专题二 培优点10 平面向量“奔驰定理”

平面向量奔驰定理的内容及推导《平面向量奔驰定理的奇妙世界》
嘿，大家知道吗？平面向量里有个超厉害的定理，叫奔驰定理！这名字是不是很有意思呀？就好像跟汽车还有点关系呢。

先来说说这个定理的内容吧。

简单来说，就是三角形内的一点与三角形三个顶点连线构成的三个向量，它们的和与三角形面积之间有着特别的关系。

哎呀，具体的数学表达式我就不详细写啦，不然你们该觉得头疼啦。

那这个定理是怎么来的呢？这可得好好琢磨琢磨。

就好像我有一次在家拼拼图，一开始我也是毫无头绪，不知道从哪儿下手，但是慢慢尝试、摸索，突然就找到了规律，一块一块就拼起来了。

推导奔驰定理也是这样，数学家们通过不断地思考、尝试，一点一点地找到了其中的奥秘，最后就得出了这么个厉害的定理。

其实呀，平面向量的世界真的很神奇，奔驰定理就是其中一颗闪亮的星星。

它让我们能更好地理解和处理平面向量的问题，就像一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。

总之，平面向量奔驰定理那真的是相当重要和有趣呀，大家可得好好去研究研究哦！
以上作文仅供参考，你可以根据实际情况进行调整和修改。

平面向量奔驰定理平面向量奔驰定理引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它是向量的一种，具有方向和大小，可以进行加减乘除等运算。

本文将介绍平面向量的一个重要定理——平面向量奔驰定理。

一、定义1.1 平面向量平面上的一个有向线段称为平面向量，记作$\vec{a}$。

其中，有起点和终点分别为$A$和$B$，则$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$。

1.2 平移在平面上，将一个图形沿着某个方向移动一段距离后所得到的新图形称为原图形的平移。

平移可以用平面向量来表示。

二、定理2.1 平行四边形法则对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的四边形是一个平行四边形。

证明：如下图所示，以$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$和$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$为邻边构造一个以$O$为顶点的平行四边形$OABC$。

连接$AC$和$BD$两条对角线，则由于对角线互相平分且相等，所以$AC=BD$。

又因为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC }$，所以$\overrightarrow{OC}$是以$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$为邻边的平行四边形对角线。

得证。

2.2 平面向量奔驰定理对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的三角形的三条边上依次取一点$D,E,F$，则有：$$\frac{\overrightarrow{OD}}{\vec{a}}+\frac{\overrightarrow{OE} }{\vec{b}}+\frac{\overrightarrow{OF}}{\vec{c}}=\vec 0$$其中，$\overrightarrow {OD},\ \overrightarrow {OE},\\overrightarrow {OF}$分别表示向量$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$的起点与点$D,\ E,\ F$的连线所组成的向量。

平面向量奔驰定理一、概述在平面向量的运算中，有一个重要的定理被称为奔驰定理。

奔驰定理是向量的加法与减法的一种推广，通过该定理，我们可以更加方便地进行平面向量的运算。

二、奔驰定理的表述奔驰定理表述如下：对于任意三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，有如下关系：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗其中，0⃗⃗表示零向量。

三、奔驰定理的证明为了证明奔驰定理，我们可以利用向量的法则进行推导。

假设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，令d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则有：d⃗+a⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗d⃗+a⃗=a⃗+a⃗+b⃗⃗+c⃗d⃗+a⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗同理，我们可以得到：d⃗+b⃗⃗=a⃗+2b⃗⃗+c⃗d⃗+c⃗=a⃗+b⃗⃗+2c⃗将以上三个等式相加，可以得到：d⃗+a⃗+d⃗+b⃗⃗+d⃗+c⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗+2b⃗⃗+c⃗+a⃗+b⃗⃗+2c⃗化简可得：3d⃗=6(a⃗+b⃗⃗+c⃗)再进一步化简得到：d⃗=2(a⃗+b⃗⃗+c⃗)即：a⃗+b⃗⃗+c⃗=1 2 d⃗由于d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，将其代入上式得到：a⃗+b⃗⃗+c⃗=12(a⃗+b⃗⃗+c⃗)进一步化简可得：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗因此，奔驰定理得证。

