_ AOB，此时→OA+→OB+→OC=→0（因为重心将三角形面积三等分）2. 应用。

- 在解决与三角形内点相关的向量问题时，奔驰定理可以将向量关系转化为面积关系，或者将面积关系转化为向量关系。

- 例如：已知O是ABC内一点，→OA=2→OB+3→OC，求AOB、BOC、AOC的面积之比。

- 根据奔驰定理S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0，已知→OA=2→OB+3→OC，即→OA-2→OB-3→OC=→0，所以S_ BOC:S_ AOC:S_AOB=1:2:3。

奔驰定理的内容及推导奔驰定理（BenzTheorem）是一种空间中三维平面流动理论，也被称为贝茨定理，它推导出空间变形和空间流动行为的规律。

它最初由德国工程师Hans Friedrich Benz于1909年提出，其核心思想是，空间中的某个点由三维平面流动引起的变形是由以该点为重心的三个维度的处理结果而定的，而这三个维度的处理结果各自与三个三维平面流动的速度（包括有向大小）相关。

以下将通过推导节点空间变形的Numerc分析过程来阐述奔驰定理的内容：首先，定义三领域的三维平面流动速度分别为Vx,Vy,Vz,以及三个方向的向量方向分别为量a,b,c。

向量A = a，B = b，C = c，将三个方向上的变形量Δx,Δy,Δz定义为：Δx=Vx*a.Δy=Vy*b.Δz=Vz*c.由此可推出三维流动变形表达式：Δx +y +z = (Vx*a) + (Vy*b) + (Vz*c).将其变形，可得：Vx = (Δx -z*b)/a.Vy = (Δy -z*c)/b.Vz = (Δz -x*a -y*b)/c.以上推导过程正是奔驰定理的内容，总结起来就是：空间中的某个点的三维流动的变形的大小是由三个三维平面流动的速度（包括有向大小）相关，且由三个方向的向量决定。

