华东师范数学分析- 正项级数

《数学分析》考试大纲一、课程名称：数学分析二、适用专业: 数学与应用数学三、考试方法：闭卷考试四、考试时间：100分钟五、试卷结构：总分：100分，选择题15分，填空题15分，计算题40分，证明题30分。

六、参考书目：1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，2010年第4版。

2、中国科学技术大学常庚哲史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育出版社，2003年第1版。

七、考试的基本要求：数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。

应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。

能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。

八、考试范围第一章实数集与函数（一）考核内容实数及其性质,绝对值与不等式。

区间与邻域，有界集与确界原理。

函数概念,函数的表示法。

函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。

具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。

（二）考核知识点1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

（三）考核要求1、了解实数域及性质；2、掌握几种不等式及应用；3、熟练掌握数域，上确界，下确界，确界原理；4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第二章数列极限（一）考核内容数列。

数列极限的定义,无穷小数列。

收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。

子列及子列定理。

第12章数项级数12.1复习笔记一、级数的收敛性II级数的走义若S=f如存在极限值s r即HmS r = .S r则级数收敛，S为级数的和。

若｛S“｝发散,则级数发散。

创重要走理(1)级数收敛的柯西准则工叫收敛mN(NWN+ ),当m>N时以及又寸0p(pWN+ )，都有(2 )如果级数Zu n^£v n都收敛r则对任意常数c , d r级数工(cu n + dv n )也收敛r且》(* +叽)=c》冷加工耳(3)改变级数的有限个项不改变级数的敛散性。

(4 )在收敛级数的项中任意加括号r不改变其收敛性与和。

二、正项级数Q正项级数收敛性的一般判别原则(1)正项级数工％收敛O冥部分和数列｛S,J有界。

(2)比较原则设工*和工□是两个正项级数r 3N (NGN* ) r使得对％> N都有u n<v n r则①若8n收敛，则工g也收敛。

②若»1…发散,则工口也发散。

(3 )设& =工*和S"=工V"是两个正项级数.如果则①若0 v 1 v +1级数si S"同敛散。

②若1 = 0且级数S"收敛,级数S，也收敛。

③若1 = + 0C且级数S"发散，级数S也发散。

Q比式判别法和根式判别法(1)比式判别法设工*为正项级数，且存在正整数N()及常数q (0<q<l )，则①若对任意n > N o , SPWu n+1/u n<q ,则工％收敛。

②若对任意n > N o ,都有5+ ]/11診1 ,则》i.发散。

(2 )比式判别法的极限形式若Xw为正项级数,且,则①若q V 1 ,则工Un收敛。

②若q > 1或q =+oo,则工片发散。

③若q = 1 ,则无法判断工叫的发散性。

(3)根式判别法设工g为正项级数,且存在正整数N()及正常数1 ,①若对任意n > N(”都有阪5*1 ,则工％收敛。

华东师范大学数学分析历年考研真题（1997年-2010年）华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一（12分）设f(x)是区间I 上的连续函数。

证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I 上严格单调。

二（12分）设1,()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则'(0)0f =三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 2()(0,0)a b a ba b ab a b +≥>>四（16分）设级数1n a∞=∑收敛，试就1n n d ∞=∑为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nn a∞=∑五（20分）设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。

又设(,)Fx y 具有连续的二阶偏导数。

（1） 求''()f x（2）若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)的一个极值，试证明：当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时，0()f x 为极大值； 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时，0()f x 为极小值。

（3）对方程2227xxy y ++=，在隐函数形式下（不解出y ）求y=f(x)的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。

六（12分）改变累次积分4204842(4)x x xI dx y dy --=-⎰⎰的积分次序，并求其值。

七（12分）计算曲面积分222(cos cos cos )sI x y z ds αβγ=++⎰⎰其中s 为锥面z =上介于0z h ≤≤的一块，{}c o s,c o s ,c o s αβγ为s 的下侧法向的方向余弦。

华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一． 简答题（20分） （1） 用定义验证：22323lim 212n n n n →∞+=++；（2） '2cos ,0(),()ln(1),0x x f x f x x x <⎧=⎨+≥⎩求； （3）计算3.二（12分）设f(x)有连续的二阶导函数，且''0()2,[()()]sin 5,f f x f x xdx ππ=+=⎰求f(0).三（20分）（1）已知1n n a ∞=∑为发散的一般项级数，试证明11(1)n n a n∞=+∑也是发散级数。