四、奔驰定理的应用奔驰定理在向量运算中有重要的应用。

通过奔驰定理，我们可以方便地进行向量的加法和减法运算。

以下是一些常见的奔驰定理的应用场景：1. 向量相加设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗2. 向量相减设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗=0⃗⃗3. 向量之间的关系判断对于已知的三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，如果已知a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗，则可以判断三个向量之间存在某种关系，比如共线、共面等。

五、总结通过对奔驰定理的学习和理解，我们可以更加灵活地进行平面向量的运算。

平面向量奔驰定理公式一、奔驰定理内容。

设O是ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，且→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c，则S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0二、证明（以向量法为例）1. 设→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c- 因为ABC的面积S = S_ BOC+S_ AOC+S_ AOB- 对于→OA与→OB的夹角∠ AOB=α，→OB与→OC的夹角∠ BOC = β，→OC与→OA的夹角∠ COA=γ，且α+β+γ = 2π2. 根据向量的三角形面积公式。

- S_ AOB=(1)/(2)|→OA||→OB|sinα- S_ BOC=(1)/(2)|→OB||→OC|sinβ- S_ AOC=(1)/(2)|→OA||→OC|sinγ3. 要证明S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0- 以O为原点建立平面直角坐标系。

- 设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)- 则→OA=(x_1,y_1)，→OB=(x_2,y_2)，→OC=(x_3,y_3)- 根据上述面积公式计算出S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，然后代入S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC中，通过向量运算可以得到结果为→0三、推论及应用。

1. 推论。

- 若O是ABC的重心，则S_ BOC=S_ AOC=S_ AOB，此时→OA+→OB+→OC=→0（因为重心将三角形面积三等分）2. 应用。

- 在解决与三角形内点相关的向量问题时，奔驰定理可以将向量关系转化为面积关系，或者将面积关系转化为向量关系。

- 例如：已知O是ABC内一点，→OA=2→OB+3→OC，求AOB、BOC、AOC的面积之比。

- 根据奔驰定理S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0，已知→OA=2→OB+3→OC，即→OA-2→OB-3→OC=→0，所以S_ BOC:S_ AOC:S_AOB=1:2:3。

平面向量中的奔驰定理在向量题目中，同学会经常遇到一类题型，涉及三角形各心的向量表达式，如果在此基础上探究，不免会遇到一个更一般性的问题，即因为本题的图形特别象奔驰汽车的标志，所以把此结论称为奔驰定理。

【证法一】取点,,A B C '''，使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'''===，则0OA OB OC '''++=，即O 为'''A B C ∆的重心，''''''B OC A OC A OB S S S ∆∆∆⇒== 1sin 121''''sin ''2AOBPOB OA OB AOB S OA OB S OA OB OA OB A OB αβ∆⋅∠⋅===⋅⋅∠ 1OB A OB S S αβ∆Λ''⇒= 同理11,AOC A OC BOC B OC S S S S αγβγ∆∆''∆∆''== 111::::::BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ∆∆∆⇒==。

