平面向量奔驰定理与三角形四心的应用 完美打印版

一、奔驰定理1.已知O 是ABC 内的一点,,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S , 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.推论：若O 是ABC 内的一点，且0xOA yOB zOC ++=，则::::BOC COA AOB S S S x y z =.考点一 由系数比推面积比【典型例题1】1.设点O 在ABC 的内部,且有0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=, 记,,AOB BOC AOC 的面积分别为,,AOB BOC AOC S S S .若1x y z === 则::AOB BOC AOC S S S =__________.若2,3,4x y z === 则::AOB BOC AOC SS S =__________.答案：1:1:1,,,4:2:3 【对点演练1】1.已知O 是ABC 内的一点,且220OA OB OC ++=,ABC 和OBC 的面积分别为ABC S 和OBC S ,则:=OBC ABC S S __________. 答案：15考点二 由面积比推系数比 【典型例题2】1.已知O 是ABC 内的一点,满足::=4:3:2AOB BOC COA SS S , 设=+AO AB AC λμ, 则实数λ和μ的值分别是__________. 答案：24==99λμ，【对点演练2】1.已知O 是ABC 内的一点,:6:1ABC OBC S S =,若30OA OB OC λ++=, 则λ=__________.答案：2二、三角形四心内心:三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

性质：三角形的内心到三边距离相等。

外心：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆圆心。

性质：三角形的外心到三个顶点距离相等。

重心：三角形三条中线的交点。

性质：三角形的重心是三条中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。

讲义-一平面向量与三角形四心的交汇一. 四心的概念介绍(1) 重心一-中线的交点：重心将中线长度分成2： 1;(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等.二、 四心与向量的结合(I)鬲+亦+冼= 6Q 0是AABC 的*心.(2) OA OB = OB'OC = OC OA^ 0 为 AABC 由墓心.(3)设zb. C 是三兔形的三条边瓠0旻A A RC 的内心 aOA-i~bOB ±cOC = 0 o O 为 MBC 的内卍，三、典型例题:例1： 0是平®上L 定点• A. B 、C 是平®上不共ft 的三个勲 动点P 満足丽M 页+ >1(而+疋. X e [O.-i-oo) • «点P 的轨谜一定遷过例 2： (03全ffl 理4 )。

是孚面上一定点.A. B 、C 是孚®上不共些的三个点.动点P 満足AR AC T K- + =7), e [0,+oo).则点P 的轨连一定夏过MBC 的() AC是平面上的一定点• A . B , C 畏平B 上不共ft 的三个点，一 ------ + —).Ze[0.4oo). W 动点P 的轨迹L 定通过MBC 的(I AB \sinB I ACI sin C3》巳知0爰平《上的一定点.A. B. C 是平®上不共线的三个点，屁字gog.则动心轨―通过“吶2 lAfilcosfi lACIcosC (4)岡= OB = 0C oO 为AABCW 外心.A.外心B.内心 D.垂心0P = 04 +几(=• AB A.外心 B ・内心 C ・4心例 3： 1) 是平》上一定点，4. B. C 是平》上不共a 的三个点，0P = 0A + 2( AB I AC TfljcoH A.外心 )• A e [0,+®) •则点卩的紈逐一宦4过口5(?的(B,内心 C 重心 D.垂心2)巳知0 A ・童心 B ・垂心 C ・外心 D ・内心例4.已知商》0彳0戛0片満足条件+ O&+邮 =（h 丨少；曰O&14O 片1=1・求证：是正三角殆.例5. AABC 的外接B 的08心为Q •诵条边上的«的交点为R. O//=w （Q4 + O8 + OC ）・W 実*«・ 例6•点0晏三角恐ABC 卿i 平®内的一乩 為足moB=5B5c=oc54.則点o 赴人肋（？的（C.三条中ft 的交点 在△ABC 内求一点戸・ftAp2 + 3P'+Cp2*小.已知。

平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论:O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

OA OB OC AB AC AB cos BAC cos C→ AB sin B → AC sin C ⎪⎪⎭ 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍 （1） 重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2：1； （2） 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3） 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4） 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1） OA + OB + OC = 0 ⇔ O 是 ∆ABC 的重心.（2） OA ⋅ OB = OB ⋅ OC = OC ⋅ OA ⇔ O 为 ∆ABC 的垂心. （3） 设 a , b , c 是三角形的三条边长，O 是 ∆ ABC 的内心aOA + bOB + cOC = 0 ⇔ O 为 ∆ABC 的内心.（4） = = ⇔ O 为 ∆ABC 的外心。

