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第三章 矩阵分解把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要的。
因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映出原矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，另一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。
本章将分别介绍矩阵的五种分解：三角分解、QR 分解、满秩分解、谱分解和奇异值分解，并简单介绍了矩阵的正则性。
§3.1 矩阵的三角分解三角矩阵的计算，如求行列式、求逆矩阵、求解线性方程组等，都是很方便的，因此首先研究是否可将矩阵分解成一些三角矩阵的乘积。
定义3.1.1 设n n A C ⨯∈，如果存在下三角矩阵n n L C ⨯∈和上三角矩阵n n R C ⨯∈，使得A LR =，则称A 可以作三角分解。
定理 3.1.1 设n n n A C ⨯∈，则A 可以作三角分解的充分必要条件是0k ∆≠(1,2,,1)k n =-，其中det k k A ∆=为A 的k 阶顺序主子式，而k A 为A 的k 阶顺序主子阵。
证明：必要性。
已知A 可以作三角分解，即A LR =，其中()ij n nL l ⨯=(0,)ij l i j =<，()ij n nR r ⨯=(0,)ij r i j =>。
将A ，L 和R 进行分块，得12122122212222kkkA A L O R R A A L L O R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 这里k A ，k L 和k R 分别是A ，L 和R 的k 阶顺序主子阵，且k L 和k R 分别是上三角矩阵和下三角矩阵。
由矩阵的分块乘法运算，得k k k A L R = (1,2,,)k n =，由于1111det det det 0nn nn A L R l l r r ==≠，所以1111det det det 0(1,2,1)k k k kkk kk A L R l l r r k n ∆===≠=-充分性。
课程名称（中文）：矩阵论课程名称（英文）：Matrix Theory一）课程目的和任务：本课程是泛应用数学包括计算数学、运筹与控制特别是组合与图论、应用数学等专业的一门共同的基础课，主要讲授矩阵的分析性质和组合性质。
课程的目的和任务是让学生掌握矩阵论的基本知识和思想方法、了解该领域的某些最新成果、通过利用数学其他分支的工具来解决矩阵问题以及用矩阵解决其他领域的问题加深对数学的认识并且增加数学修养。
教材内容强调以下几方面的标准：1）重要，2）优雅，3）巧妙，4）有趣。
矩阵论在科学与工程计算、控制论、系统论、信息论、信号处理、计算机科学、经济学、组合与图论、运筹学、统计学、概率论、微分方程、数学物理、动力系统等领域都有应用。
矩阵论一方面是有用的工具，另一方面也是目前一个活跃的研究领域。
二）预备知识：线性代数，数学分析三）教材及参考书目：教材：Matrix Theory by X. Zhan, 讲义，已投稿到出版社参考书目：1）《矩阵论》，詹兴致著，高等教育出版社，2008年2）Matrix Analysis, R. Bhatia著, GTM 169, Springer, New York, 1997四）讲授大纲（中英文）第一章预备知识1）特殊矩阵类2）特征多项式3）谱映射定理4）特征值和对角元5）范数6）矩阵乘方序列的收敛性7）矩阵分解8）数值范围9）多项式的伙伴矩阵10）广义逆11）Schur补12）拓扑思想的应用13）Grobner基14）线性不等式组15）正交投影和约化子空间第二章张量积和复合矩阵1）定义和基本性质2）线性矩阵方程3）Frobenius-Konig定理4）复合矩阵第三章 Hermite矩阵和优超1）Hermite矩阵的特征值2）优超与双随机矩阵3）关于半正定矩阵的不等式第四章奇异值和酉不变范数1）奇异值2）对称规度函数3）酉不变范数4）矩阵的笛卡尔分解第五章矩阵扰动1）特征值2）极分解3）带状部分的范数估计第六章非负矩阵1）Perron-Frobenius理论2）矩阵与有向图3）本原和非本原矩阵4）特殊的非负矩阵5）关于正矩阵的两个定理第七章部分矩阵的填充1）Friedland关于对角填充的定理2）Farahat-Ledermann关于边线填充的定理3）Parrott保范填充定理4）正定填充第八章符号模式1）符号非奇异模式2）特征值3）符号半稳定模式4）允许正逆的模式第九章更多的论题1）实矩阵通过复矩阵相似2）带状矩阵的逆3）交换子的范数界4）对角占优定理的逆定理5）数值范围的形状6）一个求逆算法7）相似标准形8）Jordan标准形的极端稀疏性第十章矩阵的应用1）图论2）有限几何3）数论4）代数5）多项式Chapter 1 Preliminaries1) Classes of Special Matrices2) The Characteristic Polynomial3) The Spectral Mapping Theorem4) Eigenvalues and Diagonal Entries5) Norms6) Convergence of the Power Sequence of a Matrix7) Matrix Decompositions8) Numerical Range9) The Companion Matrix of a Polynomial10) Generalized Inverses11) Schur Complements12) Applications of Topological Ideas13) Grobner Bases14) Systems of Linear Inequalities15) Orthogonal Projections and Reducing Subspaces Chapter 2 Tensor Products and Compound Matrices1) Definitions and Basic Properties2) Linear Matrix Equations3) Frobenius-Konig