【分析】即证明0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=【证法二】以O 为原点建立坐标系，设()()()111222333,,,,,,,,A x y z B x y z C x y z ， 则221111333322111,,222BOC AOC AOB x y x y x y S S S x y x y x y ∆∆∆===， BOC AOC AOB S OA S OB S OC∆∆∆⋅++⋅ ()()()221111112233333322111,,,(0,0)0222x y x y x y x y x y x y x y x y x y =++== 若O 为△ABC 内任一点，有0OA OB OC αβγ++=，则::::BOC AOC AOB S S S αβγ∆∆∆=.【证法三】()BOC AOC AOB S OA S OB S OC OA ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯ AOC AOB S OB OA S OC OA ∆∆=⋅⨯+⋅⨯()()220AOC AOB AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=⋅-+⋅=同理()0BOC AOC AOB S OA S OB S OC OB ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯=所以0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+=． 【题目】已知O 为△ABC 的垂线，且230OA OB OC ++=，求∠A ．【解答】如图，由平面向量中的奔驰定理可得::1:2:3BOC AOC AOB S S S ∆∆∆=， 1212BOCAOCOC BD S BD S AD OC AD ∆∆⋅⋅==⋅⋅，在△ACD 和△BCD 中，tan ,tan CD CD A B AD BD ==， 所以tan tan A BD B AD=，故tan tan BOC AOC S A S B ∆∆=，同理tan tan BOC AOB S A S C ∆∆=， 故::tan :tan :tan BOC AOC AOB S S S A B C ∆∆∆=，即tan :tan :tan 1:2:3A B C =， 又tan tan tan tan()1tan tan B C A B C B C +=-+=--， 所以tan 1,45A A ︒=∠=．评注：由此题的结论可得若O 为△ABC 的垂心，则有::tan :tan :tan ::BOC AOC AOB S S S A B C αβγ∆∆∆==．B。

平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴ CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

平面向量专题：奔驰定理与三角形面积问题1、奔驰定理：O 是ABC ∆内的一点，且x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S ∆BOC :S ∆COA :S △AOB =x:y:z2、证明过程：已知O 是ABC ∆内的一点，∆BOC ，∆COA ，∆AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，求证：S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 延长OA 与BC 边相交于点D ， 则BDDC =S ∆ABD S ∆ACD=S ∆BOD S ∆COD=S ∆ABD −S ∆BOD S ∆ACD −S ∆COD=SC S B ，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC BC OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD BC OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =S B S B+S COB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B+S COC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵OD OA =S BOD S BOA=SCOD S COA=S BOD +S COD S BOA +S COA=S ASB +S C，∴OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−S AS B +S COA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴−S ASB +S COA ⃗⃗⃗⃗⃗ =S BS B+S COB⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B+SCOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .（3）奔驰定理推论：x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则①S ∆BOC :S ∆COA :S △AOB =|x |:|y |:|z | ②S ∆BOCS∆ABC=|x x+y+z |，S ∆AOC S ∆ABC=|y x+y+z |，S ∆AOB S ∆ABC=|zx+y+z |.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。

平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论:O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

秒杀技巧一奔驰定理奔驰定理：若O 为ABC △内任意一点，有=++OC z OB y OA x 0，则z y x S S S OAB OAC OBC ::=△△△：：.奔驰定理与三角形“四心”的结合：(1)O 是ABC △的重心：=++⇔=S S S OAB OAC OBC 1:1:1△△△：：0(2)O 是ABC △的内心：=++⇔=OC c OB b OA a c b a S S S OAB OAC OBC ::△△△：：0(3)O 是ABC △的外心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC 2sin 2sin 2sin 2sin :2sin :2sin △△△：：0(4)O 是ABC △的垂心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC tan tan tan tan :tan :tan △△△：：0例1.已知点O 是ABC △内部一点，且满足=++OC OB OA 4320，则AOC BOC AOB ，△，△△的面积之比为.例2.已知点P 是ABC △所在平面内一点，=++P A PC PB 20，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是.例3.在ABC △所在的平面内有一点P ，若PB AB PC P A +=+2，则PBC △的面积与ABC △的面积之比是.1.（宜昌一中2020届高三周考8）已知G 在ABC △内，且满足=++GC GB GA 4320，现在ABC △内随机取一点，此点取自GBC GAB GAC 、△、△△的概率分别记为321P P P 、、，则（）321.P P P A ==123.P P P B >>321.P P P C >>312.P P P D >>2.若点O 在ABC ∆的内部，且=++OC m OB OA 20，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________.3.设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC P A ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是.4.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且=++OC OB OA 5430，则ABC ∆的面积为_________.5.在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且AC AB AD 2131+=，则=ABDBCD S S △△_________.6.已知点O 是ABC △的垂心，且=++OC OB OA 320，则=A _________.。