向量中的奔驰定理作业

第4讲 奔驰定理知识与方法【奔驰定理】:若O 为ABC ∆内任意一点,有OA OB OC αβγ++=0, 则::::BOC AOC AOB S S S αβγ∆∆∆=.证明:如图1,取点,,A B C ''',使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'='='=,则OA '+OB OC '+'=0,即O 为A B C ∆'''的重心B OC A OC A OB S S S ∆''∆''∆''⇒==,1sin 112,1sin 2AOB AOB A OB A OB OA OB AOBS OA OB S S S OA OB OA OB A OB αβαβ∆∆∆''∆''⋅∠⋅===⇒='⋅''⋅'∠'' 同理11,AOC A OC BOC B OC S S S S αγβγ∆∆''∆∆''==.111::::::,BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ∆∆∆⇒==即证明BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=0. 与三角形“四心”的结合. (1)O 是ABC ∆的重心::1:1:1BOC AOC AOB S S S OA OB OC ∆∆∆⇔=⇔++=0.(2)O 是ABC ∆的内心::::BOC AOC AOB S S S a b c aOA bOB cOC ∆∆∆⇔=⇔++=0.(3)O 是ABC ∆的外心::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 2BOC AOC AOB S S S A B C A OA B OB C OC ∆∆∆⇔=⇔⋅+⋅+⋅=0.(4)O 是ABC ∆的垂心::tan :tan :tan tan tan BOC AOC AOB S S S A B C A OA B OB ∆∆∆⇔=⇔⋅+⋅+ tan C OC ⋅=0.证明:如图2,O 为三角形的垂心,tan ,tan CD CDA B AD DB==, tan :tan :,::$,:tan :tan .BOC AOC BOC AOC A B DB AD S S DB AD S S A B ∆∆∆∆==∴∴=∴ 同理得:tan :tan ,:tan :tan AOC AOB BOC AOB S S B C S S A C ∆∆∆∆==. ∴::tan :tan :tan BOC AOC AOB S S S A B C ∆∆∆=. 定理的推广:若P 在ABC ∆外部,如图3,则: (1)当P 位于区域(1)所对应的两部分时:PBC PAB PAC S PA S PC S PB ∆∆∆-⋅+⋅+⋅=0.(2)当P 位于区域(2)所对应的两部分时:PAC PAB S PB S PC ∆∆-⋅+⋅+PBC S PA ∆⋅=0.(3)当P 位于区域(3)所对应的两部分时:PAB PBC PAC S PC S PA S ∆∆∆⋅-⋅+⋅+PB =0.典型例题【例1】已知点O 是ABC ∆内部一点,且满足234OA OB OC ++=0,则,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积之比依次为（ ）A.4:2:3B.2:3:4C.4:3:2D.3:4:5【例2】已知 P 是 ABC ∆ 所在平面内一点, 2PB PC PA ++=0, 现将一粒黄豆随机撒在 ABC ∆ 内, 则黄豆落在PBC ∆内的概率是（ ） A.14B.13C.12D.23【例3】已知点P 是ABC ∆所在平面内一点,且满足352PA PB PC ++=0,设ABC ∆的面积为S ,则PAB ∆的面积为（ ） A.23S B.310S C.12S D.15S 【例4】已知G 是ABC ∆的重心,且满足56sin 40sin 35sin A GA B GB C ⋅+⋅+⋅GC =0,求角B =_______.【例5】设P 是ABC ∆内任意一点,ABC S ∆表示ABC ∆的面积,1PBCABC S S λ∆∆=,2λ=3,PCA PAB ABC ABC S S S S λ∆∆∆∆=,定义()123(),,f P λλλ=,若G 是ABC ∆的重心,111(),,632f Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则( )A.点Q 在GAB ∆内B.点Q 在GBC ∆内C.点Q 在GCA ∆内D.点Q 与点G 重合【例6】O 为等边三角形内一点,且满足(1)OA OB OC λλ+++=0,若AOB ∆与AOC ∆的面积之比为3:1,则实数λ的值为() A.12B.1C.2D.3【例7】已知点O 在ABC ∆内部,且324AB BC CA AO ++=,记ABC ∆的面积为1,S OBC ∆的面积为2S ,则12S S 的值为【例8】若点M 是ABC ∆所在平面内一点,且满足|3|0AM AB AC --=,则ABM ∆与ABC ∆的面积之比值为【例9】已知点O 为ABC 内一点,且OA mOB nOC=+(其中0m n <<、), AOB S :2:3AOCS=,则m n=【例10】设H 为ABC 的垂心(三角形三条高的交点),且3450HA HB HC ++=,则cos AHB ∠的值为强化训练1.在ABC 所在的平面内有一点P ,如果2PA PC AB PB +=-,那么PBC 的面积与ABC 的面积之比是( )A. 34B.12 C. 13D.232.已知ABC 的外接圆半径为1,圆心为O ,且3450OA OB OC ++=,则ABC 的面积为( )A. 85B.75C.65D.453.在ABC 中,D 为三角形所在平面内一点,且1132AD AB AC =+,则()BCD ABDS S =A. 16B. 13C.12D.234.已知O 为ABC 的垂心,且230OA OB OC ++=,则角A 的值为5.已知点P 是ABC 内一点,且2155AP AB AC =+, 则ABP ABCS S =6.已知点O 是ABC 内一点,420,7AOB ABCS OA OB mOC S++==,则 () m = A. 2 B. 3C. 4D. 57.已知点O 是ABC 内一点,若::4:3:2AOBBOCAOCSSS=,设AO AB AC λμ=+, 则λ和μ的值分别是 ( )A. 24,99B. 42,99C. 12,99D. 21,998.已知点P 是ABC 内一点,522,6PB PA APB ∠π===,且2340PA PB PC ++=, 则ABCS=9.ABC 内一点O 满足230OA OB OC ++=,直线OA 交BC 于点D ,则 ( )A. 230DB DC +=B. 320DB DC +=C. 50OA OD -=D. 50OA OD +=10.已知O 是ABC 所在平面上的一点,若aPA bPB cPCPO a b c++=++,(其中P 是ABC 所在平面内 任意一点)则O 是ABC 的（ ) A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心。

