高考数学复习：奔驰定理与四心问题技巧一．四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点．已知ABC △的顶点11()A x y ，，22()B x y ，，33()C x y ，，则△ABC 的重心坐标为123123()33x x x y y y G ++++，．注意：（1）在ABC △中，若O 为重心，则0OA OB OC ++= ．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：1133AG AB AC =+ ．奔驰定理：0B A C S OA S OB S OC⋅⋅⋅++=，则AOB △、AOC △、BOC △的面积之比等于321::λλλ奔驰定理证明：如图，令112131OA OA OB OB OC OC λλλ===，，，即满足1110OA OB OC ++= 11121AOB A OB S S λλ=△△，11131AOC A OC S S λλ=△△，11231BOC B OC S S λλ=△△，故321::::AOB AOC BOC S S S λλλ=△△△．技巧三．三角形四心与推论：（1）O 是ABC △的重心：::1:1:10BOC COA A0B S S S OA OB OC =⇔++= △△△．（2）O 是ABC △的内心：::::0B0C COA AOB S S S a b c aOA bOB cOC =⇔++=△△△．（3）O 是ABC △的外心：0::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20B C COA AOBS S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△．（4）O 是ABC △的垂心：0::tan :tan :tan tan tan tan 0B C COA AOBS S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△．技巧四．常见结论（1）内心：三角形的内心在向量AB ACAB AC + 所在的直线上．0AB PC BC PC CA PB ⋅+⋅+⋅=⇔P 为ABC △的内心．（2）外心：PA PB PC ==⇔P 为ABC △的外心．（3）垂心：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅⇔P 为ABC △的垂心．（4）重心：0PA PB PC ++=⇔P 为ABC △的重心．题型一：奔驰定理例1．（2023·全国·高一专题练习）已知O 是ABC 内部的一点，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为3a =，2b =，4c =，若sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，则AOB 与ABC 的面积之比为（）A ．49B ．13C ．29D ．59【答案】A【解析】由正弦定理sin sin sin a b c K A B C ===,又3a =，2b =，4c =，所以得()32401O KA OB OC ⋅+⋅+⋅= ,因为10K≠,所以3240OA OB OC ⋅+⋅+⋅= .设1113,2,4,OA OA OB OB OC OC === 可得1110,OA OB OC ++=则O 是111A B C △的重心，111111OA B OB C OA C S S S S === ，利用11111sin 2S OA OB AOB =⋅⋅∠,11sin sin AOB AOB ∠=∠,所以11111sin 121632sin 2OAB OA OB AOBS OA OB SOA OB OA OB AOB ⋅∠⋅===⋅⋅∠,所以16OAB S S = ,同理可得18OBC S S = ,112AOC S S = .所以AOB 与ABC 的面积之比为1111:4:966812S S S S ⎛⎫++= ⎪⎝⎭即为49.故选：A.例2．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则AOB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】如图，设OA OC + OD = ，∵20OA OB OC ++= ，∴2OD OB =-，设AC 与OD 交于点M ，则M 平分,AC BD ，∴OM OB =-，O 是BM 中点，∴1124AOB AMB ABC S S S ∆∆∆==．比值为14．例3．若点M 是ABC 所在平面内的一点，点D 是边AC 靠近A 的三等分点，且满足5AM AB AC =+ ，则ABM 与ABD △的面积比为（）A ．15B ．25C ．35D ．925【答案】C【解析】M 是ABC 所在平面内一点，连接AM ，BM ，延长AM 至E 使5AE AM =，∵5AM AB AC AE =+= ，∴AB AE AC CE =-= ，连接BE ，则四边形ABED 是平行四边形，向量AB和向量CE 平行且模相等，由于3AC AD = ，所以13ABD ABC S S =△△，又5AE AM = ，所以15ABM ABE S S =△△，在平行四边形中，ABDABE S S =△△，则ABM 与ABD △的面积比为135153ABEABD S S =△△，变式1．平面上有ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB ，OBC △，OCA 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】由0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r 得b ca aS S OA OB OC S S =-- ，由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得b c OA OB OC a a=--，根据平面向量基本定理可得b a S b S a -=-，c a S cS a-=-，所以b a S b S a =，c a S cS a=，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 于F，则||||b a S AE S BE =，又b a S b S a =，所以||||AE b BE a =||||AC BC =，所以CE 为ACB ∠的平分线，同理可得BF 是ABC ∠的平分线，所以O 为ABC 的内心.故选：B变式2．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++=，设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是（）A ．