向量中的经典“奔驰定理”证明与应用与推广

奔驰定理证明过程五种证明奔驰定理是初中数学中非常重要的一个定理，它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出的。

奔驰定理的内容是：在一个三角形中，连接三角形中心和三个顶点的线段，这三条线段相交于一点，且这个交点到每个顶点的距离相等。

下面将为大家介绍五种奔驰定理的证明过程。

证明一：向量证明法首先，我们可以通过向量证明法来证明奔驰定理。

假设三角形ABC的重心为G，那么AG、BG、CG可以表示为向量a、b、c。

因此，我们可以得到以下等式：AG + BG + CG = a + b + c = 0这个等式意味着向量a、b、c共线，因此它们的交点必须在一条直线上。

另外，由于三角形ABC的中心与重心重合，所以AG、BG、CG的长度相等，即交点到每个顶点的距离相等。

证明二：面积证明法其次，我们可以通过面积证明法来证明奔驰定理。

我们可以将三角形ABC分成三个小三角形，分别为ABG、BCG和ACG。

由于三角形ABC的重心G恰好位于每个小三角形的重心上，所以每个小三角形的面积相等。

因此，我们可以得到以下等式：S(ABG) = S(BCG) = S(ACG)这个等式意味着三个小三角形的高度相等，因此它们的底边必须相交于一点。

另外，由于每个小三角形的面积相等，所以交点到每个顶点的距离相等。

证明三：向量叉积证明法接着，我们可以通过向量叉积证明法来证明奔驰定理。

设三角形ABC的重心为G，那么AG、BG、CG可以表示为向量a、b、c。

因此，我们可以得到以下等式：a ×b + b ×c + c × a = 0这个等式意味着向量a、b、c的叉积和为零，因此它们的交点必须在一个平面上。

另外，由于三角形ABC的中心与重心重合，所以AG、BG、CG的长度相等，即交点到每个顶点的距离相等。

证明四：相似三角形证明法然后，我们可以通过相似三角形证明法来证明奔驰定理。

假设三角形ABC的中心为O，重心为G，那么我们可以证明三角形ABO与三角形AGC相似，三角形BCO与三角形BAG相似，三角形CAO与三角形CBG相似。

第4讲 奔驰定理知识与方法【奔驰定理】:若O 为ABC ∆内任意一点,有OA OB OC αβγ++=0, 则::::BOC AOC AOB S S S αβγ∆∆∆=.证明:如图1,取点,,A B C ''',使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'='='=,则OA '+OB OC '+'=0,即O 为A B C ∆'''的重心B OC A OC A OB S S S ∆''∆''∆''⇒==,1sin 112,1sin 2AOB AOB A OB A OB OA OB AOBS OA OB S S S OA OB OA OB A OB αβαβ∆∆∆''∆''⋅∠⋅===⇒='⋅''⋅'∠'' 同理11,AOC A OC BOC B OC S S S S αγβγ∆∆''∆∆''==.111::::::,BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ∆∆∆⇒==即证明BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=0. 与三角形“四心”的结合. (1)O 是ABC ∆的重心::1:1:1BOC AOC AOB S S S OA OB OC ∆∆∆⇔=⇔++=0.(2)O 是ABC ∆的内心::::BOC AOC AOB S S S a b c aOA bOB cOC ∆∆∆⇔=⇔++=0.(3)O 是ABC ∆的外心::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 2BOC AOC AOB S S S A B C A OA B OB C OC ∆∆∆⇔=⇔⋅+⋅+⋅=0.(4)O 是ABC ∆的垂心::tan :tan :tan tan tan BOC AOC AOB S S S A B C A OA B OB ∆∆∆⇔=⇔⋅+⋅+ tan C OC ⋅=0.证明:如图2,O 为三角形的垂心,tan ,tan CD CDA B AD DB==, tan :tan :,::$,:tan :tan .BOC AOC BOC AOC A B DB AD S S DB AD S S A B ∆∆∆∆==∴∴=∴ 同理得:tan :tan ,:tan :tan AOC AOB BOC AOB S S B C S S A C ∆∆∆∆==. ∴::tan :tan :tan BOC AOC AOB S S S A B C ∆∆∆=. 