江苏省高邮市送桥中学高中数学第三章三角函数恒等变换导学案(无答案)苏教版必修4

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3.1 两角和与差的三角函数知识梳理一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式11个三角恒等变换公式中,余弦的差角公式是其它公式的基础,由它出发,用—β代替β、2 ±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。

二、关于asinx+bcosx 形式的化简教材上仅以一个例题的方式给出了这种变形,要求我们对此类变形要熟练地化成Asin(ωx+φ)或Acoss （ωx+φ)的形式，理解此种变形的方法与依据。

它的实质是逆用了两角和与差的正余弦公式将数值看成了特殊角的三角函数值得来的。

在三角函数的化简、求周期、最值、单调区间等方面起着重要的作用.知识导学要学好本节内容，可先复习已学过的其它知识，充分利用单位圆，分析其中有关几何元素(角的终边及其夹角)的关系，为向量方法的运用做好准备。

有意识的地联想向量知识：向量的数量积是解决距离与夹角问题的工具，在两角差的余弦公式的推导中应如何能够体现它的作用？探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节,在补充完善细节的过程中，需要运用分类讨论思想,突破两角差的余弦公式的推导这一难点后,其他所有公式都可以通过自己的独立探索而得出.疑难突破1。

对于两角和与差的公式的异同要进行对比与分析，应如何便于理解记忆和应用？ 剖析:（1)明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号；（2)要牢记公式，并能熟练地进行左右互相转化;（3)和、差角公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成和、差角公式的特例。