平面向量奔驰定理一、概述在平面向量的运算中，有一个重要的定理被称为奔驰定理。

奔驰定理是向量的加法与减法的一种推广，通过该定理，我们可以更加方便地进行平面向量的运算。

二、奔驰定理的表述奔驰定理表述如下：对于任意三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，有如下关系：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗其中，0⃗⃗表示零向量。

三、奔驰定理的证明为了证明奔驰定理，我们可以利用向量的法则进行推导。

假设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，令d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则有：d⃗+a⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗d⃗+a⃗=a⃗+a⃗+b⃗⃗+c⃗d⃗+a⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗同理，我们可以得到：d⃗+b⃗⃗=a⃗+2b⃗⃗+c⃗d⃗+c⃗=a⃗+b⃗⃗+2c⃗将以上三个等式相加，可以得到：d⃗+a⃗+d⃗+b⃗⃗+d⃗+c⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗+2b⃗⃗+c⃗+a⃗+b⃗⃗+2c⃗化简可得：3d⃗=6(a⃗+b⃗⃗+c⃗)再进一步化简得到：d⃗=2(a⃗+b⃗⃗+c⃗)即：a⃗+b⃗⃗+c⃗=1 2 d⃗由于d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，将其代入上式得到：a⃗+b⃗⃗+c⃗=12(a⃗+b⃗⃗+c⃗)进一步化简可得：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗因此，奔驰定理得证。

四、奔驰定理的应用奔驰定理在向量运算中有重要的应用。

通过奔驰定理，我们可以方便地进行向量的加法和减法运算。

以下是一些常见的奔驰定理的应用场景：1. 向量相加设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗2. 向量相减设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗=0⃗⃗3. 向量之间的关系判断对于已知的三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，如果已知a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗，则可以判断三个向量之间存在某种关系，比如共线、共面等。