定理的推广:若P 在ABC ∆外部,如图3,则: (1)当P 位于区域(1)所对应的两部分时:PBC PAB PAC S PA S PC S PB ∆∆∆-⋅+⋅+⋅=0.(2)当P 位于区域(2)所对应的两部分时:PAC PAB S PB S PC ∆∆-⋅+⋅+PBC S PA ∆⋅=0.(3)当P 位于区域(3)所对应的两部分时:PAB PBC PAC S PC S PA S ∆∆∆⋅-⋅+⋅+PB =0.典型例题【例1】已知点O 是ABC ∆内部一点,且满足234OA OB OC ++=0,则,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积之比依次为（ ）A.4:2:3B.2:3:4C.4:3:2D.3:4:5【例2】已知 P 是 ABC ∆ 所在平面内一点, 2PB PC PA ++=0, 现将一粒黄豆随机撒在 ABC ∆ 内, 则黄豆落在PBC ∆内的概率是（ ） A.14B.13C.12D.23【例3】已知点P 是ABC ∆所在平面内一点,且满足352PA PB PC ++=0,设ABC ∆的面积为S ,则PAB ∆的面积为（ ） A.23S B.310S C.12S D.15S 【例4】已知G 是ABC ∆的重心,且满足56sin 40sin 35sin A GA B GB C ⋅+⋅+⋅GC =0,求角B =_______.【例5】设P 是ABC ∆内任意一点,ABC S ∆表示ABC ∆的面积,1PBCABC S S λ∆∆=,2λ=3,PCA PAB ABC ABC S S S S λ∆∆∆∆=,定义()123(),,f P λλλ=,若G 是ABC ∆的重心,111(),,632f Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则( )A.点Q 在GAB ∆内B.点Q 在GBC ∆内C.点Q 在GCA ∆内D.点Q 与点G 重合【例6】O 为等边三角形内一点,且满足(1)OA OB OC λλ+++=0,若AOB ∆与AOC ∆的面积之比为3:1,则实数λ的值为() A.12B.1C.2D.3【例7】已知点O 在ABC ∆内部,且324AB BC CA AO ++=,记ABC ∆的面积为1,S OBC ∆的面积为2S ,则12S S 的值为【例8】若点M 是ABC ∆所在平面内一点,且满足|3|0AM AB AC --=,则ABM ∆与ABC ∆的面积之比值为【例9】已知点O 为ABC 内一点,且OA mOB nOC=+(其中0m n <<、), AOB S :2:3AOCS=,则m n=【例10】设H 为ABC 的垂心(三角形三条高的交点),且3450HA HB HC ++=,则cos AHB ∠的值为强化训练1.在ABC 所在的平面内有一点P ,如果2PA PC AB PB +=-,那么PBC 的面积与ABC 的面积之比是( )A. 34B.12 C. 13D.232.已知ABC 的外接圆半径为1,圆心为O ,且3450OA OB OC ++=,则ABC 的面积为( )A. 85B.75C.65D.453.在ABC 中,D 为三角形所在平面内一点,且1132AD AB AC =+,则()BCD ABDS S =A. 16B. 13C.12D.234.已知O 为ABC 的垂心,且230OA OB OC ++=,则角A 的值为5.已知点P 是ABC 内一点,且2155AP AB AC =+, 则ABP ABCS S =6.已知点O 是ABC 内一点,420,7AOB ABCS OA OB mOC S++==,则 () m = A. 2 B. 3C. 4D. 57.已知点O 是ABC 内一点,若::4:3:2AOBBOCAOCSSS=,设AO AB AC λμ=+, 则λ和μ的值分别是 ( )A. 24,99B. 42,99C. 12,99D. 21,998.已知点P 是ABC 内一点,522,6PB PA APB ∠π===,且2340PA PB PC ++=, 则ABCS=9.ABC 内一点O 满足230OA OB OC ++=,直线OA 交BC 于点D ,则 ( )A. 230DB DC +=B. 320DB DC +=C. 50OA OD -=D. 50OA OD +=10.已知O 是ABC 所在平面上的一点,若aPA bPB cPCPO a b c++=++,(其中P 是ABC 所在平面内 任意一点)则O 是ABC 的（ ) A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心。

