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【矩阵论】第二章 线性变换

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矩阵论 Matrix2-1

矩阵论 Matrix2-1

3 矩阵多项式 g(A) 的计算
Jordan块
J1( 1)
AP
J2( 2)
P 1
Jk ( k) nn
g (J1)
g(A)P
g (J2)
P 1
g (Jk ) n n
1
J ()
1
1
rr
g()
g()
g()
g() 2! g()
g (r1) ()
(r
1)!

g(J)
1
例题 设
u
1 2
1，求R3上正交投影P(x) = x0 的特征值和特征向量。
(x,
u)
u
2.2 Jordan 矩阵介绍
目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩 阵结构 --- Jordan矩阵。
一、 Jordan 矩阵
1. Jordan 块(p40，定义2.3)
1
1. 形式：
➢ 特征值
J( )
2 (0,0,1,1)T 2 (0,0,1,0)T , P (1, 1,2 , 2 ).
例题4 (p46，例题7) 设P3[x]上线性变换T在自
然基下的矩阵为A，求P3[x]的基使得T在此基
下的矩阵为Jordan矩阵。其中
2 1 1
A
2
1 2.
解 分析：因P-1AP=JA, 故由Th1.14 1 1 2
a1 a0
g( A) am Am am1Am1 a1A a0I
2 . 性质（定理2.6）
• AX = 0 X g(A)X = g(0 )X
• P -1 AP = B P -1 g(A)P = g(B)
A1
•
A
A2

矩阵论-线性变换和矩阵

矩阵论-线性变换和矩阵

,
2
,
下的坐标
3
;
(3)向量
及T(
)基1,
2
,
下的坐标
3
.
四、特征值与特征向量
定义 设T L(V,V),若存在0 F及V的非零向量 , 使得T =0 ,则称0为T的一个特征值,而为T的属 于特征值0的一个特征向量.
注：特征向量在线性变换作用下保持方位不变 (在同一直线上).
取定V的一组基e1, , en ,设T(e1, , en )=否存在依赖于V所在的数域F，
如矩阵
0 1
01的特征多项式为f ()
1
1 2 1.
注2 :当dim V=n很大时，上述求法太繁琐，可借助于计算机.
注3 : E(i ) {X F n | (iI-A) X 0} N (iI-A)(解空间).由 亏加秩定理有r(iI-A) dim N (iI-A) n, 所以E(i )的维数为 dim E(i ) n r(iI-A) 称为i的几何重数.
的行列式
-a11 a12 |I-A|= a21 -a22
a1n
-a2 n
-an1 -an2
-ann
的展开式是的一个n次多项式, 其根为A的特征值, 而相应
于(*)式的非零解向量 称为A的属于0的特征向量. 注:1)0是T的特征值 0是A的特征值. 2)是T的特征向量 是A的特征向量,这里，
=(e1, , en ).
2)f保持线性运算,即, F, x, y V ,有f(x y) =f(x） f ( y),
则称V与W同构，记为V W.
同构的线性空间具有完全一致的空间结构和各种运 算规律，故可视为一个空间.
定理3 L(V,V) Fnn.