第十二章 数项级数§1 级数的收敛性1. 证明下列级数收敛,并求其和: (1)()()1111;1661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+ (2) 2211111;232323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3) ()()11;12n n n n ∞=++∑(4)1;n ∞=-+∑ (5)121.2n n n ∞=-∑ 解 (1) 1111111111566115451551n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以 1lim 5n n S →∞=.由定义知,该级数收敛,且和为15.(2) 由例1知22111111111321,1122233321123n n ++++==++++==-- ,所以,原级数收敛,且其和为13122+=.(3) 因为()()()()()1111122112n u n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦,从而()()()()()()11111111211222124nn k S n k k k k n n =⎡⎤⎡⎤=-=-→→∞⎢⎥⎢⎥+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑,故该级数收敛,且其和为14. (4) 因为n u ===从而)11nn k S n ====→∞∑, 故该级数收敛,且其和为1(5) 由于2342341222111135721135232122222222222111111112121221112222222212n n n nn n n n n n n n n S S n n S +--++---⎛⎫⎛⎫-=+++++-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎡-⎤-⎛⎫⎝⎭=+++++-=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-所以,()113112n S n →+=→∞-,故该级数收敛,且其和为3.解后总结:用定义证明级数收敛,关键是求出前n 项部分和n S .常用的求和方法有:裂项求和法(如(1)题,有理化分子法(如(4)题,错位相减法(如(5)题)等. 2. 证明:若级数1nn u∞=∑发散,0c ≠,则1nn cu∞=∑也发散.证 证法1 [反证法] 若1n n cu ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑()11n n cu c ∞==∑,由定理12.2知,1n n u ∞=∑也收敛,矛盾.证法2 因为1nn u∞=∑发散,由Cauchy 收敛准则,00,ε∃>对N +∀∈ ,都存在(),n m N n m ><,使得1mkk n ucε=+≥∑,从而01mkk n cuε=+≥∑.由Cauchy 收敛准则知,1n n cu ∞=∑发散.3. 设级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都发散,试问()1nn n uv ∞=+∑一定发散吗?又若n u 与()1,2,n v n = 都是非负数,能得出什么结论? 解 当1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散时,()1n n n u v ∞=+∑不一定发散.如()11nn ∞=-∑与()111n n ∞-=-∑都发散,但()()1111n n n ∞-=⎡⎤-+-⎣⎦∑是收敛的. 若n u 与()1,2,n v n = 都是非负数时,则()1nn n uv ∞=+∑一定发散.事实上,因为1n n u ∞=∑发散,由Cauchy 收敛准则,00,ε∃>对N +∀∈ ,都存在(),n m N n m ><,使得01mkk n uε=+≥∑,从而()()0111mmmkk kk kk n k n k n uv uv uε=+=+=++=+≥≥∑∑∑,故()1n n n u v ∞=+∑发散.4. 证明: 若数列{}n a 收敛与a ,则级数()111nn n aa a a ∞-=-=-∑.证 因为lim n n a a →∞=,故()()11111nn kk n k S aa a a a a n ++==-=-→-→∞∑,所以()111n n n a a a a ∞-=-=-∑.5. 证明:若数列{}n b 满足lim n n b →∞=∞,则(1)级数()11n n n b b ∞+=-∑发散. (2) 当()01,2,nb n ≠= 时,级数111111n nn b b b ∞=+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑. 证 (1) 因为lim n n b →∞=∞,故()()1111nn k k n k S bb b b n ++==-=-→∞→∞∑,所以()11n n n b b ∞+=-∑发散.(2) 当()01,2,n b n ≠= 时,因为lim n n b →∞=∞,所以1lim0n nb →∞=,从而()1111111111nn k kk n S n b b b b b =++⎛⎫=-=-→→∞ ⎪⎝⎭∑, 所以111111n nn b b b ∞=+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑. 6. 应用第4题的结果求下列级数的和:(1)()()111n a n a n ∞=+-+∑; (2)()()112111n n n n n ∞+=+-+∑; (3)()()22121111n n n n ∞=+⎡⎤+++⎣⎦∑. 解 (1) 因为()()1111111n n a n a n a n a n ∞∞==⎛⎫=- ⎪+-++-+⎝⎭∑∑,而1lim 01n a n →∞=+-,由第4题的结论知,()()1111111n a n a n a a ∞===+-++-∑. (2)因为()()()()121111121111n n n n n n n n n n ++∞∞+==⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥-=- ⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑,而数列()11n n +⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭收敛于零,由4题知,()()()21112110111n n n n n ∞+=-+-=-=+∑.(3)因为()()()()2222112111111111n n n n n n n ∞∞==⎡⎤+⎢⎥=-⎡⎤+++⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦∑∑,而数列211n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭收敛于零,由4题知,()()222121110112111n n n n ∞=+=-=+⎡⎤+++⎣⎦∑. 7.应用Cauchy 收敛准则判别下列级数的敛散性:(1)1sin 22nnn ∞=∑; (2) ()1221121n n n n -∞=-+∑; (3)()11nn n∞=-∑; (4)n ∞=.证 (1) 对()01εε∀><,因为111sin 2sin 211122222n n p n n p n n p n++++++++≤++≤ , 所以,21log N ε+⎡⎤∃=∈⎢⎥⎣⎦,则当n N >,对任意的自然数p ,都有 111sin 2sin 211122222n n p n n p n n p nε++++++++≤++≤< , 由Cauchy 收敛准则得,1sin 22nnn ∞=∑收敛. (2) 证法1 因为221lim lim 0212n n n n a n →∞→∞==≠+,所以lim 0n n a →∞≠,由级数收敛的必要条件知,级数()1221121n n n n -∞=-+∑发散.证法2 (用Cauchy 收敛准则) 取013ε=,对N +∀∈ ,存在001,2n N m N =+=+,且 ()()()()()001222102211111221322132N m n N N n n n n n n n n N N u u u u N N ε+++====-++-=-=≥==+++∑∑∑∑, 由Cauchy 收敛准则知,该级数发散. (3) 因为()()()()()()1211111111112121111111112123n n n p p p p n n n p n n n pn n n p n n n n p n+++-------+++=-++++++++⎡⎤--=-++=--++<⎢⎥+++++++⎢⎥⎣⎦故,对10,N εε⎡⎤∀>∃=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,对任意的正整数p ,都有()()()12111112n n n pn n n pnε+++---+++<<+++ , 由Cauchy 收敛准则知,该级数收敛. (4) 令p n =,则2221111n nnnnnk k k k k k k n k u u =====+=-=-==≥>=∑∑∑故对取定的0ε=对N +∀∈ ,都存在1n N N =+>,和p n =,有201111n p nnnk k k k k k u u ε+====-=-≥>==∑∑,由Cauchy 收敛准则,知该级数发散. 8. 证明级数1nn u∞=∑收敛的充要条件是:任给正数ε,存在某正整数N ,对一切n N >,总有1N N n u u u ε++++< .证 [必要性] 若1nn u∞=∑收敛,则有Cauchy 收敛准则知,给正数ε,存在某正整数1N ,对一切1n m N >>时,总有12m m n u u u ε+++++< .取11N N >+,则对一切n N >,总有1N N n u u u ε++++< .[充分性] 若对任给正数ε,存在某正整数N ,对一切n N >,总有1N N n u u u ε++++< .则对一切n m N >>,都有()1211112,m m n N N n N N m N N n N N m u u u u u u u u u u u u u u u εεε+++++++++=+++-+++≤+++++++<+=由Cauchy 收敛准则知,1nn u∞=∑收敛.9. 举例说明:级数1nn u∞=∑对每个固定的p 满足条件()1lim 0n n p n u u ++→∞++= ,此级数仍可能不收敛.解 例如11n n ∞=∑是发散级数,对每个固定的p ,1111lim lim lim 011n n n n n p n n p →∞→∞→∞⎛⎫++=++= ⎪++++⎝⎭ . 10. 