奔驰定理具有重要的理论意义，它是空间中精确测量，解决变形运动问题的基础。

由于它提供了一条明确的空间变形和流动行为的规律，所以可以被应用在多种地学、机械、结构、机电一体化、工程力学、固体力学等领域。

比如地质开采，通过奔驰定理可以更有效地挖掘，以便提高挖掘利用率、储量和质量。

在结构力学中，奔驰定理也可以用来进行节点变形分析，分析变形量，确定最优参数。

此外，它也可以用来计算和预测机械系统、管流系统、悬臂梁系统、桥梁系统变形量，以及机械系统动态行为等。

从以上可以看出，奔驰定理具有十分重要的实用价值，是空间变形研究的基础。

它有助于建立有效的模型，以正确地描述出三维变形的形态特征，并有助于科学的研究变形的原因、规律和实际应用。

奔驰定理：P 为ABC D 内一点，0a PA b PB c PC ´+´+´=uuu r uuu r uuu r r，则PBC PAC PAB S S S a b c D D D =：：：：.重要结论：PBC ABC S a S a b c D D =++，PAC ABC S b S a b c D D =++，PAB ABC S c S a b cD D =++.结论1：对于ABC D 内的任意一点P ， 若PBC D 、PCA D 、PAB D 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则：0A B C S PA S PB S PC ×+×+×=uuu r uuu r uuu r r .即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.结论2：对于ABC D 平面内的任意一点P ，若点P 在ABC D 的外部，并且在BAC Ð的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有0PBC PAC PAB S PA S PB S PC D D -×+×+×=uuu r uuu r uuu r r.结论3：对于ABC D 内的任意一点P ， 若1230PA PB PC λλλ++=uuu r uuu r uuu r r，则PBC D 、PCA D 、PAB D 的面积之比为123λλλ：：.S △A ．25B ．12C ．16【典例1-2】已知点P 为ABC 内一点，23PA PB PC ++uuu v uuu v uuu （ ）A ．9:4:1B ．1:4:9C ．1:2:四川省三台中学2021-2022学年高三4月质量检测数学试题的面积之比等于（ 2A ．932B ．【变式1-3】P 是ABCD 所在平面上的一点中，M 是BC 中点，3AM =，10BC =，则AB AC ×=（ A ．32B ．-32C ．162. 【典例1-2】如图,在ABC V 中,已知4,6,AB AC ==Ð且2,3AB AD AC AE ==uuu r uuu r uuu r uuu r ,若F 为DE 的中点,则BF DE ×uuu r uuu泉州五中校考模拟预测）在ABCV中，）C．27 4合肥市第七中学校考三模）以边长为6A．42-C．423-【解题攻略】大值为____），以P 为圆OC OA OB λμ=+，则λ+μ的取值范围是A ．(-∞,-1)B ．(-1,0)-的取值范围是则4x y32在 MDN 上运动（如图）.若AP AE λ=A ．[]22-,B ．2,22⎡-⎣【变式1-2】（2019·北京·首都师范大学附属中学校考一模）在在点O ，使得()0OG BC λλ=>uuu v uuu v，且【变式1-3】（2022秋·山东青岛·高三统考）将两个直角三角形如图拼在一起，当若AE AC AD λμ=+uuu r uuu r uuu r，当λ取最大值时，{}n A ．2020B ．1818【典例1-2】（2022秋·安徽合肥()N n E n *Î为边AC 上的一列点，满足A ．()23nn a n =+×C ．2n a n =+【变式1-1】．（2022秋·河北石家庄·高三正定中学阶段练习）如图，已知点3BD DC =uuu r uuu r ， ()*N n E n Î为边 AC 上的一列点，满足中， 0n a >， 11a =，则 5a =A ．46B ．30【变式1-2】（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考阶段练习）已知四边形BC 边上一点，连接n AF 交BD 于(N nE n Î项为1的正项数列，n n BC BF λ=×uuu r uuu u r，则{}n λ题型09【解题攻略】【典例1-1】（2024·全国·高三专题练习）已知,,,O A B C 是平面上的4个定点，,,A B C 不共线，若点P 满足()OP OA AB AC λ=++uuu r uuu r uuu r uuu r，其中R λÎ，则点P 的轨迹一定经过ABC V 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心【典例1-2】（2022春·重庆·高三统考）已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足()(0)sin sin AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++≥uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP uuu r ＝13[(1－λ) OA →＋(1－λ) OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过（ ）A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心C ．