平面向量奔驰定理专题

第07讲 平面向量奔驰定理与三角形四心问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。

平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。

它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。

奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo 相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。

1. 奔驰定理如图，已知P 为ABC V 内一点，则有0PBC PAC PAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2. 奔驰定理的证明如图：延长OA 与BC 边相交于点D则BOD ABD BOD ABD ACD COD ACD COD AOCAOBS S S S S BD DC S S S S S -====-V V V V V V V V V DC BD OD OB OCBC BC=+ AOCAOB AOC AOBAOC AOB S S OB OCS S S S =+++V V V V V V BOD COD BOD CODBOA COA BOA BOC AOC AOBCOA S S S S S OD OA S S S S S S +====++V V VBOCAOC AOBS OD OAS S ∴=-+V V V BOCAOC AOB AOC AOBAOC AOB AOC AOB S S S OA OB OCS S S S S S ∴-=++++V V V V V V V V V 0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∴⋅+⋅+⋅=V V V3. 奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC V 内的一点,且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=,则::::BOC COA AOB S S S x y z=V V V 有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r .（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.3．设P 是ΔABC 所在平面内的一点,若2AB CB CA AB CP ⋅+=⋅且222AB AC BC AP =-⋅.则点P 是ΔABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．已知点P 是ABC D 所在平面内一点，且满足()()cos cos AB ACAP R AB B AC C l l =+Î v vv v v ，则直线AP 必经过ABC D 的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．设是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点， 动点P 满足，，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心1．若O 是ABC V 内一点，且OA OB OA OC OC OB ⋅=⋅=⋅，则O 为ABC V 的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心2．已知点O 是ABC V 所在平面上的一点，ABC V 的三边为,,a b c ，若0a OA bOB cOC ®®®®++=，则点O 是ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3．已知点O 为ABC V 所在平面内一点，在ABC V 中，满足22AB AO AB ⋅= ，22AC AO AC ⋅= ，则点O 为该三角形的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心4．已知A ，B ，C 是不在同一直线上的三个点，O 是平面ABC 内一动点，若12OP OA AB BC l æö-=+ç÷èø，[)0,l Î+¥，则点P 的轨迹一定过ABC V 的（ ）A ．外心B ．重心C ．垂心D ．内心5．在平面上有ABC V 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC V 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O 为ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．已知G ，O ，H 在ABC V 所在平面内，满足0GA GB GC ++=，||||||OA OB OC == ，AH BH BH CH CH AH ⋅=⋅=⋅，则点G ，O ，H 依次为ABC V 的（ ）A ．重心，外心，内心B ．重心、内心，外心C ．重心，外心，垂心D ．外心，重心，垂心1．奔驰定理：已知O 是ABC D 内的一点，BOC D ，AOC D ，AOB D 的面积分别为A S ，B S ，C S，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=v v v ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC D 内的一点，A ，B ，C 是ABCD 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ v v v v v v，则必有（ ）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=v v v B ．cos cos cos 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅= v v v vC ．tan tan tan 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=v v v D ．sin 2sin 2sin 20A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=v v v 2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC V 内一点，BMC AMC AMB △，△，△的面积分别为A B C S S S ，，，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的有（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC V 的重心B ．若M 为ABC V 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若M 为ABC V 的外心，则()()()MA MB AB MB MC BC MA MC AC +⋅=+⋅=+⋅=D ．若M 为ABC V 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB Ð=1．奔驰定理：已知点O 是ABC V 内的一点，若,,BOC AOC AOB V V V 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是ABC V 的垂心，且230OA OB OC ++=，则cos C =（ ）A B C D 2．（多选）如图.P 为ABC V 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=V V V成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）A ．若P 是ABC V 的重心，则有0PA PB PC ++=B ．若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC V 的内心C ．若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC V 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n é+Îë6．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（ ）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．若2OA OB == ，5π6AOB Ð=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =V C ．若O 为△ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C Ð=D ．若O 为△ABC 的垂心，3450OA OB OC ++= ，则cos AOB Ð=一、单选题1．在ABC V 中，动点P 满足222CA CB AB CP =-⋅，则P 点轨迹一定通过ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心2．若O ，M ，N 在ABC V 所在平面内，满足||||||,OA OB OC MA MB MB MC MC MA ==⋅=⋅=⋅，且0NA NB NC ++=，则点O ，M ，N 依次为ABC V 的（ ）A ．重心，外心，垂心B ．重心，外心，内心C ．外心，重心，垂心D ．外心，垂心，重心3．