第3章三角恒等变换第1课时两角和与差的余弦教学过程一、问题情境在实数运算中,有公式a(b+c)=ab+ac;在向量运算中,有公式a·(b+c)=a·b+a·c;在三角运算中,有公式cos(α-β)=cosα-cosβ吗?如果没有,式子一定不成立吗?二、数学建构问题1在直角坐标系xOy中,以Ox为始边分别作角α,β(0≤β≤α≤π),其终边分别与单位圆交于P1,P2,则向量,的夹角是多少?·的值是多少?(图1)由图1可得向量,的夹角是α-β,=(cosα, sinα),=(cosβ, sinβ).一方面,由向量数量积的定义,有·=||·||cos(α-β)=cos(α-β).另一方面,由向量数量积的坐标表示,有·=cosαcosβ+sinαsinβ.从而cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ, 0≤β≤α≤π.问题2如果α,β∈R,上述公式还成立吗?当α-β∈时,α-β就是,的夹角,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.对于任意的α,β,总可选适当的整数k,使α-β-2kπ∈-π,π),从而|α-β1|≤π,|α-β1|就是,的夹角.因此cos(|α-β1|)=cos(α-β1)=cos(α-β-2kπ)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.综上,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,这就是两角差的余弦公式,记为C(α-β).问题3cos(β-α)的展开式是什么?它与cos(α-β)展开式相等吗?为什么?cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ,它们展开式相等.因为余弦函数是偶函数,所以cos(α-β)=cos(β-α).问题4能利用两角差的余弦公式求cos(α+β)吗?在两角差的余弦公式中,用-β代替β,就可以得到cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,这就是两角和的余弦公式,记为C(α+β).思考“用-β代替β”的换元方法体现在图形上有什么几何意义?能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗?用“-β代替β”的几何意义就是作出角β关于x轴的对称图形.(一)公式理解1.结构特征:①左边是两角差的余弦,右边是同名积的和;②左边是两角和的余弦,右边是同名积的差.2.公式中的α,β可以是任意的角(或式子).3.当α,β中有一个是90°的整数倍时,用诱导公式比较简便.(二)巩固概念问题5(教材第104页例1(1))请利用两角和(差)的余弦公式证明cos=sinα.cos=cos cosα+sin sinα=sinα.三、数学运用【例1】(教材第105页例2)利用两角和(差)的余弦公式,求cos75°, cos15°, sin15°, tan15°.(见学生用书P61)引导学生将75°, 15°转化为两个特殊角的和或差,正弦需转化为余弦.解(1)方法1:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=.方法2:cos75°=cos(120°-45°)=cos120°cos45°+sin120°sin45°=.(2)方法1:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.方法2:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=.(3) sin15°=cos(90°-75°)=cos75°=.(4) tan15°===2-.(1)两角差(和)的余弦公式也适用于形式上不是差(和)角,但可以拆分成两角差(和)的情形;(2)角的拆分可能有多种形式,要根据题目选择适当的拆分.变式化简cos+cos.解原式=cos cosα-sin sinα+cos cosα+sin sinα=cosα.【例2】不查表,求下列式子的值:(1) cos120°cos15°-sin120°sin15°;(2) cos58°sin77°+sin122°sin13°.(见学生用书P62)本例是逆用两角和(差)的余弦公式求值,要引导学生构造公式中的结构.解(1)原式=cos(120°+15°)=cos135°=-.(2)原式=cos58°cos13°+sin58°sin13°=cos(58°-13°)=.变式不查表,求cos215°-sin215°的值.解cos215°-sin215°=cos(15°+15°)=.只有式子结构与公式结构完全相同时才能逆用公式,否则需对式子进行变形.【例3】(教材第105页例3)已知sinα=,α∈, cosβ=-,β∈,求cos(α+β)的值.(见学生用书P62)由公式C(α+β)可知,欲求cos(α+β),应先计算cosα,sinβ的值.cosα,sinβ是通过sin2x+cos2x=1(x为任意角)来求解的,要注意“±”的选取.解因为α∈, sinα=,所以cosα=-=-=-.又因为cosβ=-,β∈π,,所以sinβ=-=-=-,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-×--×=.思考:在例3中,你能求出sin(α+β)的值吗?*【例4】若α,β为锐角,且满足cosα=, cos(α+β)=,求cosβ的值.先由学生自己分析解题思路,可能是“展开cos(α+β),与sin2β+cos2β=1联立,解方程组”.再引导学生观察发现α,α+β,β三个角之间的关系为β=(α+β)-α,用两角差的余弦公式求解.最后由学生比较两种方法的简易度,让学生体会拆角方法的简捷和思路的合理性.解因为α,β为锐角,所以0<α<, 0<β<, 0<α+β<π.因为cosα=, cos(α+β)=,所以sinα=, sin(α+β)=,所以cosβ=cos=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.在“给式求值”问题中,要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为α+β和α,所求角是β,则β=(α+β)-α.变式已知cos(2α-β)=-, sin(α-2β)=,且<α<, 0<β<,求cos(α+β)的值.引导学生寻找已知角与所求角之间的关系,即(2α-β)-(α-2β)=α+β.由α,β的取值范围,分别求出2α-β,α-2β的正弦值和余弦值,再利用公式即可求解.解∵<α<, 0<β<,∴<2α-β<π,-<α-2β<.由cos(2α-β)=-, sin(α-2β)=,得sin(2α-β)=, cos(α-2β)=,∴ cos(α+β)=cos=cos(2α-β)·cos(α-2β)+sin(2α-β)·sin(α-2β)=×+×=.四、课堂练习1.化简:cos(30°+α)-cos(30°-α)=-sinα.2.化简:cos65°cos115°-cos25°sin115°=-1.提示原式=cos65°cos115°-sin65°sin115°=cos(65°+115°)=cos180°=-1.3.已知sinα=,α∈, cosβ=-,β是第三象限角,则cos(α-β)=-.提示因为α∈, sinα=,所以cosα=-=-=-.又因为cosβ=-,β是第三象限角,所以sinβ=-=-=-,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=-.4.已知α∈, cos=,则cosα=.提示因为α∈,所以α-∈,所以sin=-.因此,cosα=cos=cos-sin=.五、课堂小结1.运用向量数量积的定义及坐标运算公式推导两角差的余弦公式,在两角差的余弦公式上用赋值法得到两角和的余弦公式.2.两角和与差的余弦公式的结构特证.3.三角变换时,注意角与角的关系(用已知角表示所求角).第2课时两角和与差的正弦(1)教学过程一、问题情境如何求sin15°的值?二、数学建构问题1上节课中,我们是如何求sin15°的值?我们是将sin15°变换成cos75°,再利用两角和的余弦公式来计算.而sin15°=sin(45°-30°),有没有两角和(差)的正弦公式?问题2能否用上述方法,将sin(α+β)转化成某个角的余弦?sin(α+β)=cos.问题3上述中涉及三个角和的余弦,如何展开才能使结果只含有α,β的正弦和余弦?cos=cos=cos cosβ+sin sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ,即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,这就是两角和的正弦公式,记为S(α+β).问题4能得到两角差的正弦公式吗?即sin(α-β)=.解法一在两角和的正弦公式中,用-β代替β,就可以得到sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,这就是两角差的正弦公式,记为S(α-β).解法二sin(α-β)=cos-(α-β)=cos-α+β=cos-αcosβ-sin-αsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.问题5能用同角三角函数的关系,由C(α±β)推导出S(α±β)?这样做有什么困难?用同角三角函数的关系推导时,会遇到符号确定的困难.问题6sin(β-α)的展开式是什么?它与sin(α-β)的展开式相同吗?为什么?sin(α-β)=sinβcosα-cosβsin a,它与sin(α-β)的展开式互为相反数.因为正弦函数是奇函数,所以sin(β-α)=-sin(α-β).公式理解1.结构特征:①左边是两角和的正弦,右边是异名积的和;②左边是两角差的余弦,右边是异名积的差.2.公式中的α,β可以是任意的角(或式子).3.运用公式要注意角及函数的位置排列顺序.4.当α,β中有一个是90°的整数倍时,用诱导公式比较简便.三、数学运用【例1】已知sinα=-,α是第四象限角,求sin的值.(见学生用书P63)由学生自己分析解题思路,教师引导学生注意cosα的正负.解因为sinα=-,α是第四象限角,所以cosα==,所以sin-α=sin cosα-cos sinα=×-×=.变式化简:sin+sin.解原式=sin cosα-cos sinα+=2sin cosα=cosα.【例2】已知α∈, sin=,求sinα的值.(见学生用书P64)先由学生自己分析解题思路,可能是“展开sin,与sin2α+cos2α=1联立,解方程组”.再引导学生观察分析α,α+之间的关系,根据两角差的正弦公式求解.解因为α∈,所以α+∈,.又因为sin=,所以cosα+=,所以sinα=sin+α-=sin+αcos-cos+αsin=×-×=-.(1)三角变换中要注意角与角的关系,如α=-,α=+等等.(2)利用平方关系确定cos时,一定要注意α+的范围.变式已知α∈, sin=,求sinα的值.解因为α∈,所以α+∈.又因为sin(α+)=,所以cosα+=±.(1)当cos=-时, cos<cos,所以α+>,即α>(舍去).(2)当cos=时,sinα=sin=sin cos-cos sin=×-×=-.【例3】(教材第108页例2)已知cos(α+β)=, cosβ=,α,β均为锐角,求sinα的值.(见学生用书P64)先由学生自己分析解题思路,可能是“展开cos(α+β),与sin2β+cos2β=1联立,解方程组”.再引导学生思考:在学习两角和差的余弦公式时,有类似的题目吗?是如何解决的?(将α看成是α+β与β的差,即α=(α+β)-β,再用两角差的正弦公式求解)解因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=, cosβ=,所以sin(α+β)=, sinβ=,所以sinα=sin=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=×-×=.(1)在“给式求值”问题中,要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为α+β和β,所求角是α,则α=(α+β)-β.(2)在解三角函数问题时,常通过条件缩小角的范围,避免讨论.如将本题β的范围改为(0,π),则如何求解呢?(由cosβ=,β∈(0,π),得β∈)变式已知<α<, 0<β<, cos=, sin=,试求sin(α+β)的值.引导学生思考:(1)本题中的已知角是什么?所求角是什么?两者间有什么关系?(已知角是+β, -α,所求角是α+β,两者间的关系是-=+(α+β))(2)已知角的和是+(α+β),不是α+β,如何求sin(α+β)?(先求cos)解因为<α<, 0<β<,所以-α∈,+β∈.又因为cos=, sin=,所以sin=-, cos=-.所以cos=cos+β--α=cos+βcos-α+sin+βsin-α=-×+×-=-.又因为cos=-sin(α+β),所以sin(α+β)=.*【例4】cos33°cos12°-cos57°cos78°=.引导学生从公式结构出发,构造与公式相同的结构,逆用公式.解法一(用两角和的余弦公式)原式=cos33°cos12°-sin33°sin12°=cos(33°+12°)=.解法二(用两角差的正弦公式)原式=sin57°cos12°-cos57°sin12°=sin(57°-12°)=.逆用公式要注意公式的结构与条件结构是否相同.变式1(教材第109页例3)求函数y=sin x+cos x的最大值.引导学生思考:(1)正弦函数、余弦函数分别在何时取最大值?(正弦函数当x=2kπ+,k∈Z时取最大值,余弦函数当x=2kπ,k∈Z时取最大值)(2)题中函数的最值是在x=2kπ+,k∈Z,或x=2kπ,k∈Z时取得吗?(3)本题如何求最大值?解y=sin x cos+cos x sin=sin.当x+=2kπ+,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y取得最大值1.本题还有其他解法吗?(y=sin x sin+cos x cos=cos.当x-=2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y取得最大值1)变式2(教材第112页习题3.1(2)第5(3)题)求函数y=sin x+cos x的最大值.引导学生发现变式1与变式2之间的关系.解y=2sin x+cos x=2sin x sin+cos x cos=2cos x-.当x-=2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y取得最大值2.