五、总结通过对奔驰定理的学习和理解，我们可以更加灵活地进行平面向量的运算。

平面向量奔驰定理公式一、奔驰定理内容。

设O是ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，且→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c，则S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0二、证明（以向量法为例）1. 设→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c- 因为ABC的面积S = S_ BOC+S_ AOC+S_ AOB- 对于→OA与→OB的夹角∠ AOB=α，→OB与→OC的夹角∠ BOC = β，→OC与→OA的夹角∠ COA=γ，且α+β+γ = 2π2. 根据向量的三角形面积公式。

- S_ AOB=(1)/(2)|→OA||→OB|sinα- S_ BOC=(1)/(2)|→OB||→OC|sinβ- S_ AOC=(1)/(2)|→OA||→OC|sinγ3. 要证明S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0- 以O为原点建立平面直角坐标系。

- 设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)- 则→OA=(x_1,y_1)，→OB=(x_2,y_2)，→OC=(x_3,y_3)- 根据上述面积公式计算出S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，然后代入S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC中，通过向量运算可以得到结果为→0三、推论及应用。

1. 推论。

- 若O是ABC的重心，则S_ BOC=S_ AOC=S_ AOB，此时→OA+→OB+→OC=→0（因为重心将三角形面积三等分）2. 应用。

- 在解决与三角形内点相关的向量问题时，奔驰定理可以将向量关系转化为面积关系，或者将面积关系转化为向量关系。

- 例如：已知O是ABC内一点，→OA=2→OB+3→OC，求AOB、BOC、AOC的面积之比。

- 根据奔驰定理S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0，已知→OA=2→OB+3→OC，即→OA-2→OB-3→OC=→0，所以S_ BOC:S_ AOC:S_AOB=1:2:3。

平面向量中的奔驰定理在向量题目中，同学会经常遇到一类题型，涉及三角形各心的向量表达式，如果在此基础上探究，不免会遇到一个更一般性的问题，即因为本题的图形特别象奔驰汽车的标志，所以把此结论称为奔驰定理。

【证法一】取点,,A B C '''，使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'''===，则0OA OB OC '''++=，即O 为'''A B C ∆的重心，''''''B OC A OC A OB S S S ∆∆∆⇒== 1sin 121''''sin ''2AOBPOB OA OB AOB S OA OB S OA OB OA OB A OB αβ∆⋅∠⋅===⋅⋅∠ 1OB A OB S S αβ∆Λ''⇒= 同理11,AOC A OC BOC B OC S S S S αγβγ∆∆''∆∆''== 111::::::BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ∆∆∆⇒==。

【分析】即证明0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=【证法二】以O 为原点建立坐标系，设()()()111222333,,,,,,,,A x y z B x y z C x y z ， 则221111333322111,,222BOC AOC AOB x y x y x y S S S x y x y x y ∆∆∆===， BOC AOC AOB S OA S OB S OC∆∆∆⋅++⋅ ()()()221111112233333322111,,,(0,0)0222x y x y x y x y x y x y x y x y x y =++== 若O 为△ABC 内任一点，有0OA OB OC αβγ++=，则::::BOC AOC AOB S S S αβγ∆∆∆=.【证法三】()BOC AOC AOB S OA S OB S OC OA ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯ AOC AOB S OB OA S OC OA ∆∆=⋅⨯+⋅⨯()()220AOC AOB AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=⋅-+⋅=同理()0BOC AOC AOB S OA S OB S OC OB ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯=所以0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+=． 【题目】已知O 为△ABC 的垂线，且230OA OB OC ++=，求∠A ．【解答】如图，由平面向量中的奔驰定理可得::1:2:3BOC AOC AOB S S S ∆∆∆=， 1212BOCAOCOC BD S BD S AD OC AD ∆∆⋅⋅==⋅⋅，在△ACD 和△BCD 中，tan ,tan CD CD A B AD BD ==， 所以tan tan A BD B AD=，故tan tan BOC AOC S A S B ∆∆=，同理tan tan BOC AOB S A S C ∆∆=， 故::tan :tan :tan BOC AOC AOB S S S A B C ∆∆∆=，即tan :tan :tan 1:2:3A B C =， 又tan tan tan tan()1tan tan B C A B C B C +=-+=--， 所以tan 1,45A A ︒=∠=．评注：由此题的结论可得若O 为△ABC 的垂心，则有::tan :tan :tan ::BOC AOC AOB S S S A B C αβγ∆∆∆==．B。

