【华东师大版】中考数学知识点归纳及范例点拨：第12讲 二次函数的图象与性质

初三华东师大版数学下二次函数的图象与性质
知识点
在二次函数的题中,我们经常会遇到一次函数与二次函数
相交的境况。

查字典数学网为大家整理了二次函数的图象与性质知识点，希望对大家有帮助！知识点一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：函数图像y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向， a>0时，开口方向
向上， a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y轴左;当
a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b方-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b方-4ac0时，
y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;当h>0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0时，开口向上，
当a0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -
b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，图象与x轴交于两点
A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程
ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|当
△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a0(a。

中考总复习：二次函数—知识讲解（基础）【考纲要求】1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等； 2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．【知识网络】【考点梳理】考点一、二次函数的定义一般地，如果2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数． 要点诠释：二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．(2)二次项系数a ≠0．考点二、二次函数的图象及性质1.二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象是一条抛物线，顶点为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．2.当a ＞0时，抛物线的开口向上；当a ＜0时，抛物线的开口向下．3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大．②c 的大小决定抛物线与y 轴的交点位置．c ＝0时，抛物线过原点；c ＞0时，抛物线与y 轴交于正半轴；c ＜0时，抛物线与y 轴交于负半轴．③ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab ＝0时，对称轴为y 轴；当ab ＞0时，对称轴在y 轴左侧；当ab ＜0时，对称轴在y 轴的右侧．4.抛物线2()y a x h k =++的图象，可以由2y ax =的图象移动而得到．将2y ax =向上移动k 个单位得：2y ax k =+． 将2y ax =向左移动h 个单位得：2()y a x h =+．将2y ax =先向上移动k(k ＞0)个单位，再向右移动h(h ＞0)个单位，即得函数2()y a x h k =-+的图象． 要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．考点三、二次函数的解析式1.一般式：2+y ax bx c =+(a ≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为2y ax bx c =++，将已知条件代入，求出a 、b 、c 的值．2.交点式（双根式）：12()()(0)y a x x x x a =--≠．若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，设所求二次函数为12()()y a x x x x =--，将第三点(m ，n)的坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 3.顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为2()y a x h k =-+，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．4.对称点式：12()()(0)y a x x x x m a =--+≠．若已知二次函数图象上两对称点(x 1，m)，(x 2，m)，则可设所求二次函数为12()()(0)y a x x x x m a =--+≠，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．要点诠释：已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).考点四、二次函数2y ax bx c =++(a ≠0) 的图象的位置与系数a 、b 、c 的关系 1.开口方向：a ＞0时，开口向上，否则开口向下． 2.对称轴：02b a ->时，对称轴在y 轴的右侧；当02b a-<时，对称轴在y 轴的左侧． 3.与x 轴交点：240b ac ->时，有两个交点；240b ac -=时，有一个交点；240b ac -<时，没有交点．