已知O 为ABC V 内一点，若分别满足①OA OB OC == ；②OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅；③0OA OB OC ++= ；④0aOA bOB cOC ++=(其中,,a b c 为ABC V 中，角,,A B C 所对的边).则O 依次是ABC V 的A ．内心、重心、垂心、外心B ．外心、垂心、重心、内心C ．外心、内心、重心、垂心D ．内心、垂心、外心、重心4．给定△ABC ，则平面内使得到A ，B ，C 三点距离的平方和最小的点是△ABC 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心5．若H 为ABC V 所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC V 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心6．已知O ，A ，B ，C 是平面上的4个定点，A ，B ，C 不共线，若点P 满足()OP =OA+AB+AC l，其中R l Î，则点P 的轨迹一定经过ABC V 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心7．平面上有ABC V 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB V ，OBC △， O C A V 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a bc S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．已知点O 在平面ABC 中，且2220||||OA AB OA AC OB BA OB BC OC CA OC CB AB AC BA BC CA CB æöæöæö⋅⋅⋅⋅⋅⋅ç÷ç÷-+-+-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则点O 是ABC V 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心9．奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，若BOC V 、AOC V 、AOB V 的面积分别记为1S 、2S 、3S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是ABC V 的垂心，且240OA OB OC ++=，则cos B =( )AB ．13C ．23D10．已知O 是ABC V 所在平面上的一点,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b ,c ，若aPA bPB cPCPO a b c ++=++ v v vv （其中P 是ABC V 所在平面内任意一点），则O 点是ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++=，设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是（）A ．若0OA OB OC ++=，则O 为△ABC 的重心B ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =C ．则O 为△ABC （不为直角三角形）的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OCÐ⋅+Ð⋅+Ð⋅=D ．若2OA OB == ，5π6AOB Ð=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =V 二、多选题12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，BOC V ，AOC V ，AOB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.若O 是锐角ABC V 内的一点，A ，B ，C 是ABCV 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅.则（ ）A ．O 为ABC V 的外心B ．BOC A pÐ+=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C=D ．::tan :tan :tan A B C S S S A B C=13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，BOC V ，AOC V ，AOB V 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.设O 是锐角ABC V 内的一点，BAC Ð，ABC Ð，ACB Ð分别是ABC V 的三个内角，以下命题正确的有（ ）A ．若0OA OB OC ++=，则O 为ABC V 的重心B ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =C ．若||||2OA OB == ，5π6AOB Ð=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =V D ．若O 为ABC V 的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC Ð⋅+Ð⋅+Ð⋅=14．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC V 内一点，BMC △，AMC V ，AMB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的是（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC V 的重心B ．若M 为ABC V 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若45BAC Ð=°，60ABC Ð=°，M 为ABC V 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC V 的垂心，230MA MB MC ++= ，则cos BAC Ð=15．奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，BOC V ，AOC V ，AOB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O 、P 是锐角ABC V 内的点，A 、B 、C 是ABC V 的三个内角，且满足13PA PB PC CA ++=，OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ，则（ ）A ．::4:2:3PAB PBC PCA S S S =△△△B ．πA BOC Ð+Ð=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C=D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 三、填空题16．在面上有ABC V 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC V 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= ，则O 为ABC V 的 心.17．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OA OB CA CB OP CA A CB B l æö+ç÷=++ç÷èø，R l Î，则P 的轨迹一定经过ABC V 的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）18．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：①若P 是ABC V 的重心，则有0PA PB PC ++= ；②若0aPA bPB cPC ++= 成立，则P 是ABC V 的内心；③若2155AP AB AC =+ ，则:2:5ABP ABC S S =△△；④若P 是ABC V 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+，则)m n é+Îë；⑤若ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且7cos 8A =，O 为ABC V 内的一点且为内心.若AO x AB y AC =+ ，则x y +的最大值为45.则正确的命题有 .（填序号）19．1909年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知O 为ABC V 内一点，OBC △，OAC V ，OAB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++= ，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =，O 为ABC V 内的一点且为内心.若AO x AB y AC =+ ，则x y +的最大值为.20．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若P 是ABC V 内一点，,,BPC APC APB V V V 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B C S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= .已知O 为ABC V 的内心，且1cos 3BAC Ð=，若AO mAB nAC =+ ，则m n +的最大值为 .。