△ABC 的重心D ．AB 边的外心【变式1-2】（2023春·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 是不在同一直线上的三个点，O 是平面ABC 内一动点，若12OP OA AB BC λæö-=+ç÷èøuuu r uuu r uuur uuu r ，[)0,λÎ+¥，则点P 的轨迹一定过ABC V 的（ ）A ．外心B ．重心C ．垂心D ．内心.题型10 三角形四心向量：内心【解题攻略】四心的向量统一形式：设X 是ABC V 内一点且0mXA nXB p XC ++=uuu r uuu r uuu r r ；若X 为内心，则::::m n p a b c =；::::B A C S S S a b c=0OA OB OC a b c ···++=uuu ruuuruuur r【典例1-1】（2020春·山西运城·高三临猗县临晋中学校考开学考试）O 为ABC D 所在平面上动点，点P 满足AB AC OP OA AB AC λæöç÷=++ç÷èøuuu v uuu v uuu v uuu v uuuv uuu v ,,[)0λÎ+¥ ,则射线AP 过ABC D 的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【典例1-2】（2022秋·重庆·高三重庆一中校考）已知I 为ABC D 的内心，7cos 8A =，若AI x AB y AC =+uuv uuu v uuu v ，则x y +的最大值为A ．34B ．12C ．56D ．45【变式1-1】（2021春·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，AP AB AC λμ=+uuu r uuu r uuu r，则下列结论错误的是（ ）A ．若P 是ABC V 的重心，则1λμ=B ．若P 是ABC V 的内心，则52λμ=C ．若P 是ABC V 的垂心，则2λμ=D ．若P 是ABC V 的外心，则54λμ=【变式1-2】（2024·全国·高三专题练习）设O 为ABC V 的内心，5AB AC ==，8BC =，(),AO mAB nAC m n =+ÎR uuu r uuu r uuu r，则m n +=（ ）A ．23B ．59C ．35D ．25【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在ABC V 中，若sin sin sin 0BAC PA ABC PB ACB PC Ð×+Ð×+Ð×=uuu r uuu r uuu r r，则点P 是ABC V 的（ ）A ．重心B ．内心C ．垂心D ．外心题型11 三角形四心向量：外心【解题攻略】设X 是ABC V 内一点且0mXA nXB p XC ++=uuu r uuu r uuu r r ；若X 为外心，则::sin 2:sin 2:sin 2m n p A B C =；::sin2:sin2:sin 2B A C S S S A B C=sin 2sin 2sin 20A OAB OBC OC ···++=uuu ruuuruuur r【典例1-1】（2021春·湖北武汉·高三统考）ABC V 中，2,26,4AB BC AC ===，点O 为ABC V 的外心，若AO mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r，则实数m = ．【典例1-2】（2023春·广东珠海·高三统考）在ABC V 中，60A Ð=°，3BC =，O 为ABC V 的外心，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，且22234OD OE OF ++=uuu r uuu r uuu r ，则OA OB OB OC OC OA ×+×+×=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r.【变式1-1】（2023春·湖北武汉·高三校联考阶段练习）设ABC V 的外心为O ，且满足20OA OB OC ++=uuu r uuu r uuu r r，2AB =uuu r，则ABC V 的面积为 .【变式1-2】（2023春·山东青岛·高三统考）记ABC V 的三个内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b =，2c =，若O 是ABC V 的外心，则AO BC ×=uuu r uuu r．【变式1-3】（2023春·广东汕头·高三金山中学校考已知O 为ABC V 的外心，若 4AO BC BO AC ×=×uuu r uuu ruuu r uuu r，则cos A最小值.题型12 三角形四心向量：重心【解题攻略】重心四心的向量统一形式：设X 是ABC V 内一点且0mXA nXB p XC ++=uuu r uuu r uuu r r；若X 为重心，则::1:1:1m n p =；::1:1:1B AC S S S =0OA OB OC ++=uuu ruuuruuurr解决该类问题常用如下方法：（1）根据条件，利用正、余弦定理直接解三角形；（2）利用向量，结合向量的数量积进行求解；（3）建立直角坐标系，利用坐标进行求解.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =52sin （B 4p+），c =5且O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，则OG 的最小值为A ．