华东师范数学分析- 正项级数
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《数学分析》考试大纲一、课程名称:数学分析二、适用专业: 数学与应用数学三、考试方法:闭卷考试四、考试时间:100分钟五、试卷结构:总分:100分,选择题15分,填空题15分,计算题40分,证明题30分。
六、参考书目:1、华东师范大学数学系编著,《数学分析》(上、下册),高等教育出版社,2010年第4版。
2、中国科学技术大学常庚哲史济怀编著,《数学分析教程》(上、下册),高等教育出版社,2003年第1版。
七、考试的基本要求:数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容,考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。
应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力,能运用所学知识正确拙推理证明,准确、简捷地计算。
能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。
八、考试范围第一章实数集与函数(一)考核内容实数及其性质,绝对值与不等式。
区间与邻域,有界集与确界原理。
函数概念,函数的表示法。
函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。
具有某些特性的函数:有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。
(二)考核知识点1、实数:实数的概念,实数的性质,绝对值与不等式;2、数集、确界原理:区间与邻域,有界集与无界集,上确界与下确界,确界原理;3、函数概念:函数的定义,函数的表示法(解析法、列表法、和图象法),分段函数;4、具有某些特征的函数:有界函数,单调函数,奇函数与偶函数,周期函数。
(三)考核要求1、了解实数域及性质;2、掌握几种不等式及应用;3、熟练掌握数域,上确界,下确界,确界原理;4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性(单调性、周期性、奇偶性、有界性等)。
第二章数列极限(一)考核内容数列。
数列极限的定义,无穷小数列。
收敛数列性质:唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。
子列及子列定理。
第12章数项级数12.1复习笔记一、级数的收敛性II级数的走义若S=f如存在极限值s r即HmS r = .S r则级数收敛,S为级数的和。
若{S“}发散,则级数发散。
创重要走理(1)级数收敛的柯西准则工叫收敛mN(NWN+ ),当m>N时以及又寸0p(pWN+ ),都有(2 )如果级数Zu n^£v n都收敛r则对任意常数c , d r级数工(cu n + dv n )也收敛r且》(* +叽)=c》冷加工耳(3)改变级数的有限个项不改变级数的敛散性。
(4 )在收敛级数的项中任意加括号r不改变其收敛性与和。
二、正项级数Q正项级数收敛性的一般判别原则(1)正项级数工%收敛O冥部分和数列{S,J有界。
(2)比较原则设工*和工□是两个正项级数r 3N (NGN* ) r使得对%> N都有u n<v n r则①若8n收敛,则工g也收敛。
②若»1…发散,则工口也发散。
(3 )设& =工*和S"=工V"是两个正项级数.如果则①若0 v 1 v +1级数si S"同敛散。
②若1 = 0且级数S"收敛,级数S,也收敛。
③若1 = + 0C且级数S"发散,级数S也发散。
Q比式判别法和根式判别法(1)比式判别法设工*为正项级数,且存在正整数N()及常数q (0<q<l ),则①若对任意n > N o , SPWu n+1/u n<q ,则工%收敛。
②若对任意n > N o ,都有5+ ]/11診1 ,则》i.发散。
(2 )比式判别法的极限形式若Xw为正项级数,且,则①若q V 1 ,则工Un收敛。
②若q > 1或q =+oo,则工片发散。
③若q = 1 ,则无法判断工叫的发散性。
(3)根式判别法设工g为正项级数,且存在正整数N()及正常数1 ,①若对任意n > N(”都有阪5*1 ,则工%收敛。
华东师范大学数学分析历年考研真题(1997年-2010年)华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一(12分)设f(x)是区间I 上的连续函数。
证明:若f(x)为一一映射,则f(x)在区间I 上严格单调。
二(12分)设1,()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数,为无理数证明:若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导,且f(0)=0,则'(0)0f =三(16分)考察函数f(x)=xlnx 的凸性,并由此证明不等式: 2()(0,0)a b a ba b ab a b +≥>>四(16分)设级数1n a∞=∑收敛,试就1n n d ∞=∑为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nn a∞=∑五(20分)设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件,并由此确定了隐函数y=f(x)。
又设(,)Fx y 具有连续的二阶偏导数。