要点诠释：当x ＝1时，函数y ＝a+b+c ； 当x ＝-1时，函数y ＝a-b+c ；当a+b+c ＞0时，x ＝1与函数图象的交点在x 轴上方，否则在下方； 当a-b+c ＞0时，x ＝-1与函数图象的交点在x 轴的上方，否则在下方．考点五、二次函数的最值1.当a ＞0时，抛物线2y ax bx c =++有最低点，函数有最小值，当2bx a=-时，244ac b y a -=最小．2.当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++有最高点，函数有最大值，当2bx a=-时，244ac b y a -=最大．要点诠释：在求应用问题的最值时，除求二次函数2y ax bx c =++的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围．【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值1．二次函数y=x 2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，且图象的对称轴在y 轴的右侧，则k 的值是 ． 【思路点拨】因为图象的对称轴在y 轴的右侧，所以对称轴x=k+1＞0，即k ＞-1；又因为二次函数y=x 2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，所以y 最小值= 442（k+3）-(2k+2)=-4，可以求出k 的值．【答案与解析】解：∵图象的对称轴在y 轴的右侧， ∴对称轴x=k+1＞0， 解得k ＞-1，∵二次函数y=x 2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，∴y 最小值= 442（k+3）-(2k+2)=k+3-（k+1）2=-k 2-k+2=-4，整理得k 2+k-6=0， 解得k=2或k=-3，∵k=-3＜-1，不合题意舍去， ∴k=2．【总结升华】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．举一反三：【变式】已知24(3)k k y k x +-=+是二次函数，求k 的值．【答案】∵24(3)k k y k x+-=+是二次函数，则242,30k k k ⎧+-=⎨+≠⎩，由242k k +-=得260k k +-=，即(3)(2)0k k +-=，得13k =-，22k =．显然，当k ＝-3时， 原函数为y ＝0，不是二次函数．∴ k ＝2即为所求．类型二、二次函数的图象及性质的应用2．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( )．A ．2(1)3y x =--- B ．2(1)3y x =-+-C ．2(1)3y x =--+ D ．2(1)3y x =-++【思路点拨】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x 2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（-1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式． 【答案】 D ；【解析】根据抛物线的平移规律可知：2y x =-向左平移1个单位可变成2(1)y x =-+，再向上平移3个单位后可变成2(1)3y x =-++．【总结升华】(1)2y ax =图象向左或向右平移|h|个单位，可得2()y a x h =-的图象(h ＜0时向左，h ＞0时向右)．(2)2y ax =的图象向上或向下平移|k|个单位，可得2y ax k =+的图象(k ＞0时向上，k ＜0时向下)．举一反三：【变式】将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象的函 数表达式是( )A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)2y x =++C ．2(1)2y x =-- D ．2(1)2y x =+-【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减”得2(1)2y x =-+．故选A.类型三、求二次函数的解析式3．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为92，求这个二次函数的解析式． 【思路点拨】将点（1，0），（-5，0）代入二次函数y=ax 2+bx+c ，再由4942ac a =2-b ，从而求得a ，b ，c 的值，即得这个二次函数的解析式．【答案与解析】解法一：由题意得0,2550,942,2a b c a b c a b c ⎧⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪-+=⎩ 解得1,22,5.2a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩所以二次函数的解析式为215222y x x =--+． 解法二：由题意得 (1)(5)y a x x =-+．把2x =-92y =代入，得9(21)(25)2a --⨯-+=，解得12a =-． 所以二次函数的解析式为1(1)(5)2y x x =--+，即 215222y x x =--+． 解法三：因为二次函数的图象与x 轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知， 对称轴是直线2x =-．所以，抛物线的顶点是92,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 可设函数解析式为29(2)2y a x =++．即215222y x x =--+． 【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式．