设级数1nn u∞=∑满足:加括号后级数()1121k k k n n n n uu u +∞++=+++∑ 收敛()10n =,且在同一括号中的112k k k n n n u u u ++++++ 符号相同,证明级数1nn u∞=∑也收敛.证 因为()1121k k k n n n n uu u +∞++=+++∑ 收敛()10n =,所以,有Cauchy 收敛准则知,对0,l ε+∀>∃∈ ,当k l >时,对一切正整数p ,有123k k k p b b b ε++++++< ,其中()1121,2,k k k k n n n b u u u k +∆++=+++= .设,l m n p >为任一正整数,则j i l ∃>≥,使得11,i i j j n m n n m p n ++<≤<+≤,从而()()()()1121111111212121121121,333i i i i j j j j j i i j m m m p m m m n n n n n n n n m p i i jn n m m p m p n i i j i ju u u u u u u u u uu u u u u b b b u u u u u u b b b b b εεεε+++--+++++++++++++++-++++++++=++++++++++++++++≤+++++++++++≤+++++<++=故由Cauchy 收敛准则知,1nn u∞=∑收敛.§2 正项级数1.应用比较原则判别下列级数的敛散性:(1)2211n n a ∞=+∑; (2)12sin 3nn n π∞=∑; (3)1n ∞=; (4)()11ln n n n ∞=∑; (5)111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑;(6)n ∞=; (7))()111n a ∞=>∑; (8)()ln 21ln nn n ∞=∑; (9)()11120n nn a a a ∞-=⎛⎫+-> ⎪⎝⎭∑.解 (1)由于()2221101,2,n n a n ≤≤=+ ,又211n n ∞=∑收敛,故2211n n a∞=+∑收敛.(2) 因为()22sin ~33n nn n ππ⎛⎫→∞ ⎪⎝⎭,而级数123nn π∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛,故12sin 3n n n π∞=∑收敛.(3)()1~n n→∞,而级数11n n ∞=∑发散,故原级数发散.(4)因为()()21102ln nn n e n <<>,而级数912n n ∞=∑收敛,故原级数收敛. (5)因为()2111cos ~2n n n -→∞,而级数2112n n ∞=∑收敛,故原级数收敛. (6)()1~n n →∞,而级数11n n∞=∑发散,故原级数发散. (7)因为001ln lim lim ln 1t t n t t a a a a t n→∞→→-===,而级数11n n∞=∑发散,故原级数发散. (8)因为当2e n e >时,()()()()()ln 2ln ln ln ln ln ln ln ln 11111ln nn nn n n n en n e⋅===<,而级数2811n n∞=∑收敛,故原级数收敛.(9)因为()2112211222202lim lim lim 2ln 1122n n t t n n n n t a a a a a a a t n n ---→∞→∞→⎛⎫- ⎪⎛⎫+--⎝⎭=== ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而级数2112n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛,故原级数收敛. 2.用比式判别法或根式判别法判定下列级数的敛散性: (1)()11321!n n n ∞=⋅-∑; (2)()11!10nn n ∞=+∑; (3)121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑; (4)1!n n n n ∞=∑; (5)212n n n ∞=∑;(6)13!nn n n n∞=∑; (7)1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑(其中();,,0n n a a n a b a →→∞>,且a b ≠)解 (1)因为()()()()121!!!21221!!1!1n n n n u n n u n n n ++⋅+==→→∞-⋅++,由比式判别法知,该级数发散.(2) 因为()()()112!102101!10n n n n n u n n u n +++⋅+==→∞→∞+⋅,由比式判别法知,该级数发散.(3)()1212n n n =→→∞+,由根式判别法知,该级数收敛. (4) 因为()()()111!111!nn n n n n n u n n u n e n n +++⎛⎫==→→∞ ⎪+⎝⎭+⋅,由比式判别法知,该级数收敛. (5)()12n =→→∞,由根式判别法知,该级数收敛. (6) 因为()()()()11131!333113!111n n n n n n n n n n n u n n u e n n n n +++⋅⋅+===→>→∞+⋅⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭,由比式判别法知,该级数发散.(7)()n b bn a a=→→∞,从而当a b >时,由根式判别法知,该级数收敛;而当a b <时,该级数发散;当a b =时,敛散性不定.3.设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为正项级数,且存在正数0N 时,对一切0n N >,有11n n n nu v u v ++≤.证明:若级数1nn v∞=∑收敛,则级数1nn u∞=∑也收敛;若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑也发散.证 由题目条件知,当0n N >,有11n nn nu u v v ++≤,从而,当0n N >,有 ()00001111101110N N n nn n n n N N u u u u u v n N v v v v ++++++++<≤≤≤⇒≤> , 由于0011N N u v ++是常数,鼓由比式判别法知, 级数1nn v∞=∑收敛,则级数1nn u∞=∑也收敛;若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑也发散.4.设正项级数1nn u∞=∑收敛,证明:21nn u∞=∑也收敛.试问反之是否成立?证 因为正项级数1nn u∞=∑收敛,由级数收敛的必要条件知,lim 0n n u →∞=,于是,存在正整数N ,当n N >时,有210n n n u u u<⇒<≤,由比较判别法知,级数21nn u∞=∑收敛.反之结论不成立.例如211n n ∞=∑收敛,但11n n∞=∑发散.5.设()01,2,n a n ≥= ,且{}n na 有界.证明21nn a∞=∑收敛.证 设()01,2,n a M n ≤≤= ,则0n M a n ≤≤,从而222n M a n ≤,而级数221n M n∞=∑收敛,由比较判别法知,级数21nn a∞=∑收敛.6.设级数21n n a ∞=∑收敛,证明()10nn n a a n ∞=>∑也收敛. 证 因为22112n n a a n n⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,而级数21n n a ∞=∑和211n n∞=∑都收敛,故由收敛级数的线性性和比较判别法知,级数1nn a n ∞=∑收敛. 7.设正项级数1nn u∞=∑收敛,证明级数1n ∞=.证()112n n u u +≤+,由条件知,级数()1112n n n u u ∞+=+∑收敛,由比较判别法知,级数1n ∞=.8.利用级数收敛的必要条件,证明下列等式: (1)()2lim0;!nn n n →∞= (2) ()()!2!lim01n n n a a→∞=>.证 (1)设()2!nn n u n =,则()11101nn n u n n u n n ++⎛⎫=→→∞ ⎪+⎝⎭.由比式判别法知,级数()21!nn n n ∞=∑收敛,由级数收敛的必要条件知, ()2lim0!nn n n →∞=.(2) 设()!2!n n n u a =,则()()()1!21220n n n n n n u n u a +⋅++=→→∞.由比式判别法知,级数()!12!n n n a ∞=∑收敛,由级数收敛的必要条件知,()!2!lim0n n n a →∞=.9.用积分判别法讨论下列级数的敛散性:(1) 2111n n ∞=+∑; (2)211n nn ∞=+∑; (3)()31ln ln ln n n n n ∞=∑; (4)()()11ln ln ln p qn n n n ∞=⋅⋅∑.解 (1) 设()211f x x =+,则()f x 在()1,+∞上非负递减,211dx x +∞+⎰收敛,由积分判别法知,级数2111n n ∞=+∑收敛. (2) 设()21x f x x =+,则()f x 在()1,+∞上非负递减,211xdx x +∞+⎰发散,由积分判别法知,级数2111n n ∞=+∑发散. (3) 设()()()1ln ln ln pqf x x x x =,则()f x 在()3,+∞上非负递减,211dxx +∞+⎰收敛,由积分判别法知,级数2111n n∞=+∑收敛. (4) 设()()1ln ln ln f x x x x =,则()f x 在()3,+∞上非负递减.(ⅰ)当1p =时,()3ln ln 3ln ln ln qqdx duu x x x +∞+∞=⎰⎰.当1q >时收敛,当1q ≤时发散.所以,原级数当1p =,1q >,时收敛;当1p =,1q ≤时发散.(ⅱ) 当1p ≠时,()()()13ln ln 3ln ln ln pqp uqdx du eux x x +∞+∞-=⋅⎰⎰.对q ∀,当10p ->时,取1t >,有()()1111lim lim0tp up uqq tu u u e ueu---→+∞→+∞==⋅,故积分()1l n l n 3p uqdu eu+∞-⋅⎰收敛,也就是说,当1p >时,对任意的q ,原级数都收敛.当10p -<时,()()211211lim limp up uqq u u ueueu---→+∞→+∞==∞⋅,故积分()1ln ln 3p uqdu eu+∞-⋅⎰发散,由积分判别法知,原级数发散.10.设{}n a 为递减正项数列,证明:级数1n n a∞=∑与212m mn a ∞=∑同时收敛或同时发散.