矩阵论 Matrix1-3

矩阵论 Matrix1-3

T (1 , 2 ,, n ) (1 , 2 ,, n ) A T ( i ) (1 , 2 ,, n ) Ai
Pn[x]中的微分变换在自然基下的矩阵： 0 1 0 0
0 d k ( x ) kxk 1 (1, x, x 2 , , x n-1 ) k dx k 0, 1, 2,, n 1 0
例28(P23) 给定R3上的线性变换 T((x1, x2, x3)T) = (x1+2x2+x3, x2 – x3, x1+x3)T， 求T在基1=(1 0 1)T, 2=(0 1 1)T, 3=(1 -1 1)T下 的变换矩阵B。 例29(P24) 设单位向量 u =（2/3, –2/3, –1/3），给定R3 上的线性变换 P(x) = x – (x, u)u，
A1 A 2 A Ak
矩阵Ai 的阶数 = dim Ui = ni
特别地，若 i, dim(Ui的变换)
讨论内积空间 [V(F)；(，)] 中最重要的一类变换。 1 定义1.15 (P25)：(T(), T())=(, ) 2 正交（酉）变换的性质： 定理1.15 T是内积空间V(F)上的线性变换，则下列命题等价： （1）T是正交(酉)变换; （2）T保持向量的长度不变; （3）T把V(F)的标准正交基变成标准正交基; (证(2)→(3)) （4）T在标准正交基下的矩阵是正交(酉)矩阵。 3 变换的矩阵：正交矩阵和酉矩阵的性质 正交矩阵C：CTC=I；酉矩阵U： UHU=I 定理1.16(P27) 正交矩阵C和酉矩阵U有如下性质: (1) |det(C)|=1, |det(U)|=1; (2) C-1=CT,U-1=UH; (3) 正交(酉)矩阵的逆、两个正交(酉)矩阵的乘积仍是正交 (酉)矩阵； (4) n阶正交(酉)矩阵的列或行向量组是Rn(Cn)中的标准正 交基。

线性变换考研知识点总结

线性变换考研知识点总结

线性变换考研知识点总结一、线性变换的基本概念1.1 线性空间线性空间是指一个集合V，其上有两种运算：向量的加法和数乘，满足一定的性质，即：（1）对于任意u，v∈V，有u+v∈V；（2）对于任意k∈F（其中F是一个字段），有ku∈V；（3）满足加法交换律、结合律、分配律和单位元存在。

1.2 线性变换的定义设V和W是两个线性空间，若存在一个映射T: V→W，满足以下条件：（1）对于任意u，v∈V，有T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）对于任意k∈F和任意u∈V，有T(ku) = kT(u)。

则称T为从V到W的线性变换。

1.3 线性变换的矩阵表示设V是n维线性空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，W是m维线性空间，C = {w1, w2, ..., wm}是W的一组基。

若T: V→W是一个线性变换，则存在一个m×n的矩阵A，使得对于任意u∈V，都有T(u)在基C下的坐标向量等于A乘以u在基B下的坐标向量。

1.4 线性变换的性质（1）零变换：对于任意线性空间V，零变换T：V→V定义为T(u) = 0，对于任意u∈V都有T(u) = 0。

（2）恒等变换：对于任意线性空间V和其基B，存在一个单位矩阵I使得对于任意u∈V 都有I(u) = u。

二、线性变换的基本定理2.1 线性变换的核与值域（1）核：对于线性变换T: V→W，其核Ker(T)定义为Ker(T) = {u∈V | T(u) = 0}，即T的所有零空间。