解题过程中提出的系数2与原系数1,有何关系?(2=)四、课堂练习1.计算:sin69°cos99°-cos69°sin99°=-.2.在△ABC中,A=, cos B=,则sin C=.提示∵A=,∴cos A=sin A=.又∵cos B=,B∈(0,π),∴sin B=,∴sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos AsinB=.3.函数y=sin x-cos x的最小值是-2.提示y=2=2sin x-.当x-=2kπ-,k∈Z,即x=2kπ-,k∈Z时,函数y取得最小值-2.4.已知cosα=, cos(α+β)=,且α,β都为锐角,求sinβ的值.解由已知条件可得sinα=,sin(α+β)=,所以sinβ=sin=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=×-×=.五、课堂小结1.运用两角和与差的余弦公式及三角函数的诱导公式来推导两角和与差的正弦公式.2.两角和与差的正弦公式的结构特征.3.三角变换时,注意角与角的关系(用已知角表示所求角).第3课时两角和与差的正弦(2)教学过程一、问题情境化简:sin+cos.二、数学建构活动解决问题情境中的问题.解原式=sin2x cos-cos2x sin+cos2x cos-sin2x sin=sin2x-cos2x+cos2x-sin2x=0.问题1在“两角和与差的余弦”这一课中,我们曾发现在求解三角函数问题时,如果能注意到角与角的关系,可以减少运算量,那么这道题中涉及哪些角,它们有什么关系?从局部看,本题涉及2x,,,它们没有明显关系.从整体来看,本题涉及2x-,2x+,它们的关系为-=.问题2能否根据上述回答想到其他解决思路?原式=sin2x-+cos+2x-=sin2x--sin2x-=0.总结在求解三角函数问题时,要注意角与角之间的关系.三、数学运用【例1】求的值.(见学生用书P65)引导学生寻找题中角的关系,将50°看成60°-10°,从而减少非特殊角的个数(消元的思想).解原式===.(1)通过寻找角与角间的关系,减少非特殊角的个数,这是三角变换的重要思路之一.(2)思考:为什么不将10°改写成60°—50°?【例2】已知sin(2α+β)+2sinβ=0, cos(α+β)cosα≠0,求证:tanα=3tan(α+β).(见学生用书P65)引导学生观察条件中的角与结论中的角之间的关系.证明sin(2α+β)+2sinβ=sin+2sin=+2=3sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=0.又因为cos(α+β)cosα≠0,所以=,即tanα=3tan(α+β).【例3】(教材第110页例6)已知sin(α+β)=, sin(α-β)=-,求的值.(见学生用书P66)引导学生思考:(1)条件是关于角的正弦,结论是关于角的正切,这种既含有正弦、余弦,又含有正切的问题,我们一般先做什么?(化切为弦,即求)(2)要求,就要求sinαcosβ, cosαsinβ,条件中有吗?(只需将sin(α+β), sin(α-β)展开即可)解由已知条件得所以从而==×=.(1)三角变换要会“执果索因”,如本例及例1中将所求角表示成已知角.(2)本例的解法体现了方程思想.(3)思考:从本例的解题过程可以看出,只要知道sin(α+β),sin(α-β)的值,就可以求出sinαcosβ, cosαsinβ.据此你能用α+β,α-β的正弦与余弦表示sinαcosβ, cosαsinβ, cosαcosβ, sinαsinβ吗?【例4】化简:sin(α+β)cosα-.(见学生用书P66)引导学生观察2α+β,β,α+β,α四个角之间的关系,即2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α,从而可将原三角函数式化为关于角α+β和α的三角函数式,再做适当整合、化简.解原式=sin(α+β)cosα-=sin(α+β)cosα-·2cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin=sinβ.(1)正确逆用两角和与差的正、余弦公式,是化简三角函数式的基本途径.(2)化简三角函数式要从分析角的关系入手,即找题中角与角的关系,这是化简三角函数式的一个切入点.四、课堂练习1.求的值.解原式====.2.证明:=tan(α+β).证明左边===tan(α+β)=右边.五、课堂小结1.三角变换时,要注意角与角的关系,会“执果索因”.2.灵活运用两角和(差)公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.第4课时两角和与差的正切(1)教学过程一、问题情境回顾“两角和与差的余弦”例1中求tan15°的过程,我们是先分别求出sin15°,cos15°,再由同角三角函数关系求出tan15°,那么能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢?二、数学建构问题1对于一般的角α,β,当α,β,α+β的正切值存在时,能由tanα, tanβ直接表示tan(α+β)吗?tan(α+β)===.问题2上述公式对于任意角α,β都成立吗?当α,β,α+β均不等于kπ+,k∈Z时,式子才成立,这就是两角和的正切公式,记为T(α+β).问题3如何由tanα, tanβ直接表示tan(α-β)?解法一tan(α-β)===.解法二用-β代换β,就可以得到tan(α-β)==.公式理解1.结构特征:公式右边分子上的符号与左边的符号一致,而分母的符号与分子的符号相反;分子是两角正切值的和与差,分母含有两角正切值的积.2.公式中的α,β,α+β,α-β的正切值都存在时,公式才能成立.三、数学运用【例1】(1)已知tanα=, tanβ=,则tan(α+β)=;(2)(根据教材第115页练习第1(1)题改编)已知tanα=3,则tan=.(见学生用书P67)答案(1) 1;(2)-.本题是公式的直接运用,可让学生自己求解.变式1已知α,β均为锐角,且tanα=, tanβ=,则α+β=.引导学生思考:(1)要求角的大小,先要求什么?(角的某个三角函数值和角的范围)(2)本题中用哪个三角函数?为什么?(本题中用正切.一是因为题中涉及角的正切;二是因为α+β∈(0,π),且在此范围内一个正切值对应一个角)解tan(α+β)===1.又因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.求角的大小,先求角的某一三角函数值和角的范围.变式2(教材第115页例3)如图,三个相同的正方形相接,求证:α+β=.(变式2)引导学生选择适当的三角函数求解.解法一由题可知tanα=, tanβ=,所以tan(α+β)===1.又因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.解法二由题可知cosβ=, sinβ=, cosα=, sinα=,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=.又因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.【例2】已知=4+,求tan的值.(见学生用书P68)先由学生自己分析解题思路,可能会有两种:一是由已知求出tanα的值,然后由两角差的正切公式求出tan;二是由=tan直接得到答案.引导学生观察条件和结论之间的关系,学会用整体思想去分析问题.解法一由=4+,解出tanα=-,所以tan==4+.解法二tan==4+.变式1求值:.解原式==tan(45°-15°)=.变式2求值:.解原式==tan(60°-15°)=1.【例3】已知tanα与tanβ是方程x2-3x-3=0的两个根,求tan(α+β)的值.(见学生用书P68)本题可以先直接求出tanα,tanβ,然后利用公式求tan(α+β);也可以用韦达定理先求tanα+tanβ, tanαtanβ,然后利用公式求tan(α+β).再让学生比较这两种方法的繁易程度.解法一因为方程x2-3x-3=0的两个根为,所以tanα+tanβ=3, tanαtanβ=-3,所以tan(α+β)===.解法二由题可知Δ=(-3)2-4×(-3)=12>0,所以tanα+tanβ=3, tanαtanβ=-3,所以tan(α+β)===.变式已知tanα与tanβ是方程x2-3x-3=0的两个根,求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.解由题可知Δ=(-3)2-4×(-3)=12>0,所以tanα+tanβ=3, tanαtanβ=-3,所以tan(α+β)===.故sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)====-3.(例4)*【例4】如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.引导学生根据三角函数的定义,求出tanα,tanβ,从而求出tan(α+β)和tan(α+2β),并通过α+2β的范围确定α+2β的大小.解由题意知cosα=, cosβ=,又α,β为锐角,∴sinα=, sinβ=.因此tanα=7, tanβ=.(1) tan(α+β)==-3.(2) tan(α+2β)=tan==-1.∵α,β为锐角,∴ 0<α+2β<,∴α+2β=.(变式)变式如图,A,B是单位圆O上的点,且A点坐标为,B在第二象限,C是圆O与x轴正半轴的交点,△AOB为正三角形,求tan∠BOC的值.解由题可知tan∠AOC=,∴tan∠BOC=tan(∠AOC+60°)====-.四、课堂练习1.已知tanα=-2, tanβ=5,则tan(α-β)=.2.计算:=-.提示原式==tan(45°+75°)=-.3.已知α为锐角, cosα=,则tan=-3.提示由cosα=,α为锐角,得sinα=,则tanα=2,所以tan==-3.4.已知0<α<, 0<β<,且tanα, tanβ是方程3x2+4x-1=0的两根,求α+β的值.解因为方程3x2+4x-1=0的两根为,所以tanα+tanβ=-,tanα·tanβ=-,则tan(α+β)===-1.又0<α<, 0<β<,所以α+β∈(0,π),故α+β=.五、课堂小结1.运用两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式.2.两角和与差的正切公式的结构特征和角的限制.3.求角的步骤:先求出某个三角函数值,再根据角的范围求解.第5课时两角和与差的正切(2)教学过程一、问题情境已知tan=2,则tanα=.二、数学建构活动解决问题情境中的问题.解tan==2,解得tanα=.问题1本题条件中的角与结论中的角分别是什么?条件中的角是α+,结论中的角是α.问题2在即时体验2中,我们是如何求cosα的?先用条件中的角表示结论中的角,即α=-,再用两角差的余弦公式求解.问题3本题还有其他解法吗?tanα=tan+α-==.三、数学运用【例1】已知tan=2, tan=3,求tan(α+β)的值.(见学生用书P69)先由学生自己分析解题思路,可能的思路有两个:一是由tan=2求出tanα,由tan=3求出tanβ,然后再求tan(α+β);二是由-=+α+β,先求出tan,而后再求tan(α+β).再引导学生比较两种方法的繁简程度.解∵ tan+α+β=tanβ+--α===,∴ tan(α+β)=tan===.在三角函数“给式求值”问题中,要注意已知角与所求角之间的关系.【例2】证明:tan x-tan=.(见学生用书P69)用问题:“本题中涉及几个角?它们有什么关系?”引导学生寻找角与角之间的关系.证明右边====tan-tan=左边.变式已知sin(2α+β)=5sinβ,求证:3tanα=2tan(α+β).证明由题可知sin(α+β)+α=5sin,则sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=5,化简得4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα,两边同除以cosα cos(α+β)得3tanα=2tan(α+β).【例3】求tan23°+tan37°+tan23°tan37°的值.(见学生用书P70)引导学生由式中含有两角正切值的和与积,联想到两角和差的正切公式.解原式=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+tan23°tan37°=.当题中出现两角正切值的和(差)与积时,要联想到两角和(差)的正切公式的变形:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ), tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).变式(教材第116页例4)在斜三角形ABC中,求证:tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.引导学生分析式子的结构,发现式子中含正切值的和与积.证明在斜三角形ABC中,有A+B+C=π,即A+B=π-C,且A,B,A+B≠,所以左边=tan(A+B)(1-tan A tan B)+tan C=tan(π-C)(1-tan A tan B)+tan C=tan A tan B tan C=右边.一般地,当角A,B,C满足什么条件时,能使等式tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C成立?(一般地,当A+B+C=kπ,k∈Z时,此结论成立)【例4】(教材第116页例5)如图(1),两座建筑物AB,CD的高度分别为9m和15m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°,求建筑物AB与CD的底部之间的距离BD.(见学生用书P70)(例4(1))(例4(2))引导学生通过作CD的垂线AE,将中涉及到的量转移到两个直角三角形中.解如图(2),作AE⊥CD于E.因为AB∥CD,AB=9,CD=15,所以DE=9,EC=6.设AE=x,∠CAE=α.因为∠CAD=45°,所以∠DAE=45°-α.在Rt△AEC和Rt△AED中,有tanα=,tan(45°-α)=.因为tan(45°-α)=,所以=,解得x=18,x=-3(舍去).答:建筑物AB与CD的底部之间的距离BD为18m.四、课堂练习1.已知tan(α-β)=, tan=,则tan=.提示tanα+=tan(α-β)+β+=.2.计算:=.提示原式===.(第3题)3.