2-1B ．5256-C ．2+1D ．10526-【典例1-2】（2022春·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习）已知点G 为ABC V 的重心，120A Ð=°，2AB AC ×=-uuu r uuu r，则AG uuu r 的最小值是（ ）A ．33B ．22C ．23D ．34【变式1-1】（2020春·天津·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知ABC D 中，3,2,4,AB BC AC G ===为ABC D 的重心，则AG GC ×=uuu v uuu vA ．6718B ．6718-C ．269D ．269-【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）过ABC V 的重心G 作直线l ，已知l 与AB 、AC 的交点分别为M 、N ，209ABC AMN S S D D =，若AM AB λ=uuuu v uuu v，则实数λ的值为A ．23或25B ．34或35C ．34或25D ．23或35【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知点G 是ABC D 的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+Îuuu v uuu v uuu v，若120A Ð=o ，2AB AC ×=-uuu v uuu v，则AG uuu v 的最小值是A ．33B ．22C ．23D ．34题型13三角形四心向量：垂心【解题攻略】四心的向量统一形式：设X 是ABC V 内一点且0mXA nXB p XC ++=uuu r uuu r uuu r r；若X 为垂心，则::tan :tan :tan m n p A B C =.::tan :tan :tan B A C S S S A B C=tan tan tan 0A OAB OBC OC ···++=uuu ruuuruuur r【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，若BOC V 、AOC V 、AOBV 的面积分别记为1S 、2S 、3S ，则1230S OA S OB S OC ×+×+×=uuu r uuu r uuu r r．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结的垂心，且24OA OB OC ++A ．23B 【典例1-2】（2023·全国(cos cos AB AC AP AB B AC λ=+uuu v uuu uuu v uuu vuuu v 分的面积是9（填序号）．【变式1-1】如图，在平面直角坐标系以上条件的点M 的个数为（ ）A ．2B ．【变式1-2】如图，OM //且OP xOA yOB =+uuu v uuu v uuu v ，当【变式1-3】在Rt ABC V 中，区域内的动点，若CP λ=uuu r uuu v uuu v uuu v v上的一个动点，当×uuu r uuu PA PC AD ，，AB=2，E 、F 分为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R ．则2λ﹣μ的取值范围是9.（2022·全国·高三专题练习）如图，在上一点列，满足：(141n n E B a +=-u u u u r 10.（2023·全国·高三专题练习）过别为,,D E F ，若AD BE CF ++uuu v uuu v uuu A ．垂心B ．重心如图，分别是射线上的两点，给出下列向量：①奔驰定理：P 为ABC D 内一点，0a PA b PB c PC ´+´+´=uuu r uuu r uuu r r，则PBC PAC PAB S S S a b c D D D =：：：：.重要结论：PBC ABC S a S a b c D D =++，PAC ABC S b S a b c D D =++，PAB ABC S c S a b cD D =++.结论1：对于ABC D 内的任意一点P ， 若PBC D 、PCA D 、PAB D 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则：0A B C S PA S PB S PC ×+×+×=uuu r uuu r uuu r r .即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.结论2：对于ABC D 平面内的任意一点P ，若点P 在ABC D 的外部，并且在BAC Ð的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有0PBC PAC PAB S PA S PB S PC D D -×+×+×=uuu r uuu r uuu r r.结论3：对于ABC D 内的任意一点P ， 若1230PA PB PC λλλ++=uuu r uuu r uuu r r，则PBC D 、PCA D 、PAB D 的面积之比为123λλλ：：.S △A ．25B ．12C ．16【答案】D【分析】直接根据向量的基本运算得到32OA OB OC ++uuu r uuu r uuu r 【详解】解：O Q 为三角形ABC 内一点，且满足2OA +uuu r \233()2()()3OA OB OC OB OA OC OB OA OC OA ++=-+-+-Þuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu 0A B C S OA S OB S OC ×+×+×=uuu r uuu r uuu r r Q ．