平面向量专题：奔驰定理与三角形面积问题1、奔驰定理：O 是ABC ∆内的一点，且x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S ∆BOC :S ∆COA :S △AOB =x:y:z2、证明过程：已知O 是ABC ∆内的一点，∆BOC ，∆COA ，∆AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，求证：S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 延长OA 与BC 边相交于点D ， 则BDDC =S ∆ABD S ∆ACD=S ∆BOD S ∆COD=S ∆ABD −S ∆BOD S ∆ACD −S ∆COD=SC S B ，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC BC OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD BC OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =S B S B+S COB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B+S COC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵OD OA =S BOD S BOA=SCOD S COA=S BOD +S COD S BOA +S COA=S ASB +S C，∴OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−S AS B +S COA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴−S ASB +S COA ⃗⃗⃗⃗⃗ =S BS B+S COB⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B+SCOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .（3）奔驰定理推论：x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则①S ∆BOC :S ∆COA :S △AOB =|x |:|y |:|z | ②S ∆BOCS∆ABC=|x x+y+z |，S ∆AOC S ∆ABC=|y x+y+z |，S ∆AOB S ∆ABC=|zx+y+z |.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。

（一）向量中的“奔驰定理” 引例1、设O 在ABC ∆内，3,0==++∆ABC S OC OB OA ，则_______=∆AOB S . 引例2、设O 在ABC ∆内，,032=++OC OB OA 则ABC ∆与AOC ∆的面积之比为（ ） A.2:1 B.3:2 C.3:1 D.5:3“奔驰定理“：在ABC ∆中，任取一点O ，如图，则：O OC S OB S OA S C B A =++.例1:设P 是ABC ∆内一点，且AC AB AP 5152+=, 则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为_____________。

结论：三角形的“四心”的向量表达式：（1）重心G ：0=++GC GB GA ；（2）外心O ：02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A ；（3）内心I ：0=++IC c IB b IA a 或0sin sin sin =++IC C IB B IA A ；（4）垂心H ：0tan tan tan =++IC C IB B IA A 。

练习1:设G 是ABC ∆的重心，且0sin sin sin =++GC C GB B GA A ，则_______=∠B 。

练习2:已知P 是ABC ∆的外心，且 120,0=∠=++C PC PB PA λ,则实数λ的值为____。

（二）平面向量中的“等和线定理”一、等和线：平面内一组基底OB OA ,及任意一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值）；反之也成立，我们把直线AB 以及直线AB 平行的直线叫等和线。

性质：（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1,0(∈k ； （3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，),1(+∞∈k ； （4）当等和线过点O 时，0=k ；(5)当两等和线关于O 对称，则定值k 互为相反数；（6）定值k 的变化与等和线到O 的距离成正比。

向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广一、奔驰定理及证明图1如图1，已知P 为ABC 内一点，则PA S PB S PC S 0奔驰定理BPC APC APB证明：若' ' ' 0PA PB PC ，则' ' 'P为 A B C 重心，不妨设x PA PA yPB PB zPC PC', ','', ','x P A y P B z P C (1)' 'S xS1 1 | PB | | PC |' ' PBC PBC' ' ' ' S | PB | | PC | sin BPC sin B PCPBC2 2 y z yz xyz同理可得S PACySPAC''xyz，S PABzSPAB''xyz又S S SP B C P A C P A B' ' ' ' 'x : y : z S P B C : S P A C: S P B C(1)式可化为P A S B P C P B S A P C P C S A P B0 奔驰定理得证最简单的一个就是面积法。