举一反三：【高清课程名称：二次函数与中考 高清ID 号：关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1】 【变式】已知：抛物线2(1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，． （1）求b c +的值；（2）若3b =，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若3b >，过点P 作直线PA y ⊥轴，交y 轴于点A ，交抛物线于另一点B ，且2BP PA =，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考） 【答案】解：（1）依题意得：2(1)(1)(1)2b c b -+--+=-，2b c ∴+=-．（2）当3b =时，5c =-，2225(1)6y x x x ∴=+-=+- ∴抛物线的顶点坐标是(16)--，．（3）解法1：当3b >时，抛物线对称轴112b x -=-<-， ∴对称轴在点P 的左侧．因为抛物线是轴对称图形，(12)P b --，且2BP PA =． yxOBP A(32)B b ∴--，122b -∴-=-． 5b ∴=．又2b c +=-，7c ∴=-．∴抛物线所对应的二次函数关系式247y x x =+-．解法2：当3b >时，112b x -=-<-， ∴对称轴在点P 的左侧．因为抛物线是轴对称图形，(12)P b --，，且2(32)BP PA B b =∴--，， 2(3)3(2)2b c b ∴---+=-．又2b c +=-，解得：57b c ==-，∴这条抛物线对应的二次函数关系式是247y x x =+-．解法3：2b c +=-，2c b ∴=--，2(1)2y x b x b ∴=+---BP x ∥轴，2(1)22x b x b b ∴+---=-即：2(1)20x b x b +-+-=．解得：121(2)x x b =-=--，，即(2)B x b =-- 由2BP PA =，1(2)21b ∴-+-=⨯．57b c ∴==-，∴这条抛物线对应的二次函数关系式247y x x =+-.类型四、二次函数图象的位置与a 、b 、c 的关系4．如图所示是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过A 点（3，0），对称轴为x=1，给出四个结论：①b 2-4ac ＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x=-1或x=3时，函数y 的值都等于0．把正确结论的序号填在横线上 ．【思路点拨】根据函数图象得出抛物线开口向下得到a 小于0，且抛物线与x 轴交于两个点，得出根的判别式大于0，即选项①正确；对称轴为x=1，利用对称轴公式列出关于a 与b 的关系式，整理后得到2a+b=0，选项②正确；由图象得出x=1时对应的函数值大于0，将x=1代入抛物线解析式得出a+b+c 大于0，故选项③错误；由抛物线与x 轴的一个交点为A （3，0），根据对称轴为x=1，利用对称性得出另一个交点的横坐标为-1，从而得到x=-1或x=3时，函数值y=0，选项④正确，即可得出正确的选项序号． 【答案与解析】解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=1， 与y 轴交点在正半轴，与x 轴有两个交点，∴a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞0，选项①正确； 当x=1时，y=a+b+c ＞0，选项③错误； ∵图象过A 点（3，0），对称轴为x=1，∴另一个交点的横坐标为-1，即坐标为（-1，0）， 又12ba-=，∴2a+b=0，选项②正确； ∴当x=-1或x=3时，函数y 的值都等于0，选项④正确， 则正确的序号有①②④． 故答案为：①②④. 【总结升华】此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中a 由抛物线的开口方向决定，a 与b 同号对称轴在y 轴左边；a 与b 异号对称轴在y 轴右边，c 的符合由抛物线与y 轴的交点在正半轴或负半轴有关；抛物线与x 轴的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断． 举一反三：【变式】如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象经过点A(-3，0)，对称轴为1x =-．给出四个结论：①24b ac >；②20a b +=；③0a b c -+=；④5a b <．其中正确结论是（ ）．A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③【答案】本例是利用二次函数图象的位置与a 、b 、c 的和、差、积的符号问题，其中利用直线1x =，1x =-交抛物线的位置来判断a b c ++，a b c -+的符号问题应注意理解和掌握．由图象开口向下，可知a ＜0，图象与x 轴有两个交点，所以240b ac =->△，24b ac >，① 确．对称轴为12bx a=-=-，所以2b a =，又由a ＜0，b ＝2a ，可得5a ＜b ，④正确． 故选B.类型五、求二次函数的最值5．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为)y 元．(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围．(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 【思路点拨】（1）每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件，当每件商品的售价上涨x 元时，每个月可卖出（210-10x ）件，每件商品的利润为x+50-40=10+x ； （2）每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即（210-10x ）（10+x ），当每个月的利润恰为2200元时得到方程（210-10x ）（10+x ）=2200．