若0OA OB OC ++=，则O 为△ABC 的重心B ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =C ．则O 为△ABC （不为直角三角形）的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC∠⋅+∠⋅+∠⋅=D ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =【答案】D【解析】对于A ：如下图所示，假设D 为AB 的中点，连接OD ，则=2O OA O D C B O +=，故,,C O D 共线，即O 在中线CD 上，同理可得O 在另外两边,BC AC 的中线上，故O 为ABC 的重心，即A 正确；对于B ：由奔驰定理O 是ABC 内的一点，,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可知，若230OA OB OC ++=，可得::1:2:3A B C S S S =，即B 正确；对于C ：由四边形内角和可知，πBOC BAC ∠+∠=，则cos cos OB OC OB OC BOC OB OC BAC =∠=-∠，同理，cos cos OB OA OB OA BOA OB OA BCA =∠=-∠ ，因为O 为ABC 的垂心，则()0OB AC OB OC OA OB OC OB OA ⋅=⋅-=⋅-⋅=，所以cos cos OC BAC OA BCA ∠=∠ ，同理得cos cos OC ABC OB BCA ∠=∠ ，cos cos OA ABC OB BAC ∠=∠ ，则::cos :cos :cos OA OB OC BAC ABC BCA =∠∠∠，令cos ,cos ,cos OA m BAC OB m ABC OC m BCA =∠=∠=∠ ，由1sin 2A S OB OC BOC =∠ ，则21sin cos cos sin 22A m S OB OC BAC ABC BCA BAC =∠=∠∠∠ ，同理：21sin cos cos sin 22B m S OA OC ABC BAC BCA ABC=∠=∠∠∠ ，21sin cos cos sin 22C m S OA OB BCA BAC ABC BCA =∠=∠∠∠ ，综上，sin sin sin ::::tan :tan :tan cos cos cos A B C BAC ABC BCAS S S BAC ABC BCA BAC ABC BCA∠∠∠==∠∠∠∠∠∠，根据奔驰定理得tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=，即C 正确.对于D ：由5π||||2,6OA OB AOB ==∠= 可知，1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=，又2340OA OB OC ++=，所以::2:3:4A B C S S S =由1C S =可得，13,24A B S S ==；所以1391244C ABC A B S S S S ++==++= ，即D 错误；变式3．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，O 是ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是ABC 的三个内角，以下命题正确．．的有（）A ．若2340OA OB OC ++=，则4:::3:2A B C S S S =B ．若2OA OB == ，23AOB π∠=，且2340OA OB OC ++= ，则4ABC S =△C ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 为ABC 的垂心D ．若O 为ABC 的内心，且512130OA OB OC ++= ，则π2ACB ∠=【答案】BCD【解析】对选项A ：2340OA OB OC ++=，则::2:3:4A B C S S S =，错误；对选项B ：122sin1202AOB S =⨯⨯⨯︒=△2340OA OB OC ++= ，故::2:3:4A B C S S S =，94ABC A S S =⨯=△对选项C ：OA OB OB OC ⋅=⋅ ，即()0OA OC OB CA OB -⋅=⋅= ，故CA OB ⊥，同理可得CB OA ⊥ ，AB OC ⊥，故O 为ABC 的垂心，正确；对选项D ：512130OA OB OC ++=，故5:12:::13A B C S S S =，设内接圆半径为r ，12A S r BC =⋅，12B S r AC =⋅，12C S r AB =⋅，即5:::12:13B AB C AC =，即222AB AC BC =+，π2ACB ∠=，正确.故选：BCD变式4．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC 、AOC 、AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.设O 是锐角ABC 内的一点，BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠分别是ABC 的三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =C ．若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=【答案】ACD【解析】对于A 选项，因为230OA OB OC ++=，由“奔驰定理”可知::1:2:3A B C S S S =，A 对；对于B 选项，由2OA OB == ，5π6AOB ∠=，可知1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=，又2340OA OB OC ++=，所以::2:3:4A B C S S S =，由1C S =可得，12A S =，34B S =，所以1391244C ABC A B S S S S ++==++= ，B 错；对于C 选项，若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，又111::::::222A B C ar br cr a b c S S S ==（r 为ABC 内切圆半径），所以，222a b c +=，故π2C ∠=，C 对；对于D 选项，如下图所示，因为O 为ABC 的重心，延长CO 交AB 于点D ，则D 为AB 的中点，所以，2OC OD =，12AOD BOD C S S S ==△△，且12AOD B S S =△，12BOD A S S =△，所以，A B C S S S ==，由“奔驰定理”可得0OA OB OC ++=，D 对.