用三角形面积公式带入，约去三条线段长度之积，得到三个单位1向量的关系，将它们放入单位圆中。

图 2如图2，已知P为单位圆，A，B，C在圆上，AP 、BP 、CP 所对的角分别为，，则AP sin BP sin CP sin 0 真·奔驰定理这时的图形就真的很想奔驰车标了，所以我称它【真·奔驰定理】。

奔驰车标接下来，我们要证明的就是这个了。

这个证明只需要建立平面直角坐标系，利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了。

于是整个定理就得到了证明。

二、奔驰定理在向量中应用2例1、若ABC 内接于以O 为圆心，以1 为半径的圆，且3OA 4OB 5OC 0 ,则该ABC 的面积为。

向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广“奔驰定理”是关于向量的一个经典定理，是著名数学家戴维·奔驰于1920年提出的，戴维·奔驰在《数论》中提出。

“奔驰定理”是指在直角三角形中, a=(b+ b) a/b= b/c时(a≤ b),(a/b)。

b为直角三角形中的等量关系式。

’而 b是一元数乘以 c得。

如果 a与 c重合则 a 即为 a。

这就是著名的奔驰定理(1- a)。

下面我们一起来看一下具体如何证明这点。

一、证明方法：首先根据题意，向量在直角三角形中有两个关键量（顶点),如果其中一个量被顶点包围的话，另一个向量就会失去顶点。

因为向量是没有顶点并且处于三个顶点之内，所以该向量不能从向量顶点出发也不能从向量底部出发。

在已知三个顶点的前提下，根据前面提到的“奔驰定理”就可以得到：如果其中一个顶点都不能从三角形底部开始向外移动，则这个向量也不能从三角形底部出发而不是一直向外移动。

所以得到第一个顶点对应向量必须与三角形底平行或者与第一个顶点重合(1- a);如果其中一个顶点满足第一个顶点对应向量一定是第十五个顶点对应向量当然也可以是第七个顶点对应向量一定是第十个顶点对应向量不一定是第十一个顶点对应向量不一定是第十四个顶点对应向量一定是第二十六个顶点对数关系而非第三十六个顶。

由题目可知 a> b< ab; ap= c。

1、将△ ABC中的顶点分别作为已知顶点并用一元一次方程组得到 a、 b、 c的值。

这里的问题是先将两个顶点的值相加求得 k值，然后将 k值代入到顶点 a、 b、 c中，可以得到 k= a< b或 k= b< c或者 k= a< c。

（注意需要知道原点 a> b、 b< c或者 b> c或者 a< b< c)。

问题：若向量中含有一条顶点为2的曲线时，如果该两条顶点均位于斜坡上那么该向量会失去顶点从而失去向量中心线段所对应的顶点点；同时如果该向量会失去中心线段所对应的顶点对应的向量中心线段所对应的向量点。

平面向量5类解题技巧(“爪子定理”、系数和(等和线)、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题)技法01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握知识迁移形如AD =xAB +yAC 条件的应用(“爪子定理”)“爪”字型图及性质：(1)已知AB ,AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在x ,y ，使得AD =xAB +yAC 。