13C S S S S ==++，Q uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 的面积之比等于（2A．932B．【答案】A【分析】【详解】取AD的中点则有又BE为等边ABDD中，M 是BC 中点，3AM =，10BC =，则AB AC ×=（ A ．32B ．-32C ．16【答案】D【分析】由题设有3AM =uuuu r ，||10BC =uuu r 代入极化恒等式求【详解】由题设，||3AM =uuuu r，||10BC =uuu r ，2211(4||||)(36100)1644AB AC AM BC ×=´-=´-=-uuu r uuu r uuuu r uuu r .故选：D若F BD N ,,NFO ，则EF → ·FG → ＝EF → ·EH → ＝EO →，因此EF → ·FG → ＋GH → ·HE → ＝32．泉州五中校考模拟预测）在ABC V 中，）27【分析】先用CA ，CB 两个向量表示【详解】13CB BD BA =++uuu r uuu r uuu r 1233CB CB A C æç×+èuuu r uuu r uuu r 90o ，所以C C B ×uuu r uuu 29CB =uuu r ，所以CB uuu 1-3】（2023·安徽合肥A．42-C．423-【答案】C【分析】如图所示，以B 【详解】如图所示，以B 建立平面直角坐标系，则由π6PBCÐ=，得(3,1P()故选：C.【解题攻略】极化恒等式的模型：大值为____解：取CD 的中点E ,连接,EA EB m ax BD BC ×=【变式1-1】在锐角ABC V 中，已知解析：考虑到题中的形式，学生一般是想通过极化恒等式进行处理．由题意，取等式22AB AC AM MB ×=-uuu r uuu r uuuu r uuu r ，但要突破显得困难重重．此题的突破关键在于就是直角，要注意从特殊状态来研究一般状态，即化普通状态为特殊状态进行极限化处理．如图，取BC 的中点M ，可得AB uuu 三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即过点C 作11CA A B ^，垂足为1A 过点C 作2CA BC ^，垂足为C 因此()2113AM Îuuuuu r ，，故AB AC ×uuu r uuu r取值范围是____．首先根据题意，画出相应的图形，利用题中所给的条件，列出相应的等量关系式，根据平面向量基本定理，如图，S S=设BO与AC相交于D，则由:4如图建系，设(0,0),(0,2),(,0)(A B C m -4如图:设1C ,过圆上离BC 最远点作切线与AB 00B C ,垂足为0Q ,交BC 于K ，此时圆)AC b uuu r ,其中1a b +=,又AQ x AB =u u u r u 上时,1x y +=,当Q 在BC 的上方时OC OA OB λμ=+，则λ+μ的取值范围是A ．(-∞,-1)B ．(-1,0)D.为矩形内一点，且3.2AP =若D ．6324+又可用,AB AD uuu r uuu r 表示为：286cos 6024AB AC ×=´´=o uuu r uuu rQ ，所以(0,3)A ，(1,0)B -，(1,0)C 所以(,3)AP a b =-uuu r ，(AB =uuu r又AP xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r，即(,a b -所以313y x a b x y -=ì⎪í+=-⎪î，而2x +则2x y +331(sin cos 222t q =-+故当sin()1t p q +=-时，2x +则4x y -的取值范围是32【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知锐角圆心，若OC OA OB λμ=+uuu r uuu r uuu r，则2λ【详解】解：如图所示：由正弦定理可得：2R =在AOB V 中，由余弦定理可得又因为(0,180AOB Ðΰ°又因为OC OA OB λμ=+uuu r uuu r uuu 所以222||||OC OA uuu r uuu r λ=+在 MDN上运动（如图）.若AP AE λ=A ．[]22-,B ．2,22⎡-⎣【答案】C【分析】根据直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可表达出以及三角函数的性质即可求解.【详解】,AB AD 所在直线为x 轴，y 轴，,AB AD uuu r uuu r 方向为正方向建立直角坐标系，知()()30,1,2,1,1,2D E F æöç÷èø,)(),sin 0πa a a ££，由AP AE BF λμ=+uuu r uuu r uuu r =cos sin a a =,若AE AC AD λμ=+，当λ取最大值时，【答案】32-【详解】如图所示：设最大值时，点E 与点B 重合．ABC V 中，由余弦定理以AC所在的直线为x轴，以则P为线段AB上的一点，则存在实数(33,CP CA CBλ\=+=-uuu r uuu r uuu r设1CAe=uuu ru ruuu r，1Ce B=uuu ru ruuu r，则3，轴，以BC 所在的直线为(1)(3,4CA CB λλλ+-=uu u r uuu r，则12||||1e e ==u r u u r ，1(1,0)e =u r (,0)(0,)(,)x y x y +=,【详解】以C 为原点分别以则(04,03)y x <<<<则(,)P y x ，又点P 在直线可得(234x y m xy y +£=+则()3242324y y ++≥+的范围，即可得答案.