奔驰定理的内容及推导奔驰定理是一个汽车史上最著名的数学定理之一，又称为“小巴斯定理”。

它由德国汽车制造商奔驰公司的工程师维尔纳贝尔斯特拉克于1908年发明，原本只是一个汽车发动机动力和效率的研究结果，但近几十年来它以其优美的数学形式受到学术界的广泛关注并引起重要的理论发展。

奔驰定理实际上是一个简单的物理方程，它用来描述某些机械系统的运动特性及其能量损耗，包括人体或机器的运动过程。

它可以用来预测一个物体的绝对最大及物体的最大运动距离，以及在特定条件下，物体运动的总体能量损耗情况。

对于机械发动机来说，它则可以用来预测发动机曲轴转速，运行效率等。

总的来说，奔驰定理的理论为我们提供了一个简洁的计算模型，可以帮助我们了解汽车发动机或汽车运行时的能量损耗情况。

其具体内容可以归结为以下三点：1.特定条件下，物体运动的总能量损耗，可以通过求解物理方程来计算。

2.量损耗随着物体移动距离的增加而增加，但最大运动距离却无法无限增加，即可以由定理推导出来，运动终点的绝对最大可能是多少。

3.车发动机动力的物理方程同样遵循奔驰定理的规则，如发动机的曲轴转速、发动机动力和效率等。

维尔纳贝尔斯特拉克在1908年创立的奔驰定理，是机械运动和能量损耗的基本原则。

根据它，移动物体以及汽车发动机的动力、加速度、能量损耗等等，都可以由一个统一的数学模型描述。

奔驰定理最早是由维尔纳贝尔斯特拉克所发现，但在近几十年来，它又受到学术界的广泛关注，被广泛应用于工程和科学研究之中。

受它启发，研究者开发出了许多新方法，例如分析汽车发动机效率、估算汽车耗油、计算发动机柴油消耗等。

奔驰定理实际上是一个现代物理学的基石，它的存在对我们的未来汽车生产以及能源利用都将产生重要的影响。

从数学的角度来看，奔驰定理十分优雅，可以用常见的微积分方程来解释，其中包括无穷积分和拉普拉斯变换。

首先，我们需要将问题抽象成统一的数学模型，再将其化简成能量损耗的计算公式，它的形式为：所求的物体的能量损耗等于它的绝对最大及物体的最大运动距离，乘以它的移动速度的平方。

平面向量中的奔驰定理在向量题目中，同学会经常遇到一类题型，涉及三角形各心的向量表达式，如果在此基础上探究，不免会遇到一个更一般性的问题，即因为本题的图形特别象奔驰汽车的标志，所以把此结论称为奔驰定理。

【证法一】取点,,A B C '''，使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'''===，则0OA OB OC '''++=，即O 为'''A B C ∆的重心，''''''B OC A OC A OB S S S ∆∆∆⇒== 1sin 121''''sin ''2AOBPOB OA OB AOB S OA OB S OA OB OA OB A OB αβ∆⋅∠⋅===⋅⋅∠ 1OB A OB S S αβ∆Λ''⇒= 同理11,AOC A OC BOC B OC S S S S αγβγ∆∆''∆∆''== 111::::::BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ∆∆∆⇒==。