求此方程中x 的值． 【答案与解析】(1)y ＝(210-l0x)(50+x-40)＝-10x 2+110x+2100(0<x ≤15且x 为整数)．(2)y ＝-10(x-5.5)2+2402.5．∵ a ＝-10＜0，∴ 当x ＝5.5时，y 有最大值2402.5． ∵ 0<x ≤15，且x 为整数，∴ 当x ＝5时，50+x ＝55，y ＝2400(元)；当x ＝6时，50+x ＝56，y ＝2400(元)．∴ 当售价定为每件55元或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．(3)当y ＝2200时，-10x 2+110x+2100＝2200， 解得x 1＝1，x 2＝10．∴ 当x ＝1时，50+x ＝51；当x ＝10时，50+x ＝60．∴ 当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元． 【总结升华】做此类应用题时，要明确题目中所给的信息，并找到其中相等的量可以用不同的表达式表示就可以列出方程． 举一反三：【变式】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高l 元，平均每天少销售3箱。

第12讲 二次函数第1课时 二次函数的图象与性质知识点1 二次函数的概念1．关于x 的函数y ＝(m ＋1)x 2＋(m －1)x ＋m ，当m ＝0时，它是二次函数；当m ＝－1时，它是一次函数．知识点2 二次函数的图象与性质2．已知h 与t 的函数关系式为h ＝12gt 2(g 为常数，t 为时间)，则函数图象为(A )3．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，抛物线顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是(C )A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞1D ．x ＜15．二次函数y ＝x 2－2x －3的最小值是－4．知识点3 二次函数图象的平移6．抛物线y ＝(x ＋2)2－3由抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到．7．将抛物线y ＝2(x －1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为y ＝2(x ＋2)2－2．知识点4 确定二次函数的解析式8．已知二次函数的图象如图，则其解析式为(B)A．y＝x2－2x＋3B．y＝x2－2x－3C．y＝x2＋2x－3D．y＝x2＋2x＋39．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y＝－x2＋4x－3．知识点5二次函数与方程、不等式10．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是(A)A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－211．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是(A)A．－1＜x＜3B．x＞3C．x＜－1D．x＞3或x＜－1重难点1二次函数的图象和性质(2017·枣庄)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(D)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大【思路点拨】(1)将a＝1代入原函数解析式，令x＝－1求出y值，由此得出A选项不符合题意；(2)将a＝2代入原函数解析式，令y＝0，根据根的判别式Δ＝8＞0，可得出当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；(3)利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；(4)利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．【变式训练1】(2016·兰州)点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(D)A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3【变式训练2】(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x －1 0 1 3y －3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x ＝1；③当x<1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个,方法指导解决二次函数图象和性质相关题，首先需明确二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等与解析式中相关字母的关系，若确定解析式，也可通过将解析式配方，得出函数的对称轴，顶点坐标，函数图象与坐标轴的交点等，从而画出函数大致图象，再利用数形结合思想解题．方法指导比较抛物线上点的纵坐标大小的基本方法有以下三种：(1)利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较； (2)当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；(3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”比较大小．