如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=2a,在BC上取一点P,使得AB+BP=PD,求tan∠APD的值.解由AB+BP=PD,得a+BP=,解得BP=a,故CP=a.设∠APB=α,∠DPC=β,则tanα==, tanβ==,所以tan(α+β)==-18,所以tan∠APD=tan(π-α-β)=-tan(α+β)=18.五、课堂小结1.三角变换时,要注意角与角的关系,学会“执果索因”.2.当条件中出现两角正切值的和(差)时,会用两角和(差)的正切公式的变形解题.第6课时二倍角的三角函数(1)教学过程一、问题情境问题我们已经知道函数y=sin2x与y=sin x的图象关系,也知道α+β的正弦、余弦和正切可用α,β的正弦、余弦和正切来表示,那么角α的三角函数和角2α的三角函数之间有怎样的数量关系?在S(α+β),C(α+β),T(α+β)公式中,令β=α,就可以得到结果:sin2α=2sinαcosα(S2α); cos2α=cos2α-sin2α(C2α);tan2α=(T2α).二、数学建构问题1二倍角公式中,角有限制吗?二倍角的正弦、余弦公式中的角是任意角,但二倍角的正切公式中,2α≠+kπ,α≠+kπ,k∈Z.问题2二倍角的余弦公式中,同时出现了sin2α, cos2α,能否只保留一个?能.cos2α=2cos2α-1, cos2α=1-2sin2α.三、数学运用【例1】(教材第119页例1)已知sinα=,α∈,求sin2α, cos2α, tan2α的值.(见学生用书P71)引导学生先求出cosα的值,然后正确运用二倍角公式计算.解因为sinα=,α∈,所以cosα=-.于是,sin2α=2sinαcosα=2××=-,cos2α=1-2sin2α=1-2×=-,tan2α==×=.(1)还有其他方法求tan2α吗?(tanα==-,tan2α=)(2)已知sinα,求cos2α时,用公式cos2α=1-2sin2α可以避免讨论.若用sin22α+cos22α=1求解,则cos2α=±.哪种是错误答案,如何修正?(cos2α=±是错的.因为sinα=,α∈,所以α∈,2α∈,所以cos2α=-)(3)已知角的某个三角函数值及范围,可以缩小角的范围.变式(教材第120页练习第2题)已知sinα=0.8,α∈,求sin2α, cos2α的值.解因为sinα=0.8,α∈,所以cosα=0.6,所以sin2α=2sinαcosα=0.96, cos2α=1-2sin2α=-0.28.【例2】化简:(1) cos cos;(2) cos4-sin4;(3).(见学生用书P71)引导学生从公式的结构出发,构造与公式相同的结构,逆用公式.解(1)原式=cos sin==sin=.(2)原式=cos2-sin2cos2+sin2=cos2-sin2=cosα.(3)原式=·=tan45°=.(1)公式变形:sinαcosα=sin2α;(2)倍角公式中的倍角是相对的,如4α是2α的倍角,α是的倍角等.变式(1)计算:-=4;(2)(教材第122页练习第1(5)题)化简:-=tan2α.解(1)原式====4.(2)原式==tan2α.【例3】(根据教材第120页例2改编)求证:=.(见学生用书P72)引导学生思考:(1)式子左右两边有什么差异?(从角的差异来看,左边角是右边角的二倍;从名称的差异来看,题中涉及正弦、余弦和正切)(2)三角变换时,从哪个差异入手比较简单?(从角的差异入手)证明左边====tan2θ==右边.∴原式得证.(1)三角变换时,首先要找到角与角之间的关系,如倍角关系、α=(α+β)-β等.(2)当题中出现1+cosα, 1-cosα时,要想到用倍角公式消1.变式若270°<α<360°,则=-cos.引导学生对结构“1+cos2α”进行变形,同时要注意开方后“±”的选取.解因为270°<α<360°,所以135°<<180°, cosα>0, cos<0.原式=====-cos.四、课堂练习1.计算:(1)(sin15°+cos15°)2=.(2) sin22°30'cos22°30'=.(3)-=.(4) sin2-cos2=-.2.求证:=tan(+x).证明====tan.五、课堂小结1.运用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角公式.2.注意二倍角正切公式中角的限制.3.三角变换技巧:①变名;②变角;③变结构.第7课时二倍角的三角函数(2)教学过程一、数学运用【例1】已知sinθ+cosθ=,θ∈,求sinθ·cosθ, sin2θ, cos2θ, sinθ, cosθ的值.(见学生用书P73)先由学生自己分析解题思路,可能是“联立方程sinθ+cosθ=与sin2θ+cos2θ=1求解”.再引导学生思考:(1)能否不通过sinθ, cosθ,直接求出sinθ cosθ,sin2θ, cos2θ?(2)结论中的sinθ cosθ在条件中并没有出现,如何才能出现?(只需将sinθ+cosθ=平方即可)解法一由sinθ+cosθ=,得sinθ=-cosθ,将其代入恒等式sin2θ+cos2θ=1,得+cos2θ=1,化简得50cos2θ-10cosθ-24=0,解得cosθ=-或cosθ=.又因为θ∈,所以cosθ=-,则sinθ=-cosθ=,于是sinθ·cosθ=-,sin2θ=-, cos2θ=1-2sin2θ=1-2×=-.综上所述, sinθ·cosθ=-, sin2θ=-, cos2θ=-, sinθ=, cosθ=-.解法二由题意知(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-, sin2θ=-.又因为θ∈,所以2θ∈,故cos2θ=-.(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=,又因为θ∈,所以cosθ-sinθ=-,与sinθ+cosθ=联立,解得sinθ=, cosθ=-.综上所述, sinθ·cosθ=-, sin2θ=-, cos2θ=-, sinθ=, cosθ=-.(1)三角变换时要会“执果索因”,即用已知条件构造结果中的结构.(2)sinα+cosα,sinα·cosα, sinα-cosα三者之间可以互相转化.变式将例1中“θ∈”改为“θ∈(0,π)”.在解题过程中,引导学生根据结果适当缩小角的范围.解法一由sinθ+cosθ=,得sinθ=-cosθ,将其代入恒等式sin2θ+cos2θ=1,得+cos2θ=1,化简得50cos2θ-10cosθ-24=0,解得cosθ=-或cosθ=,代入sinθ=-cosθ,所以或又因为θ∈(0,π),所以以下同例1的解法一.解法二由题可知(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-, sin2θ=-.又因为θ∈(0,π),所以θ∈.又因为sinθ+cosθ=>0,所以θ∈,即2θ∈,故cos2θ=-.以下同例1题的解法二.三角函数问题常需根据条件缩小角的范围,以避免讨论.【例2】已知sin=,0<θ<,求cos2θ, cos的值.(见学生用书P73)引导学生寻找条件中的角与结论中角的关系.关系有两种:一是将条件中的-θ转化成θ求解;二是条件中角的两倍与结论中的2θ的和是,即2+2θ=.解法一因为0<θ<,所以-θ∈.又因为sin=,所以cos=,所以sinθ=sin--θ=cos-θ-sin-θ==, cosθ=.于是,cos2θ=1-2sin2θ=, cos=(cosθ-sinθ)=.解法二因为0<θ<,所以-θ∈.又因为sin=,所以cos-θ=,所以sin-2θ=2sin-θcos-θ=2××=,即cos2θ=,cos+θ=cos--θ=sin-θ=.三角变换时,要注意题中角与角的关系:如是否可以用一(两)个角表示其他角;α±β,α±2β是否特殊角等.变式设sin=,则sin2θ=-.引导学生思考:题中的角+θ与结论中的角2θ之间有什么关系?2+θ-2θ=解cos=cos2+θ=1-2sin2+θ=,所以sin2θ=-cos=-.【例3】(教材第121页例3)化简:sin2α-+sin2α+-sin2α.(见学生用书P74)引导学生分析式中角的关系与结构特征.解法一原式=+-sin2α=sin2α+cos2α-sin2α=.解法二由倍角公式cos2α=1-2sin2α,得sin2α=,于是,原式=+-=-=-=.(1)二倍角余弦公式的变形(降幂公式):sin2α=,cos2α=.(2)三角变换也可从“变结构”入手,常见的结构有1+cosα, 1-cosα等.变式求证:cos8α-sin8α=cos2α(1-sin22α).引导学生思考:(1)式子的左右两边有什么差异?(结构上的差异:三角函数的次方不同;角上的差异:角α与角2α有倍角关系)(2)本题从什么差异入手比较简单?(从结构入手,将左边的次数降低)证明左边=(cos4α-sin4α)(cos4α+sin4α)=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)(cos4α+sin4α)=cos2α·(cos2α+sin2α)2-2sin2αcos2α=cos2α·1-2sin2αcos2α=cos2α·=右边.*【例4】(教材第122页例5)在半圆钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大?引导学生作图,并选择圆心角∠BOA(θ)为自变量,建立关于θ的函数,同时注意应用题的书写规范.(例4)解如图,设∠BOA=θ,且θ为锐角,半圆的半径为R,则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O,且两边长分别为AB=R sinθ,DA=2OA=2R cosθ,所以这个矩形的面积S=AB·DA=R sinθ·2R cosθ=R2sin2θ.所以当sin2θ=1(θ为锐角),即θ=45°时,矩形ABCD的面积取得最大值R2.此时AD=R,AB=R.答:当这个矩形的两边长与半圆的半径的比是1∶2∶时,所截矩形的面积最大.求解与圆有关的最值问题时,常以圆心角为自变量.变式在一个圆的所有内接矩形中,怎样的矩形面积最大?解设ABCD是☉O的内接矩形,☉O半径为R,∠ACB=θ,则AB=2R sinθ,BC=2R cosθ,所以矩形ABCD的面积S=AB·BC=4R2sinθcosθ=2R2sin2θ.当sin2θ=1(θ为锐角),即θ=45°时,矩形ABCD 的面积最大.二、课堂练习1.已知sin=,则sin2x=.提示sin2x=cos-2x=cos2-x=1-2sin2-x=1-2×2=.2.如果sin2α=,α∈,那么cosα-sinα=-.提示(cosα-sinα)2=1-sin2α=,又α∈,所以cosα-sinα<0,故cosα-sinα=-.3.化简:cos2θ+cos2+cos2.解法一原式=++=+++=.解法二原式=cos2θ++=cos2θ+cos2θ+sinθcosθ+sin2θ+cos2θ-sinθ cosθ+sin2θ=.三、课堂小结1. sinα+cosα, sinα cosα, sinα-cosα三者之间的转化.2.三角变换技巧:①变名(化切为弦);②变角(用已知角表示所求角);③变结构(降幂公式).第8课时本章复习教学过程一、数学运用【例1】化简:.(见学生用书P75)观察分析待化简的式子,可以看到分子较容易处理,它是二倍角余弦公式的逆用.分母相对复杂,从名称看,有弦有切;从角看,两个角与分子中的角都不同,但-α,+α互余;从结构看,涉及正弦的平方.而后请学生从式子“角”、“结构”上的差异着手,使用不同的公式求解.解法一原式=(复角化单角) =(化切为弦)==1.(化简繁分式)解法二原式=(将分母化同角) =(化切为弦)===1.(逆用二倍角正弦公式)三角变换的实质是灵活地运用公式进行运算,在这个过程中,要从“名”、“角”、“结构”上的差异入手.变式化简:.(见学生用书P75)解原式=·=·tan10°=·=-2.【例2】若sin=,则cos=-.(见学生用书P75)引导学生找出已知角与所求角,并找出两角之间的关系:2+=π.解cos+2α=cosπ-2-α=-cos2-α=2sin2-π-1=-.三角变换过程中要注意寻找题中角与角的关系.变式1设α为锐角,若cos=,则sin=.(见学生用书P75)解∵α为锐角,∴<α+<.又cos=,∴ sin=.∴ sin=2sin cos=, cos=2cos2-1=.∴ sin=sin=sin cos-cos sin=.本题是2012年江苏高考卷第11题,解题的关键是寻找所求角与已知角之间的关系.本题也可以先求出sinα和cosα的值,从而可求得sin2α和cos2α的值,进一步可求得sin的值.变式2已知函数f(x)=sin+cos,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)已知cos(β-α)=, cos(β+α)=-, 0<α<β≤,求证:-2=0.解(1)因为f(x)=sin+sin x-+=2sin x-,所以T=2π,f(x)的最小值为-2.(2)由已知可得cosβcosα+sinβsinα=, cosβcosα-sinβsinα=-,两式相加得2cosαcosβ=0.又因为0<α<β≤,所以β=,所以-2=-2=0.【例3】已知函数f(x)=sin-cos+2cos2x.(1)求f的值;(2)求f(x)的最大值及相应x的值.(见学生用书P76)第(1)问可直接代入化简、求值;第(2)问需将函数f(x)化为A sin(ωx+φ)+B的形式.解(1)f=sin2×+-cos2×++2cos2=sin-cos+1+cos=+1.(2)f(x)=sin-cos+2cos2x=sin2x cos+cos2x sin-cos2x cos+sin2x sin+cos2x+1=sin2x+cos 2x+1=2sin+1.当sin=1时,max=2+1=3,此时2x+=2kπ+,即x=kπ+,k∈Z.(1)分析、研究三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂,我们必须先通过三角恒等变换,将三角函数的解析式变形化简成“一一型”(一个角的一个三角函数),然后根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.(2)相应于sin x-cos x=2sin,还有更一般的情况:a sin x+b cos x=sin x·+cos x·.∵+=1,∴设=cosφ, =sinφ,则a sin x+b cos x=sin(x+φ),并由此可求出a sin x+b cos x的取值范围.(如3sin x-4cos x=5,设cosφ=,sinφ=,则3sin x-4cos x=5sin(x-φ).若x∈R,则3sin x-4cos x∈)。