证 分别将两个级数记为(1)和(2),前n 项部分和分别记为,n n S T ,由{}n a 为递减正项数列知()()1123122221222n n n n n n n S S a a a a a a a a T +-<≤++++++≤+++= ,故(2)收敛时,(1)也收敛,又()()11123412422122112222m m m m m m S a a a a a a a a a a T --+=+++++++≥++++= , 从而(1)收敛时(2)也收敛.故(1)和(2)有相同的敛散性. 11.用拉贝判别法判别下列级数的敛散性:(1)()()11321124221n n n n ∞=⋅-⋅⋅+∑; (2) ()()()()1!012n n x x x x n ∞=>+++∑ . 解 (1)因为()()()()()()()121!!65212!!311122!!2321!!22232n n n n n u n n n n n u n n n n n +⎡⎤++⎛⎫+-=-⋅⋅=→>→∞⎢⎥ ⎪++-++⎝⎭⎣⎦, 由拉贝判别法知,该级数收敛.(2)因为()111n n u nxn x n u x n +⎛⎫-=→→∞ ⎪++⎝⎭,由拉贝判别法知,当1x >时,原级数收敛;当1x <时,原级数发散,而当1x =时,级数为11n +∑也发散.12.用根式判别法证明级数()12nn ---∑,并说明比式判别法对此级舒数无效.证 设()12nn n u ---=,则12n n ==.由根式判别法知,原级数收敛.而 ()()()1111111122n n n n nu u ++-+----+==, 所以,当n 为偶数时,114n n u u +=,当n 为奇数时,12n nuu +=,故比式判别法对此级数无效. 13.求下列极限(其中1p >):(1)()()()111lim 122p p p n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥++⎢⎥⎣⎦；(2) 122111lim n n n n p p p ++→∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ . 解 因为当1p >时,级数1p n∑收敛,由Cauchy 收敛准则知,对0,N ε+∀>∃∈ ,当n N >时,对任意的正整数k ,都有()()()11112pppn n n k ε+++<+++ .取k n =,即得()()()111122pppn n n ε+++<++ ,从而()()()111lim 0122p p p n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦. (2) 因为当1p >时,级数1n p∑收敛,由Cauchy 收敛准则知,对0,N ε+∀>∃∈ ,当n N >时,对任意的正整数k ,都有12111n n n kp p p ε++++++< .取k n =,即得 122111n n n p p p ε+++++< ,从而122111lim 0n n n n p p p ++→∞⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 14.设0n a >,证明数列()()(){}12111n a a a +++ 与级数na∑同时收敛或同时发散.证 因为数列与级数()ln 1na +∑有相同的敛散性.(事实上,因为()()()()()1ln 1limln 112lim 111lim nk n k n a a n n n a a a ee=→∞++→∞→∞∑∑+++== )因而,我们只需证明级数()ln 1na +∑与级数na∑有相同的敛散性.由级数收敛的必要条件知,若()ln 1na +∑与na∑两者只要有一个收敛,就有lim 0n n a →∞=,又由lim 0n n a →∞=可得ln(1)lim1n n na a →∞+=.所以由比较判别法知, 级数()ln 1n a +∑与n a ∑有相同的敛散性.从而知结论成立.§3 一般项级数 1.判断下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散.(1)sin !nx n ∑; (2)()11n n n -+∑; (3)()11np nn +-∑; (4)()21sin nn -∑; (5)11n n ⎡⎤-+⎥⎥⎦∑; (6)()()1ln 11nn n -++∑; (7) ()2100131nnn n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑; (8)!nx n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. 解 (1)因为()2sin 14!nx n n n≤>,而级数21n ∑收敛,故原级数绝对收敛.(2)因为lim101n nn →∞=≠+,由级数收敛的必要条件知,原级数发散.(3)当0p ≤时,因为()11lim0nn p nn→∞+-≠,故原级数发散.当1p >时,因为1p n ∑收敛,而()()111~np p nn n n +-→∞,所以,此时原级数绝对收敛,且当01p <≤时,原级数不是绝对收敛的.当01p <≤时,将通项改写成()1npn -,由于级数()1npn -∑条件收敛,而数列单调递增趋于1,故由Abel 判别法知级数()11np nn+-∑收敛,又它不是绝对收敛的,故为条件收敛.(令11n p nu n+=,则()()()()()111111111111111111111111111p n n p nnn n n ppppnn n n p nn u n nnnnu n n n n n n n n+++++++++===<=⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于分子分母的极限皆为1,并不易判别分子与分母的大小,故很难判别{}n u 的单调性,因而用莱部尼茨判别法不易得到结论) (4) 因为()()221sin~nn n n-→∞,又级数2n ∑发散,故原级数不是绝对收敛的.又2sin n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减且2limsin 0n n →∞=,由莱布尼茨判别法知,原级数条件收敛. (5)由于1n-∑,而级数1n ∑发散,故原级数发散.(6)因为()()ln 11211n n n n +>≥++,而级数11n +∑发散,由比较判别法知,原级数发散. (7) ()21002313n n n +=→→∞+,故原级数绝对收敛.(8)由于()111n nnu x x n u en +=→→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故当x e <时,原级数绝对收敛,而当x e≥时,110n n u u u +≥≥≥> ,即lim 0n n u →∞≠,从而原级数发散.2.应用Abel 判别法或Dirichlet 判别法判断下列级数的收敛性. (1)()()101nn n x x nx->+∑; (2)()()sin ,0,20nx x n απα∈>∑; (3)()2cos 1n nxn -∑. 解 (1)对于数列1n n x x ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭而言,当0x >时,011n nnn x x x x <<=+,又 ()111111111,01,11, 1.111n n n nn n n nx x x x x x x x x x x ++++++≤<≤⎧+==⎨>>+⎩++ 因此数列1n n x x ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是单调有界的,又()1nn -∑收敛,由Abel 判别法知,原级数收敛. (2) 对于()0,2x π∈,有11sin sin 2k kx x∞=≤∑,从而sin nx ∑的部分和数列有界,又当0α>时,数列1n α⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减且1lim 0n n α→∞=,由Dirichlet 判别法知,原级数收敛.(3) 由于数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减趋于零,而对任一正整数n ,有()()()()()()211111111111cos 1cos 21cos 222221sin 21111112cos (2)1,22222222sin 4sin22kknnn nnkkkk k k k k n k kx kx kxn x k x x x ππππ======---=+-≤+-⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤++=+-≤+++∑∑∑∑∑∑故()21cos nnx -∑的部分和数列有界,由Dirichlet 判别法知,原级数收敛.3.设()10,1,2,n n n a a a n +>>= 且lim 0n n a →∞=.证明级数()1121n na a a n-+++-∑ 收敛.证 因为lim 0n n a →∞=,所以,由第二章第3节18题的结论知, 12lim0nn a a a n→∞+++= ,又112n n na a a a +≤+++ ,所以121121n n n a a a a a a a n n ++++++++≤+ ,所以12n a a a n +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调减趋于零.由莱布尼茨定理知,交错级数()1121n na a a n-+++-∑ 收敛.4.设,n n p q 如教材8页(8)式所定义.证明:若nu∑条件收敛,则级数np∑与nq∑都是发散的.证 ,22n nn nn n u u u u p q +-==,由已知得,级数nu∑发散,故np∑发散.同理可证nq∑发散.5. 写出下列级数的乘积:(1) ()111111n n n n n nx nx ∞∞---==⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑; (2)()0011!!nn n n n ∞∞==⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.