题型二：重心定理例4．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且5AB =，4AC =，则下列各式正确的有______．①3AG BC ⋅=-②6AO BC ⋅=- ③OH OA OB OC =++ ④42AC O AB M HM +=+ 【答案】①③④【解析】对于①，ABC 重心为G ，有21()33AG AM AB AC ==+ ，故22111()()(162)()33335AB AC AC AB AC AG BC AB ⋅====-+--- ，故①正确；对于②，ABC 外心为O ，过三角形ABC 的外心O 分别作AB 、AC 的垂线，垂足为D 、E ，易知D 、E 分别是AB 、AC 的中点，有212522AO AB AB ⋅== ，2182AO AC AC ⋅== ∴25922)8(AO BC AO AC AB =-=⋅=--⋅ ，故②错误；对于③，由欧拉线定理得2OG GH =，即3OH OG = ，又有0GA GB GC ++= ，故OA OB OC ++ ()()()OG GA OG GB OG GC =+++++ 3OG GA GB GC =+++3OG = ，即OH OA OB OC =++ ，故③正确；对于④，由3OH OG = 得3()MH MO MG MO -=-，故2133MG MO MH =+ ，所以2642M A M B AC A G OM HM +==-=+，故④正确.故答案为：①③④.例5．点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC 的三个顶点，B ∠、C ∠分别是边AC 、AB 的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）．①动点P 满足OP OA PB PC =++，则ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足()(0)||||ABACOP OA AB AC λλ=++>，则ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足()(0)||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC C λλ=++>，则ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足()(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC C λλ=++>，则ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλλ+=++> ，则ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中．【答案】①②③④⑤【解析】对于①，因为动点P 满足OP OA PB PC =++，∴AP PB PC =+，则点P 是ABC 的重心，故①正确；对于②，因为动点P 满足()(0)||||ABACOP OA AB AC λλ=++>，∴()(0)||||AB ACAP AB AC λλ=+>，又||||AB ACAB AC +在BAC ∠的平分线上，∴AP与BAC ∠的平分线所在向量共线，所以ABC 的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，动点P 满足()(0)||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>，∴()||sin ||sin AB ACAP AB B AC Cλ=+，(0)λ>，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，则||sin ||sin AB B AC C AD ==，()AP AB AC ADλ=+ ，向量AB AC + 与BC 边的中线共线，因此ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；对于④，动点P 满足()(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC C λλ=++>，∴()(0)||cos ||cos AB ACAP AB B AC Cλλ=+>，∴()(||||)0||cos ||cos AB ACAP BC BC BC BC AB B AC Cλλ⋅=+⋅=-=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∴AP BC ⊥ ，所以ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC C λλ+=++> ，设2OB OC OE +=，则()||cos ||cos AB ACEP AB B AC Cλ=+，由④知()0||cos ||cos AB ACBC AB B AC C+⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，∴0EP BC =⋅，∴EP BC ⊥，P ∴点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线；所以ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．故答案为：①②③④⑤．例6．若O 为ABC 的重心（重心为三条中线交点），且0OA OB OC λ++= ，则λ=___．【答案】1【解析】在ABC 中，取BC 中点D ，连接AD ，由重心的性质可得O 为AD 的三等分点，且2OA OD =-，又D 为BC 的中点，所以2OB OC OD +=，所以20OA OB OC OD OD ++=-+=，所以1λ=.故答案为：1变式5．（1）已知△ABC 的外心为O ，且AB =5，3AC =，则AO BC ⋅=______．（2）已知△ABC 的重心为O ，且AB =5，3AC =，则AO BC ⋅=______．（3）已知△ABC 的重心为O ，且AB =5，3AC =，3A π=，D 为BC 中点，则AO OD ⋅=____．