第三章三角恒等变换本章复习整体设计知识网络教学分析三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后继内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用，有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变形的思路．在本节课的教学中，可以先组织学生自己回顾在本章教学中所学到的知识，自己绘制本章内容的结构框架图，梳理本章的知识体系，构建学生的知识结构．三角公式是三角变换的基本依据，在三角恒等变换的复习中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式及万能公式．通过对这些公式的探求，使学生学会预测变换的目标、选择变换的公式、设计变换的途径，帮助学生进一步提高推理能力和运算能力．学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变换的深刻理解及运用．三维目标1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．2．掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、互相联系的．学会用联系和发展的观点认识事物，培养学生学会思考问题的方法，培养他们勇于探索创新的精神，磨练学生的意志．重点难点教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们又一起探究学习了第3章三角恒等变换的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？分析三角函数式的特点对提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新课知识巩固让学生回忆本章的学习过程：利用向量推导了两角差的余弦公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式．并进一步探究了积化和差、和差化积、万能公式、半角公式等几个三角恒等式．经历并体验了数学的发现与创造过程，体会了向量与三角函数与三角恒等变换公式之间的密切联系．学习了三角变换的基本方法，提高了我们的运算能力及逻辑推理能力．本章的公式关系见下表：教师始终注意通过恰时恰点的问题的提出，引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系，认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展；进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方法，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握最基本最常见的变换．教师要引导学生明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变换的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．教师与学生一起归纳总结常见的变换有：(1)公式变换，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βα＋β，1＝tan αtan β＋tan α＋tan βα＋β， 1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α等．(2)角的变换，如α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；π4－α＝π2－(π4＋α)；π6＋α＝π2－(π3－α)等． 还需熟练掌握一些常见的式子： 如：sinx±cosx＝2sin(x±π4)，sinx±3cosx ＝2sin(x±π3)等． 对于化简，有两种常见的形式，(1)未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；(2)根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．对于证明，它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．(1)无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．(2)有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．应用示例思路1例1(1)化简tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)；(2)已知α为锐角，且tan α＝12，求sin2αcos α－sin αsin2αcos2α的值． 活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这些问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是弦且是和差角，而条件是切且是单角．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬．解：(1)∵tan(90°－2A)＝ta n[(30°－A)＋(60°－A)]＝－＋－1－－－，∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]． ∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A) ＝1－ta n(30°－A)tan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝1.(2)原式＝2sin αcos αcos α－sin α2sin αcos αcos2α＝sin α2cos 2α－12sin αcos αcos2α＝cos2α2cos αcos2α＝12cos α.∵tan α＝12，又α∈(0，π2)，即2sin α＝cos α，又由sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝25.∴sin2αcos α－sin αsin2αcos2α＝54. 点评：本两题主要回顾了和差、二倍角公式的使用，及三角函数化简求值题目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以从方程观点出发进行变形也是一种行之有效的变形办法．由此产生逆变公式、整体变换公式等方法的灵活运用，本例的两种解法其实质是一样的．学生解决完后，教师应抓住这最佳时机，留出一定的时间让学生反思、领悟解决问题所用到的化归等数学思想方法．例2已知α、β∈(0，π4)，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予恰当的点拨：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论，即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切．这点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质．解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∵α、β∈(0，π4)，∴0<α＋β<π2.∴cos(α＋β)≠0，cos α≠0.∴tan(α＋β)＝2tan α.由4tan α2＝1－tan 2α2，得4tan α21－tan 2α2＝1，即得2tan α＝1. 代入tan(α＋β)＝2tan α，得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．思路2例题 已知θ∈(π2，π)，2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，求tan θ和sin(2θ＋π3)的值． 活动：本题主要训练同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能，是一道较为综合的题目．本题能较全面地考查到三角函数的重要公式，有多种解题的切入口，通过探究，学生可从中体会不同的数学思想方法，本题解题思路清晰，运算过程不繁杂，不必运用特殊的解题技巧．本题基本解法是常规的因式分解法，也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解题．可说是一道较为简单、考查全面的好题，教师可完全放给学生自己探究，必要时给以点拨．解：∵2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，∴cos θ≠0.∴上式两边同除以cos 2θ，得tan 2θ＋tan θ－2＝0.解得tan θ＝－2.〔∵θ∈(π2，π)，∴舍去tan θ＝1〕 ∴sin(2θ＋π3)＝sin2θcos π3＋cos2θsin π3＝sin θcos θ＋32(2cos 2θ－1) ＝sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ－32＝tan θ＋3tan 2θ＋1－32＝－4＋3310. 点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－2cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ、cos θ的值，再代入得解，也是一种不错的思路. 变式训练已知函数f(x)＝sin 2x ＋2sinxcosx ＋3cos 2x ，x∈R ，求：(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x 的取值集合； (2)函数f(x)的单调增区间．解：(1)方法一：∵f(x)＝1－cos2x 2＋sin2x ＋＋2＝2＋sin2x ＋cos2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)，∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k∈Z )时，f(x)取得最大值2＋ 2.因此，f(x)取得最大值时自变量x 的取值集合是{x|x ＝k π＋π8，k∈Z }．方法二：∵f(x)＝(sin 2x ＋cos 2x)＋sin2x ＋2cos 2x＝1＋sin2x ＋1＋cos2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)，∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k∈Z )时，f(x)取得最大值2＋ 2.因此，f(x)取得最大值时自变量x 的取值集合是{x|x ＝k π＋π8，k∈Z }．(2)f(x)＝2＋2sin(2x ＋π4)，由题意，得2k π－π2≤2x＋π4≤2k π＋π2(k∈Z )，即k π－3π8≤x≤k π＋π8(k∈Z )．因此，f(x)的单调增区间是[k π－3π8，k π＋π8](k∈Z ).知能训练课本复习题1～4.作业课本复习题5、6、7.课堂小结1．先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式主要是和角公式、差角公式、倍角公式以及万能公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法．2．教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用．三角函数是三角变换的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子的结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题．设计感想1．本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面的复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力．2．本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点．3．三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械地训练．在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套．备课资料一、三角函数式的化简、求值与证明求值、化简、证明是三角变换的中心内容，在高考中出现的三角变换大题，多数都是求值、化简类型．其解法的依据是三角恒等变换公式及代数中恒等变换知识，如配方法、消元法、因式分解、比例性质、判别式法、待定系数法等．化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．常用方法是：化异名函数为同名函数，化异角为同角，化异次为同次，切化弦，特殊角与特殊值的三角函数互化．对于三角公式要记忆准确(在理解基础上)，并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．求值可分为给角求值、给值求值、给值求角三部分．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而使问题获解；给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性．三角恒等式的证明，包括条件恒等式和无条件恒等式两种．无条件等式的证明，常用综合法、分析法、转换命题法、同一法等，证明的形式有化繁为简，左右归一等，无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；有条件的等式证明，常常先观察条件及欲证式中左、右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件，变形得证，证明方法主要是基本量法和消去法．在三角变换中，要自觉地运用化归的思想、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、换元的思想去处理问题．二、备用习题1．函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π2．函数y ＝12＋sinx ＋cosx的最大值是( ) A.22－1 B.22＋1 C ．1－22 D ．－1－22 3．若θ∈(π4，π2)，sin2θ＝116，则cos θ－sin θ的值为( ) A.34 B ．－34C ．－154 D.1544．函数y ＝2sinx(sinx ＋cosx)的单调递减区间是( )A ．[2k π－π8，2k π＋7π8]，k∈ZB ．[2k π＋7π8，2k π＋15π8]，k∈ZC ．[k π－π8，k π＋5π8]，k∈ZD ．[k π＋3π8，k π＋7π8]，k∈Z5．求函数y ＝sin2xcosx 1－sinx的值域． 6．化简：f(x)＝cos 2x ＋cos 2(60°＋x)＋cos 2(120°＋x)．参考答案：1．B 2.B 3.C 4.D5．