解 (1)级数11n n nx∞-=∑与()1111n n n nx ∞--=-∑当1x <时均绝对收敛,按对角线相乘,第n 条对角线和为()()()()()11111111nnn kn kk n kn n k k k xn k xx k n k ω-----==⎡⎤=--+=--+⎣⎦∑∑,从而()()()()()()()()()()]2221212112112122213221121(21)12231100,mm km m k mm m m xk m k x m m m m m m m m m m x ω--=---=--+⎡=-+---++-++⋅⎣--⋅+-⋅++-+⋅=⋅=∑()()()()[()()()2121221221112112221212111012345221224224621.m m m k m k mm k k m k mm m k mxk m k k xk x m m m m m x ωω++-+-+==+-=⎡⎤=---++-⎢⎥⎣⎦=-+-=+-+-+--++++++-+++=+⎤⎦∑∑∑故()()()1112111111n n n mn n m nx nx m x x ∞∞∞---===⎛⎫⎛⎫-=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (2)这两个级数均绝对收敛,按对角线顺序,其乘积的一般项为01ω=,()()()()()()0011!1111101,2,!!!!!!n k n k nnn n k k n n k n k n k n k n ω--==---=====--∑∑ , 所以, ()00111!!n n n n n ∞∞==⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.6.证明级数0!n n a n ∞=∑与0!n n b n ∞=∑绝对收敛,且它们的乘积等于0()!nn a b n ∞=+∑.证 因为11!limlim01!n nn n a a n n a n +→∞→∞+==+,故级数0!nn an ∞=∑收敛,因而,级数0!nn a n ∞=∑绝对收敛,同理,级数0!nn b n ∞=∑也绝对收敛.按对角线顺序,其乘积的各项为:()0010!a b ω+==,()()()()111!1,2,!!!!!!nk n k nn k n k n k k a b a b n a b n k n k n k n k n ω--==+====--∑∑ ,所以00!!n n n n a b n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑0()!nn a b n ∞=+∑. 7.重排级数()111n n+-∑,使它成为发散级数. 解 因1121k k ∞=-∑为发散级数,从而1n +∃∈ ,使得111111212n k c k ==->-∑,又11121k n k ∞=+-∑也为发散级数,从而()221n n n +∃∈> ,使得2121111214n k n c k =+=->-∑,又21121k n k ∞=+-∑也为发散级数,从而()332n n n +∃∈> ,使得3231111216n k n c k =+=->-∑,一般地,()11i i i n n n +++∃∈> ,使得()()11011110,1,2,,02121i i n i k n c i i k i ++=+=->==-+∑ , 这样得到原级数的一个重排()()31212111111111111111212214216111,2121i i n n n n k k n k n n k n i n k k k k i ++==+=+∞=+=-=-+-+-+---+-+>=+∞-+∑∑∑∑∑∑因而,加扩号得到的级数1ii c ∞=∑发散.8.证明:级数()11n n∞=-∑收敛.证 将()11n n∞=-∑的这些相邻且具有相同符号的项合并成一项,则可得到新级数1kk u∞=∑为一交错级数,且()()222211111111211kk k k u k k k k ∞∞==⎡⎤=-++++⎢⎥+++-⎢⎥⎣⎦∑∑ (1) 因为()222221211111211111k k k k k k k k k k k +<++++++<+++-++- 项项(上述不等式成立的理由是:前k 项的和小于211k k k⋅=,而后面1k +项的和小于()2111k k k k +⋅=+,又222111111k k k k k k k k >⇒>++-++-,同样有()211111k k k +>++-,所以,上述不等式成立)由迫敛原理,得lim 0k k u →∞=,又()222211111211k u k k k k =+++++++- , ()()()()1222211111111221k u k k k k +=++++++++++- ,用数学归纳法,可证{}ku 单调递减,因而由莱布尼茨判别法知1kk u∞=∑收敛.设()11n n∞=-∑的部分和为()11NN n S n=-=∑,而级数(1)的部分和为1MM nn U u==∑,则任一N S 均包含在某相邻两个部分和1,M M U U +之间,从而有1N M M M S U U U +-≤-.而级数(1)收敛,故()110M M M U U u M ++-=→→∞.因此()0N M S U N -→→∞.可见lim lim N M N M S U →∞→∞=,因而数列{}N S 收敛,由级数收敛的定义知,级数()11n n∞=-∑收敛.总练习题1.证明:若正项级数1nn u∞=∑收敛,且数列{}n u 单调,则lim 0n n nu →∞=.证 由已知{}n u 必单调递减,又1nn u∞=∑收敛.由Cauchy 收敛准则知,对0,N ε+∀>∃∈ ,当n N >时,有1202N N n u u u ε++<+++<,又当n N >时,,1,2,,N i i u u i n N +≥=- ,从而当n N >时,()1202n N N n n N u u u u ε++<-≤+++<,取2n N >,则()022n n n u n N u ε<≤-<,因而,()02n nu n N ε<<>,故lim 0n n nu →∞=.(请考虑下述证明方法是否正确?用反证法:若lim 0n n nu →∞≠,则lim01n n u n→∞≠,又级数1n∑发散,由比较判别法知,1nn u∞=∑发散.此为矛盾.证毕.)2.若级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛,且成立不等式()1,2,n n n a b c n ≤≤= ,证明级数1nn b∞=∑也收敛.若级数1n n a ∞=∑,1nn c∞=∑都发散,试问1nn b∞=∑一定发散吗?证 由1nn a∞=∑与1nn c∞=∑收敛知,()1nn n ca ∞=-∑收敛.又因为()01,2,n n n n b a c a n ≤-≤-= ,由比较原则知()1nn n ba ∞=-∑也收敛.于是由()1n n n n n b b a a ∞==-+⎡⎤⎣⎦∑∑知,1n n b ∞=∑也收敛.但级数1n n a ∞=∑,1n n c ∞=∑都发散时,1n n b ∞=∑不一定发散.例如1n a n -=∑∑与111n n n c n∞∞===∑∑都发散,但()11n nb n--=∑∑收敛,且满足()1,2,n n n a b c n ≤≤= .3.若lim0nn na kb →∞=≠,且级数n b ∑绝对收敛,证明级数n a ∑也收敛.若上述条件中只知道nb∑收敛,能推得na∑收敛吗?证 由lim0nn n a k b →∞=≠,知lim 0n n na kb →∞=>,由比较原则,n b ∑收敛,故n a ∑收敛,从而知na∑收敛.若只知n b ∑收敛,则得不到n a ∑收敛.例如()1nn b n-=∑∑收敛,取()111,2,nn a n n-== , 则11lim lim 110n nn n n a b -→∞→∞⎡⎤-=+=≠⎢⎢⎣,级数n a ∑发散. 4. (1)设n u ∑为正项级数,且11n nu u +<,能否断定n u ∑收敛? (2)对于级数n u ∑有11n nu u +≥,能否断定级数n u ∑不绝对收敛,但可能条件收敛? (3)设n u ∑为收敛的正项级数,能否存在一个正数ε,使得1lim01nn u c n ε→∞+=>? 解 (1)否.例如1n u n=∑∑,当然有111n n u nu n +=<+,但级数n u ∑发散. (2)否.由11n nu u +≥得110n n u u u +≥≥>,于是lim 0n n u →∞≠,从而lim 0n n u →∞≠,根据级数收敛的必要条件知,nu∑发散.(3)不一定.例如1n n∑收敛,但对任意的0ε>,1111lim lim 01n n n n n n n εε--→∞→∞+==. 5.证明:若级数na∑收敛,()1n n bb +-∑绝对收敛,则级数n n a b ∑也收敛.证 由na∑收敛知,对10,N ε+∀>∃∈ ,当1n N >时,对p +∀∈ ,都有n pkk naε+=<∑.又()1n n bb +-∑绝对收敛,对上述的ε,2N +∃∈ ,当2n N >时,对p +∀∈ ,都有1n pk k k nb b ε++=-<∑,而由()1n n bb +-∑收敛知,其部分和数列()1111nk k n k b b b b ++=-=-∑有界,即()1,2,n b M n <= .由阿贝耳变换知,当{}12max ,n N N >时,对任何自然数p ,有()()()()11111211112111.n pn p n n k kn n n n n k n p n p kn p kk nk nk nk nn p n p n pn n n n n kn p n pkn pkk nk nk nn p k k k na bb b a b b a b b ab a b b a b b ab b ab ab b M M εεεε++-++++++-++====++-+++++-++===+-+==-+-++-+≤-+-++-+⎛⎫≤-+≤+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑由Cauchy 收敛准则,级数n na b∑收敛.6.设0n a >,证明级数()()()12111nna a a a +++∑ 收敛.证 ()()()12111nn a a a a +++∑ 是正项级数()()()()()()()()1111111111111111111nn k k n k k k k k n a a S a a a a a a a a ==-⎡⎤==-=-<⎢⎥++++++++⎣⎦∑∑ 可见{}n S 有界,故级数()()()12111nna a a a +++∑ 收敛.7.证明:若级数2n a ∑与2n b ∑收敛,则级数n n a b ∑和()2n n a b +∑也收敛,且()222n nnna b a b≤⋅∑∑∑.()()()()111222222nn nnab a b +≤+∑∑∑.证 因为()2212n n n n a b a b ≤+,且2n a ∑与2n b ∑都收敛,故n n a b ∑收敛,从而n n a b ∑也收敛,同时,()()2222n n n n n n a b a a b b +=++∑∑也收敛.在Cauchy-Schwarz 不等式222111n n n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑和Mink 不等式()111222222111n n n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑, 中令n →∞,便得所要证明的不等式.。