典型例题：例 1： O 是 平 面 上 一 定 点 ， A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足OP = OA + ( A B + AC ) ，∈[0,+∞) ，则点 P 的轨迹一定通过∆ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例 2： O 是平面上一定点， A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足OP = OA + ( +) ，∈[0,+∞) ，则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例 3： O 是 平 面 上 一 定 点 ， A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足OP = OA + (+) ， ∈[0,+∞) ，则点 P 的轨迹一定通过 ∆ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心⎛ ⎫→ → → → ⎪ 例 4：若存在常数,满足 M G = MA + AB + ⎝AC ⎪(≠ 0) ,则点 G 可能通过∆ABC 的.举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若 P 点为∆ABC 内任意一点，若 P 点满足:⎪DP PB = DP PC ⇒ P 为 ABC 的外心; ⎪ AP BC = 0 ⇒ P 为 ABC 的垂心. 1 + = ⎪ ⎧AP = ( AB + AC ),> 0⎪⎪ 1． ⎨AB AC ⇒ P 为 ABC 的内心;⎪BP = t ( BA + BC )，t > 0 ⎩⎪ BABC 2. D 、E 两点分别是∆ABC 的边 BC 、CA 上的中点,且 ⎧ ⎨ ⎪⎩EP PC = EP PA ⎧ 1 ⎪ AP = 3 ( AB + AC ), 3. ⎨ 1⇒ P 为 ABC 的重心; ⎪BP = ⎩ (BA + BC )， 3 ⎧ 4. ⎨ ⎪⎩BP AC = 0练习：1. 已知∆ABC 三个顶点 A 、B 、C 及平面内一点 P ，满足 PA + PB + PC = 0 ，若实数满足： AB + AC = AP ，则的值为（） 3 A ．2B ．C ．3D ．622. 若∆ABC 的外接圆的圆心为 O ，半径为 1， OA + OB + OC = 0 ，则OA ⋅ OB = ()A ．B ．0C ．1D ． - 1223. 点O 在∆ABC 内部且满足OA + 2OB + 2OC = 0 ，则∆ABC 面积与凹四边形 ABOC 面积之比是（ ）3 54 A ．0B ．C ．D ．2434.∆ABC 的外接圆的圆心为 O ，若OH = OA + OB + OC ，则 H 是∆ABC 的（ ）A. 外心B ．内心C ．重心D ．垂心5.O 是平面上一定点， A 、 B 、 222C 是平面上不共线的三个点，若OA BC OB+ CA 2= OC 2+ AB 2，则O 是∆ABC 的（ ）A. 外心B ．内心C ．重心D ．垂心6.∆ABC 的外接圆的圆心为 O ，两条边上的高的交点为 H ， OH = m (OA + OB + OC ) ，22 2=++则实数m =→→→→AB AC→→AB→AC17.已知非零向量AB与AC满足( → + → )·BC=0 且→·= , 则△ABC 为( )|AB| |AC| |AB|→ 2|AC|A.三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8.已知∆ABC 三个顶点A、B、（）C ，若AB =AB ⋅AC +AB ⋅CB +BC ⋅CA ，则∆ABC 为A.等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形9.已知A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =1(1OA +1OB +2 OC ),则点P 一定为三角形ABC 的（）3 2 2A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点10.在三角形ABC 中，动点P 满足：CA =CB - 2 A B •CP ，则P 点轨迹一定通过△ABC的：（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心11.若O 点是∆ABC 的外心, H 点是∆ABC 的垂心,且OH m(OA OB OC) ,求实数m 的值.12、已知向量OP1, OP2 , OP3 满足条件OP1+OP2 +OP3 = 0 ，| OP1|=| OP2 |=| OP3 |= 1 ，求证：△P1P2P3是正三角形．PA13.在△ABC 内求一点 P ，使 AP 2+ BP 2+ CP 2最小．B图２。