平面向量奔驰定理的内容及推导《平面向量奔驰定理的奇妙世界》
嘿，大家知道吗？平面向量里有个超厉害的定理，叫奔驰定理！这名字是不是很有意思呀？就好像跟汽车还有点关系呢。

先来说说这个定理的内容吧。

简单来说，就是三角形内的一点与三角形三个顶点连线构成的三个向量，它们的和与三角形面积之间有着特别的关系。

哎呀，具体的数学表达式我就不详细写啦，不然你们该觉得头疼啦。

那这个定理是怎么来的呢？这可得好好琢磨琢磨。

就好像我有一次在家拼拼图，一开始我也是毫无头绪，不知道从哪儿下手，但是慢慢尝试、摸索，突然就找到了规律，一块一块就拼起来了。

推导奔驰定理也是这样，数学家们通过不断地思考、尝试，一点一点地找到了其中的奥秘，最后就得出了这么个厉害的定理。

其实呀，平面向量的世界真的很神奇，奔驰定理就是其中一颗闪亮的星星。

它让我们能更好地理解和处理平面向量的问题，就像一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。

总之，平面向量奔驰定理那真的是相当重要和有趣呀，大家可得好好去研究研究哦！
以上作文仅供参考，你可以根据实际情况进行调整和修改。

高考数学复习考点题型专题讲解专题7 等和线、奔驰定理、三角形四心1.平面向量等和线定理平面内一组基底OA →，OB →及任一向量OP →，OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，且k ＝|OP ||OF |＝|OB 1||OB |＝|OA 1||OA |，则λ＋μ＝k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线. (1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1，(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0，1)； (3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O 点时，k ＝0. 2.三角形“四心”(1)点O 是△P 1P 2P 3的重心⇔OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0⇔S△P 2OP 3＝S △P 1OP 3＝S △P 1OP 2＝13S △P 1P 2P 3；(2)点O 是△P 1P 2P 3的垂心⇔OP 1→·OP 2→＝OP 2→·OP 3→＝OP 3→·OP 1→⇔tan P 1·OP 1→＋tan P 2·OP 2→＋tan P 3·OP 3→＝0⇔S △P 2OP 3∶S △P 3OP 1∶S △P 1OP 2＝tan P 1∶tan P 2∶ tan P 3(△P 1P 2P 3不是直角三角形)；(3)点O 是△P 1P 2P 3的内心⇔aOP 1→＋b OP 2→＋c OP 3→＝0⇔S△P 2OP 3∶S △P 3OP 1∶S △P 1OP 2＝a ∶b ∶c (其中a ，b ，c 是△P 1P 2P 3的三边，分别对应角P 1，P 2，P 3)；(4)点O 是△P 1P 2P 3的外心⇔|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|⇔OP 1→sin∠P 2OP 3＋OP 2→sin∠P 1OP 3＋OP 3→sin∠P 1OP 2＝0⇔S △P 2OP 3∶S △P 3OP 1∶S △P 1OP 2＝sin 2P 1∶ sin 2P 2∶sin 2P 3. 3.奔驰定理如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·PA →＋S △PAC ·PB →＋S △PAB ·PC →＝0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.类型一 利用等和线求基底系数和的值利用等和线求基底系数和的步骤 (1)确定值为1的等和线；(2)平移该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.例1 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.答案12解析法一(通法) 由题意作图如图.∵在△ABC 中，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23.故λ1＋λ2＝12.法二(利用等和线) 如图，过点A 作AF →＝DE →，连接DF .设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF ＝FH ， ∴AF ＝12AH ，因此λ1＋λ2＝12.训练1 如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A.1B.34C.23D.12 答案 B解析法一(通法) ∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12(BA →＋BO →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫BA →＋12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，∴λ＝12，μ＝14，则λ＋μ＝34.法二(等和线法)如图，AD 为值是1的等和线，过E 作AD 的平行线，设λ＋μ＝k ， 则k ＝|BE ||BF |.由图易知，|BE ||BF |＝34，故选B.类型二 利用等和线求基底系数和的最值(范围)求解步骤：(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的允许存在的区域，分析何处取得最大值和最小值；(3)从长度比或点的位置两个方面，计算最大值和最小值.例2(2022·丽水质检)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________.答案 2 解析法一(通法)以O 为坐标原点，OA →所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA→＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3， 所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.