华东师范大学2019 年攻读硕士学位研究生入学试题一（12 分）设 f(x) 是区间 I 上的连续函数。

证明：若f(x) 为一一映照，则 f(x) 在区间 I 上严格单一。

二（ 12 分）设证明：若 f(x), D(x)f(x)在点x=0处都可导，且f(0)=0,则f '(0)0三（ 16 分）观察函数 f(x)=xlnx的凸性，并由此证明不等式：四（ 16 分）设级数a n n 收敛，试就d n为正项级数和一般项级数两种n 1n 1状况分别证明a n n n 也收敛。

n 1五（ 20 分）设方程F ( x , y )0 知足隐函数定理条件，并由此确立了隐函数y=f(x) 。

又设F ( x , y )拥有连续的二阶偏导数。

（1）求f ''( x)（2）若F ( x0, y0)0, y0 f ( x0 ) 为f(x)的一个极值，试证明：当 F y ( x0 , y0 ) 与 F xx ( x0 , y0 ) 同号时， f ( x0 ) 为极大值；当 F y ( x0 , y0 ) 与 F xx ( x0 , y0 ) 异号时， f ( x0 ) 为极小值。

（3）对方程x2xy y 227 ，在隐函数形式下（不解出y）求y=f(x) 的极值，并用（ 2）的结论鉴别极大或极小。

六（ 12 分）改变累次积分的积分序次，并求其值。

七（12 分）计算曲面积分I ( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) dss其中 s 为锥面 z x2 y2上介于 0 z h 的一块，c o s , c o s 为,s c的下o侧s法向的方向余弦。

华东师范大学2019 年攻读硕士学位研究生入学试题一．简答题（ 20 分）（ 1）用定义考证： lim 3 n 2 2 32 ；n 2 n n 1 2（ 2）计算x 3dx .1x2二 （ 12 分 ） 设 f(x) 有连续的 二 阶 导 函 数 ， 且f ()2, [ f ( x )f '' ( x )]sinxdx5, 求 f(0).三（ 20 分）（ 1）已知 a n 为发散的一般项级数，试证明(11) a n 也是发散级数。