则B ,C ,D 三点共线⇔x +y =1当0<x +y <1，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当x +y >1，则D 与A 位于BC 两侧x +y =1时，当x >0,y >0，则D 在线段BC 上；当xy <0，则D 在线段BC 延长线上(2)已知D 在线段BC 上，且BD :CD =m :n ，则AD =n m +n AB +m m +nAC1(全国·高考真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC =3CD ，则()A.AD =-13AB +43ACB.AD =13AB -43ACC.AD =43AB +13ACD.AD =43AB -13AC 2(2023江苏模拟)如图，在△ABC 中，AN =13NC ，P 是BN 上的一点，若AP =mAB +211AC ，则实数m 的值为()A.911 B.511 C.311 D.2111(2022·全国·统考高考真题)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA =m ，CD =n ，则CB =()A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n2(全国·高考真题)在△ABC 中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足BD =2DC ，则AD =()A.23b +13c B.53c -23b C.23b -13c D.13b +23c 3(2020·新高考全国1卷·统考高考真题)已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点(如图所示)，设AB =a ，AD =b ，则EF 等于()A.12a +bB.12a -bC.12b -aD.12a +b 4(全国·高考真题)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =()A.34AB -14AC B.14AB -34AC C.34AB +14AC D.14AB +34AC 5(江苏·高考真题)设D 、E 分别是ΔABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC . 若DE =λ1AB +λ2AC (λ1,λ2为实数)，则λ1+λ2的值是技法02系数和(等和线)的应用及解题技巧近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用知识迁移如图，P 为ΔAOB 所在平面上一点，过O 作直线l ⎳AB ，由平面向量基本定理知：存在x ,y ∈R ，使得OP =xOA +yOB下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x +y 的值①若P ∈l 时，则射线OP 与l 无交点，由l ⎳AB 知，存在实数λ，使得OP =λAB 而AB =OB -OA ，所以OP =λOB -λOA ，于是x +y =λ-λ=0②若P ∉l 时，(i )如图1，当P 在l 右侧时，过P 作CD ⎳AB ，交射线OA ，OB 于C ,D 两点，则ΔOCD ∼ΔOAB ，不妨设ΔOCD 与ΔOAB 的相似比为k由P ,C ，D 三点共线可知：存在λ∈R 使得：OP =λOC +(1-λ)OD =kλOA +k (1-λ)OB所以x +y =kλ+k (1-λ)=k(ii )当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P ，由(i )的分析知：存在存在λ∈R 使得：OP =λOC +(1-λ)OD =kλOA +(1-λ)OB 所以OP =-kλOA +-(1-λ)OB于是x +y =-kλ+-k (1-λ)=-k 综合上面的讨论可知：图中OP 用OA ,OB 线性表示时，其系数和x +y 只与两三角形的相似比有关。