解：y ＝sin2xcosx 1－sinx ＝2sinxcos 2x 1－sinx ＝－sin 21－sinx ＝2sinx(1＋sinx)，sinx≠1，∴y＝2sin 2x ＋2sinx ＝2(sinx ＋12)2－12. 令t ＝sinx ，则t∈[－1,1)，∴y＝2(t ＋12)2－12. ∴当t∈[－1,1)时，y∈[－12，4)． 6．解：f(x)＝1＋cos2x2＋1＋＋2＋1＋＋2 ＝32＋12[cos2x －cos(60°－2x)＋cos(240°＋2x)] ＝32＋12[cos2x －12cos2x －32sin2x －12cos2x ＋32sin2x] ＝32. (设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章的三角函数公式，以及它们之间的内在联系，这一节我们将通过例题分析，继续探讨三角函数应用问题，重点是复习与向量有关的一些综合问题．思路2.(问题导入)教师开始就提出以下问题让学生探究，(1)不查表求sin 220°＋cos 280°＋3cos20°cos80°的值．(2)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．学生专心解决问题的探究过程就已展开了新课． 推进新课 知识巩固教师打出幻灯，根据上节复习的知识方法，请解答以下一组考试题：1．设α、β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π42．已知a ＝(sin α－cos α，2 007)，b ＝(sin α＋cos α，1)，且a ∥b ，则tan2α－1cos2α等于( )A ．－2 007B ．－12 007C ．2 007 D.12 0073．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－74．若α、β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于________．5．已知tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，且－π<θ<－π2，求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值．活动：由学生自己独立完成，对找不到思路的学生教师可给予适时的点拨，上述1～4都是2007、2006年的高考或模拟题．从中可看出，三角函数的化简、求值及恒等式的证明是三角变换的基本问题，各市地在高考中都有所体现，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力．特别是三角求值，需充分利用公式变形，而公式变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质，所以，高考三角求值题倍受命题人的青睐，使得成为出题频率较多的题型，但其难度较小．如以上几例，让学生在探究中体会怎样选择有用的公式，或其变形式．答案：1.C 注意选用α＋β的余弦．2．C 需利用向量平行的条件对已知进行转化，然后把所求式子切化弦，通分后再利用倍角公式化单角来解决．3．A 利用同角三角函数的基本关系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解决． 4．－12 先确定角的范围，－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，可得α－β2＝π6，α2－β＝－π6，∴α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)＝π3，α＋β＝2π3，cos(α＋β)＝－12. 5．解：由tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，得π4＋θπ4＋θ＋π4－θπ4－θ＝π4＋θ＋π4－θπ4＋θπ4－θ＝1π4cos θ2－π4sin θ2＝2cos 2θ－sin 2θ＝4，则cos 2θ＝34. ∵－π<θ<－π2，∴cos θ＝－32，sin θ＝－12，sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ＝14－2×32×12－34＝－1＋32. 应用示例思路1例1若cos(π4－x)＝－45，5π4<x<7π4，求sin2x －2sin 2x1＋tanx.活动：本例题是一道综合型的中档题目，具有很好的训练价值，其变形式子在多处的高考试题中都有所体现．教师引导学生探讨题目中的已知条件与所求式子的角的关系，寻找解决问题的突破口．如转化为已知一个角(π4－x)的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现(π4－x)这个角的三角函数．教师要鼓励学生多视角观察，以探求更多的解题思路，从中比较最优解法．解：sin2x －2sin 2x 1＋tanx＝－cosx ＋sinx＝－cosx ＋sinx＝sin2x·1－tanx 1＋tanx ＝sin2xtan(π4－x)＝cos(π2－2x)tan(π4－x)＝[2cos 2(π4－x)－1]tan(π4－x)．∵5π4<x<7π4，∴－3π2<π4－x<－π.又∵cos(π4－x)＝－45，∴sin(π4－x)＝35，tan(π4－x)＝－34.∴原式＝(2×1625－1)×(－34)＝－21100.点评：在解答某些三角函数的求值问题时，要能够合理地利用公式，引导学生观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，这里就是应用了正切和角公式的逆用，而且还是很重要的一步.变式训练已知cos α－sin α＝325，(1)求m ＝15sin2αα＋π4的值；(2)若函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝3对称，且f(－1)＝320，试求f(m)的值．解：(1)由已知cos α－sin α＝325，得cos(α＋π4)＝35.又因为sin2α＝－cos(π2＋2α)＝1－2cos 2(α＋π4)＝725，所以m ＝15sin2αα＋π4＝7.(2)由题意，函数f(x)的图象关于直线x ＝3对称， 因此，f(3＋x)＝f(3－x)，所以f(m)＝f(7)＝f(3＋4)＝f(3－4)＝f(－1)＝320.例2已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值．活动：本题是2002年高考试卷解答题的第一题，但常解常新．虽然综合性很强，但试题难度并不大，对学生的逻辑思维能力和运算能力有很好的训练价值．本题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能．按照较易题的要求来考查三角函数的重点知识．教师大胆放手让学生探究，必要时适时的给予点拨，鼓励学生一题多解．解答本题常出现的失误有：(1)记错三角公式，如“cos2α＝2sin 2α－1”等；(2)解题中未能及时消去相同的项以简化运算，如将原式化为关于sin α的四次方程，造成运算烦琐，或不能得到结果；(3)用一个算式去除等式两边时，未先确认这个算式不等于零，推理不严密；(4)恒等变形中，移项时符号出错或合并同类项时系数出错，导致解题结果错误．可以此来检查学生的掌握程度．解：方法一：由倍角公式，sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝2cos 2α－1，得 4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝2α(2sin 2α＋sin α－1)＝2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(0，π2)，∴sin α＋1≠0，cos 2α≠0.∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∴α＝π6.∴tan α＝33.方法二：由题设得sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0，即(sin2α＋2cos α)(sin2α－cos α)＝0.∵α∈(0，π2)，∴sin2α＋2cos α≠0.∴sin2α－cos α＝0.∵cos α≠0，∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∴α＝π6.∴tan α＝33.方法三：由题设得sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0，将其看成关于sin2α的一元二次方程，得sin2α＝－cos α±cos 2α＋8cos 2α2＝－cos α±3cos α2，∴sin2α＝－2cos α或sin2α＝cos α.∵α∈(0，π2)，∴sin2α≠－2cos α.∴sin2α＝cos α(以下同方法二)．点评：本题是考查三角函数的综合题，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函数关系式”这两个知识重点，把它们有机地组合在一起．解题过程运用“换元法”等基本数学方法，体现方程思想，在考查基础知识和基本技能的同时达到考查数学思想方法的目标. 变式训练已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈(π2，π)，a ·b ＝25，求52sin2α－α＋π42cos2α2的值．解：∵a ·b ＝cos2α＋sin α(2sin α－1)＝2cos 2α－1＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.又∵α∈(π2，π)，∴cos α＝－45.∴cos(α＋π4)＝－7210.∴52sin2α－α＋π42cos2α2＝52×2×35－45＋28210－45＋1＝－10 2.例3已知函数f(x)＝2asin 2x －23asinxcosx ＋a ＋b(a≠0)的定义域为[0，π2]，值域为[－5,1]，求常数a 、b 的值．活动：本题是一道经典三角综合题，属于结合三角函数性质运用的综合性中档题目．教师引导学生思考，对于涉及三角函数值域等性质的问题，首先应考虑将函数化为一个角一种函数形式，本题通过降次，逆用二倍角公式后，形成了y ＝asinx ＋bcosx 型的函数，再应用y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a ，需引起学生的高度重视．首先通过三角恒等变形，将函数化成一个角一种函数形式，然后注意函数定义域对确定函数的值域的影响，可让学生独立探究，教师适时点拨．解：f(x)＝a(1－cos2x)－3asin2x ＋a ＋b ＝－a(cos2x ＋3sin2x)＋2a ＋b ＝－2asin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，∵x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，7π6]．∴－12≤sin(2x＋π6)≤1.因此，由f(x)的值域为[－5,1]，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a>0，－－12＋2a ＋b ＝1，－2a×1＋2a ＋b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2a×1＋2a ＋b ＝1，－－12＋2a ＋b ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.点评：解题运用通性通法，不追求特殊解题技巧，是一道难度合适的试题．解完后教师及时引导学生进行反思，注意体会解决本题用到的数学思想方法.思路2例1已知tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，(1)求tan α的值；(2)求sin2α－2cos 2α2si α－π4的值．活动：本题作为济南市的一模统考题，位置在六道解答题的第一题，由此可看出三角函数化简求值题的难度属于容易题，整个三角题目的高考难度也如此．因此在平时指导学生训练时教师要控制好这个难度．根据正切和角公式，由本题条件易得正切值，再将所求式子化简求值即可．对于本题的探究解答，可完全留给学生自己完成，教师只需在关键地方对部分学生给予指导点拨．解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，得1＋tan α1－tan α＝－12，解之，得tan α＝－3.(2)sin2α－2cos 2α2α－π4＝2sin αcos α－2cos 2αsin α－cos α＝2cos α，∵π2<α<π，且tan α＝－3，∴cos α＝－1010，即原式的值为－105. 点评：解这类求值题一定要在化简上多下些功夫，至于究竟化简到什么程度，这要具体结合题目条件而定．学生解完后教师要引导学生进行反思，并要求学生书写规范，思路清晰，解答过程简洁流畅.变式训练已知α为第二象限角，且sin α＝1213，求π4－αα＋5π2的值．解：∵sin(2α＋5π2)＝sin[π2＋(2π＋2α)]＝cos(2π＋2α)＝cos2α，∴原式＝π4－αα＋5π2＝cos π4cos α＋sin π4sin αcos2α＝22α＋sin αcos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝2α－sin α.∵α为第二象限角，且sin α＝1213，∴cos α＝－1－sin 2α＝－513.∴原式＝－13234.例2设向量a ＝(1＋cos α，sin α)，b ＝(1－cos β，sin β)，c ＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sinα－β4的值．活动：本题是一道经典试题，多次多处用作试题，题目基础性强且难度不大，题干结构优美，主要考查向量及运算、三角函数公式变换的有关知识，以及综合探究问题和解决问题的能力．教师先让学生探究思路，寻找解题方向，适时的点拨学生．思考过程要从角、三角函数种类、式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳．可由已知找到θ1、θ2与α、β关系，由θ1－θ2＝π6，求得α－β2，进而求得sin α－β2的值．解：a ＝2cos α2(cos α2，sin α2)，b ＝(2sin 2β2，2sin β2cos β2)＝2sin β2(sin β2，cos β2)，∵α∈(0，π)，β∈(π，2π)，∴α2∈(0，π2)，β2∈(π2，π)．故|a |＝2cos α2，|b |＝2sin β2，cos θ1＝a ·c |a ||c |＝2cos2α22cosα2＝cos α2，∴θ1＝α2.cos θ2＝b ·c |b ||c |＝2sin2β22sinβ2＝sin β2＝cos(β2－π2)．∵0＜β2－π2＜π2，∴θ2＝β2－π2.又θ1－θ2＝π6，∴α2－β2＋π2＝π6.∴α－β2＝－π3.∴sin α－β4＝sin(－π6)＝－12. 点评：本题的关键是找到角的关系，教师不要直接给出解答，让学生自己探究发现，因为学生学习数学应当是以积极的心态调动原有的认知和经验，尝试解决新问题、理解新知识的有意义的过程．解完后让学生反思：计算两条向量的夹角问题与三角函数有关，故向量可。