法二(等和线法) 如图所示，设x ＋y ＝k ，则直线AB 为k ＝1的等和线，所有与直线AB 平行的直线中，切线离圆心O 最远，即此时k 取得最大值， 易知OE ⊥AB ， ∵OA ＝1，∠AOB ＝2π3， ∴OE ＝12，则k ＝|DO ||OE |＝112＝2，即x ＋y 的最大值为2.训练2 如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且OD ＝2，点P 是△BCD 内任意一点(含边界)，设OP →＝λOC →＋μOD →，则λ＋μ的取值范围为________.答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 解析法一(通法)分别以边OA ，OC 所在直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则OC →＝(0，1)，OD →＝(2，0)，设P (x ，y )，OP →＝(x ，y )，∴(x ，y )＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)， ∴⎩⎨⎧x ＝2μ，y ＝λ， ∴λ＋μ＝12x ＋y ，设z ＝12x ＋y ，则y ＝－12x ＋z ，所以z 是直线y ＝－12x ＋z 在y 轴上的截距，由图可知，当该直线过点B (1，1)时，它在y 轴上的截距最大，为32；和直线CD 重合时，在y 轴上的截距最小，为1，故z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，即λ＋μ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.法二(等和线法) 如图，设λ＋μ＝k ，则直线CD 为k ＝1的等和线，所有与直线CD 平行的直线中，过点B 的直线离点O 最远，此时k 的值最大，且此时k ＝|OE ||OD |， 易知AD ＝DE ＝1，故此时k ＝32，显然k 的最小值为1， 即λ＋μ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.类型三 利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题已知P 为△ABC 内一点，且xPA →＋yPB →＋zPC →＝0(x ，y ，z ∈R ，xyz ≠0，x ＋y ＋z ≠0)，则有(1)S △PBC ∶S △PAC ∶S △PAB ＝|x |∶|y |∶|z |； (2)S △PBC S △ABC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x ＋y ＋z ，S △PAC S △ABC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＋y ＋z ，S △PAB S △ABC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z x ＋y ＋z . 例3 (1)(2022·镇江质检)已知O 是△ABC 内部一点，满足OA →＋2OB →＋mOC →＝0，且S △AOB S △ABC ＝47，则实数m 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5(2)已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内，PQ →＝13PA →，QR →＝13QB →，RP →＝13RC →，则S △ABC ∶S △PBC 等于( )A.14∶3B.19∶4C.24∶5D.29∶6 答案 (1)C (2)B解析 (1)法一(通法) 延长CO 到点M ，使得OM →＝－m3OC →，因为OA →＋2OB →＋mOC→＝0，所以－m 3OC →＝13OA →＋23OB →，即OM →＝13OA →＋23OB →，所以A ，B ，M 三点共线， 又因为OC →与OM →反向共线， 所以|OM →||CM →|＝m m ＋3，所以S △AOB S △ABC ＝|OM →||CM →|＝m m ＋3＝47，解得m ＝4.法二(奔驰定理法) 由奔驰定理得S △BOC ·OA →＋S △AOC ·OB →＋S △AOB ·OC →＝0， 又OA →＋2OB →＋mOC →＝0， ∴S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝1∶2∶m .∴S △AOB S △ABC ＝m 1＋2＋m ＝47⇒m ＝4. (2)法一(通法) ∵QR →＝13QB →，∴以PQ 为底的△PQR 与△PQB 的高之比为1∶3， ∴S △PQB ＝3S △PQR ，即S △PRB ＝2S △PQR ，∵以BR 为底的△PBR 与△BCR 的高之比为1∶3， ∴S △BCR ＝3S △PBR ＝6S △PQR ， ∴S △PBC ＝2S △PBR ＝4S △PQR ， 同理可得S △ACP ＝S △ABQ ＝6S △PQR ， 所以S △ABC S △PBC ＝S △BCR ＋S △ACP ＋S △ABQ ＋S △PQR S △PBC ＝19S △PQR 4S △PQR ＝194. 法二(奔驰定理法) 由QR →＝13QB →，得PR →－PQ →＝13(PB →－PQ →)，整理得PR →＝13PB →＋23PQ →＝13PB →＋29PA →，由RP →＝13RC →，得RP →＝13(PC →－PR →)，整理得PR →＝－12PC →，∴－12PC →＝13PB →＋29PA →，整理得4PA →＋6PB →＋9PC →＝0，∴S △ABC ∶S △PBC ＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.训练3 设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC的面积的比值为________. 答案 4解析法一(通法)∵D为AB的中点，则OD→＝12(OA→＋OB→)，又OA→＋OB→＋2OC→＝0，∴OD→＝－OC→，∴O为CD的中点. 又∵D为AB的中点，∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，则S△ABCS△AOC＝4.法二(奔驰定理法)因为OA→＋OB→＋2OC→＝0，根据奔驰定理，所以S△ABCS△AOC＝1＋1＋21＝4.类型四与三角形四心有关的问题所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.