Theorem4) Compound MatricesChapter 3 Hermitian Matrices and Majorization1) Eigenvalues of Hermitian Matrices2) Majorization and Doubly Stochastic Matrices3) Inequalities for Positive Semidefinite MatricesChapter 4 Singular Values and Unitarily Invariant Norms1) Singular Values2) Symmetric Gauge Functions3) Unitarily Invariant Norms4) The Cartesian Decomposition of MatricesChapter 5 Perturbation of Matrices1) Eigenvalues2) The Polar Decomposition3) Norm Estimation of Band PartsChapter 6 Nonnegative Matrices1) Perron-Frobenius Theory2) Matrices and Digraphs3) Primitive and Imprimitive Matrices4) Special Classes of Nonnegative Matrices5) Two Theorems about Positive MatricesChapter 7 Completion of Partial Matrices1)Friedland’s Theorem about Diagonal Completions2)Farahat-Ledermann’s Theorem about Borderline Completions3)Parrott’s Theorem about Norm-Preserving Completions4)Positive Definite CompletionsChapter 8 Sign Patterns1)Sign-Nonsingular Patterns2)Eigenvalues3)Sign Semi-Stable Patterns4)Sign patterns Allowing a Positive Inverse Chapter 9 Miscellaneous Topics1)Similarity of Real Matrices via Complex Matrices2)Inverses of Band Matrices3)Norm Bounds for Commutators4)The Converse of the Diagonal Dominance Theorem5)The Shape of the Numerical Range6)An Inversion Algorithm7)Canonical Forms for Similarity8)Extremal Sparsity of the Jordan Canonical Form Chapter 10 Applications of Matrices1) Graph Theory2) Finite Geometry3) Number Theory4) Algebra5) Polynomials五）教学总学时：4学时/周×19周= 76学时。
第一章1 线性空间概念（封闭性）2线性空间的基与维数 (教材P3例6) 3坐标概念、及求解（教材P3例8） 4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换5 子空间、列空间、和空间概念，维数定理以及求法（例1）；直和， 直和补空间6 内积空间概念，标准正交基及标准正交化过程7 线性变换概念、线性变换的矩阵（概念：教材P22定义1.13，性 质：教材P22定理1.13），计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵（例2, 3）8 不变子空间，正交变换，酉交变化例1 设112{,}W L αα=，212{,}W L ββ=，其中T )0121(1=α，T )1111(1-=α，T )1012(1-=β，T )7311(1-=β，求12W W +与12W W ⋂的维数，并求出12W W ⋂解 [][][]2121212121,,,,ββααββααL L L W W =++=+()⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==711022-203-5-30121-17110301111121211,,,2121行变换ββααA B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000310040101-001000031007110121-1得r(A)=r(B)=3,dim(W 1+W 2)=3. 又因为dim W 1=2, dim W 2=2,由维数定理 dim (W 1 W 2)= dim W 1+ dim W 2-dim （W 1+W 2）=4-3=1 设,,4433221121ββααααx x x x W W +=+=∈ 化为齐次线性方程组0),,,(142121=--⨯X ββαα.即0711*******121211=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------X解得()(){}.4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321TTk W W k k k k x k x k x k x -==-=+-==-==-=αααα 即例2 设3R 上线性变换T 为,)2())((3132321213T T x x x x x x x x x x T +-++=求T 在基TT T)111(,)110(,)101(321-===ααα下的矩阵B.