!!第十二章数项级数内容提要!一!定义给定一个数列!!""#对它的各项依次用$!%号连接起来的表示式!"!!#!&&!"!&&!称为数项级数或无穷级数’也常简称级数(#其中!"称数项级数!的通项#数项级数!记作"$"$"!"或"!"#二!级数收敛的柯西准则级数!收敛的充要条件是)任给!#%#总存在自然数%#使得当&#%和任意的自然数’#都有$!&!"!!&!#!&!!&!’$%!反之#级数!发散的充要条件是)存在某正数!%#对任何自然数%#都存在&%#%和自然数’%#有$!&%!"!!&%!#!&!!&%!’%$&!由此易得)若级数!收敛#则&’()’!$*)+*,三!正项级数收敛性的判别方法"-正项级数!"!!#!&!!"!&&收敛的充要条件是)部分和数列!(""有界#即存在某正数)#对一切自然数"有("%)##-比较判别法.-比较原则的极限形式/-达朗贝尔判别法’或称比较判别法(0-比较判别法的极限形式*!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#1-柯西判别法’或称根式判别法(2-根式判别法的极限形式3-积分判别法4-拉贝判别法"%-拉贝判别法的极限形式四!一般项级数收敛性的判别方法"-级数"$!"$收敛#则级数"!"绝对收敛#若"!"收敛#"$!"$发散#称级数"!"为条件收敛##-莱布尼兹判别法.-阿贝尔判别法/-狄利克雷判别法典型例题与解题技巧$例!%!设"$"$"*#"收敛#证明)"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#分析!本题主要考查正项级数的判敛#要求灵活运用正项级数的几种判敛法#证明!%%*"!"&)"%"#*#"!""&)#’("易知)"$"$#""&)#"收敛’积分判别法(#又"$"$#*#"收敛#所以"$"$#"#*#"""&)#’("收敛#由比较判别法知"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#$例"%!设+’,(在点,+%的某一邻域内具有连续的二阶导数#且&’(,’%+’,(,+%#证明)级数"$"$"+’""(绝对收敛#分析!本题考查级数与之前所学知识的综合运用#级数的绝对收敛的判定#证明!由&’(,’%+’,(,+%#又+’,(在,+%的某邻域内具有连续的二阶导数#可推出+’%(+%#!+’-%(+%将+’,(在,+%的某邻域内展成一阶泰勒公式+’,(++’%(!+’-%(,!"#+.’"(,#+"#+.’"(,#!’"在%与,之间(又由题设+’.,(在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续#因此()#%#使$+’.,($)!#于是$+’,($+"#$+.’"($,#)!#,#令,+""#则$+’""($)!#*""##因为"$"$"""#收敛#故"$"$"+’""(绝对收敛#*"*第十二章!数项级数历年考研真题评析!$题!%!’中山大学##%%1年(级数"$"$"*"收敛的充要条件是)对任意的正整数序列/"#/##&#/"#&都有&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%#分析!本题考查对级数收敛的定义的理解程度#证明!必要性!因为"$"$"*"收敛#所以对*!#%#(%#%#当"#%及*0+%#有$*"!"!*"!#!&!*"!’$%!特别地$*"!"!*"!#!&!*"!/"$%!所以&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%充分性!用反证法#若"*"发散#则(!%#%#*%#%#("#%及自然数’#使$*""!"!&!*"!’$&!%特别地%"+"#(""#"及自然数/"使$*"!"!&!*""!/"$&!%%#+(56!""##"#("##%##及自然数/##使$*""!"!&!*"#!/#$&!%&&&&这与&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%的假设矛盾#$题"%!’同济大学##%%1年(证明)级数"$"$"’7"("8’),"*,,%都是条件收敛的#分析!本题考查条件收敛的判断#莱布尼兹判别法与比较判别法的灵活运用#证明!不妨设,#%#则(%,#%#当"#%,时#%%,"%###此时8’),"#%#且8’),!""为单调递减数列#且&’("’!$8’),"+%#由莱布尼兹判别法知"$"$"’7"("8’),"收敛#而当"#%,时#’7"("8’),"+8’),"#%#&’("’!$8’),","+"#又"$"$","发散#由比较判别法知"$"$"8’),"也发散#所以*,,%#级数"$"$"’7"("8’),"都是条件收敛的#课后习题全解!!!9"!级数的收敛性-"-证明下列级数的收敛性#并求其和数)*#*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’"(""*11"1*""1"""*"11&1"’0"2/(’0"1"(1&+’#(’"#1".(1’"##1".#(1&1’"#"1"."(1&+’.(""$"$""’"1"(’"1#(+’/(""$"$’"1!#2#"1!"1!"(+’0(""$"$#"2"#"-!分析!’"(进行积分和差的转化#’/(以某一项拆分为两项的方式重新组合原式#!解!’"(("$"3$"""’032/(’031"($"0"3$""’"032/2"031"($"0’"2"0"1"(于是($&’("’$("$"0#故级数收敛且其和为"0-’#(("$"3$""’"#31".3($"3$"""#31"3$""".3$"#2"#"1""2"#1".2"."1""2".$.#2"#"2"#4."于是($&’("’$("$.##故级数收敛且其和为.#-’.(("$"3$"""3’31"(’31#($"#"3$"","3’31"(2"’31"(’31#(-$"#,"#2"’"1"(’"1#(-于是($&’("’$("$"/#故级数收敛且其和为"/-’/(("$"3$""’31!#2#31!"1!3($"3$""’31!#231!"(2"3$""’31!"2!3($’"1!#2!#(2’"1!"2"($"2!#1""1!#1"1!"于是("$&’("’$("$"2!##故级数收敛且其和为"2!#-’0(("$#("2("$"3$""#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$#"#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$""2"##32#"2"#"*$*第十二章!数项级数$"1"2"#"2""2"#2#"2"#"$.2"#"2#2#"2"#"’"&#(于是($&’("’$("$.#故级数收敛且其和为.-.#-证明)若级数"!"发散#5,%#则"5!"也发散-!证明!因为级数"!"发散#即(!%#%#对任何%+:1#总有&%+:1和’%+:1使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&!%所以65!&%1"15!&1#1&15!&%1’%6$6566!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&656!%于是"5!"亦发散-..-设级数"!"与"7"都发散#试问"’!"17"(一定发散吗.又若!"与7"’"$"###&(都是非负数#则能得出什么结论.!解!若"!"#"7"都发散#则"’!"17"(不一定发散-例如#""和"’2"(是发散的#但"’"1’2"((是收敛的+""和"#是发散的#"’"1#($".亦是发散的-若"!"#"7"都发散且!&%#7"&%#则"’!"17"(发散-由柯西收敛准则#知(!%#!"#%#对任何的%+:1#总存在&%#’%#&"+:1#使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6$!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%&!%和67&"1"17&"1#1&17&"1’"6$7&"1"17&"1#1&17&"1’"&!"故6’!&%1"17&%1"(1’!&%1#17&%1#(1&1’!%1’%17&%1’%(6$’!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%(1’7&%1"17&%1#1&7&%1’%(&!%即"’!"17"(必发散--/-证明)若数列!*""收敛于*#则级数"$"$"’*"2*"1"($*"2*#!分析!单项收敛则和也收敛#!证明!由已知条件知#数列!*""收敛于*#即&’("’$*"$*#故("$"3$""’*32*31"($*"2*"1"从而($&’("’$("$&’("’$’*"2*"1"($*"2&’("’$*"1"$*"2*-0-证明)若数列!8""有&’("’$8"$$#则’"(级数"’8"1"28"(发散+’#(当8",%时#级数""8"2"8"1’("$"8"-分析!’#(中间项相互抵消即可#证明!’"(因为("$"3$""’831"283($8"1"28"($&’("’$("$&’("’$’8"1"28"($$*%*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#故"’8"1"28"(发散-’#(当8",%时("$"3$"""832"831’("$"8"2"8"1"即($&’("’$("$"8"2&’("’$"8"1"$"8"故级数""8"2"8"1’("收敛于"8"--1-应用第/#0题的结果求下列级数的和)’"(""$"$"’*1"2"(’*1"(+!!!!!!’#(""$"$’2"("1"#"1""’"1"(+’.(""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"--!分析!’"(积化和差将原式拆分#简化了问题#’.(识记&’("’$""#$%#!解!’"(因为""$"$"’*1"2"(’*1"($""$"$"*1"2"2"*1’("而数列"*1"2!""收敛于%#故由第/题的结论#可知""$"$"’*1"2"(’*1"($"*1"2"2%$"*’*,%(’#(因为""$"$’2"("1"#"1""’"1"($""$"$,2’2"(""2’2’2"("1""1"(-而数列2’2"("!""收敛于%#故""$"$’2"("1"#"1""’"1"($2’2"(""2%$"’.(因为""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""$"$,""#1"2"’"1"(#1"-而数列""#1!""收敛于%#故""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""#1"2%$"#-2-应用柯西准则判别下列级数的敛散性)’"("8’)#"#"+!!!!’#("’2"("2""##"#1"+’.("’2"(""+’/("""1"!#-分析!’"(运用柯西准则进行判别#’/(注意取"%时#应考虑合适的取法#*&*第十二章!数项级数解!’"(由于!6!&1"1!&1#1&1!&1’6$68’)#&1"#&1"18’)#&1##&1#1&8’)#&1’#&1’6!!%"#&1"1"#&1#1&1"#&1’$"#&2"#&1’%"#&因此#对任意的!#%-取&$&;<#",-!使得当&#%及*’+:1#由上式就有6!&1"1!&1#1&1!&1’6%!成立#故由柯西准则可推出"8’)#"#"收敛-’#(因&’("’$’2"("2""##"#1"$"##"/#故取!%$"/-对任一%+:1#总存在&%#%#和’%$"#有6!&%1"6$’&%1"(##’&%1"(#1"#"/$!%由柯西准则可知"’2"("2""##"#1"发散-’.(由于数列"!""单调减小#故6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6$"&%1"2"&%1#1&1’2"(’2""&%1’%"&%1"%"&%因此#*!#%#取%$",-!1"当&%#%及’+:1时#都有6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6%!成立-由柯西准则可知级数"’2"("""收敛-’/(取!%$"!##*%+:1#及取&%$#%#’%$&%#则当&%#%时#就有"3$"’%"’&%13(1’&%13(!##"3$"’%"#’&%13(!#$"’%3$""!#’&%13(#"3$"’%"!#’&%1&%($"!##由柯西准则知"""1"!#发散-/3-证明级数"!"收敛的充要条件是)任给正数!#存在某正整数%#对一切"#%总有6!%1!%1"1&1!"6%!-!分析!由结论6!%1&1!"6%"的形式推出用柯西准则证明#!证明!必要性!若"!"收敛#则由柯西准则可知*!#%#(%"+:1使得*"#&#%"时有*’*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#6!&1"1!&1#1&1!"6%!取%#%"1"#则*"#%#有6!%1!%1"1&1!"6%!充分性!若*!#%#(%+:1#*"#%#总有6!%1!%1"1&!"6%!/#则*&#%及’+:1有!6!&1"1!&1#1&1!&1’6)6!%1!%1"1&1!&1’616!%1!%1"1&1!&6%!/#1!/#$!由柯西准则知级数"!"收敛-!小结!"/#和"都是表示无穷小的数#形式不一样但含义一样#.4-举例说明)若级数"!"对每个固定的’满足条件&’("’$’!"1"1&1!"1’($%#此级数仍可能不收敛-!解!调和级数"""对每一个固定自然数’#有&’("’$""1"1""1#1&1""1’(’$&’("’$""1"1&’("’$""1#1&1&’("’$""1’$%但该级数""#是发散的-/"%-设级数"!"满足)加括号后级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛’""$%(#且在同一括号的!"31"#!"31##&#!"31"符号相同#证明"!"亦收敛-分析!证明"!"收敛需要证其和表达式("收敛于某数(#证明!因为级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛#则有&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"31"($%所以*"+:1#总存在3+:1#使"$"319’")9)"31"2"3(时#有("$":$""!"$":$"32"’!":1"1!":1#1&1!":1"(1’!"31"1!"31#1&!"319($(-32"1’!"31"1!"31#1&1!"319(其中(-32"表示加括号级数的前32"项之和-当"’$时#32"’1$#从而有($&’("’$("$&’("’$(-32"1&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"319($&’("’$(-32"故"!"