秒杀技巧一奔驰定理奔驰定理：若O 为ABC △内任意一点，有=++OC z OB y OA x 0，则z y x S S S OAB OAC OBC ::=△△△：：.奔驰定理与三角形“四心”的结合：(1)O 是ABC △的重心：=++⇔=S S S OAB OAC OBC 1:1:1△△△：：0(2)O 是ABC △的内心：=++⇔=OC c OB b OA a c b a S S S OAB OAC OBC ::△△△：：0(3)O 是ABC △的外心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC 2sin 2sin 2sin 2sin :2sin :2sin △△△：：0(4)O 是ABC △的垂心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC tan tan tan tan :tan :tan △△△：：0例1.已知点O 是ABC △内部一点，且满足=++OC OB OA 4320，则AOC BOC AOB ，△，△△的面积之比为.例2.已知点P 是ABC △所在平面内一点，=++P A PC PB 20，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是.例3.在ABC △所在的平面内有一点P ，若PB AB PC P A +=+2，则PBC △的面积与ABC △的面积之比是.1.（宜昌一中2020届高三周考8）已知G 在ABC △内，且满足=++GC GB GA 4320，现在ABC △内随机取一点，此点取自GBC GAB GAC 、△、△△的概率分别记为321P P P 、、，则（）321.P P P A ==123.P P P B >>321.P P P C >>312.P P P D >>2.若点O 在ABC ∆的内部，且=++OC m OB OA 20，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________.3.设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC P A ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是.4.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且=++OC OB OA 5430，则ABC ∆的面积为_________.5.在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且AC AB AD 2131+=，则=ABDBCD S S △△_________.6.已知点O 是ABC △的垂心，且=++OC OB OA 320，则=A _________.。

平面向量基本定理与三角形四心已知O 是厶ABC 内的一点， BOC^ AOC^ AOB 的面积分别为 S A , S B ,S C ,求证:S A ∙OA S B ∙OB S C ∙OC = 0S B S CS A ∙OA S B ∙OB S C ∙O^ 0推论0是ABC 内的一点，且X ・OA y ∙OB z*O^ = 0 ,则S BOC : S COA S AOB =x: y:ZOD洼OBID OCS BOBSB ' S CS B⅛OCOD OA_ S BOD SBOA_ S COD SlSCOABOD■ S CODSBOA ' S COAS A S B S COD =-S A OA—OAS B S CS⅛OBS⅛OC如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BD DC图1有此定理可得三角形四心向量式S AOB =1:1:1= OA QB OC = 0O 是:ABC 的外心二 S BQC : S-CQA : S AoB =Sin2A:Sin2B: Sin2C =Sin2AQA sin2B∙0B Sin2C QC = 0O 是ABC 的垂心U S-BOC : S 'COA : S AOB =tan A: tan B: tanC =tan A ∙0A tan B ∙0B tanC ∙0C = 0S BOC : S COA=DB : ADS 岳OC : S^COA =tan A: tan B同理得 S COA : S AO B ^tan B：tanC , S BOC : S-AO B^tan A ：tanCS BoC : S COA : S AOB H tan A: tan B : tanC奔驰定理是三角形四心向量式的完美统O 是ABC 的内心=abc =a ∙OA b*OBtan^≤D,tanBAD CD — =——=tan A: ta n B = DB: AD DBO 是ABC 的重心B证明：如图O 为三角形的垂心,4.2三角形“四心”的相关向量问题一•知识梳理:四心的概念介绍：垂心：高线的交点，高线与对应边垂直;如图⑴.Op=OA …（AB ∙AC）, ■（0, •：：）,则P 的轨迹一定通过△ ABC 的（）.A.重点B.外心C.内心D.垂心【解析】由题意AP=^.(AB AC),当…(0, •时，由于■ (AB ■ AC)表示BC边上3 Q程ABC所在平面内一点，动点P满足' -"λ(∈( 0, +∞)),则动点P的轨迹一定通过厶ABC的( )A.内心B.重心C.外心D.垂心重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2 : 1；内心：角平分线的交点(内切圆的圆心) ,角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心：中垂线的交点(外接圆的圆心) ,外心到三角形各顶点的距离相等。

平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++∙∙∙OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =CB BS SS +OB +C B C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++∙∙∙OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++∙∙∙OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OCOB OAOA BCDOA BCO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++∙∙∙OC OB OA c b a O 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++∙∙∙OC C OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++∙∙∙OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。