重难点2 同一坐标系中的函数图象共存问题(2016·毕节)一次函数y ＝ax ＋c(a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在同一个坐标系中的图象可能是(D )【变式训练3】 函数y ＝kx与y ＝－kx 2＋k(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(B )方法指导解决函数图象共存问题主要有以下三种方法：(1)排除法：根据已知条件中得出的结论直接排除某选项，如：本例由已知条件可知两个函数的常数项都是c ，说明两个函数图象与y 轴交于同一个点，所以排除A 选项；(2)同一法：一般可以先假定其中一种函数的图象(如：一次函数，反比例函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的范围，去判断另一个函数图象是否正确．如：本例B 选项，若一次函数图象正确，则a<0，c<0，这与抛物线开口向上相矛盾．故B 选项错误．重难点3 二次函数图象与字母系数的关系(2016·随州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：(1)4a ＋b ＝0；(2)9a ＋c>3b ；(3)8a ＋7b ＋2c>0；(4)若点A(－3，y 1)，点B(－12，y 2)、点C(72，y 3)在该函数图象上，则y 1<y 3<y 2；(5)若方程a(x ＋1)(x －5)＝－3的两根为x 1和x 2，且x 1<x 2，则x 1<－1<5<x 2.其中正确的结论有(B )A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】(1)利用对称轴公式判别；(2)观察形式发现当x＝－3时，y＝9a－3b＋c＜0，可得9a＋c＜3b；(3)根据对称轴为x＝2，得b＝－4a，则8a＋7b＋2c＝－20a＋2c，由a＜0，c>0，可得－20a＋2c>0；(4)抛物线的开口向下，距离对称轴越远，纵坐标越小；(5)方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根x1和x2为直线y＝－3与抛物线y＝a(x ＋1)(x－5)的两个交点的横坐标，这两个交点在抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴两交点的两侧，因此x1<－1<5<x2.【变式训练4】(2017·荆门)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(D)A．a<0，b<0，c>0B．－b2a＝1C．a＋b＋c<0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根变式训练4图变式训练5图【变式训练5】(2017·广安)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3，其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个方法指导解答二次函数的图象信息问题，通常先抓住抛物线的对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系求解．常考的一些式子的判断方法如下：(1)判断2a＋b与0的关系，需比较对称轴与1的大小；判断2a－b与0的关系，需比较对称轴与－1的大小；(2)判断a＋b＋c与0的关系，需看x＝1时的纵坐标，即比较x＝1时函数值与0的大小；判断a－b＋c与0的关系，需看x＝－1时的纵坐标，即比较x＝－1时函数值与0的大小；(3)判断4a＋2b＋c与0的关系，需看x＝2时的纵坐标，即比较x＝2时函数值与0的大小；判断4a－2b＋c与0的关系，需看x＝－2时的纵坐标，即比较x＝－2时函数值与0的大小．1．(人教九上教材P37练习的变式题)(2017·长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(A)A．(3，4) B．(－3，4)C．(3，－4) D．(2，4)。

初三数学 27.1二次函数；27.2二次函数的图象与性质知识精讲 华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§27.1二次函数§27.2二次函数的图象与性质二. 重点、难点：1. 重点：⑴理解并掌握二次函数的定义，会根据问题要求正确列出二次函数关系式；⑵会用描点法画出二次函数的图象，并探索、掌握其性质；2. 难点：⑴会利用图象或通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点的位置；⑵掌握二次函数关系式常见的三种形式，并能灵活运用解题.三. 知识梳理：1. 二次函数的概念一般地，形如()20y ax bx c a =++≠，则y 叫做x 的二次函数，其中x 为自变量.说明：⑴函数关系式必须是整式，任何一个二次函数都可以化成()20y ax bx c a =++≠的形式，因此，把()20y ax bx c a =++≠叫做二次函数的一般形式；⑵化简后二次函数中自变量的最高次数必须是2，二次项的系数（特别是用字母表示时）必须不为0.⑶一般情况下，二次函数中自变量的取值范围为全体实数，但在实际问题中，自变量x 有特殊的取值范围.2. 二次函数的图象及平移规律二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象是一条对称轴平行于y 轴的曲线，这条曲线叫做抛物线，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小（即形状）完全相同，只是位置不相同.抛物线()20y ax bx c a =++≠可由抛物线()20y ax a =≠平移得到.由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况．因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式2()y a x h k =++来讨论．