解 在自然基321,,e e e 下，线性变换T 的坐标关系式为：,10111012123213132321⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=x x x x x x x x x x Y 根据由变换的坐标式 Y=AX 得T 在自然基下矩阵,101110121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-又从C e e e )()(321321=ααα 得过渡矩阵,111101112,1111101011⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-C C所以.4212204511⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==-AC C B3.设3R 中，线性变换T 为：.3,2,1,==i T i i βα其,)1,1,1(,)1,1,2(,)1,0,1(321T T T ==-=ααα与.)1,2,1(,)0,1,1(,)1,1,0(321T T T =-==βββ求（1）T 在基321,,ααα下的矩阵。
第1章线性空间与线性变换线性空间定义1.1 设V是一个非空集合，F是一个数域。
定义两种运算，加法：任意α，β∈V，α+β∈V；数量乘法：任意k∈F，α∈V，kα∈V，并且满足8运算，则称V为数域F上的线性空间，V中元素成为向量定理1.1 线性空间V的性质：V中的零元素唯一；V中任一元素的负元素唯一定义1.2 设V是线性空间，若存在一组线性无关的向量组α1…αn，使空间中任一向量可由它们线性表示，则称向量组为V的一组基。
基所含的向量个数为V 的维数，记为dimV=n定理1.2 n维线性空间中任意n个线性无关的向量构成的向量组都是空间的基定义1.3 设α1…是线性空间的V n(F)的一组基，对于任意β∈V,有β=（α1…）（x1…），则称数x是β在基α1…下的坐标定理1.3 向量组线性相关≡坐标相关定义1.4 α，β为两组基，若满足β=αC，则称矩阵C是从基α到基β的过渡矩阵定理1.4 已知β=αC，V中向量A在两组基下的坐标分别为X,Y，则有X=CY定义1.5 V为线性空间，W是V的非空子集合。
若W的元素关于V中加法与数乘向量法运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间定理1.5 设W是线性空间V的非空子集合，则W是V的子空间的充分必要条件是α，β∈W，α+β∈W；k∈F，α∈W，kα∈W零空间：N(A)={X|AX=0}列空间：R(A)=L{A1,A2…}定理1.6 交空间：W1∩W2={α|α∈W1且α∈W2}和空间：W1+W2={α|α=α1+α2，α∈W1，α∈W2}定理1.7 设W1和W2是线性空间V的子空间，则有如下维数公式：DimW1+dimW2 = dim(W1+W2) + dim(W1∩W2)定义1.6 设W1和W2是线性空间V的子空间，W = W1 + W2，如果W1∩W2 = {0},则称W是W1和W2的直和子空间。
记为W = W1⊕W2定理1.8 设W1和W2是V的子空间，W= W1 +W2，则成立以下等价条件：W = W1⊕W2；W中零向量表达式是唯一的；维数公式：dimW = dimW1 + dimW2定义1.7 对数域F上的n维线性空间V，定义一个从V中向量到数域F的二元运算，记为(α,β)，即(α,β)：V→F，如果满足对称性、线性性、正定性，则称(α,β)是V的一个內积，赋予內积的线性空间为內积空间。
§4.数字矩阵的Jordan标准形一、数字矩阵的Jordan标准形二、数字方阵的有理标准形12一、数字矩阵的Jordan标准形一个n阶的正规矩阵 ，可以经过酉变换（相似变换）化成一个对角矩阵（标准形）,HHn nA AA A A ×=()12,,,.n diag λλλ⋯ 问题: 一般地n阶数字矩阵 相似于什么样的（最简）形式?n n A ×3例1 将32311()125A λλλλλλλ⎛⎞−+⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟+⎝⎠写成数字阵为系数的的多项式.解:10000111()1001010012000015A λλλλ−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++−+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦多项式矩阵与数字矩阵的关系：每一个m ×n 的多项式矩阵都可以化成一个数字矩阵为系数的多项式。
4一般地，设)()()ij m n A a λλ×=,)()ij i js a λ=,max deg ， 其中A 为m n数字阵,且这种表示法唯一. 此时称)A λ是次多项式矩阵,记作)deg[]A s λ=.则 ()1011s s s sA A A A Aλλλλ−−=++++⋯当s =时,)A λ是数阵. 当det A ≠时,称)A λ是正则多项式矩阵.当)A λ，)B λ中有一个是正则多项式时,)()()()()deg deg deg A B A B λλλλ=,即0A B ≠。
若)A O λ=,则不定义次数.51. 存在唯一的n 阶多项式矩阵)n nP λ×,及唯一的数字矩阵n n R ，使)()()B E A P R λλλ=−+引理 对任意的n 阶多项式矩阵)n n B λ×和数阵n n A , 2. 存在唯一的n 阶多项式矩阵)n n Q λ×及数字矩阵n nS 使)()()B Q E A S λλλ=−+证明:设=B m λ (m ≠0)，且011()m m m mB B B B B λλλλ−−=++++⋯其中m B B ⋯,,为阶数阵,且0≠B .(若=m ,则取)0P λ=,()==R B B λ即可.)6设)12121m m m m P P P P P λλλλ−−−−=++++⋯代入)()()B E A P Rλλλ=−+,比较系数, )()E A P λλ−+=)12121()m m m m E A P P P P λλλλ−−−−−++++⋯+1011mm m mB B B B λλλ−−=++++⋯11121()()()mm m m m P P AP P AP R AP λλλ−−−−=+−++−+−⋯令111,,,,m m P B P B AP R B AP −==+=+⋯即得要证的结论。