【答案】8-163-4918【解析】（1）由题意得：如图过O 作OD BC ⊥，垂足为D ，则D 是BC 的中点BC AC AB =-uu u r uuu r uu u r Q ，AO AD DO=+ ，1()2AD AB AC =+又3AC =，5AB =uu u r ()()2211()()822AO BC AD DO BC AD BC AB AC AC AB AC AB ∴⋅=+⋅=⋅=+-=-=- （2）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2:1两部分21()33AO AD AB AC ==+ ，BC AC AB=-AO BC ∴⋅= ()22311()(16)33AB AC AC AB AC AB +⋅-=-=- （3）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2:1两部分12OD AO = ，21()33AO AD AB AC ==+2221()2cos 25930492AB AC AB AC AB AC A +=++=++⨯=()2221211494929181818AO OD AO AD AB AC⋅===+=⨯= 故答案为：（1）8-（2）163-（3）4918变式6．在ABC 中，2AB =，60ABC ∠=︒，1AC AB ⋅=- ，若O 是ABC 的重心，则BO AC ⋅=______.【答案】7【解析】如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系.设(),0C a ，∵2AB =，60ABC ∠=︒，∴(3A ，((1313AC a ,,AB ,=--=--∵131AC AB a⋅=-+=-，解得5a =，∴()5,0C ∵O 是ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，则D 为AC 中点，所以332D 骣琪琪桫,∴22333323BO BD ⎛⎛=== ⎝⎭⎝⎭，(43AC ,=,∴(324373BO AC ⋅=⨯+-⨯=.故答案为：7变式7．锐角ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为______．【答案】4653⎡⎫⎢⎪⎪⎢⎭⎣，【解析】由题意211()()323AG AC AB AC AB =⨯+=+ ，211()()323BG BA BC BA BC =⨯+=+ ，又AG BG ⊥，则11()()()099AG BG AC AB BA BC AC BA AC BC AB BA AB BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=，所以2CA CB AC AB BA BC AB ⋅=⋅+⋅+ ，即2cos cos cos ab C bc A ac B c =++，由222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=，所以2225a b c +=,2cos (5a bC b a=+，由ABC 为锐角三角形及上式，则2222222225a b c a c b b c a ⎧+=⎪+>⎨⎪+>⎩，即22223232a b b a ⎧>⎨>⎩，可得6623b a >>所以cos C 在6(3b a ∈上递减，在6)2上递增，则46cos 53C ≤<.故答案为：46[53变式8．过△ABC 重心O 的直线PQ 交AC 于点P ，交BC 于点Q ，34= PC AC ，= QC nBC ，则n 的值为________.【答案】35【解析】如图，因为O 是重心，所以0OA OB OC ++= ，即=--OA OB OC ，因为34= PC AC ，所以()34-=- OC OP OC OA ，所以()313131444442=+=--+=--OP OA OC OB OC OC OB OC ，又=QC nBC ，则()=-- OC OQ n OC OB ，所以()1=-+ OQ OC n B nO 因为P ，O ，Q 三点共线，所以//OP OQ ，所以31(1)42--=-n n ，解得35n =.故答案为：35变式9．在ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，设APQ △的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，且,AP AB AQ AC λμ== ，则12S S 的取值范围为_________．【答案】41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，连接AG，作图如下：121sin 21sin 2A AP AQ S S A AB AC λμ⨯⨯==⨯⨯，在三角形ABC 中，因为G 为其重心，故可得()13AG AB AC=+结合已知条件可得：1113AG AP AQ λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为,,P G Q 三点共线，故可得11133λμ+=，即113λμ+=，由题设可知(]0,1μ∈，(]0,1λ∈，又(]0,131λμλ=∈-，得1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故21231S S λλμλ==-，令31t λ-=，可得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()113t λ=+，则121112,,292S t t S t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又1y t t =+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，()1,2单调递增，当1t =时，1249S S =，当12t =时，1212S S =，当2t =时，1212S S =，故1241,92S S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.题型三：内心定理例7．在ABC 中，16AB AC ⋅=，6ABC S = ，3BC =，且AB AC >，若O 为ABC 的内心，则AO BC ⋅=_________．【答案】3-【解析】因为16AB AC ⋅=，所以cos 16AB AC A ⋅= ，因为6ABC S = ，所以1sin 62AB AC A ⋅=，所以sin 3cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=，cos 0,sin 0A A >>，所以34sin ,cos 55A A ==，所以20AB AC ⋅=，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，又3BC =，所以2241AB AC +=，又AB AC >，所以5,4AB AC ==，所以ABC 为以AB 为斜边的直角三角形，设ABC 的内切圆与边AC 相切于点D ，内切圆的半径为r ，由直角三角形的内切圆的性质可得12AC BC ABr +-==，故1OD =，因为AD BC ⊥，所以0AD BC ⋅=，因为,OD AC BC AC ⊥⊥，所以//OD BC ，所以3DO BC ⋅=-所以()3AO BC AD DO BC AD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=- .