解题时，要结合题目已知条件，充分利用各“心”的性质，巧妙转化.例4 过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，PC→＝34AC→，QC→＝nBC→，则n的值为________. 答案 35解析 如图，因为O 是重心，所以OA →＋OB →＋OC →＝0， 即OA →＝－OB →－OC →，PC →＝34AC →⇒OC →－OP →＝34(OC →－OA →)⇒OP →＝34OA →＋14OC →＝－34OB →－12OC →.QC →＝nBC →⇒OC →－OQ →＝n (OC →－OB →)⇒OQ →＝nOB →＋(1－n )OC →， 因为P ，O ，Q 三点共线， 所以OP →∥OQ →，所以－34(1－n )＝－12n ，解得n ＝35.训练4 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若aGA→＋bGB →＋33cGC →＝0，则A ＝________. 答案π6解析 由G 是△ABC 的重心， 则GC →＝－GA →－GB →，因此aGA→＋bGB→＋33c(－GA→－GB→)＝⎝⎛⎭⎪⎫a－33c GA→＋⎝⎛⎭⎪⎫b－33c GB→＝0，又GA→，GB→不共线，所以a－33c＝b－33c＝0，即a＝b＝33c，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32，又0<A<π，故A＝π6.一、基本技能练1.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝( )A.23 B.13C.－13D.－23答案 A解析由于D是AB边上一点，所以A，B，D三点共线，所以13＋λ＝1，λ＝23.2.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为( )A.12 B.13C.14D.1答案 A解析法一(通法) 设BM →＝tBC→，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋t 2BC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝12.法二(等和线法) 如图，BC 为值是1的等和线，过N 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ， 则k ＝|AN →||AM →|.由图易知，|AN →||AM →|＝12，故选A.3.(2022·武汉质检)已知△ABC ，平面内一动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则动点P 过△ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 答案 A解析∵AB→|AB →|，AC→|AC →|分别表示AB →，AC → 方向上的单位向量，∴AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与∠BAC 的角平分线一致.∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →的方向与∠BAC 的角平分线一致， ∴一定通过△ABC 的内心.4.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →，则m 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B解析∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点， ∴AM →＝23AD →，又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →， ∴m ＝3.5.若H 为△ABC 所在平面内一点，且|HA →|2＋|BC →|2＝|HB →|2＋|CA →|2＝|HC →|2＋|AB →|2，则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心答案 D解析∵|HA→|2－|HB→|2＝|CA→|2－|BC→|2，∴(HA→＋HB→)·BA→＝(CA→＋CB→)·BA→，即(HA→＋HB→－CA→－CB→)·BA→＝0，即(HC→＋HC→)·BA→＝0，∴AB→⊥HC→，同理AC→⊥HB→，BC→⊥HA→，故H是△ABC的垂心.6.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若OA→＋AB→＋OC→＝0，且|OA→|＝|AB→|，则CA→·CB→等于( )A.32B. 3C.3D.2 3答案 C解析∵OA→＋AB→＋OC→＝0，∴OB→＝－OC→，故点O是BC的中点，且△ABC是直角三角形，又△ABC的外接圆半径为1，|OA→|＝|AB→|，∴BC＝2，AB＝1，CA＝3，∠BCA＝30°，∴CA→·CB→＝3×2×32＝3.7.点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设AO→＝λAB→＋μAC→，则实数λ和μ的值分别为( )A.29，49B.49，29C.19，29D.29，19答案 A解析根据奔驰定理，得3OA→＋2OB→＋4OC→＝0，即3OA→＋2(OA→＋AB→)＋4(OA→＋AC→)＝0，整理得AO→＝29AB→＋49AC→，故选A.8.(2022·广州调研)已知O是△ABC内一点，OA→＋OB→＋OC→＝0，AB→·AC→＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( )A.33B. 3C.32 D.23答案 A解析∵OA→＋OB→＋OC→＝0，∴O是△ABC的重心，∴S△OBC＝13S△ABC，∵AB→·AC→＝2，∴|AB→||AC→|cos∠BAC＝2，∵∠BAC＝60°，∴|AB→||AC→|＝4，又S△ABC＝12|AB→||AC→|sin∠BAC＝3，∴△OBC的面积为3 3.9.若M是△ABC内一点，且满足BA→＋BC→＝4BM→，则△ABM与△ACM的面积之比为( )A.12 B.13C.14D.2答案 A解析法一(通法) 设AC的中点为D，则BA→＋BC→＝2BD→，于是2BD→＝4BM→，从而BD→＝2BM→，即M为BD的中点，于是S△ABMS△ACM＝S△AMD2S△AMD＝12.