第6课 两角和与差的三角函数习题课【学习目标】:使学生掌握两角和与差公式；能正确、灵活、变形运用公式进行三角函数式的化简、求值和证明。

【学习重点】：要学生熟记公式的结构，会根据题目的条件选择适合的公式解决问题。

【学习难点】：三角混合式的处理。

导学过程:一、【预习内容】:1、 313sin 253sin 223sin 163sin +=2、=++)20tan 10(tan 320tan 10tan3、已知232,53)4cos(παππα<≤=+，求)42cos(πα+的值二、【新知应用】：例1、 已知tan5a =，求sin5(1tan5tan 2.5)+的值。

变式1：证明：sin (1tan tan)tan 2αααα+=变式23tan10+的值。

例2、已知：2sin(2)3sin αβα+=，求证：tan()5tan αββ+=三：【新知回顾】：正确、灵活、变形运用公式进行三角函数式的化简、求值和证明需要在今后的学习中不断地练习，强化；在平时的做题中要有目标意识，做到有的放矢；多思考、多总结就能学好数学。

四、课堂练习：求值：（1）[2sin50sin10(13tan10)]sin80++；（2）oo o o o o 10tan 60tan 60tan 20tan 10tan 20tan ++．（3）8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+【教学反思】两角和与差的三角函数习题课课后作业1、=-72cos 42sin 18cos 48sin 的值为 =----+)25sin()70cos()25cos()20cos(x x x x2、已知1sin()2αβ+=，1sin()3αβ-=，求tan α∶tan β3、求证：αββααβαsin sin )cos(2sin )2sin(=+-+4、已知71tan ,21)tan(-==-ββα，且),0(,πβα∈，求)2tan(βα-的值5、求证：2222sin()sin()tan 1sin cos tan αβαββαβα+-=-6、已知1tan 3α=-，cos 5β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值；（2）求函数())cos()f x x x αβ-++的最大值．。

高中数学第三章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式导学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

3 几个三角恒等式课堂导学三点剖析1。

三角函数恒等式应用举例【例1】 运用三角函数变换证明tan 2α=ααααcos 1sin sin cos 1+=-. 思路分析：由于角不一致，首先应统一角度，即运用倍角公式设法将tan2α变成角α的三角函数.证明：tan 2α=2cos2sin αα =αααααsin cos 12cos2sin 22sin 22-=. tan 2α=2cos2sin αα=.cos 1sin 2cos 22cos 2sin 22ααααα+= ∴tan 2α=αααcos 1sin sin cos 1+=-a 成立。

温馨提示这组公式的结构特征是用cosα与sinα表示2α的正切值,可称为半角公式. 2．三角函数变换的应用【例2】 将下列各式化简为Asin(ωx+φ）的形式：（1）cosx —sinx ；(2）3sinx+3cosx ；(3)3sinx-4cosx;（4)asinx+bcosx(ab≠0).思路分析：本题主要考查两角和（差）的正余弦公式的恒等变形。

解：（1）cosx —sinx=-（sinx-cosx ） =2-(22sinx-22cosx) =2-（sinxcos 4π-cosxsin 4π） =2-sin(x —4π).本题化简结果不唯一,也可这样变换：cosx —sinx=2(22cosx —22sinx ） =2（sinxcos 43π+cosxsin 43π）=2sin （x+43π).（2)3sinx+3cosx=23(23sinx+21cosx ） =23（sinxcos 6π+cosxsin 6π) =23sin(x+6π).(3)3sinx —4cosx=5（53sinx 54-cosx ）令cosφ=53,φ为第一象限角，则sinφ=54。

第7课时正弦定理、余弦定理的应用（2）【学习目标】会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.【学习重点】1.实际问题向数学问题的转化；2.解斜三角形的方法.【预习内容】解三角形的知识在测量、航海等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.【合作探究】例1、如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线C，D，测得∠ADC＝850，∠BDC＝600，∠ACD＝470，∠BCD＝720，CD=100m，设A，B，C，D在同一平面内，试求A，B两点间的距离（精确到1m）.例2、某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔船在方位角为45°、距离为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile ／h 的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.例3、一船由西向东航行的船，测得某岛的方位角为︒60，前进km 5后测得此岛的方位角为︒45，已知该岛周围km 3内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？【课堂小结】通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力.【教学反思】第7课时 正弦定理、余弦定理的应用（2）课后作业1、已知山顶上有一座高为m 30的铁塔，在塔底测得山下A 点处的俯角为︒30，在塔顶测得A 点处的俯角为︒45，则山相对于A 点的垂直高度为2、从200m 高的电视塔顶A 测得地面上某两点B ，C 的俯角分别为300，450，045BAC ∠=，求这两个点之间的距离。

第3章 三角恒等变换1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换．观察条件及目标式中角之间的联系，消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地利用条件得出结论，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧． 一、利用条件中的角表示目标中的角例1 设α，β为锐角，且满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．分析 利用变换β＝α－(α－β)寻找条件与所求之间的关系． 解 ∵α，β为锐角，且tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－tan 2(α－β)1＋tan 2(α－β)＝－1010， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，sin α＝1－cos 2α＝35.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝_________________________.分析 要求tan2α的值，注意到sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcos α＋cos2αsin α，代入到sin3αsin α＝135，首先求出cos2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan2α.解析 由sin3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos2α＝135.∵2cos 2α＋cos2α＝1＋2cos2α＝135.∴cos2α＝45.∵α为第四象限的角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， ∴2α可能在第三、四象限，又∵cos2α＝45，∴2α在第四象限，∴sin2α＝－35，tan2α＝－34.答案 －34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值． 分析 转化为已知一个角⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 这个角的三角函数．解 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，且0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4 求函数f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值．分析 观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x )．解 f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos[(x －20°)＋60°]＝12sin(x －20°)－32sin(x －20°)－cos(x －20°)cos60°＋sin(x －20°)sin60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝22sin(x －65°)， 当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22.2 三角函数化简求值的“主角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招： 第一招 单角化复角例1已知sin α＝12，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为________．解析 因为sin α＝12，α为第二象限的角，所以cos α＝－32，所以tan α＝－33. 所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－331＋(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－2332＝－33.答案 －33点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式，如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．第二招 复角化单角例2化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解 原式＝sin (2α＋β)－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin[α＋(α＋β)]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β－α)sin α＝sin βsin α.点评 由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可． 第三招 复角化复角例3已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解 因为π4<α<3π4，π2<π4＋α<π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45.又因为0<β<π4，3π4<3π4＋β<π，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝6365.点评 由已知条件求出sin α或cos α过程较烦琐，故需要找到α＋β与π4＋α和3π4＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.3 三角恒等变换的几个技巧有关三角的题目是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助． 一、灵活降幂例13－sin70°2－cos 210°＝________. 解析3－sin70°2－cos 210°＝3－s in70°2－1＋cos20°2＝3－cos20°3－cos20°2＝2. 答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等．二、化平方式 例2化简求值：12－1212＋12cos2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 解 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以cos α>0， sin α2>0，故原式＝12－121＋cos 2α2＝12－12cos α＝sin2α2＝sinα2.点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α，1－cos 2α，1＋sin 2α，1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α，2sin 2α，(sin α＋cos α)2，(sin α－cos α)2. 三、灵活变角例3已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________. 解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余． 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4已知tan θ＝－12，则cos2θ1＋sin2θ的值是________．解析 cos2θ1＋sin2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3414＝3. 答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cosθ的二次齐次弦式比．五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos2αcos4α·co s8α…cos2n －1α的值例5求值：sin10°sin30°sin50°sin70°. 解 原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.4 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin2x 的最值．解 原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin2x＝1－14sin 22x 2－sin2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12sin2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin2x ＝14sin2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14. 例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合．解 原函数化简得：y ＝sin2x ＋2cos 2x ＋1＝sin2x ＋1＋cos2x ＋1＝sin2x ＋cos2x ＋2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.当2x ＋π4＝2k π＋3π2，k ∈Z ， 即x ＝k π＋5π8，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋5π8，k ∈Z }． 点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求最值． 二、利用正弦、余弦函数的有界性求解 例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域．解 原函数整理得：sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域．解 原函数整理得：sin x －y cos x ＝－4y －3， ∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3， ∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y2. ∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式．解 y ＝cos2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1.当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a <－2，－a22－2a －1，－2≤a ≤2，1－4a ，a >2.点评 形如y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决．例6 试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值．解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值．注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2)．四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x 的最值．解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义可证函数y ＝t －1t在[1,3]上为增函数．故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求PQ的最小值．解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －xh，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ，∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ， ∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2.从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin2θ)24sin2θ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2θ4＋1sin2θ. 设t ＝sin2θ(0<t <1)．∴y ＝1＋t 4＋1t.∵函数y ＝1t ＋t4在区间(0,1]上是单调减函数，∴当sin2θ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q min ＝94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决．5 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题盘点 一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值． [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)．所以α＋β＝π4或3π4.[剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值． [正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．[错解] 由题意知tan α，tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝5π4.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0.角α，β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7，可知tan α<0，tan β<0.∵α，β∈(0，π)，∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝5π4.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C . [错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45， 由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时， cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665. 当cos A ＝－45时， cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665. [剖析] 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确． [正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45， 当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3. ∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B >π3.故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A ，B 是△ABC 的内角矛盾． ∴cos A ＝45， cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x 的奇偶性． [错解] f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2x21＋2sin x 2cos x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1 ＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x 2， 由此得f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数．[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错．[正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ， 显然该定义域不关于原点对称．因此，函数f (x )为非奇非偶函数．温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数．上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错．五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值．[错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数．∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2.∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π4，k ∈Z . [剖析] ∵x ＋θ与x －θ是不同的角．∴函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理．[正解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数．∴f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立．即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立．∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0.∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立．即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立．∴cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0. ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .。