【分析】即证明0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=【证法二】以O 为原点建立坐标系，设()()()111222333,,,,,,,,A x y z B x y z C x y z ， 则221111333322111,,222BOC AOC AOB x y x y x y S S S x y x y x y ∆∆∆===， BOC AOC AOB S OA S OB S OC∆∆∆⋅++⋅ ()()()221111112233333322111,,,(0,0)0222x y x y x y x y x y x y x y x y x y =++== 若O 为△ABC 内任一点，有0OA OB OC αβγ++=，则::::BOC AOC AOB S S S αβγ∆∆∆=.【证法三】()BOC AOC AOB S OA S OB S OC OA ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯ AOC AOB S OB OA S OC OA ∆∆=⋅⨯+⋅⨯()()220AOC AOB AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=⋅-+⋅=同理()0BOC AOC AOB S OA S OB S OC OB ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯=所以0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+=． 【题目】已知O 为△ABC 的垂线，且230OA OB OC ++=，求∠A ．【解答】如图，由平面向量中的奔驰定理可得::1:2:3BOC AOC AOB S S S ∆∆∆=， 1212BOCAOCOC BD S BD S AD OC AD ∆∆⋅⋅==⋅⋅，在△ACD 和△BCD 中，tan ,tan CD CD A B AD BD ==， 所以tan tan A BD B AD=，故tan tan BOC AOC S A S B ∆∆=，同理tan tan BOC AOB S A S C ∆∆=， 故::tan :tan :tan BOC AOC AOB S S S A B C ∆∆∆=，即tan :tan :tan 1:2:3A B C =， 又tan tan tan tan()1tan tan B C A B C B C +=-+=--， 所以tan 1,45A A ︒=∠=．评注：由此题的结论可得若O 为△ABC 的垂心，则有::tan :tan :tan ::BOC AOC AOB S S S A B C αβγ∆∆∆==．B。

向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广一、奔驰定理及证明图1如图1，已知P 为ABC 内一点，则PA S PB S PC S 0奔驰定理BPC APC APB证明：若' ' ' 0PA PB PC ，则' ' 'P为 A B C 重心，不妨设x PA PA yPB PB zPC PC', ','', ','x P A y P B z P C (1)' 'S xS1 1 | PB | | PC |' ' PBC PBC' ' ' ' S | PB | | PC | sin BPC sin B PCPBC2 2 y z yz xyz同理可得S PACySPAC''xyz，S PABzSPAB''xyz又S S SP B C P A C P A B' ' ' ' 'x : y : z S P B C : S P A C: S P B C(1)式可化为P A S B P C P B S A P C P C S A P B0 奔驰定理得证最简单的一个就是面积法。

用三角形面积公式带入，约去三条线段长度之积，得到三个单位1向量的关系，将它们放入单位圆中。

图 2如图2，已知P为单位圆，A，B，C在圆上，AP 、BP 、CP 所对的角分别为，，则AP sin BP sin CP sin 0 真·奔驰定理这时的图形就真的很想奔驰车标了，所以我称它【真·奔驰定理】。

奔驰车标接下来，我们要证明的就是这个了。

这个证明只需要建立平面直角坐标系，利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了。

于是整个定理就得到了证明。

二、奔驰定理在向量中应用2例1、若ABC 内接于以O 为圆心，以1 为半径的圆，且3OA 4OB 5OC 0 ,则该ABC 的面积为。

奔驰定理的内容及推导奔驰定理是指当一个系统中的多项变量经过线性变换后，其新的变量仍可以用原来系统中的变量表示，那么这个系统中的变量存在一定的联系，这就是奔驰定理。

最早由德国数学家爱因斯坦贝尔(Einstein)定义，他是奔驰定理的发现者，被称为“傻大爷”，他的奔驰定理称之为“三宝定理”。

奔驰定理描述了系统中变量有一定的联系，即我们可以用一个变量来表示其它变量，并且可以得到有效的结论和推导。

简而言之，这一定理意味着当系统的变量满足某种关系时，可以用另一变量来表示全部变量。

首先，要说明奔驰定理，我们需要先了解一些概念：第一，t定义变量集合Xi｝，其中每一个变量Xi都有n个实数值，即：X1=a1,X2=a2,…,Xn=an第二，t定义一个n阶矩阵A，矩阵中的每一列都是Xi，每一行的元素都是实数值。