培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3大考点+强化训练）平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．知识导图考点分类讲解考点一：向量极化恒等式极化恒等式：a ·b .变式：(1)a ·b ＝a ＋b24－a －b24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |24.(2)如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－14CB →2＝AM →2－MB →2.规律方法利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．【例1】(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC 是边长为8的等边三角形，点P 为AC 边上的一个动点，长度为6的线段EF 的中点为B ，则PE →·PF →的取值范围是________．【变式】．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-考点二:平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·PA →＋S △PAC ·PB →＋S △PAB ·PC →＝0.易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P 为△ABC 内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．【例2】（2022·安徽·三模）平面上有ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB ，OBC △，OCA 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【变式1】(2023·重庆模拟)△ABC 内一点O 满足关系式S △OBC ·OA →＋S △OAC ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC 的三边为a ，b ，c ，现有a ·OA →＋b ·OB →＋c ·OC →＝0，则O 为△ABC 的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式2】(2023·安阳模拟)如图，已知O 是△ABC 的垂心，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则tan∠BAC ∶tan∠ABC ∶tan∠ACB 等于()A．1∶2∶3B．1∶2∶4C．2∶3∶4D．2∶3∶6考点三:等和(高)线定理等和(高)线平面内一组基底OA →，OB →及任一向量OP ′——→，OP ′——→＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若点P ′在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k (定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和(高)线．(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；(3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O 点时，k ＝0；(5)若两等和线关于O 点对称，则定值k 1，k 2互为相反数；(6)定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比．规律方法要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k ＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线．【例3】．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB yAC =+，则22x y +的最大值为（）A ．83B ．2C ．43D ．1【变式3】已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+ ，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭强化训练一、单选题1．如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧 AB 上的点，M 、N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且6,4AB MN ==，则PM PN ⋅（）A ．13B ．7C ．5D ．32．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-3．设向量,a b 满足10a b += 6a b -=r r a b ⋅ =A ．1B ．2C ．3D ．54．已知圆C 的半径为2，点A 满足||3AC =uuu r，E ，F 分别是C 上两个动点，且||3EF =AE AF ⋅的取值范围是（）A ．[]416，B ．[]26，C ．[]622，D ．[]113，5．在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点P 满足3AD AP =，若存在实数m 和n ，使得BP m AB n AC =+ ，则m n +=（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，且满足AN AB AC λμ=+，则22λμ+的最小值为（）A ．116B ．14C ．18D ．17．在ABC ∆中，点D 满足34BD BC = ，当E 点在线段AD （不包含端点）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则3λμ+的取值范围是A．)+∞B ．[2,)+∞C ．17(,)4+∞D ．(2,)+∞8．在ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足||3||OC OB =，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且AB mAE = ，AC nAF = ，其中0m >且0n >，若1tm n+的最小值为3，则正数t 的值为()A ．2B ．3C ．83D ．1139．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB ∥DC ，2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yAC =+，其中x y R ∈，，则4x y -的取值范围是（）A．234⎡+⎢⎥⎣⎦，B．232⎡+⎢⎥⎣⎦，C．3342⎡-+⎢⎣⎦D．3322⎡-+⎢⎥⎣⎦10．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．211．奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O 为三角形ABC 内一点，且满足：2332OA OB OC AB BC CA ++=++，则AOB ABCS S=△△（）A ．25B ．12C ．16D ．1312．已知O 是ABC 内的一点，若,,BOC AOC AOB 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是ABC 的垂心，且230OA OB OC ++=，则tan :tan :tan BAC ABC ACB ∠∠∠=（）A ．1:2:3B ．1:2:4C ．2:3:4D ．2:3:613．已知点P 是ABC 所在平面内一点，若2133AP AB AC =+，则ABP 与ACP 的面积之比是（）A ．3:1B ．2:1C ．1:3D ．1:214．已知点P 为ABC 内一点，230PA PB PC ++=，则△APB ，△APC ，△BPC 的面积之比为（）A ．9:4:1B ．1:4:9C ．1:2:3D ．3:2:1二、多选题15．如图.P 为ABC 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）A ．若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=B ．若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心C ．若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n ⎡+∈⎣16．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.若O 是锐角ABC 内的一点，A ，B ，C 是ABC的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅.则（）A ．O 为ABC 的外心B ．BOC A π∠+=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C =D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 17．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =C ．若O 为△ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为△ABC 的垂心，3450OA OB OC ++= ，则cos 6AOB ∠=-18．在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB AC ==，点P 是ABC 的三边上的任意一点，设AP AB AD λμ=+，().R λμ∈，则下列结论正确的是（）A ．0λ≥，0μ≥B ．当点P 为AC 中点时，1λμ+=C ．AP AD ⋅的最大值为1D ．满足32λμ+=的点P 有且只有一个三、填空题19．在扇形OAB 中，60AOB ∠=，C 为弧AB 上的一动点，若OC xOA yOB =+，则3x y +的取值范围是．20．在ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足3OC OB =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于点,E F ，且AB m AE = ，AC nAF = ，其中0m >且0n >，若12m n+的最小值为.21．如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB的夹角为120 ，OA 与OC 的夹角为30 ,且|||1OA OB ==，||OC =()，OC λOA μOB λμ=+∈R ,则λμ+的值为.22．（22-23高三上·江苏南通·期中）如图，已知M ，N 是ABC 边BC 上的两个三等分点，若6BC =，4AM AN ⋅=，则AB AC ⋅uu u r uuu r =．23．已知线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y -+-=上的一条动弦，且3AB =设点O 为坐标原点，则+OA OB的最大值为；如果直线1:310l x my m --+=与2:310l mx y m +++=相交于点M ，则MA MB ⋅的最小值为.24．在锐角三角形ABC 中，已知,23B AB AC π=-= ，则AB AC ⋅的取值范围是．25．四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，2AB =，22CD =，1EF =，点P 满足0PA PB ⋅=，则PC PD ⋅的最大值为.26．点P 为ABC 内一点，340PA PB PC →→→→++=，则,,APB APC BPC 的面积之比是.。