3．3 几个三角恒等式整体设计教学分析本节主要内容为利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．在推导出了公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．本节后面的练习中之所以用证明的形式给出这个问题，只是为了让学生有一个正确完整的结论．和差化积、积化和差、万能代换以及半角公式都不要求记忆和运用，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度一降再降几乎不涉及了．三维目标1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用．2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心．重点难点教学重点：推导积化和差、和差化积公式．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sin α＋sin β，sin α－sin β，cos α＋cos β，cos α－cos β的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．思路2.(类比导入)我们知道log a m ＋log a n ＝log a (mn)，那么sin α＋sin β等于什么呢？ 推进新课新知探究和差化积公式的推导、万能公式的应用．在引入对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论，如log a m ＋log a n ＝log a (mn)．同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，如 sin α＋sin β＝？ 观察和角公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， 容易得到sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β.① 由此，有sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．①的左边已经是两个正弦的和，因此，只要进行简单的变形，就可以回答sin α＋sin β＝？这个问题了．令α＋β＝θ，α－β＝φ，代入①得 sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ2cos θ－φ2，从而有sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.②为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sin αcos β呢？想到sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.从方程角度看这个等式，sin αcos β，cos αsin β分别看成两个未知数．二元方程要求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sin αcos β的公式，列出sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β后，解相应地以sin αcos β，cos αsin β为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果．得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与前者没有什么区别．只需做个变换，令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2，代入①式即得②式．证明：(1)因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， 即sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．(2)由(1)可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β.① 设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2.把α、β的值代入①，即得sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ2cos θ－φ2.类似的还能得到sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2，cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2，cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2.以上四个公式我们称其为和差化积公式．教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程中，用到了换元的思想，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，把sin αcos β看作x ，cos αsin β看作y ，把等式看作x ，y 的方程，通过解方程求得x ，这就是方程思想的体现．利用前面所学的三角函数公式还能推出很多有用的恒等式，我们先来探究一个具体问题．设tan α2＝t.(1)求证：sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t 2；①(2)当t ＝2时，利用以上结果求3cos 2α2－2sin α＋sin 2α2的值． (1)证明：由二倍角公式，得sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2cos 2α2＋sin 2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2t1＋t 2，tan α＝2tanα21－tan2α2＝2t1－t 2.再由同角三角函数间的关系，得 cos α＝sin αtan α＝2t 1＋t 22t 1－t 2＝1－t21＋t2.(2)解：3cos2α2－2sin α＋sin 2α2＝2cos 2α2＋1－2sin α＝2＋cos α－2sin α ＝2＋1－t 21＋t 2－4t1＋t 2＝3＋t 2－4t 1＋t ＝－15. 公式①称为万能代换公式，利用万能代换公式，可以用tan α2的有理式统一表示α角的任何三角函数值．图1中的直角三角形可以帮助你更好地理解万能代换公式．图1应用示例思路1例1已知sinx －cosx ＝12，求sin 3x －cos 3x 的值．活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a －b)3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3＝a 3－b 3－3ab(a －b)，∴a 3－b 3＝(a －b)3＋3ab(a －b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx 与sinx±cosx 之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求解，即sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)3＋3sinxcosx(sinx －cosx)＝1116.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题．解：由sinx －cosx ＝12，得(sinx －cosx)2＝14，即1－2sinxcosx ＝14，∴sinxcosx＝38.∴sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)(sin 2x ＋sinxcosx ＋cos 2x) ＝12(1＋38)＝1116. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法.例2已知cos A cos 2B ＋sin A sin 2B ＝1，求证：cos B cos 2A ＋sin Bsin 2A＝1.活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A 、B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A 、B 角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a 2＋b 2＝1的形式，可利用三角代换．证法一：∵cos 4A cos 2B ＋sin 4A sin 2B ＝1，∴cos 4Asin 2B ＋sin 4Acos 2B ＝sin 2Bcos 2B.∴cos 4A(1－cos 2B)＋sin 4Acos 2B ＝(1－cos 2B)cos 2B ， 即cos 4A －cos 2B(cos 4A －sin 4A)＝cos 2B －cos 4B. ∴cos 4A －2cos 2Acos 2B ＋cos 4B ＝0.∴(cos 2A －cos 2B)2＝0.∴cos 2A ＝cos 2B.∴sin 2A ＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 2B ＋sin 2B ＝1. 证法二：令cos 2A cosB ＝cos α，sin 2AsinB ＝sin α，则cos 2A ＝cosBcos α，sin 2A ＝sinBsin α.两式相加得1＝cosBcos α＋sinBsin α，即cos(B －α)＝1.∴B－α＝2k π(k∈Z )，即B ＝2k π＋α(k∈Z )．∴cos α＝cosB ，sin α＝sinB. ∴cos 2A ＝cosBcos α＝cos 2B ，sin 2A ＝sinBsin α＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 4B cos 2B ＋sin 4B sin 2B＝cos 2B ＋sin 2B ＝1. 点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元．思路2例题 证明1＋sinx cosx ＝tan(π4＋x2)．活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x ，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角x2，三角函数的种类为正切．证法一：从右边入手，切化弦，得 tan(π4＋x 2)＝π4＋x 2π4＋x 2＝sin π4cos x 2＋cos π4sin x 2cos π4cos x 2－sin π4sin x 2＝cos x 2＋sinx 2cos x 2－sinx 2，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos x 2＋sin x2，得x 2＋sin x 22x 2＋sin x 2x 2－sin x 2＝1＋sinxcosx. 证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 1＋sinxcosx＝x 2＋sin x 22x 2＋sin x 2x 2－sin x 2＝cos x 2＋sin x 2cos x 2－sin x 2.由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos x2，得1＋tan x 21－tan x 2＝tan π4＋tanx 21－tan π4tanx 2＝tan(π4＋x 2)． 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ. 分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝2tan θ1－tan 2θ，此式右边就是tan2θ. 证明：原等式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝tan2θ.而上式左边＝sin4θ＋－cos4θsin4θ＋＋cos4θ＝2sin2θcos2θ＋2sin 22θ2sin2θcos2θ＋2cos 22θ＝2sin2θθ＋sin2θ2cos2θ2θ＋cos2θ＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.知能训练1．若sin α＝513，α在第二象限，则tan α2的值为( )A ．5B ．－5 C.15 D ．－152．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a2B.1－a2 C ．－1＋a2D ．－1－a23．已知sin θ＝－35，3π<θ<7π2，则tan θ2＝__________.答案：1．A 2.D 3.－3课堂小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．作业课本复习题9、10.设计感想1．本节主要学习了怎样推导半角公式，积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．备课资料一、1.一道给值求角类问题错解点击．解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．例题：若sin α＝55，sin β＝1010，α、β均为锐角，求α＋β的值． 错解：∵α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴cos β＝1－sin 2β＝31010.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22. ∵α，β均为锐角， ∴0°<α＋β<180°. ∴α＋β＝45°或135°.点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sin α＝55<12，sin β＝1010<12，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝22(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝22，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．2．如何进行三角恒等变式的证明． 三角恒等式证明的基本方法：师：如何利用同角三角函数的基本关系式对三角恒等式进行证明呢？ (1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简． (2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦．(4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)． (5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．(6)可采用比较法，即“左边右边＝1”或“左边－右边＝0”．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异； (2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系； (3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化． 二、备用习题1．已知tanx ＝－3，则sin2x ＝________，cos2x ＝________. 2．已知tan α＝2，则cos2α等于( ) A ．－13 B ．±13C ．－35D ．±353．下列各式化成和差的形式分别是： (1)sin(π3＋2x)cos(π3－2x)；(2)cos α＋β2sin α－β2.4．设α、β≠k π＋π2(k∈Z )，且cos2α＋sin 2β＝0.求证：tan 2α＝2tan 2β＋1.5．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，试求cosA －C2的值．6．不查表求值： tan6°tan42°tan66°tan78°. 参考答案： 1．－35 －45 2.C3．(1)34＋12sin4x ；(2)12(sin α－sin β). 4．证明：∵cos2α＋sin 2β＝0,∴1－tan 2α1＋tan 2α＋sin 2βsin 2β＋cos 2β＝0，即1－tan 2α1＋tan 2α＋tan 2β1＋tan 2β＝0. 化简得tan 2α＝2tan 2β＋1.5．解：由题设条件，知B ＝60°，A ＋C ＝120°， 设A －C2＝α，则A ＝60°＋α，C ＝60°－α. 代入1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，可得1＋α＋1－α＝－22，即2cos α－3sin α＋2cos α＋3sin α＝－22，可化为4cos 2α＋2cos α－3＝0， 解得cos α＝22或－324(舍去)． ∴co s A －C 2＝22.6．解：原式＝tan54°tan6°tan66°tan42°tan78°tan54°＝－＋tan54°＝tan18°tan42°tan78°tan54°＝－＋tan54°＝tan54°tan54°＝1.。

高中数学第三章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

3 几个三角恒等式典题精讲例1 （江苏高考卷,14） cot20°cos10°+3sin10°tan70°—2cos40°=__________ 思路分析：本题方法不拘泥,要注意灵活运用公式。

解：cot20°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40° =︒︒︒+︒︒︒70cos 70sin 10sin 320sin 10cos 20cos —2cos40° =︒︒︒+︒︒20sin 20cos 10sin 310cos 20cos —2cos40° =︒︒+︒︒20sin )10sin 310(cos 20cos -2cos40° =︒︒︒+︒︒︒20sin )30cos 10sin 30sin 10(cos 20cos 2-2cos40° =︒︒︒-︒︒20sin 40cos 20sin 240sin 20cos 2=2. 绿色通道：在求解三角函数的问题中，要注意这样的规律，即要“三看”： (1）看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化，（2）看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式。

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3．3 几个三角恒等式错误!教学分析本节主要内容为利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造,从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富,我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧,提高对三角变换的理性认识．科学发现是从问题开始的,没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题,还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．在推导出了公式sinα＋sinβ＝2sin错误!cos错误!以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．本节后面的练习中之所以用证明的形式给出这个问题,只是为了让学生有一个正确完整的结论．和差化积、积化和差、万能代换以及半角公式都不要求记忆和运用,要注意不应该加大三角变换的难度,不要在三角变换中“深挖洞"．高考在该部分内容上的难度一降再降几乎不涉及了．三维目标1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用．2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心．重点难点教学重点：推导积化和差、和差化积公式．教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课时安排1课时错误!导入新课思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式,那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．思路2。