(1) 求''()f x(2)若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)的一个极值,试证明:当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时,0()f x 为极大值; 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时,0()f x 为极小值。
(3)对方程2227xxy y ++=,在隐函数形式下(不解出y )求y=f(x)的极值,并用(2)的结论判别极大或极小。
六(12分)改变累次积分4204842(4)x x xI dx y dy --=-⎰⎰的积分次序,并求其值。
七(12分)计算曲面积分222(cos cos cos )sI x y z ds αβγ=++⎰⎰其中s 为锥面z =上介于0z h ≤≤的一块,{}c o s,c o s ,c o s αβγ为s 的下侧法向的方向余弦。
华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一. 简答题(20分) (1) 用定义验证:22323lim 212n n n n →∞+=++;(2) '2cos ,0(),()ln(1),0x x f x f x x x <⎧=⎨+≥⎩求; (3)计算3.二(12分)设f(x)有连续的二阶导函数,且''0()2,[()()]sin 5,f f x f x xdx ππ=+=⎰求f(0).三(20分)(1)已知1n n a ∞=∑为发散的一般项级数,试证明11(1)n n a n∞=+∑也是发散级数。
第十二章 数项级数§1 级数的收敛性1. 证明下列级数收敛,并求其和: (1)()()1111;1661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+ (2) 2211111;232323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3) ()()11;12n n n n ∞=++∑(4)1;n ∞=-+∑ (5)121.2n n n ∞=-∑ 解 (1) 1111111111566115451551n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以 1lim 5n n S →∞=.由定义知,该级数收敛,且和为15.(2) 由例1知22111111111321,1122233321123n n ++++==++++==-- ,所以,原级数收敛,且其和为13122+=.(3) 因为()()()()()1111122112n u n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦,从而()()()()()()11111111211222124nn k S n k k k k n n =⎡⎤⎡⎤=-=-→→∞⎢⎥⎢⎥+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑,故该级数收敛,且其和为14. (4) 因为n u ===从而)11nn k S n ====→∞∑, 故该级数收敛,且其和为1(5) 由于2342341222111135721135232122222222222111111112121221112222222212n n n nn n n n n n n n n S S n n S +--++---⎛⎫⎛⎫-=+++++-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎡-⎤-⎛⎫⎝⎭=+++++-=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-所以,()113112n S n →+=→∞-,故该级数收敛,且其和为3.解后总结:用定义证明级数收敛,关键是求出前n 项部分和n S .常用的求和方法有:裂项求和法(如(1)题,有理化分子法(如(4)题,错位相减法(如(5)题)等. 2. 证明:若级数1nn u∞=∑发散,0c ≠,则1nn cu∞=∑也发散.证 证法1 [反证法] 若1n n cu ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑()11n n cu c ∞==∑,由定理12.2知,1n n u ∞=∑也收敛,矛盾.证法2 因为1nn u∞=∑发散,由Cauchy 收敛准则,00,ε∃>对N +∀∈ ,都存在(),n m N n m ><,使得1mkk n ucε=+≥∑,从而01mkk n cuε=+≥∑.由Cauchy 收敛准则知,1n n cu ∞=∑发散.3. 设级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都发散,试问()1nn n uv ∞=+∑一定发散吗?又若n u 与()1,2,n v n = 都是非负数,能得出什么结论? 解 当1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散时,()1n n n u v ∞=+∑不一定发散.如()11nn ∞=-∑与()111n n ∞-=-∑都发散,但()()1111n n n ∞-=⎡⎤-+-⎣⎦∑是收敛的. 若n u 与()1,2,n v n = 都是非负数时,则()1nn n uv ∞=+∑一定发散.事实上,因为1n n u ∞=∑发散,由Cauchy 收敛准则,00,ε∃>对N +∀∈ ,都存在(),n m N n m ><,使得01mkk n uε=+≥∑,从而()()0111mmmkk kk kk n k n k n uv uv uε=+=+=++=+≥≥∑∑∑,故()1n n n u v ∞=+∑发散.4. 