第2章范数理论及其应用2.1向量范数及l p范数定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值||x||，它满足以下三个条件：1)非负性：||x||≥0,且||x||=0⇔ x=0;2)齐次性：||k⋅x||=|k|⋅||x||，k∈K；3)三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||.则称||x||为V上向量x的范数，简称为向量范数。
注意：2)中|k|当K为实数时为绝对值，当K为复数域时为复数的模。
虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何线性空间在一组基下都代数同构于常用的n维向量空间，因此下面我们仅仅讨论n维向量空间就足够了。
范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。
范数与函数性质1. 范数是凸函数。
即|| (1-λ)x+λy||≤(1-λ)||x||+λ||y||其中0≤λ≤ 1。
向量的范数类似于向量长度。
性质2. 若||⋅||为线性空间V上的向量范数，则k||⋅|| 仍然为向量范数, 其中k > 0.性质3. 若||⋅||f和||⋅||g为线性空间V上的两个向量范数，则(1). ||⋅||f+ ||⋅||g为V上向量范数。
(2). max{ ||⋅||f, ||⋅||g } 为V上向量范数。
性质4. 若||⋅||f和||⋅||g分别为线性空间V上两个线性交集为0的子空间V1和V2上的两个向量范数，则对任意x∈V1⊕V2,存在唯一分解x= u+v, 其中u∈V1,v∈V2,定义||x||1=||u||f+ ||v||g ,||x||2=max{||u||f,||v||g}则||x||1和||x||2为V1⊕V2上的向量范数。
性质5. (范数与凸集) 若||⋅||为线性空间V上的向量范数，集合Ω={x: ||x||≤ 1}为V上凸集。
反之，若Ω为V上的均衡闭凸集，即x∈Ω,则λ⋅x∈Ω,其中|λ|≤1.其中Ω含有内点，即包含一个小的单位球。