（2）值域：对于线性变换T: V→W，其值域Im(T)定义为Im(T) = {T(u) | u∈V}，即T所有可能的输出向量。

2.2 线性变换的满射与单射（1）满射：若线性变换T: V→W的值域等于W，即Im(T) = W，则称T是满射的。

（2）单射：若对于任意非零向量u，若T(u)≠0，则称T是单射的。

2.3 线性变换的秩和零度若线性变换T: V→W，则其秩rank(T)等于T的值域Im(T)的维数；零度nullity(T)等于T 的核Ker(T)的维数。

矩阵论 线性变换

矩阵论 线性变换

} N 阶矩阵A 叫做线性变换σ关于基 {1 , 2 , , n的 矩阵. 上面的表达常常写出更方便的形式:
(1) (1 , 2 , n ) ( (1 ), ( 2 ), , ( n )) (1 2 n ) A
2.3.2 坐标变换
设V是数域F上一个n 维向量空间, {1 , 2 , , n } 是它的一个基, ξ关于这个基的坐标是 ( x1, x2 ,, xn ), 而 ( y1, y2 ,,问: yn ). ( y1 , y2 ,和n ) ,y σ(ξ)的坐标是 ( x1, x2 ,, xn ), 之间有什么关系?
( ) ( ).
因此,我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次幂
n 这里n是正整数。 n 0 我们再定义
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这 样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
进一步，设 f ( x) a0 a1 x an x . 是F上一个多项式，而 L(V ), 以σ代替x，以 a 0 代替 a 0 ，得到V的一个线性变换
定理2.2.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线 性映射，那么 : V W (i) σ是满射 Im( ) W (ii) σ是单射 Ker ( ) {0} 证明 论断(i)是显然的,我们只证论断(ii) 如果σ是单射,那么ker(σ)只能是含有唯一的零向量. 反过来设ker(σ) = {0}. 如果 , V而 ( ) ( ). 那么 ( ) ( ) ( ) 0, 从而 ker( ) {0}. 所以 , 即σ是单射.
(a b ) a ( ) b ( )
在②中取 a 0，对③进行数学归纳，可以得到： （1） (0) 0 （2） (a11 an n ) a1 (1 ) an ( n ) 例1 对于 R 2 的每一向量 x1 , x2 定义 x1 , x1 x2 , x1 x2 R 3 σ是 R 2到 R 3的一个映射，我们证明，σ是一个线 性映射. 例2 令H是 V3 中经过原点的一个平面.对于 V3 的每 一向量ξ，令 表示向量ξ在平面H上的正射影. 根据射影的性质， : 是 V3 到 V3 的一个线 性映射.

《线性变换的矩阵》课件

《线性变换的矩阵》课件

3
基变换与矩阵的关系
基变换可以用矩阵表示，矩阵的运算可以用来实 现基变换。
06
应用实例与习题解析
线性变换在实际问题中的应用
图像处理
线性变换可用于图像的缩放、旋 转和平移等操作，实现图像的变
换和增强。
机器人控制
线性变换在机器人控制中用于描述 机器人的关节运动和姿态变化。
物理模拟
在物理模拟中，线性变换可用于描 述物体的运动轨迹和速度变化。
矩阵乘法与线性变换的关系
矩阵乘法是线性代数中的基本运算之一，它可以用来表示 线性变换。当一个矩阵乘以一个向量时，相当于对向量进 行了一次线性变换。因此，通过矩阵乘法，可以将线性变 换转化为数学运算，方便进行计算和分析。
矩阵乘法的规则是，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩 阵的行数，且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列 数等于第二个矩阵的列数。在进行矩阵乘法时，需要按照 特定的顺序进行计算，即先进行行运算再进行列运算。
一个向量空间存在一组基 ，且基的个数是有限的。
线性变换在不同基下的表示形式
矩阵表示法
线性变换可以用矩阵表示，不同 基下的矩阵不同。
矩阵的运算
线性变换的加法、数乘、乘法等 运算可以用矩阵的运算实现。
基变换与线性变换的关系
1 2
基变换
改变向量空间的基底，不改变向量空间的结构。
线性变换与基变换的关系
线性变换在不同基下的表示形式不同，但变换性 质不变。
逆矩阵定义
对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B ，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）， 则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵的求法
通过高斯消元法或LU分解等方法求解 。
逆矩阵是唯一的，逆矩阵与原矩阵的 乘积为单位矩阵。