证明: 若数列{}n a 收敛与a ,则级数()111nn n aa a a ∞-=-=-∑.证 因为lim n n a a →∞=,故()()11111nn kk n k S aa a a a a n ++==-=-→-→∞∑,所以()111n n n a a a a ∞-=-=-∑.5. 证明:若数列{}n b 满足lim n n b →∞=∞,则(1)级数()11n n n b b ∞+=-∑发散. (2) 当()01,2,nb n ≠= 时,级数111111n nn b b b ∞=+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑. 证 (1) 因为lim n n b →∞=∞,故()()1111nn k k n k S bb b b n ++==-=-→∞→∞∑,所以()11n n n b b ∞+=-∑发散.(2) 当()01,2,n b n ≠= 时,因为lim n n b →∞=∞,所以1lim0n nb →∞=,从而()1111111111nn k kk n S n b b b b b =++⎛⎫=-=-→→∞ ⎪⎝⎭∑, 所以111111n nn b b b ∞=+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑. 6. 应用第4题的结果求下列级数的和:(1)()()111n a n a n ∞=+-+∑; (2)()()112111n n n n n ∞+=+-+∑; (3)()()22121111n n n n ∞=+⎡⎤+++⎣⎦∑. 解 (1) 因为()()1111111n n a n a n a n a n ∞∞==⎛⎫=- ⎪+-++-+⎝⎭∑∑,而1lim 01n a n →∞=+-,由第4题的结论知,()()1111111n a n a n a a ∞===+-++-∑. (2)因为()()()()121111121111n n n n n n n n n n ++∞∞+==⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥-=- ⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑,而数列()11n n +⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭收敛于零,由4题知,()()()21112110111n n n n n ∞+=-+-=-=+∑.(3)因为()()()()2222112111111111n n n n n n n ∞∞==⎡⎤+⎢⎥=-⎡⎤+++⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦∑∑,而数列211n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭收敛于零,由4题知,()()222121110112111n n n n ∞=+=-=+⎡⎤+++⎣⎦∑. 7.应用Cauchy 收敛准则判别下列级数的敛散性:(1)1sin 22nnn ∞=∑; (2) ()1221121n n n n -∞=-+∑; (3)()11nn n∞=-∑; (4)n ∞=.证 (1) 对()01εε∀><,因为111sin 2sin 211122222n n p n n p n n p n++++++++≤++≤ , 所以,21log N ε+⎡⎤∃=∈⎢⎥⎣⎦,则当n N >,对任意的自然数p ,都有 111sin 2sin 211122222n n p n n p n n p nε++++++++≤++≤< , 由Cauchy 收敛准则得,1sin 22nnn ∞=∑收敛. (2) 证法1 因为221lim lim 0212n n n n a n →∞→∞==≠+,所以lim 0n n a →∞≠,由级数收敛的必要条件知,级数()1221121n n n n -∞=-+∑发散.证法2 (用Cauchy 收敛准则) 取013ε=,对N +∀∈ ,存在001,2n N m N =+=+,且 ()()()()()001222102211111221322132N m n N N n n n n n n n n N N u u u u N N ε+++====-++-=-=≥==+++∑∑∑∑, 由Cauchy 收敛准则知,该级数发散. (3) 因为()()()()()()1211111111112121111111112123n n n p p p p n n n p n n n pn n n p n n n n p n+++-------+++=-++++++++⎡⎤--=-++=--++<⎢⎥+++++++⎢⎥⎣⎦故,对10,N εε⎡⎤∀>∃=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,对任意的正整数p ,都有()()()12111112n n n pn n n pnε+++---+++<<+++ , 由Cauchy 收敛准则知,该级数收敛. (4) 令p n =,则2221111n nnnnnk k k k k k k n k u u =====+=-=-==≥>=∑∑∑故对取定的0ε=对N +∀∈ ,都存在1n N N =+>,和p n =,有201111n p nnnk k k k k k u u ε+====-=-≥>==∑∑,由Cauchy 收敛准则,知该级数发散. 8. 证明级数1nn u∞=∑收敛的充要条件是:任给正数ε,存在某正整数N ,对一切n N >,总有1N N n u u u ε++++< .