收敛#其和不变-小结!此题根据3’1$时和(3与(31"的极限一样得出结论#9#正项级数-"-应用比较原则判别下列级数的敛散性)*(*第十二章!数项级数’"("""#1*#+!!!!!!!!!!’#("#"8’)#."+’.("""1"!#+’/(""$#$"’&)"("+’0("’"2=;8""(+’1(""""!"+’2("’"!*2"(’*#"(+’3(""$#$"’&)"(&)"+’4("’*""1*2""2#(’*#%(-!分析!’"(将原式同""#比较得出结果#’#(考虑8’)#."*#"$#’#.("#’1(识记"""数列是发散的#’2(先做代换;$""#!解!’"(因为%)""#1*#%""#而正项级数"""#收敛#所以级数"""#1*#收敛-’#(因为%%#"8’)#."$#’(#."!’"’$(而正项级数"#’(#."收敛#所以级数"#"8’)#."收敛-’.(因为""1"!#&""1"&%而正项级数"""1"发散#所以级数"""1"!#发散-’/(因为%%"’&)"("%"#"!’"#>#(而正项级数""#"收敛#所以级数""’&)"("收敛-’0(因为"2=;8""$"#"’("#’"’1$(而正项级数""#"#收敛#所以级数""2=;8"’("收敛-’1(因为&’("’$"!"$"#故(%+:1#当"#%时#有"!"%#即"""!"#"#"而正项级数""#"发散-所以级数""""!"发散-’2(因为&’("’$"!*2"""令;$"000000"&’(;’%*;2";$&’(;’%*;&)*"$&)**)*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#而正项级数"""发散#所以级数"’"!*2"(发散-’3(因为"’&)"(&)"$">&)’&)"(&)"$"’>&)"(&)’&)"($""&)’&)"(%""#而正项级数"""#收敛#所以级数""’&)"(&)"收敛-’4(因为&’("’$*""1*2""2#’"#"(#$&’("’$’*"#"2*2"#"(#’"#"(#令;$"#000000"&’(;’%1*;2*2;’(;#$’#&)*(#而正项级数"’"#"(#收敛#所以级数"’*""1*2""2#(收敛--#-用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"("0+!!!’#("’"1"(0"%"+’.("’"#"1"("+’/(""0""+’0(""##"+’1("."*"0""+’2("8*’(""’其中*"’*’"’$(+*"#8#*#%#且#*,8(-分析!’/(运用到&’(,’%’"1,(",$>知识点#’2(根据*18不同取值情况考虑#解!’"(因为!&’("’$!"1"!"$&’("’$"*.*&*’#"1"(’"1"(0*"0"*.*&*’#"2"($&’("’$#"1""1"$#所以由比式判别法知正项级数""*.*&*’#"2"("0发散-’#(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1#(0"%"1"*"%"’"1"(0$&’("’$"1#"%$1$所以由比式判别法知正项级数"’"1"(0"%"发散-’.(因为&’("’$"’"#"1"(!"$&’("’$"#"1"$"#%"所以由根式判别法知正项级数"’"#"1"("收敛-’/(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"(0’"1"("1"*"""0$&’("’$"’"1""("$">%"所以由比式判别法知正项级数""0""收敛-’0(因为&’("’$"!!"$&’("’$""!##$&’("’$’"!"(##$"#%"**!*所以由根式判别法知正项级数""##"收敛-’1(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$."1"’"1"(0’"1"("1"*"".""0$&’("’$.’"1""("$.>#"所以由比式判别法知正项级数".""0""发散-’2(因为&’("’$"!!"$&’("’$8*"$8*所以由根式判别法知#当*#8时#正项级数"’8*"("收敛+当*%8时#正项级数"’8*"("发散--.-设"!"和"7"为正项级数#且存在正数%%#对一切"#%%#有!"1"!")7"1"7"-证明)若级数"7"收敛#则级数"!"也收敛+若"!"发散#则"7"也发散-!分析!运用比式判别法进行证明即可#!证明!若"7"收敛#由题意#知当"#%%时#有!"1"!")7"1"7"#即%%!"1"7"1")!"7")&)!%%1"7%%1"故!"1")!%%1"7%%1"*7"1"!’"#%%(而!%%1"7%%1"是常数#所以由比式判别法知正项级数"!"亦收敛-若正项级数"!"发散#同理可证正项级数"7"亦发散-./-设正项级数"*"收敛#证明"*#"亦收敛+试问反之是否成立.!证明!由正项级数"*"收敛可知!!&’("’$*"$%即(%%+:1#当"#%%时#有!!%)*"%"从而%)*#"%*"由比较原则可知#正项级数"*#"收敛#但反之不一定成立#例如正项级数"""#收敛#但正项级数"""发散--0-设*"&%#"$"###&#且!"*""有界#证明"*#"收敛-!分析!注意条件$!"*""有界%#可由此设%)"*"%)再进行证明#!证明!由题意可知()#%#*"+:1#有%)"*"%)*!!*即%)*"%)"从而%)*#"%)#"#而级数"""#收敛#由比较原则可知级数"*#"亦收敛-.1-设级数"*#"收敛#证明"*""’*"#%(也收敛-!证明!对*"#%及任意正整数"#有%%*"")"#*#"1""’(#而"*#"#"""#都收敛#故"*""亦收敛--2-设正项级数"!"收敛#证明级数"!"!"1!"也收敛-!分析!注意运用!*8)"#’*18(#!证明!对!"#%#及任意正整数"#有%)!"!"1!")"#’!"1!"1"(而级数"!"收敛#故由比较原则知级数"!"!"1!"收敛-.3-利用级数收敛的必要条件#证明下列等式)’"(&’("’$""’"0(#$%+!!!’#(&’("’$’#"(0*"0$%!’*#"(-!解!’"(设!"$""’"0(##则正项级数"!"$"""’"0(#是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"("1",’"1"(0-#*’"0(#""$&’("’$""1""1"’(""$%故由柯西准则可知&’("’$!"$&’("’$""’"0(#$%-’#(设!"$’#"(0*"0则正项级数"!"$"’#"(0*"0是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’#’"1"((0*’"1"(0**"’#"(0$&’("’$’#"1"(’#"1#(*"1"$%故由柯西准则知&’("’$!"$&’("’$’#"(0*"0$%--4-用积分判别法讨论下列级数的敛散性)’"("""#1"+!!!!!!!’#("""#1"+’.(""$."""&)"&)’&)"(+’/(""$.$""’&)"(’’&)&)"(<#!分析!’.(运用积分判别法#’/(分别讨论’1<的不同取值情况#!解!’"(设+’,($",#1"*"!*则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而11$"?,"1,#$#/故由积分判别法知"""#1"收敛-’#(设+’,($,,#1"则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而&’(,’$,*,,#1"$"由11$",,#1"?,发散#于是由积分判别法知"""#1"发散-’.(设+’,($",&),&)’&),(则+’,(在,.#1$(上为非负递减#而11$.+’,(?,$11$.?,,&),&)’&),($11$&)&).?!!$1$故由积分判别法知""$."""&)"&)’&)"(发散-’/(设+’,($",’&),(’’&)&),(<则+’,(在,.#1$(上非负递减-$(若’$"#这时有11$.?,,&),’&)&),(<$11$&)&).?!!<当<#"时级数收敛#当<)"时级数发散-%(若’,"#这时有11$.?,,’&),(’’&)&),(<$11$&)&).?!>’’2"(!!<对任意的<#当’2"#%时#取;#"#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$%即该积分收敛#当’2"%%时#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$1$即该积分发散-即对任意的<#当’#"时级数收敛+当’%"时级数发散-/"%-设!*""为递减正项数列#证明)级数""$"$*"与"#&*#&同时收敛或同时发散-!分析!首先证明(")="#即可证="收敛2("收敛+证发散也可类似此法#!证明!设正项级数"*"的部分和为("#正项级数"#&*#&的部分和为="#则由于!*""为递减正项数列#即有*#!*("$*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&1*")*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&’*#91&1*#91"2"()*"1#*#1&1#9*#9$=9!’")#9(故若正项级数"#&*#&收敛#则正项级数"*"亦收敛-反之当"&#9时#则("&*"1*#1’*.1*/(1&1’*#92"1"1&1*#9(#"#’*"1#*#1/*/1&1#9*#9($"#=9故若正项级数"*"收敛#则正项级数"#&*#&亦收敛-发散的情况类似可证-!小结!需要对"的取值分类讨论#.""-用拉贝判别法判别下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"(#*/*&*’#"(*"#"1"+’#(""0’,1"(’,1#(&’,1"(!’,#%(-!解!’"(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$,"2"*.*&*’#"1"(#*/*&*’#"1#(*’#"1.(*#*/*&*’#"(*’#"1"("*.*&*’#"2"(-$&’("’$"’1"10(’#"1#(’#"1.($.##"所以由拉贝判别法知级数收敛-’#(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$""2’"1"(0’,1"(’,1#(&’,1"1"(’,1"(’,1#(&’,1"(",-0$&’("’$",,1"1"$,所以由拉贝判别法知+当,#"时级数收敛+当,)"时级数发散--"#-用根式判别法证明级数"#2"2’2"("收敛#并说明比式判别法对此级数无效-!分析!此题是说明比式与根式判别法并不是在任何地方都有效的例子#!证明!设!"$#2"2’2"("#则&’("’$"!!"$&’("’$"#""#’2"(!"$"#由根式判别法知"!"收敛#但&’("’$!"1"!"$&’("’$#2"1#’2"("不存在#所以比式判别法对此级数无效-*$!*.".-求下列极限’其中’#"()’"(&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’+’#(&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("-!解!’"(因为’#"#"""’收敛-由柯西准则知*!#%#(%+:1#当"#%时#有"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(’%!所以&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’$%’#(因为’#"#级数""’"收敛#由柯西准则知*!#%#(%+:1使得对一切"#%时#有"’"1"1"’"1#1&1"’#"%!所以&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("$%/"/-设*"#%#证明数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"同时收敛或同时发散-!分析!由题意可知两数列有相同敛散性#只需证明一种即可#!证明!由于数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"&)’"1*"(有相同的敛散性-因而本题只需证"*"和"&)’"1*"(的敛散性相同-这两者之一若收敛#必有&’("’$*"$%且当&’("’$*"$%时&’("’$&)’"1*"(*"$"故由比较原则的推论可知"&)’"1*"(与"*"有相同的敛散性-故数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"有相同的敛散性-!小结!注意运用比较原则的推论#9.!一般项级数-"-下列级数哪些是绝对收敛#条件收敛或发散的)’"("8’)","0+!!!!!!!’#("’2"("""1"+’.("’2"(""’1""+’/("’2"("8’)#"+’0("’2"("!"1"’("+’1("’2"("&)’"1"("1"+*%!*’2("’2"("#"1"%%."1’(""+’3(""0,’(""-!分析!’.(需要将’分为’2%#%-#’%#"-#’"#1$(三段讨论#’1(通常是先证绝对收敛#再证条件收敛#!解!’"(因为8’)","0)""0而"""0收敛#所以"8’)","0为绝对收敛-’#(因为&’("’$’2"("""1"$",%所以"’2"("""1"发散-’.(当’)%时&’("’$’2"(""’1"",%故这时级数发散-当’#"时#由于’2"(""’1""$""’而"""’收敛#故这时级数绝对收敛-当%%’)"时#令!!!"$""’1""则!"1"!"$"""’"1""(’’"1"(""1"%"""’"1""(’"""1"$"""’"1"(’"1""(’而"1"’("’’>’#"#"""’"1"(’"!’"’$(从而当"充分大时#有!"1"%!"即!!""为单调递减#又有&’("’$!"$%故由定理"#-""’莱布尼茨判别法(可知#级数"’2"(""’1""在%%’)"时条件收敛-’/(因为’2"("8’)#"$#"’"’$(而"""发散#即原级数不是绝对收敛级数#但8’)#!""是单调递减且&’("’$8’)#"$%-所以由莱布尼茨判别法可知"’2"("8’)#"条件收敛-’0(由于"""发散#"’2"(""!"收敛#故"’2"("!"1"’("发散-’1(因为&)’"1"("1"#""1"*&!*。