法二(奔驰定理法) 由BA→＋BC→＝4BM→，得AM→＋2BM→＋CM→＝0，根据奔驰定理得，S△ABMS△ACM＝12.10.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→＝a，BD→＝b，且AF→＝λa＋μb，则λ＋μ等于( )A.1B.34C.23D.12 答案 A解析 (等和线法)如图，作AG →＝BD →，延长CD 与AG 相交于G ，因为C ，F ，G 三点共线，所以λ＋μ＝1.故选A.11.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，向量AO →＝λa ＋μb ，则λ＋μ的值为________.答案23解析 如图，BC 为值是1的等和线，过O 作BC 的平行线，延长AO 交BC 于M ， 设λ＋μ＝k ，则k ＝|AO ||AM |. 由题设知O 为△ABC 重心，|AO ||AM |＝23. 12.设O 为△ABC 内一点，且AO →＝13AB →＋14AC →，则S △OAB ∶S △OBC ＝________.答案 35解析由AO→＝13AB→＋14AC→可得－12OA→＝4(OB→－OA→)＋3(OC→－OA→)，整理得5OA→＋4OB→＋3OC→＝0，∴S△OAB∶S△OBC＝35 .二、创新拓展练13.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内任意一点(含边界)，且AP→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的取值范围为( )A.[0，1]B.[0，2]C.[0，3]D.[0，4]答案 C解析(等和线法)设λ＋μ＝k，则直线BC为k＝1的等和线，所有与BC平行的直线中，过点A时，k＝0，过点D的距离BC最远，由于△BCD与△ABC的面积之比为2，故二者的高的比也是2，故k的最大值为3，即λ＋μ∈[0，3].14.(2022·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，若A(1，0)，B(3，4)，OC→＝xOA→＋yOB→，x＋y＝6，则|AC→|的最小值为( )A.1B.2C.5D.2 5答案 D解析法一由题意得OA→＝(1，0)，OB→＝(3，4)，由OC→＝xOA→＋yOB→，得OC→＝(x＋3y，4y)，所以AC→＝OC→－OA→＝(x＋3y－1，4y)，又x ＋y ＝6，所以AC →＝(5＋2y ，4y )，则|AC →|＝（5＋2y ）2＋（4y ）2＝20y 2＋20y ＋25＝25⎝⎛⎭⎪⎫y ＋122＋5，y ∈R ，所以当y ＝－12时，|AC →|取得最小值25，故选D.法二 设点O 到AB 的距离为d ，由等面积法可知S △OAB ＝12·|OA →|·|y B |＝12×|AB →|·d ，即12×1×4＝12×（3－1）2＋42·d ， 解得d ＝255，由等和线定理得|AC →|＝|OC →－OA →|＝|(x －1)OA →＋yOB→|≥5d ＝25，故选D.15.已知正三角形ABC 的边长为2，D 是边BC 的中点，动点P 满足|PD →|≤1，且AP →＝xAB →＋yAC →，其中x ＋y ≥1，则2x ＋y 的最大值为( ) A.1 B.32C.2D.52答案 D解析 ∵动点P 满足|PD →|≤1，∴P 的轨迹为以D 为圆心，1为半径的圆及内部，设圆D 与边AB 交于点B 1，连接B 1C ，则B 1C ⊥AB ，且B 1是AB 中点， 则AB 1＝12AB ，∵AP →＝xAB→＋yAC →，∴AP →＝2xAB 1→＋yAC →， ∵x ＋y ≥1，由等和线性质知P 点在直线B 1C 左下方，如图，作直线B 1C 的平行线l 与圆D 相切于P ，由等和线性质知，此时2x ＋y 有最大值，延长AB 交l 于 点B 2，∴(2x ＋y )max ＝AB 2AB 1＝1＋12＋11＝52.16.O 为三角形内部一点，a ，b ，c 均为大于1的正实数，且满足aOA →＋bOB →＋cOC →＝CB →，若S △OAB 、S △OAC 、S △OBC 分别表示△OAB 、△OAC 、△OBC 的面积，则S △OAB ∶S △OAC ∶S △OBC 为( ) A.(c ＋1)∶(b －1)∶a B.c ∶b ∶a C.1a ∶1b －1∶1c ＋1D.c 2∶b 2∶a 2 答案 A解析 由aOA →＋bOB →＋cOC →＝CB →， ∴aOA →＋bOB →＋cOC →＝OB →－OC →， ∴aOA →＋(b －1)OB →＋(1＋c )OC →＝0，如图，设OA 1→＝aOA →，OB 1→＝(b －1)OB →，OC 1→＝(1＋c )OC →，∴OA →1＋OB 1→＋OC 1→＝0，即O是△A1B1C1的重心，∴S△OB1C1＝S△OA1B1＝S△OA1C1，∴S△OABS△OA1B1＝12OA·OB sin∠AOB12OA1·OB1sin∠A1OB1＝OA·OBOA1·OB1＝1a（b－1），∴S△OAB＝1a（b－1）S△OA1B1，同理可得S△OAC＝1a（1＋c）S△OA1C1，S△OBC ＝1（b－1）（1＋c）S△OB1C1，∴S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝1a（b－1）∶1a（1＋c）∶1（b－1）（1＋c），所以S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝(c＋1)∶(b－1)∶a.故选A.17.设G为△ABC的重心，且sin A·GA→＋sin B·GB→＋sin C·GC→＝0，则角B＝________. 答案60°解析∵G是△ABC的重心，∴GA→＋GB→＋GC→＝0，又sin A·GA→＋sin B·GB→＋sin C·GC→＝0，∴sin A＝sin B＝sin C，即a＝b＝c，则△ABC是等边三角形，故B＝60°.18.如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设AP→＝αAB→＋βAF→(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________.答案 [3，4]解析 (等和线法)直线BF 为k ＝1的等和线，当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM .设正六边形的边长为2，则AN ＝3，AM ＝1，AD ＝4，故α＋β∈[3，4].。