矩阵论复习


可求出 A(λ ) 的行列式因子 （3）将矩阵 A(λ )的不变因子 d 1 (λ ), d 2 (λ ),L , d r (λ ) 分解成 一次因式的幂： 一次因式的幂：
(λ − λ1 ) n1 , (λ − λ 2 ) n2 ,L , (λ − λ s ) ns
可求出 A(λ ) 的初等因子
4.Jordan标准形的求法 标准形的求法 4. （1）求矩阵 A 的初等因子
& & & C n = V λ1 + V λ 2 + L + V λ r
（3） A 的每一个特征值的几何重数等于代数重数. 的每一个特征值的几何重数等于代数重数. 的一维不变子空间的直和. （4） C n 可以分解成 A 的一维不变子空间的直和 的初等因子都是一次式. （5）A的初等因子都是一次式 的初等因子都是一次式 的最小多项式m(λ)没有重零点 没有重零点. （6）A的最小多项式 的最小多项式 没有重零点
即 A (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) A .
4.线性变换的值域与核 4.线性变换的值域与核 维线性空间V上的线性变换 ε 上的线性变换， 设A 是 n 维线性空间 上的线性变换，1 , ε 2 ,L , ε n 是 V 的一组基， 的一组基，A 在这组基下的矩阵是 A，则 ， （1）A 的核为Ker ( A ) = {α ∈ V | A (α ) = 0}; （2）A 的值域为R( A ) = { A (α ) | α ∈ V };
α = x 1ε 1 + x 2 ε 2 + L + x n ε n .
2.线性子空间 2.线性子空间 是线性空间， 是 的非空子集， （1）设V是线性空间，W是V 的非空子集，则W是V 的 是线性空间 是 子空间的充分必要条件是

矩阵中的线性变换与运算


应用：在向量空间中，转置矩 阵可以用来表示向量坐标的变 换
举例：对于矩阵A，其转置矩 阵记为A^T
线性变换的矩阵表 示
线性变换的定义：将向量空间中的 向量通过线性组合进行变换
线性变换的性质：线性变换具有加 法、数乘和结合律等性质
添加标题
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矩阵表示：线性变换可以用矩阵表 示，矩阵的每一列对应一个基向量
定义：两个线性变换的乘法是指将第一个线性变换的结果作为第二个线性变换的输入
性质：乘法满足结合律和单位元存在性，即(AB)C=A(BC)，存在单位元E使得EA=AE=A
矩阵表示：两个线性变换的乘法可以通过矩阵相乘来表示，即线性变换A和B的乘积可以通过 矩阵A和B相乘得到
应用：线性变换的乘法在矩阵计算、微分学、积分学等领域有着广泛的应用
线性变换的逆：定义和性质
逆矩阵的求解方法
添加标题
添加标题
逆矩阵的定义和性质
添加标题
添加标题
逆矩阵的应用
矩阵的分解与特征 值
定义：将矩阵 分解为几个简 单的矩阵的乘
积
分类：行阶梯 形、列阶梯形、
三角形
计算方法：高 斯消元法、LU
分解等
应用：求解线 性方程组、计
算行列式等
定义：特征值是线 性变换在特征向量 上的表现，是矩阵 的一个重要属性。
矩阵中的线性变换与 运算
汇报人：XX
目录
添加目录标题
矩阵与线性变换 的基本概念
矩阵的运算
线性变换的矩阵 表示
线性变换的运算
矩阵的分解与特 征值
添加章节标题
矩阵与线性变换的 基本概念
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列 矩阵的行数和列数可以不同 矩阵的加法、减法和数乘满足结合律和交换律 矩阵的乘法不满足结合律和交换律

第2章 线性变换(矩阵论)