如图所示由题意得，3uuu v ()31uuu v uuu v uuu v{}n A ．2020B ．1818【答案】D【分析】连接BD 交AC 于点再根据143n n AC a a AB -æö=-ç÷èøuuu r uuu()()3x y AE x y λ⎡⎤-+=-+⎣⎦uuu r 14n na a a a +-=-，由等比数列的定义得到由设143n n x a a -=-，12n y a +=-()AE EB x x E y y D =+++uuu r uuu r uuu r λ⎡⎣所以30x y -+=，则3y x=，即即114n nn n a a a a +--=-，2n ≥所以{a 所以1124n n n a a -+-=×，由n a +累加得1241n a -×+=，所以A ．()23nn a n =+×C ．2n a n =+【答案】B【分析】根据向量的运算、共线向量的表示和等差数列的判定得出数列【详解】因为4=uuu r uuu rBC DC ，所以43BC BD =uuu r uuu r ，所以(44uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuuu r中， 0n a >， 11a =，则 5a =A ．46B ．30【答案】D【详解】因为3BD DC =uuu r uuu r 43BC BD uuu r uuu r Þ=，所以n n mE C E A =uuuu r uuuu r ，1433n n n E A mE B mE D uuuu r uuuu r uuuu \=-+132n n a a +Þ=+， \以113(1)n n a a ++=+ ，n n BC BF λ=×{【答案】3248n n +--【分析】由()(1212n n n nn a E F E C a ++-=-uuuuu r uuuu r 123n n a +=-，再由n n BC BF λ=×uuu r uuu u r 可得n E C uuuu r 224n λ+=-故选：A【典例1-2】（2022春·作AD BC ^，因为sin sin B AC C A AB D ==uuu r uuu r ，所以(sin sin AB AC OP OA AB B AC λ=++uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r 由加法法则知，P 在三角形的中线上，所以动点P 的轨迹一定经过ABC V 故选：A ．【详解】解：如图，取BC则12AB BC AB BD AD +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r．又1()2OP OA AB BC λ-=+uuu r uuu r uuu r uuu r ，\OP OA AD λ-=uuu r uuu r uuu r，即AP AD λ=uuu r uuu r ．又[)0,λÎ+∞，P \点在射线AD 上．故P 的轨迹过ABC V 的重心．故选：B ．.题型10 三角形四心向量：内心【解题攻略】四心的向量统一形式：设X 是ABC V 内一点且0mXA nXB p XC ++=uuu r uuu r uuu r r；若X 为内心，则::::m n p a b c =；::::B A C S S S a b c=0OA OB OC a b c ···++=uuu ruuuruuur r【典例1-1】（2020春·山西运城·高三临猗县临晋中学校考开学考试）O 为ABC D 所在平面上动点，点P 满足AB AC OP OA AB AC λæöç÷=++ç÷èøuuu v uuu v uuu v uuu v uuuv uuu v ,,[)0λÎ+∞ ,则射线AP 过ABC D 的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【分析】将||||AB AC OP OA AB AC λæö=++ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r 变形为||||AB AC AP AB AC λæö=+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，因为||AB AB uuu ruuu r 和||ACAC uuu r uuu r 的模长都是1，根据平行四边形法则可得，过三角形的内心.【详解】||||AB AC OP OA AB AC λæö=++ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r Q AB AC OP OA AP AB AC λæöç÷\-==+ç÷èøuuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v 因为||AB AB uuu r uuu r 和||AC AC uuu r uuu r 分别是AB uuu r 和AC uuu r 的单位向量所以||||AB ACAB AC +uuu r uuu r uuu r uuu r 是以||AB AB uuu ruuu r 和||AC AC uuu r uuu r 为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量。