第三，t定义一个n阶矩阵B，矩阵中的每一列都是新变量Zi，每一行的元素都是实数值。

根据以上概念，奔驰定理可以表述为：若存在一个n阶矩阵A，使得：A xXi｝=｛Zi｝(1)其中｛Xi｝是n个变量的集合，｛Zi｝是n个新变量的集合，那么，矩阵A称为联系变量，（1）称为联系式；至此，我们就可以推导出：（1）当系统中变量满足联系式时，可以用联系变量来表示全部变量；（2）当系统中的联系变量都相等时，可以被表示为一个简单的联系式；（3）当联系式中的变量是线性的时，可以用一种简单的表达式来描述；（4）当联系式中的变量是非线性的时，则以特定的方式来表示；（5）通过联系式可以把系统的变量用联系变量表示，从而对复杂的系统分析问题进行简化。

这就是奔驰定理，这是一个重要的数学定理，它有着广泛的应用，特别是在推理领域。

它可以使复杂的数学问题变得更容易，更容易理解。

举个例子来说明一下奔驰定理。

假设有4个变量X1，X2，X3，X4，满足关系：X1+X2-X3+X4=0，那么可以用一个矩阵来表示A：A=[1,1,-1,1]所以，Xi可以用Zi表示：Z1=X1+X2Z2=X3Z3=X4而且，满足X1+X2-X3+X4=0，可以表达为：Z1-Z2+Z3=0这就是奔驰定理。

奔驰定理的三种证明奔驰定理（Ptolemy's theorem）是欧几里得几何中的一条著名定理，它描述了四边形对角线长度与四个顶点连线长度之间的关系。

这个定理有三个不同的证明方法。

一、欧拉圆证明这个证明方法最早由欧拉提出。

欧拉圆往往被用来研究关于三角形的性质，但在这个定理中，我们用圆来描述一个四边形。

证明过程如下：1、以四边形的一条对角线作为直径，画一个圆。

2、连接圆上相邻两点，并将它们延长至四边形的相对顶点处，得到四条线段。

3、注意到这四条线段通过圆心，并且它们所对应的角度相等，因此可以利用正弦定理得到它们的长度。

将它们代入Ptolemy's 定理，即可得到定理的结论。

二、向量证明我们可以将四边形的四个顶点表示为向量A、B、C、D，如下图所示：然后，我们可以用向量的点积和叉积来表示四边形的两个对角线的长度，如下所示：d2 = (A - C) ·(A - C)ac = |A - C| ·|A - C|bd = |B - D| ·|B - D|ad = |A - D| ·|A - D|bc = |B - C| ·|B - C|因此，Ptolemy's 定理可以表示为：|AC| ·|BD| + |AD| ·|BC| = |AB| ·|CD|这个式子可以通过对向量的点积和叉积进行推导得到。

三、三角形面积证明通过画辅助线，我们可以将四边形分成两个三角形和一个四边形，如下所示：接下来，我们可以用海伦公式计算出两个三角形的面积，它们分别为A 和B：A = 1/2 |AB| ·|CD| ·sin(α+ β)B = 1/2 |AD| ·|BC| ·sin(γ+ δ)其中，α+ γ= π，β+ δ= π，因此可以将sin(α+ β) 和sin(γ+ δ) 用正弦和余弦的和公式表示为：sin(α+ β) = sinα·cosβ+ cosα·sinβsin(γ+ δ) = sinγ·cosδ+ cosγ·sinδ将这两个式子代入面积公式后，可以得到：|AC| ·|BD| + |AD| ·|BC| = |AB| ·|CD|这个式子就是Ptolemy's 定理。