证明 因为 V 非空，所以 R(T ) 也非空，且 R(T ) V ．设 1, 2 R(T ) ，则有1, 2 V ，使得 T (1 ) 1 ，T (2 ) 2 ，
则
1 2 T (1 ) T (2 ) T (1 2 ) R(T ) ， k1 kT(1) T (k1) R(T ) ，（ k P ）， 即 R(T ) 对 V 中的线性运算封闭，所以， R(T ) 是V 的线性子空间． 再设, Ker(T ) ，即T () 0 ，T ( ) 0 ，可知
f (T ) amT m am1T m1 a0 I
为线性变换T 的多项式．可以证明 f (T ) 也是V 的一个线性变换．
这些运算具有下列性质：
（1） T mn T mT n ， (T m )n T mn ，（ m, n 为非负整数）． 当 T 可逆时， m, n 可为负整数．
（2）设 f (x), g(x) P[x] ，如果 h(x) f (x) g(x) ， t(x) f (x)g(x) ，
T ( ) span{T (1),T (2 ), ,T (n )} ，
从而
R(T ) span{T (1),T (2 ), ,T (n )} ，
故
R(T ) span{T (1),T (2 ), ,T (n )} ．
定理 2.1.3 设 T 是 n 维线性空间V 上的一个线性变换，则 dim(R(T )) dim(Ker(T )) n ．
（2） n （ n 为正整数）个线性变换 T 的乘积 T n TT T
称为 T 的 n 次幂．特别地，当 n 0时，令 T 0 I ．当T 可逆时， 定义 T 的负 n （ n 为正整数）次幂为
T n (T 1 ) n ．
（3）设 P[x] 为数域 P 上多项式全体构成的线性空间，且