具体平移方法如下图所示：这里我们总结了一个口诀帮大家总结二次函数图像平移时的规律：a 倍系数定开口，a ＞0，开口向上，a ＜0，开口向下．加减常数上下走，加上常数，向上移动；减去常数，向下移动．常数若是进括号，加减左右对称轴．括号内加，向左移动；括号内减，向右移动．（注：这里加减的数指正数）3. 二次函数的图象特征通过配方c bx ax y ++=2可写成a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，它的图象是以直线a b x 2-=为对称轴，以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22为顶点的一条抛物线．5. 、、与图象的关系开口上下决定a 的正负；左同右异；（即对称轴在y 轴左侧与右侧分别判别a 、b 的符号的异同．）抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定c 的正负．6. 二次函数解析式的求法用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法： ⑴设一般形式：c bx ax y ++=2（a ≠0）若已知条件是图象上一般的三个点，则设所求的二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将已知条件代入组成三元一次方程组，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点形式：()k h x a y +-=2（a ≠0）若已知二次函数的顶点坐标（h ，k ），设所求二次函数为y ＝a （x －h ）2＋k ，将第二个点的坐标代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式．⑶设交点式：()()21x x x x a y --=（a ≠0）若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为（x 1， 0），（x 2， 0），设所求的二次函数为()()21x x x x a y --=，将第三点的坐标代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式．【典型例题】例1. 下列函数是二次函数的是（ ）A. y ＝8x 2＋1B. y ＝8x ＋1C. y ＝x 8D. y ＝28x＋1分析：形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）的函数为二次函数．函数y ＝x 8、y ＝28x＋1右边的代数式x 8、28x 是关于自变量x 的分式，不是二次函数． 解：A 为二次函数，B 为一次函数，C 为反比例函数，故选A ．例2. 已知函数y ＝（m －1）x 12+m ＋5x －3是二次函数，求m 的值．分析：二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）中，二次项系数a ≠0，不少同学在解题时容易忘记．错解：∵函数y ＝（m －1）x12+m ＋5x －3是二次函数，∴m 2＋1＝2，m 2＝1． ∴m ＝±1．正确解法：∵y ＝（m －1）x12+m ＋5x －3是二次函数，∴m 2＋1＝2且m －1≠0．∴m ＝－1．例3. 底面半径为rcm ，高为2cm 的圆柱体的体积为Vcm 3．⑴求V 与r 的函数关系式；⑵画出函数图象．分析：因为圆柱体底面半径为rcm ，则底面面积为πr 2cm 2，所以容易得到V 关于r 的函数关系式．但在本题中，圆的半径为正值，所以自变量r 的取值范围是r ＞0，这点不能忽视．解：⑴依题意，得圆柱体底面面积为πr 2cm 2，所以有V ＝2πr 2（r ﹥0）．根据上表，描点、连线，画出函数图象，如下图所示：∵r 取大于0的数，∴其图象只在第一象限（原点O 是虚点）．说明：本题中因为自变量r 的取值范围是r ＞0，所以画出的图象只是抛物线在第一象限的一部分，应注意，原点处应为空心点．例4. 某商店将每件进价为10元的商品按每件12元出售时，一天可卖出150件，该商店经过调查发现，该商品每提价0.1元，其销售量下降5件，设该商品每件提高x 元时，每天的销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式．分析：在列实际问题的函数关系式中，应正确分析题意，找出各个数量之间的关系，不能在还未弄清题意时便贸然列函数关系式．错解1：y ＝（12－10＋x ）·（150－5x ）．错解2：y ＝（12＋x ）（150－50x ）．正确解法：y ＝（12－10＋x ）（150－x ÷0.1×5）＝（2＋x ）（150－50x ）．错解分析：解法1忽略了销售件数与提高价格的关系，误认为每提高1元销售量下降5件；解法2不明白利润应为销售收入与成本的差．例5. 二次函数y ＝21x 2＋3x ＋25的图象是由函数y ＝21x 2的图象先向 （左、右）平移 个单位，再向 （上、下）平移 个单位得到的．分析：在二次函数由一般式化成顶点式时，在配方过程中提公因式和去括号时容易出现错误．解：y ＝21x 2＋3x ＋25＝21（x 2＋6x ＋5）＝21（x 2＋6x ＋9－9＋5） ＝21（x ＋3）2－2． ∴抛物线y ＝21x 2＋3x ＋25是由y ＝21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．例6. 选择题：抛物线y ＝2x 2＋4x －3的顶点坐标是（ ）A. （1，－5）B. （－1，－5）C. （－1，－4）D. （－2，－7）分析：题中所给的二次函数的解析式是一般式，可以利用配方的方法，也可以记住对称轴x ＝ab 2-，顶点（a b ac a b 44,22--），把它们当作公式应用． 解法一：∵y ＝2x 2＋4x －3＝2（x 2＋2x ＋1）－5＝2（x ＋1）2－5，∴顶点坐标为（－1，－5）．解法二：∵a ＝2，b ＝4，c ＝－3，∴x ＝244)3(24a 4b ac 4y ,1224a 2b 22⨯--⨯⨯=-=-=⨯-=-＝－5 ∴顶点的坐标为（－1，－5）．