7即E A λ与E B λ等价.⇒设A 与B 相似,则存在可逆矩阵T 使−=T AT B .证明证明::11()E B E T AT T E A Tλλλ−−−=−=−定理1 设××n n n n A B 为数字阵, 则A 与B 相似⇔~−−E A E Bλλ.⇐ 略（用引理）8例2 设010,010011011A B ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠,问A 与B是否相似?解010011E A λλλλ−−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠01011E B λλλλ−⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠()()()()()31231,1,1AAAD D D λλλλλ==−=−()()()()()31231,1,1BBBD D D λλλλλ==−=−λ−与λ−有相同的秩及相同的行列式因子,因此λ−与λ−等价,故A 与B 相似.9解01−⎛⎞−=⎜⎟−⎝⎠E A λλλ,11−⎛⎞−=⎜⎟−−⎝⎠E B λλλE A λ的不变因子为λ−,λ−.B E λ的不变因子为1,(1)λ−.也可用初等变换直接证特征方阵等价.因此A 与B 不相似.事实上,A 是单位阵,与单位阵相似的方阵只有单位阵本身.例3 设0111,A B ⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠, 问A 与B 是否相似?10定理2 1. 若n 阶数字方阵n nA 的特征矩阵E Aλ的初等因子组只有一个首一的n 次多项式()na λ−，则A 与J相似或A 与 T J 相似,其中 11O a a J Oa ⎞⎛⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋱⋱112. 若数字矩阵n nA 的特征矩阵E Aλ的初等因子组为:)()1212,,,()sn n n s λλλλλλ−−−⋯ （s 个）2s n n n n+++=⋯，则A 与12s J JJ J ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋱相似或A 与 TJ相似,(称J 为A 的Jordan 标准形)12其中11iii ii i n nJ λλλ×⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋯⋯⋯⋮⋱⋱⋮是属于初等因子()−in i λλ的Jordan 块.E A E Jλλ⇒−−~A ⇒与 相似.J()na λ−()()rank E A rank E J nλλ−=−= 证明：1. 因为 与 有相同的初等因子组 ，E J λ−E A λ−13()11,,ssE J diag E J E J λλλ−=−−⋯ 2. 设sE E E⋯,,,分别是,,,sn n n ⋯阶单位方阵,因此， 与 有相同的秩及初等因子组，E J λ−E A λ−E A E J λλ⇒−−∼等价A ⇒与 相似.J的初等因子组为 E Jλ−()()1212,,,n n λλλλ−−⋯()sn s λλ−14注: 1. n 阶数字方阵在复数域上总可经适当的相似变换化成Jordan 标准形,该Jordan 标准形除了Jordan 块的次序外唯一确定. 2. 当1sn n n ====⋯,即=时,Jordan 标准形即为对角形.15例4 求101014A −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠的Jordan 标准形. 解:1114E A λλλλ+−⎛⎞⎜⎟−=−−⎜⎟⎜⎟+⎝⎠ (找初等因子组)显然1()1,D λ=2()1,D λ=23212()11(1)(3)014D λλλλλλ+−=−−=−++λ−的初等因子组为(1),(3),λλ−+对应的Jordan标准形为16100030013J ⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟−⎠⎝例5 初等因子组为,(1),(2)λλλ−+的5阶方阵的Jordan 标准形为01112J ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−λ−的初等因子组为(1),(3),λλ−+对应的Jordan标准形为17第二步:求每一初等因子对应的Jordan块;第三步:写出A 的Jordan标准形.第一步:先求E Aλ的初等因子; ⎧⎪⎨⎪⎩求 阶数字阵的Jordan标准形的步骤:n18定理3若n 阶数字方阵A 的特征方阵具有不变因子:()()()1211n d d d λλλ−====⋯()111n n n n n d a a aλλλλ−−=++++⋯二、数字方阵的有理标准形则A 矩阵与2110101nna a C a a −−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋯⋯⋯⋯⋯⋱⋱⋮⋱ 相似.称C为A 的有理标准形，也称C 为多项式11nn n na a aλλλ−++++⋯的相伴矩阵。
19121111nn a a E C a a λλλλλ−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−+⎝⎠⋱⋮⋱证:具有不变因子)()()1211n d d d λλλ−====⋯, )111nn nn nd a a aλλλλ−−=++++⋯. 因此λλ−−∼,与相似.20例6 设18621410A ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠.)()121d d λλ==,)3232d λλλλ=++,于是的有理标准形 101012C ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.E A λ的不变因子为：21例7 若数字矩阵A 的特征方阵的不变因子为： ()()()1231,d d d λλλ===4324()2468d λλλλλ=+−−+.0008100601040012C −⎞⎛⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠则数字矩阵A 的有理标准形为：。