例8．已知Rt ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，I 是ABC 的内心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点.若AP AB AC λμ→→→=+（λ，R μ∈），则λμ+的取值范围是______.【答案】7(,1)12【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则()()()0,0,3,0,0,4A B C ，因为I 是三角形ABC 的内心，设三角形ABC 内切圆半径为r ，则()11||||||||||22AC AB BC r AB AC ++⨯=⨯⨯，解得1r =.所以()1,1I ，()()3,0,0,4AB AC →→==.依题意点(),P x y 在三角形IBC 的内部（不含边界）.因为AP AB AC λμ→→→=+(,)R λμ∈，所以()()()(),3,00,43,4x y λμλμ=+=，所以133414x x y yλλμμ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，令1134z x y λμ=+=+，则443y x z =-+，由图可知，当443y x z =-+过()1,1I 时，117113412z =⨯+⨯=.当443y x z =-+，过()0,4C ，即为直线BC 时，1104134z =⨯+⨯=.所以λμ+的取值范围时7(,1)12.例9．设I 为ABC 的内心，5AB AC ==，6BC =，AI mAB nBC =+，则m n +为________．【答案】1516【解析】因为5AB AC ==，所以取BC 中点为O ，连接AO ，则AO BC ⊥，且ABC 的内心I 在AO 上，IO 即为ABC 的内切圆半径r ，又6BC =，所以AO 4==，因为()1122ABC S BC AO AB BC AC r =⨯=++⨯ ，即()64556IO ⨯=++⨯，所以32IO =，52AI =，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(0,4)A ，(3,0)B -，(3,0)C ，则(3,4)AB =--，(6,0)BC = ，50,2AI ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为AI mAB nBC =+ ，即(3,4)(56,,20)0n m -⎛⎫⎪+⎭--= ⎝，所以542360m m n ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩解得55,816m n ==，所以551581616m n +=+=，故答案为：516.变式10．已知点O 是ABC ∆的内心，若3177AO AB AC =+，则cos BAC ∠=______.【答案】16【解析】因为()()3177OA OB OA OC OA -=-+-，即()3OC OA OB =-+ ，取AB 中点D ，连接OD ，则2OA OB OD +=，故6OC OD =- ，故点,,C O D 共线，又ACO BCO ∠=∠，故AC BC =，且CD AB ⊥，所以1cos 6DA OD BAC CA OC ∠===.故答案为：16.变式11．在面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC 的__心.【答案】内【解析】 OA AB OB =+ ，OC OA AC =+，()()a OAb OBc OC a OA b OA AB c OA AC ∴⋅+⋅+⋅=⋅++++ ()0a b c OA b AB c AC =++⋅+⋅+⋅=，∴()bc AB AC AO a b c c b =+++，AB c，AC b分别是AB，AC 方向上的单位向量，∴向量AB AC c b+ 平分BAC ∠，即AO 平分BAC ∠，同理BO 平分ABC ∠，O ∴为ABC 的内心，故答案为：内变式12．已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ =++ ⎪⎝⎭()R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心【答案】C【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，AC ACuuu r uuu r 为AC 方向上的单位向量，则||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，由AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，可得AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪-=+ ⎪⎝⎭，即AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，所以点P 的轨迹为BAC ∠的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：C.变式13．已知椭圆2211612x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于长轴端点的动点，G ，I 分别为12PF F △的重心和内心，则PI PG ⋅=（）A ．43BC ．2D ．163【答案】D【解析】由椭圆2211612x y +=可得4a =，b =，2c ==如图，设12PF F △的内切圆与三边分别相切与A ，B ，C ，G ，I 分别为12PF F △的重心和内心．则PB PC =，11F A FC =，22F A F B =，所以12122PF PF F F PB PC a c +-==-=，所以()()1212113332PI PG PG PI PI PF PF PI PF PI PF PI⋅⋅⋅=+⋅=⋅+⋅== ()()12121133PF PC PF PB PB PF PF =+=+()116233a c a =-⋅=变式14．已知ABC ，I 是其内心，内角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，则（）A ．1()3AI AB AC =+ B ．c AB b ACAI a a =+C ．b AB c AC AI a b c a b c =+++++D ．cAB bAC AI a b a c =+++【答案】C【解析】延长,,AI BI CI ，分别交,,BC AC AB 于,,D E F .