【矩阵论】第1,2章 线性空间与线性变换内积空间


六、基变换和坐标变换
讨论：
不同的基之间的关系 同一个向量在不同基下坐标之间的关系
1 基变换公式 {1 , 2 ,..., n } 设空间中有两组基：{1 , 2 ,..., n }
过渡矩阵C的性质： C为可逆矩阵
则(1 , 2 ,..., n ) (1 , 2 ,..., n )Cnn
子集合：设 S1与S2 表示两个集合，如果集合
都是集合 S 2 的元素，即由 a S1 a S2 ， 那么就称 S1是S2 的子集合，记为
S1 S 2或S 2 S1
相等：即
S1 S2且S1 S2 S1 S2
集合的交： S1 S2 x x S1且x S2 集合的并： S1 S2 x x S1或x S2
3 1 在基{E } ij 4 5
例2 设空间F[x]4的两组基为： {1，x，x2，x3}和 {1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3} 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。
归纳： 有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和 一个实际的 R n 元素对应起来，从而将抽象具体化 进行研究。
线性空间的一般性的观点：
线性空间的简单性质（共性）： （1） V中的零元素是惟一的。 （2） V中任何元素的负元素是惟一的。 数0 （3）数零和零元素的性质： 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （ 4） = （ 1）
向量0
三、向量组的探讨（Review)
向量的线性相关与线性无关：
子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方 法
子空间和非子空间的例子： V={x=(x1，x2，0｝R 3， V={x=(x1，x2，1｝R 3，
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求T在基 1, t, t 2 , t3 下的矩阵。
例2.3.2、已知 R22 的线性变换
f
(X)
MX
XM ,(X
R22, M
1
0
2
3
求 R( f ), N( f ) 的基与维数。
例2.3.3、已知 R22 的两个线性变换
T (X ) XN, S(X ) MX ,
(X
R22 , M
(3)如果T 1( p) 1, 那么T 1是个变换, 但不是线 性变换.
设 f 为n 维线性空间V的线性变换，则 ⅰ) f 是满射 f (V ) V
ⅱ) f 是单射 f 1(0) 0
设 为n 维线性空间V的线性变换，则
f 是单射 f 是满射.
§2.2 线性变换的运算
教学目的: 掌握线性变换的运算及其 简单性质
注：
① 易证 mn m n , m n mn ,
m,n 0
② 当 为可逆变换时，定义 的负整数幂为
n 1 n
③ 一般地， n n n.
2．线性变换的多项式
设 f x am xm a1x a0 P[x],
为V的一个线性变换，则 f ( ) am m a1 a0E
间到线性空间的映射来实现的． 定义1 设有两个非空集合A, B,如果对于A中任一
元素 ,按照一定规则,总有 B中一个确定的元素
和它 对应,那 么, 这个 对应 规则称 为从 集合A到集 合 B的变换(或映射),记作
T ( ) 或 T ,( A).
设 A,T ( ) ,就说变换T把元素变为 , 称为 在变换T下的象, 称为在变换T下的源.
1
2
0 1 0, N 1
1 1
求（1） T S,TS 在自然基下的矩阵。
（2） T与S是否可逆？若可逆，求其
k k , V
则 k 也是V的线性变换.
2．基本性质
(1) (kl) k(l ) (2) (k l) k l (3) k( ) k k (4) 1
注： 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于
线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 空间，记作 L(V ).
四、 线性变换的逆
教学难点: 线性变换的乘法运算
教学重点: 线性变换的运算
一、 线性变换的乘积 二、 线性变换的和 三、 线性变换的数量乘法 四、 线性变换的逆 五、 线性变换的多项式
一、 线性变换的乘积
1．定义的乘积 为： , V
则 也是V的线性变换.
第二章 线性变换
§2.1 线性变换的定义 §2.2 线性变换的运算 §２.3 线性变换的矩阵
§２.６ 特征值与特征向量
§2.1 线性变换的定义
教学目的: 理解线性变换的概念 教学重点: 线性变换的概念 教学难点: 线性变换的概念
一、线性变换的概念
１．映射 线性空间中向量之间的联系，是通过线性空
即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.
§3 线性变换的矩阵
一、 线性变换与基 二、 线性变换与矩阵 三、 相似矩阵
例2.3.1、已知 P3(t) 的线性变换 T (a0 a1t a2t 2 a3t3 ) (a0 a2 ) (a1 a3)t (a2 a0 )t 2 (a3 a1)t3
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，若有V的变换 使 E
则称 为可逆变换，称 为 的逆变换，记作 1.
2．基本性质
(1) 可逆变换 的逆变换 1 也是V的线性变换.
五、线性变换的多项式
1．线性变换的幂
设 为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义
n ,
n
称之为 的n次幂.
当 n 0 时，规定 0 E（单位变换）.
２．基本性质
（1）满足结合律：
（2） E E ，E为单位变换
（3）交换律一般不成立，即一般地，
.
例1. 线性空间 R[x]中，线性变换
D f x f x
J
f
x
x
0
f
t
dt
DJ f x D
x
0
f
t dt
f x,
即 DJ E.
而，
JD
f
x
J
f x
( )( X ) ( ( X )) ( AX ) ( AX )B AXB.
.
二、 线性变换的和
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们
的和 为： , V
则 也是V的线性变换.
2．基本性质
（1）满足交换律：
（2）满足结合律：
（3） 0 0 , 0为零变换.
（4）乘法对加法满足左、右分配律：
3．负变换
设 为线性空间V的线性变换，定义变换 为：
, V
则 也为V的线性变换，称之为 的负变换.
注： ( ) 0
三、 线性变换的数量乘法
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，k P, 定义 k 与 的数量乘积 k 为：
A称 为 变 换T的 源 集, 象 的 全 体 所 构 成 的 集 合称 为 象集,记作T ( A),即
T( A) T( ) A,
显然T ( A) B.
变换的概念是函数概念的推广．
例1 在线性空间 P 3[x], 中
p a3 x3 a2 x2 a1 x a0 P[ x]3 , (1) 微分运算D是一个线性变换. (2) 如果T ( p) a0 , 那么T也是一个线性变换.
x
0
f t dt
f
x
f
0
DJ JD.
例2. 设A、B Pnn为两个取定的矩阵，定义变换
( X ) AX , ( X ) XB,
X Pnn
则 , 皆为 Pnn 的线性变换，且对 X P nn , 有
( )( X ) ( ( X )) ( XB) A( XB) AXB,
也是V的一个线性变换，称 f ( )为线性变换 的
多项式.
注：① 在 P[x] 中，若
h x f x g x, p x f x g x 则有，h f g ,
p f g
② 对 f ( x), g( x) P[x], 有
f g g f f g g f