三角形“四心”的向呈表示及运用——奔驰定理平面向量有一个非常优美的结论： 已知点O 为ABC ∆内一点，则S S S 0BOC AOC AOB OA OB OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=，网络称为平面向量的“奔驰定理”．本文将给出平面向量“奔驰定理”的一种证明，并给出点O在ABC ∆外的结论．在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例．一、两个定理定理1：设点O 是ABC ∆内一点且∆∆∆=123S :S :S ::BOCAOC AOB k k k ，则123=0k OA k OBk OC ++．证明：如图，设=-0A OA '，过A '作OC 的平行线交OB 于B '，过A '作OB 的平行线交OC 于C '，则OA OB OC '''=+。

21kOB k B OC A OC AOC BOC BOC BOC S S S OBS S S ''∆∆∆∆∆∆'====所以21k OB k OB '=， 同理31k OC k OC '=所以2311k k -OA k k OB OC =+即123k OA k k 0OBOC ++=定理2：设O 是ABC ∆外一点,不妨设点A 和点O 位于直线BC 的两侧，若123S :S :S ::BOCAOC AOB k k k ∆∆∆=，则123-k OA k k 0OBOC ++=．证：过A 作OC 的平行线交OB 于B '，过作OB 的平行线交OC 于C '，则OA OB OC ''=+．21k OB k B OC AOC BOC BOC S S OB S S '∆∆∆∆'===。

所以21k OB OB k '=。

同理21k OC OC k '=。

所以2311k k OA k k OB OC=+即123-k OA k k 0OBOC ++=特别：当点O 在ABC ∆的某一边上，不妨设O 在BC 边上（不与B 、C 重合）则相当于10k =，上面定理仍然成立。

向量中的“奔驰定理”证明及应用与推广奔驰定理是求解向量中的三角形面积的重要定理，它的证明基于向量叉乘的性质。

下面我们将详细介绍奔驰定理的证明、应用及推广。

奔驰定理的证明：设向量AB=c,AC=a,向量AD=d，则三角形的面积可以表示为：S=1/2×AB×AC的正好(通过向量叉乘的定义和性质可知)奔驰定理指出，若三个向量互相平行，则这三个向量的长度(或模)与他们所夹三角形的面积之间满足以下关系：S=1/2×，AB×AC证明：首先，设向量AB=c,AC=a,向量BC=b.由题设可知,AB∥AC，因此存在一个实数λ,使得AB=λAC。

即c=λa.同理，由题设可知，AB∥BC，因此存在一个实数μ,使得AB=μBC。

即c=μb。

两者联立得到：λa=μb两边同时做叉乘得到：a×(λa)=b×(μb)由叉乘的性质可知，a×(λa)=(λa)×a=(λa)×(-a)=0;b×(μb)=(μb)×b=(μb)×(-b)=0所以，0=a×(λa)=b×(μb)根据向量叉乘的性质可知，当两个向量叉乘结果为零时，这两个向量互相平行。

由此可得，a与(λa)平行，b与(μb)平行。

由已知得到的结果可知，AB=λAC,AB=μBC。

因此，λAC=μBC。

等式两边同时除以AB得到：λ=μ×，AC/AB，=μ×，AC，AB即，AB，/，AC，=λ/μ=，AB×AC，/，AC×BC因此这就是奔驰定理的证明过程。

奔驰定理的应用与推广：1.应用：奔驰定理广泛应用于解决向量的平行、垂直、共面问题，尤其在几何证明题中使用较为频繁。

例如，可以利用奔驰定理来判断两个向量是否平行，从而简化证明的过程。

2.推广：奔驰定理可以推广到更多的向量问题中。

例如，对于四面体ABCD，我们可以通过向量叉乘得到其体积：V=1/3，AB×AC·AD对于平行六面体，连续使用奔驰定理，可以得到其体积公式：V=，AB×AC·AD奔驰定理还可以应用于计算向量的夹角，设两个向量AB=a,AC=b，夹角θ，则有：cosθ=(a·b)/(，a，b，)奔驰定理的证明及应用与推广使我们更加深入地理解了向量的叉乘操作和向量的几何性质。