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形ABD 和三角形ACD 中，由正弦定理得：,11sin sin sin sin 22BD c CD bADB ADC BAC BAC =∠∠⎛⎫⎛⎫∠∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于sin sin ADB ADC ∠=∠，所以,BD CD BD cc b CD b==，,,BD c BD c ac BD BD CD b c a b c b c ===++++，同理可得c AI BD DI =，c AI AIBD c DI AI AD==++，c AD c b c AI AD AD ac BD c a b c c b c⋅+==⋅=⋅+++++.所以()c c AD AB BD AB BC AB AC AB b c b c=+=+=+-++b c AB AC b c b c=+++，则b c b c b c b cAI AD AB AC AB AC a b c a b c b c b c a b c a b c ++⎛⎫=⋅=⋅+=+ ⎪++++++++++⎝⎭.故选：C变式15．在△ABC 中，3cos 4A =，O 为△ABC 的内心，若(),R AO xAB y AC x y =+∈ ，则x ＋y 的最大值为（）A ．23B．65C．76D．87-【解析】如图：圆O 在边,AB BC 上的切点分别为,E F ，连接,OE OF ，延长AO 交BC 于点D设OAB θ∠=，则23cos cos 212sin 4A θθ==-=，则sin 4θ=设x A A D AO B y ACλλλ=+= ∵,,B D C 三点共线，则1x y λλ+=，即1x y +=λ11111sin 114AO AO AO OF OE AD AO OD AO OF AO AO λθ==≤===+++++即87x y -+≤故选：D．变式16．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0OA OB OC ++= ；（2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ；（3）0AC BC BA OA O AB B AC BC BA AB 骣骣鼢珑鼢珑鼢×=×-=珑鼢珑鼢珑鼢 -梃uuu v uu u v uu v uu v uu u uu u v uuu v uu u v v uu u v uu v ；（4）()()0OA OB AB OB OC BC+⋅=+⋅=．则点O 依次为ABC ∆的（）A ．内心、外心、重心、垂心；B ．重心、外心、内心、垂心；C ．重心、垂心、内心、外心；D ．外心、内心、垂心、重心【答案】C【解析】（1）0OA OB OC ++=显然得出O 为ABC ∆的重心；（2）()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇒⋅-=⇒⋅=⇒⊥，同理,OA CB OC AB ⊥⊥，所以O 为ABC ∆的垂心；（3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅-=⋅-=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OA,OB 分别是,BAC ABC ∠∠的角平分线，所以O 为ABC ∆（4）()020OA OB AB OM AB OM AB +⋅=⇒⋅=⇒⊥（M 是AB 中点）同理ON BC ⊥（N 是BC 中点），所以O 为ABC ∆的外心.故选：C .变式17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件：①0aOA bOB cOC ++= ；②tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；③sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；④0OA OB OC ++= ；则点O 分别为ABC ∆的（）A ．外心、内心、垂心、重心B ．内心、外心、垂心、重心C ．垂心、内心、重心、外心D ．内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1，则O 为ABC 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=，即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=，可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC 的外心；④0OA OB OC++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=，即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =，由AC 的中点D 为()0,2，DB =，OB =O 分中线DB 比为2:3，故O 为ABC 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30 ，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=，即为)()()(),2,10,033x y x y x y --+--+---=，0x =10y +=，解得1x =-，y =即(1,O -，由OC AB ⊥，1OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC 的垂心．故选：D题型四：外心定理例10．设O 为ABC 的外心，且满足2340OA OB OC ++= ，1OA =，下列结论中正确的序号为______．①78OB OC ⋅=- ；②2AB = ；③2A C Ð=Ð．【答案】①③【解析】由题意可知：1OA OB OC ===．①2340OA OB OC ++= ，则234OA OB OC =--，两边同时平方得到：492416OB OC =+⋅+ ，解得：78OB OC ⋅=- ，故①正确．②2340OA OB OC ++=，则2254OA OB OB OC -=-- ，254BA OB OC =-- ，两边再平方得到：242516406AB OB OC =++⋅= ．所以|2AB = ，所以②不正确．