平面向量奔驰定理平面向量奔驰定理引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它是向量的一种，具有方向和大小，可以进行加减乘除等运算。

本文将介绍平面向量的一个重要定理——平面向量奔驰定理。

一、定义1.1 平面向量平面上的一个有向线段称为平面向量，记作$\vec{a}$。

其中，有起点和终点分别为$A$和$B$，则$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$。

1.2 平移在平面上，将一个图形沿着某个方向移动一段距离后所得到的新图形称为原图形的平移。

平移可以用平面向量来表示。

二、定理2.1 平行四边形法则对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的四边形是一个平行四边形。

证明：如下图所示，以$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$和$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$为邻边构造一个以$O$为顶点的平行四边形$OABC$。

连接$AC$和$BD$两条对角线，则由于对角线互相平分且相等，所以$AC=BD$。

又因为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC }$，所以$\overrightarrow{OC}$是以$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$为邻边的平行四边形对角线。

得证。

2.2 平面向量奔驰定理对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的三角形的三条边上依次取一点$D,E,F$，则有：$$\frac{\overrightarrow{OD}}{\vec{a}}+\frac{\overrightarrow{OE} }{\vec{b}}+\frac{\overrightarrow{OF}}{\vec{c}}=\vec 0$$其中，$\overrightarrow {OD},\ \overrightarrow {OE},\\overrightarrow {OF}$分别表示向量$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$的起点与点$D,\ E,\ F$的连线所组成的向量。

平面向量中的奔驰定理在向量题目中，同学会经常遇到一类题型，涉及三角形各心的向量表达式，如果在此基础上探究，不免会遇到一个更一般性的问题，即因为本题的图形特别象奔驰汽车的标志，所以把此结论称为奔驰定理。

【证法一】取点,,A B C '''，使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'''===，则0OA OB OC '''++=，即O 为'''A B C ∆的重心，''''''B OC A OC A OB S S S ∆∆∆⇒== 1sin 121''''sin ''2AOBPOB OA OB AOB S OA OB S OA OB OA OB A OB αβ∆⋅∠⋅===⋅⋅∠ 1OB A OB S S αβ∆Λ''⇒= 同理11,AOC A OC BOC B OC S S S S αγβγ∆∆''∆∆''== 111::::::BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ∆∆∆⇒==。

【分析】即证明0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=【证法二】以O 为原点建立坐标系，设()()()111222333,,,,,,,,A x y z B x y z C x y z ， 则221111333322111,,222BOC AOC AOB x y x y x y S S S x y x y x y ∆∆∆===， BOC AOC AOB S OA S OB S OC∆∆∆⋅++⋅ ()()()221111112233333322111,,,(0,0)0222x y x y x y x y x y x y x y x y x y =++== 若O 为△ABC 内任一点，有0OA OB OC αβγ++=，则::::BOC AOC AOB S S S αβγ∆∆∆=.【证法三】()BOC AOC AOB S OA S OB S OC OA ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯ AOC AOB S OB OA S OC OA ∆∆=⋅⨯+⋅⨯()()220AOC AOB AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=⋅-+⋅=同理()0BOC AOC AOB S OA S OB S OC OB ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯=所以0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+=． 【题目】已知O 为△ABC 的垂线，且230OA OB OC ++=，求∠A ．【解答】如图，由平面向量中的奔驰定理可得::1:2:3BOC AOC AOB S S S ∆∆∆=， 1212BOCAOCOC BD S BD S AD OC AD ∆∆⋅⋅==⋅⋅，在△ACD 和△BCD 中，tan ,tan CD CD A B AD BD ==， 所以tan tan A BD B AD=，故tan tan BOC AOC S A S B ∆∆=，同理tan tan BOC AOB S A S C ∆∆=， 故::tan :tan :tan BOC AOC AOB S S S A B C ∆∆∆=，即tan :tan :tan 1:2:3A B C =， 又tan tan tan tan()1tan tan B C A B C B C +=-+=--， 所以tan 1,45A A ︒=∠=．评注：由此题的结论可得若O 为△ABC 的垂心，则有::tan :tan :tan ::BOC AOC AOB S S S A B C αβγ∆∆∆==．B。