答案：B例7. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图所示，下列结论中，正确的个数有（ ） ①abc >0 ②b ＝2a ③a ＋b ＋c <0 ④a －b ＋c >0A. 4B. 3C. 2D. 1分析：根据抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与a 、b 、c 的关系，可以判定出结果．解：∵抛物线的开口向下，∴a <0．又∵对称轴在y 轴左侧，∴a 、b 同号，又∵抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，∴c >0，∴abc >0． 又∵ab 2-＝－1，∴b ＝2a ． 令x ＝1，则y ＝a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＋c <0不正确．令x ＝－1，则y ＝a －b ＋c >0，∴a －b ＋c >0正确．答案：B例8. 已知一次函数y ＝ax ＋c ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）．分析：先由一次函数y ＝ax ＋c 确定a 与c 的正负情况，再与二次函数的图象比较． 解：可用排除法，设当a>0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，而一次函数y ＝•ax ＋c 应过一、三象限，故排除C ；当a<0时，用同样方法可排除A ；c 决定直线与y 轴交点；也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点，本题中c 相同，则两函数图象在y 轴上有相同的交点，故排除B ．答案：D ．例9. 已知二次函数的图象的顶点是（1，－8），且经过点（3，0），求这个二次函数关系式．分析：求二次函数关系式的方法，应根据具体问题灵活应用，选取最简方案．本题因为已知二次函数图象顶点及与x 轴的一个交点，故可用一般式，顶点式或两点式．解法1：因为抛物线顶点为（1，－8），所以设函数关系式为y ＝a （x －1）2－8． 把（3，0）代入上式，得0＝a （3－1）2－8．∴a ＝2．∴二次函数关系式为y ＝2（x －1）2－8＝2x 2－4x －6．解法2：∵抛物线对称轴为直线x ＝1，与x 轴一个交点为（3，0），设另一交点为（x 2，0），则1＝232x +．∴x 2＝－1．∴设二次函数关系式为y ＝a （x ＋1）（x －3）． 把（l ，－8）代入上式，得－8＝a ·2·（－2）．∴a ＝2．∴二次函数关系式为y ＝2（x ＋1）（x －3）＝2（x 2－2x －3）＝2x 2－4x －6．例10. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1：11000的比例图上，跨度AB ＝5cm ，拱高OC ＝0.9cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图①，在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系如图②．⑴求出图②上以这一部分抛物线为图象的函数关系式，写出函数定义域；⑵如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长．（备用数据：2≈1.4，计算结果精确到1米）分析：⑴由题意知，抛物线顶点为（0，0.9），且过A （－2.5，0），B （2.5，0）.⑵求DE 的长，可求出D 、E 的横坐标，D 、E 的纵坐标与M 点纵坐标相等，为0.45，将y ＝0.45代入⑴中函数关系式即可求出D 、E 的横坐标．解：⑴由题意知，抛物线顶点C 的坐标为（0，0.9），所以设抛物线关系式为y ＝ax 2＋0.9.把B （2.5，0）代入上式，得0＝6.25a ＋0.9.解得a ＝－12518. ∴函数关系式为y ＝－12518x 2＋109（－2.5≤x ≤2.5）． ⑵∵DE ∥AB ，∴D 、M 、E 的纵坐标相等，都为209．把y ＝209代入y ＝－12518x 2＋109，得x 1＝452．x 2＝－245．∴D 点坐标为（－245，209），E 点坐标为（209,245）． ∴DE ＝245245+＝225． ∴卢浦大桥拱内实际桥长为225×11000×0.01＝2752≈385（米）． 点拨：求DE 的长即求出D 、E 两点坐标．【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1. 若函数－２－2m 2)x (m y =是二次函数，那么m 的值是（ ）A. 2B. －2C. 2或－2D. 2±2. 抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下面是小华同学对二次函数 2x 3y -=图象的描述，其中错误的是（ ）A. 抛物线的开口向下B. 抛物线的对称轴为y 轴C. 抛物线的顶点是原点D. 抛物线经过点（－3，1）4. y＝（x－1）2＋2的对称轴是直线（）A. x＝－1B. x＝1C. y＝－1D. y＝15. 若抛物线y＝a1x2，y＝a2x2的形状、大小、开口方向均相同，那么（）A. a1＝a2B. a1＝－a2C. |a1|＝|a2|D. a1与a2的关系无法确定6. 已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x＝－1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且－1＜x1＜x2，x3＜－1，则y1，y2，y3的大小关系为（）A. y1＜y2＜y3B. y3＜y1＜y2C. y3＜y2＜y1D. y2＜y1＜y3二、填空题1. 已知函数y＝（m2－1）x2＋（m2－2m－3）x－m－1，当m__________时，y是x的二次函数；当m_______时，y是x的一次函数。