③2340OA OB OC ++=，432OC OB OA =-- ，两边平方得到：1694121312cos OA OB OA OB AOB =++⋅=+∠ ，1cos 4AOB ∠=，π0,2AOB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，同理可得：7cos 8BOC ∠=-，π,π2BOC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，2AOB C ∠=∠，2COB A ∠=∠．故1cos 24C =，7cos 28A =-，且π0,4C ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，ππ,42A ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，2217cos 42cos 2121cos 248C C A ⎛⎫=-=⨯-=-= ⎪⎝⎭，即2A C Ð=Ð．故③正确．故答案为：①③例11．已知O 为ABC 的外心，3AC =，4BC =，则OC AB ⋅=___________．【答案】72-/-3.5【解析】如图：,E F 分别为,CB CA 的中点，则,OE BC OF AC ⊥⊥()OC AB OC CB CA OC CB OC CA⋅=⋅-∴=⋅-⋅ ()()B EC F OE C OF CAC =⋅-+⋅+ OE CB CB OF C C A E FC CA ⋅⋅-=+⋅-⋅ 2211||||22CB CA ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()22117||916.222CA CB =-=⨯-=- 故答案为：72-.例12．已知O 是ABC 的外心，若22AC AB AB AO AC AO mAO ABAC⋅+⋅=uuu r uu u r uu u r uuu ruuu r uuu r uuu r uu u r uuu r，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为______．【答案】32/1.5【解析】设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，2||||2()||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=，∴根据向量数量积的几何定义可得：22211222b c c b mr c b ⋅+⋅=，即22bc mr =，∴=222m b c r r⋅，又sin sin B C +=，根据正弦定理可得sin 2b B r =，sin 2c C r =，∴22b cr r+∴2322(22224b cm b b r r r r +=⋅≤=，当且仅当22b c r r =时，即ABC 为等边三角形时取等号，∴324m ≤，32m ∴≤，∴实数m 的最大值为32．故答案为：32变式18．设O 为ABC 的外心，若=4AB，BC =，则BO AC ⋅=___________.【答案】2-【解析】如图，设D ､E 分别为,AB BC 的中点，则,OD AB OE BC ⊥⊥，所以()BO AC BO BC BA BO BC BO BA =-=-cos cos BO BC OBC BO BA OBA=∠-∠2211=··==222BE BC BA BD BC BA --- ,故答案为：-2.变式19．已知点O 是△ABC 的外心，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，π3A =，且cos cos 2sin sinBC AB AC OA C B λ⋅+⋅= ，则λ的值为________．【答案】【解析】如图，分别取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，则21122AB OA AB AB c ⋅=-⋅=- ；21122AC OA AC AC b ⋅=-⋅=- ，因为cos cos 2sin sin B C AB AC OA C Bλ⋅+⋅=，设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得2sin sin sin a b cR A B C===，所以两边同时点乘OA 可得()()2cos cos 2sin sin B C AB OA AC OA OA CB λ⋅⋅+⋅⋅= ,即222cos 1cos 12sin 2sin 2B Cc b R C B λ⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以211cos cos 22sin 2sin c bc B b C R C Bλ-⋅⋅-⋅⋅=，所以2112cos 2cos 222R c B R b C R λ-⋅⋅-⋅⋅=,所以()cos cos 2c B b C R λ-+=，所以222222222a c b a b c c b R ac ab λ⎛⎫+-+--⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即2a R λ-=，所以3sin sin 232a A R πλ=-=-=-=故答案为：32变式20．在ABC 中，6AB =，35AC =点M 满足1154AM AB AC =+．过点M 的直线l 分别与边,AB AC交于点,D E 且1AD AB λ= ，1AE AC μ= ．已知点G 为ABC 的外心，AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则AG 为______．【答案】310【解析】,,D M E 三点共线，∴可设()()101AM t AD t AE t =+-<<，15AB t AD ∴= ，()114AC t AE =- ，即15AD AB t = ，()141AE AC t =- ，()1151141t t λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，即5t λ=，44t μ=-，()544AG t AB t AC ∴=+- ；()534CG AG AC t AB t AC ∴=-=+- ，()()5144BG AG AB t AB t AC =-=-+- ，G 为ABC 的外心，AG BG CG ∴==，()()()()()()()()22222222222404044304034254040515188t t AB AC t AC t t AB AC t AC t AB t t AB AC t AB t t AB AC⎧-⋅+-=-⋅+-⎪∴⎨+-⋅=-+--⋅⎪⎩，整理可得：()()()2210873603158810136036t AB AC t AC t t AB AC t AB t ⎧⋅=-=-⎪⎨-⋅=-=-⎪⎩，360315360361088t t AB AC t t --∴⋅==-，解得：t =t =()()22222223603629001044454488t AG AB AB AC AC t t t tt λλμμ-∴=+⋅+=+-⨯+-- ()2218012607201807490t t t t =--+=-+-=，AG ∴=故答案为：变式21．