平面向量专题：奔驰定理与三角形面积问题1、奔驰定理：O 是ABC ∆内的一点，且x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S ∆BOC :S ∆COA :S △AOB =x:y:z2、证明过程：已知O 是ABC ∆内的一点，∆BOC ，∆COA ，∆AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，求证：S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 延长OA 与BC 边相交于点D ， 则BDDC =S ∆ABD S ∆ACD=S ∆BOD S ∆COD=S ∆ABD −S ∆BOD S ∆ACD −S ∆COD=SC S B ，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC BC OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD BC OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =S B S B+S COB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B+S COC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵OD OA =S BOD S BOA=SCOD S COA=S BOD +S COD S BOA +S COA=S ASB +S C，∴OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−S AS B +S COA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴−S ASB +S COA ⃗⃗⃗⃗⃗ =S BS B+S COB⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B+SCOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .（3）奔驰定理推论：x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则①S ∆BOC :S ∆COA :S △AOB =|x |:|y |:|z | ②S ∆BOCS∆ABC=|x x+y+z |，S ∆AOC S ∆ABC=|y x+y+z |，S ∆AOB S ∆ABC=|zx+y+z |.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。

向量奔驰定理的内容及推导过程向量奔驰定理，也称为平行四边形定理或平行四边形法则，是解决向量运算中平行四边形性质的一个重要定理。

该定理表明，如果在平行四边形中，两条对角线的向量和相等，则该平行四边形的对边是平行的。

推导过程如下：假设平行四边形的两条对角线分别为向量AB和向量AC，平行四边形的两条对边分别为向量AD和向量BC。

根据向量的定义，向量可以表示为有向线段。

我们需要证明向量和的性质，即两个向量相加的结果仍然是一个向量。

假设有向线段AB和有向线段BC，将它们首尾相连，得到一个新的有向线段AC。

根据平行四边形的性质，向量AC与向量AB和向量BC具有相同的大小和方向。

因此，向量和AC可以表示为向量AB加上向量BC，即AC = AB + BC。

接下来，我们需要证明平行四边形的对角线的向量和相等。

假设平行四边形的两条对角线分别为向量AB和向量AC，它们的向量和为向量AD。

根据向量和的性质，我们可以得到向量AC = AB + BC。

同时，根据平行四边形的性质，向量AD与向量AB和向量BC具有相同的大小和方向。

因此，向量AD可以表示为向量AB加上向量BC，即AD = AB + BC。

将上述两个等式联立，我们可以得到向量AD = AC。

根据向量的定义，两个向量相等意味着它们具有相同的大小和方向。

因此，我们可以得出结论：如果在平行四边形中，两条对角线的向量和相等，则该平行四边形的对边是平行的。

应用向量奔驰定理，我们可以解决一些与平行四边形相关的问题。

例如，已知平行四边形的两条对角线的向量和等于向量d，而其中一条对角线的向量为向量a，另一条对角线的向量为向量b。

我们可以根据向量奔驰定理得出结论：向量a + 向量b = 向量d。

通过代入已知条件，我们可以求解出未知的向量或边长。

总结一下，向量奔驰定理是解决向量运算中平行四边形性质的一个重要定理。

它表明，如果在平行四边形中，两条对角线的向量和相等，则该平行四边形的对边是平行的。

平面向量的爪子定理公式推导一、平面向量的爪子定理（奔驰定理）（一）定理内容。

已知O为ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，则S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0。

（二）公式推导。

1. 利用向量的线性运算。

- 设→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c。

- 延长AO交BC于点D，设→OD = x→OA，(x > 1)。

- 因为B、D、C共线，则存在实数m，使得→OD=m→OB+(1 - m)→OC，即x→OA=m→OB+(1 - m)→OC，所以→OA=(m)/(x)→OB+(1 - m)/(x)→OC。

2. 结合三角形面积关系推导。

- 设ABC的面积为S。

- 因为frac{S_ BOD}{S_ COD}=(BD)/(DC)=m:(1 - m)。

- 又S_ AOB=(1)/(2)|→OA×→OB|sin∠ AOB，S_AOC=(1)/(2)|→OA×→OC|sin∠ AOC，S_ BOC=(1)/(2)|→OB×→OC|sin∠ BOC。

- 根据BOD和COD的面积关系以及→OD=m→OB+(1 - m)→OC，可以得到：- S_ AOB:S_ AOC=(1 - m):m。

- 设S_ AOB = k(1 - m)，S_ AOC=km，S_ BOC=S - k。

- 将→OA=(m)/(x)→OB+(1 - m)/(x)→OC两边同时乘以S得：- S→OA=frac{S_ AOC}{S_ AOB+S_ AOC}→OB+frac{S_ AOB}{S_ AOB+S_ AOC}→OC。

- 整理可得S_ BOC→OA+S_AOC→OB+S_ AOB→OC=→0。