向量奔驰定理的内容及推导过程向量奔驰定理，也称为平行四边形定理或平行四边形法则，是解决向量运算中平行四边形性质的一个重要定理。

该定理表明，如果在平行四边形中，两条对角线的向量和相等，则该平行四边形的对边是平行的。

推导过程如下：假设平行四边形的两条对角线分别为向量AB和向量AC，平行四边形的两条对边分别为向量AD和向量BC。

根据向量的定义，向量可以表示为有向线段。

我们需要证明向量和的性质，即两个向量相加的结果仍然是一个向量。

假设有向线段AB和有向线段BC，将它们首尾相连，得到一个新的有向线段AC。

根据平行四边形的性质，向量AC与向量AB和向量BC具有相同的大小和方向。

因此，向量和AC可以表示为向量AB加上向量BC，即AC = AB + BC。

接下来，我们需要证明平行四边形的对角线的向量和相等。

假设平行四边形的两条对角线分别为向量AB和向量AC，它们的向量和为向量AD。

根据向量和的性质，我们可以得到向量AC = AB + BC。

同时，根据平行四边形的性质，向量AD与向量AB和向量BC具有相同的大小和方向。

因此，向量AD可以表示为向量AB加上向量BC，即AD = AB + BC。

将上述两个等式联立，我们可以得到向量AD = AC。

根据向量的定义，两个向量相等意味着它们具有相同的大小和方向。

因此，我们可以得出结论：如果在平行四边形中，两条对角线的向量和相等，则该平行四边形的对边是平行的。

应用向量奔驰定理，我们可以解决一些与平行四边形相关的问题。

例如，已知平行四边形的两条对角线的向量和等于向量d，而其中一条对角线的向量为向量a，另一条对角线的向量为向量b。

我们可以根据向量奔驰定理得出结论：向量a + 向量b = 向量d。

通过代入已知条件，我们可以求解出未知的向量或边长。

总结一下，向量奔驰定理是解决向量运算中平行四边形性质的一个重要定理。

它表明，如果在平行四边形中，两条对角线的向量和相等，则该平行四边形的对边是平行的。

向量中的“奔驰定理”证明及应用与推广奔驰定理是求解向量中的三角形面积的重要定理，它的证明基于向量叉乘的性质。

下面我们将详细介绍奔驰定理的证明、应用及推广。

奔驰定理的证明：设向量AB=c,AC=a,向量AD=d，则三角形的面积可以表示为：S=1/2×AB×AC的正好(通过向量叉乘的定义和性质可知)奔驰定理指出，若三个向量互相平行，则这三个向量的长度(或模)与他们所夹三角形的面积之间满足以下关系：S=1/2×，AB×AC证明：首先，设向量AB=c,AC=a,向量BC=b.由题设可知,AB∥AC，因此存在一个实数λ,使得AB=λAC。

即c=λa.同理，由题设可知，AB∥BC，因此存在一个实数μ,使得AB=μBC。

即c=μb。

两者联立得到：λa=μb两边同时做叉乘得到：a×(λa)=b×(μb)由叉乘的性质可知，a×(λa)=(λa)×a=(λa)×(-a)=0;b×(μb)=(μb)×b=(μb)×(-b)=0所以，0=a×(λa)=b×(μb)根据向量叉乘的性质可知，当两个向量叉乘结果为零时，这两个向量互相平行。

由此可得，a与(λa)平行，b与(μb)平行。

由已知得到的结果可知，AB=λAC,AB=μBC。

因此，λAC=μBC。

等式两边同时除以AB得到：λ=μ×，AC/AB，=μ×，AC，AB即，AB，/，AC，=λ/μ=，AB×AC，/，AC×BC因此这就是奔驰定理的证明过程。

奔驰定理的应用与推广：1.应用：奔驰定理广泛应用于解决向量的平行、垂直、共面问题，尤其在几何证明题中使用较为频繁。

例如，可以利用奔驰定理来判断两个向量是否平行，从而简化证明的过程。

2.推广：奔驰定理可以推广到更多的向量问题中。

例如，对于四面体ABCD，我们可以通过向量叉乘得到其体积：V=1/3，AB×AC·AD对于平行六面体，连续使用奔驰定理，可以得到其体积公式：V=，AB×AC·AD奔驰定理还可以应用于计算向量的夹角，设两个向量AB=a,AC=b，夹角θ，则有：cosθ=(a·b)/(，a，b，)奔驰定理的证明及应用与推广使我们更加深入地理解了向量的叉乘操作和向量的几何性质。