已知△ABC中，1AB AC BC ===，，点O 是△ABC 的外心，则CO AB ⋅=________.【答案】12/0.5【解析】在ABC 中，1AB AC ==，BC =O 是ABC 的外心，又222AB AC BC +=，所以ABC 是等腰直角三角形，所以O是三角形的斜边中点，所以111cos 451222CO AB BC AB ⋅=︒=⨯⨯．故答案为：12．变式22．已知点P 是ABC 的内心、外心、重心、垂心之一，且满足222AP BC AC AB ⋅=-，则点P 一定是ABC的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】设BC 中点为D ，所以2AB AC AD +=，所以()()2222AP BC AC AB AC AB AC AB BC AD ⋅=-=+-=⋅ ，即()0BC AD AP BC PD ⋅-=⋅= ，所以BC PD ⊥ ，又由D 为BC 中点可得点P 在BC 的垂直平分线上，所以点P 是ABC 的外心，故选：B题型五：垂心定理例13．设O 为ABC ∆的外心，若OA OB OC OM ++=，则M 是ABC ∆的（）A ．重心（三条中线交点）B ．内心（三条角平分线交点）C ．垂心（三条高线交点）D ．外心（三边中垂线交点）【答案】C【解析】在ABC ∆中，O 为外心，可得OA OB OC ==，∵OA OB OC OM ++= ，∴OA OB OM OC +=- ，设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2CM OD =，∴CM AB ⊥，可得CM 在AB 边的高线上．同理可证，AM 在BC 边的高线上，故M 是三角形ABC 两高线的交点，可得M 是三角形ABC 的垂心，故选：C例14．已知H 为ABC 的垂心（三角形的三条高线的交点），若1235AH AB AC =+，则sin BAC ∠=______.【解析】因为1235AH AB AC =+，所以2235BH BA AH AB AC =+=-+，同理1335CH CA AH AB AC =+=- ，由H 为△ABC 的垂心，得0BH AC ⋅= ，即22035AB AC AC ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭，可知222cos 53AC AC AB BAC =∠ ，即3cos 5AC BAC AB∠=，同理有0CH AB ⋅= ，即13035AB AC AB ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，可知213cos 35AB AC AB BAC =∠ ，即5cos 9AB BAC AC∠=，所以21cos 3BAC ∠=，2231cos 2sin 113∠∠=-=-=BAC BAC ，又()0,πBAC ∠∈，所以6sin 3BAC ∠=．故答案为：63.例15．已知H 是ABC 的垂心，2340HA HB HC ++=，则ABC 的最大内角的正弦值是_________．【答案】427【解析】法1：根据三角形五心的向量表达，有tan :tan :tan 2:3:4A B C =，设tan ,tan ,tan A B C 分别为2,3,4t t t ，根据三角恒等式tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，可得32342348t t t t t t t ++=⋅⋅⇒=因此ABC 的最大内角的正切值为46t =427．法2：因为H 是ABC 的垂心，故HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅，设HA HB HB HC HC HA m ×=×=×=-，则()2340HA HA HB HC ×++=，故272m HA =，同理，22HB m =，254m HC =，而πA BHC B CHA C BHA +Ð=+Ð=+Ð=，故cos HB HCA BHCHB HC×=-Ð=-×同理，cos B=cos C=因为cos cos cosC B A<<，故C最大，故sin7C=.变式23．设H是ABC的垂心，且4560HA HB HC++=，则cos AHB∠=_____．【答案】11-【解析】∵H是ABC的垂心，∴HA BC⊥，()0HA BC HA HC HB⋅=⋅-=，∴HA HB HC HA⋅=⋅，同理可得，HB HC HC HA⋅=⋅，故HA HB HB HC HC HA⋅=⋅=⋅，∵4560HA HB HC++=，∴24560HA HA HB HA HC+⋅+⋅=，∴2411HA HB HA-=⋅，同理可求得212HA HB HB⋅=-，∴2cos411HAHB HAHB HAAHBHB HA∠⋅==-，21cos2HBHB HAHB HAAHBHB HA∠⋅==-，∴22os11c AHB∠=，即cos11AHB∠=-.故答案为：11-．变式24．在ABC中，点O、点H分别为ABC的外心和垂心，||5,||3AB AC==，则OH BC⋅=________.【答案】8【解析】OH AH AO=-，()AOOH BC AH BC AH BC AO BC⋅=-⋅=⋅-⋅，因为H为垂心，所以0AH BC⋅=，OH BC AO BC⋅=-⋅，设,AOB A AOB B∠=∠=，外接圆的半径为r，由余弦定理得2222cosAB AO OB AO OB A=+-⋅⋅，312222cos r r r A =+-⋅，2222cos r r A =-⋅，同理2222cos AC AO OC AO OC A =+-⋅⋅，2222cos r r r B =+-⋅，2222cos r r B =-⋅，所以()AO BC AO BO OC ⋅=⋅+ ，AO BO AO OC =⋅+⋅ ，OA OB OA OC =⋅-⋅ ，cos cos OA OB A OA OC B =⋅⋅-⋅⋅ ，22cos cos r A r B =⋅-⋅，()22182AC AB =-⨯=-，所以OH BC ⋅= 8，变式25．在ABC 中，AB AC =，4tan 3C =，H 为ABC 的垂心，且满足AH mAB nBC =+ ，则m n +=___________.【答案】2132【解析】如图所示，D 为BC 的中点，不妨设4AD m =，则3BD m =.因为4tan tan 3BD BHD C HD ∠===，则94HD m =，则77416AH m AD ==，77177161621632AH AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，由此可得2132m n +=.。