证 [必要性] 若1nn u∞=∑收敛,则有Cauchy 收敛准则知,给正数ε,存在某正整数1N ,对一切1n m N >>时,总有12m m n u u u ε+++++< .取11N N >+,则对一切n N >,总有1N N n u u u ε++++< .[充分性] 若对任给正数ε,存在某正整数N ,对一切n N >,总有1N N n u u u ε++++< .则对一切n m N >>,都有()1211112,m m n N N n N N m N N n N N m u u u u u u u u u u u u u u u εεε+++++++++=+++-+++≤+++++++<+=由Cauchy 收敛准则知,1nn u∞=∑收敛.9. 举例说明:级数1nn u∞=∑对每个固定的p 满足条件()1lim 0n n p n u u ++→∞++= ,此级数仍可能不收敛.解 例如11n n ∞=∑是发散级数,对每个固定的p ,1111lim lim lim 011n n n n n p n n p →∞→∞→∞⎛⎫++=++= ⎪++++⎝⎭ . 10. 设级数1nn u∞=∑满足:加括号后级数()1121k k k n n n n uu u +∞++=+++∑ 收敛()10n =,且在同一括号中的112k k k n n n u u u ++++++ 符号相同,证明级数1nn u∞=∑也收敛.证 因为()1121k k k n n n n uu u +∞++=+++∑ 收敛()10n =,所以,有Cauchy 收敛准则知,对0,l ε+∀>∃∈ ,当k l >时,对一切正整数p ,有123k k k p b b b ε++++++< ,其中()1121,2,k k k k n n n b u u u k +∆++=+++= .设,l m n p >为任一正整数,则j i l ∃>≥,使得11,i i j j n m n n m p n ++<≤<+≤,从而()()()()1121111111212121121121,333i i i i j j j j j i i j m m m p m m m n n n n n n n n m p i i jn n m m p m p n i i j i ju u u u u u u u u uu u u u u b b b u u u u u u b b b b b εεεε+++--+++++++++++++++-++++++++=++++++++++++++++≤+++++++++++≤+++++<++=故由Cauchy 收敛准则知,1nn u∞=∑收敛.§2 正项级数1.应用比较原则判别下列级数的敛散性:(1)2211n n a ∞=+∑; (2)12sin 3nn n π∞=∑; (3)1n ∞=; (4)()11ln n n n ∞=∑; (5)111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑;(6)n ∞=; (7))()111n a ∞=>∑; (8)()ln 21ln nn n ∞=∑; (9)()11120n nn a a a ∞-=⎛⎫+-> ⎪⎝⎭∑.解 (1)由于()2221101,2,n n a n ≤≤=+ ,又211n n ∞=∑收敛,故2211n n a∞=+∑收敛.(2) 因为()22sin ~33n nn n ππ⎛⎫→∞ ⎪⎝⎭,而级数123nn π∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛,故12sin 3n n n π∞=∑收敛.(3)()1~n n→∞,而级数11n n ∞=∑发散,故原级数发散.(4)因为()()21102ln nn n e n <<>,而级数912n n ∞=∑收敛,故原级数收敛. (5)因为()2111cos ~2n n n -→∞,而级数2112n n ∞=∑收敛,故原级数收敛. (6)()1~n n →∞,而级数11n n∞=∑发散,故原级数发散. (7)因为001ln lim lim ln 1t t n t t a a a a t n→∞→→-===,而级数11n n∞=∑发散,故原级数发散. (8)因为当2e n e >时,()()()()()ln 2ln ln ln ln ln ln ln ln 11111ln nn nn n n n en n e⋅===<,而级数2811n n∞=∑收敛,故原级数收敛.(9)因为()2112211222202lim lim lim 2ln 1122n n t t n n n n t a a a a a a a t n n ---→∞→∞→⎛⎫- ⎪⎛⎫+--⎝⎭=== ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而级数2112n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛,故原级数收敛. 2.用比式判别法或根式判别法判定下列级数的敛散性: (1)()11321!n n n ∞=⋅-∑; (2)()11!10nn n ∞=+∑; (3)121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑; (4)1!n n n n ∞=∑; (5)212n n n ∞=∑;(6)13!nn n n n∞=∑; (7)1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑(其中();,,0n n a a n a b a →→∞>,且a b ≠)解 (1)因为()()()()121!!!21221!!1!1n n n n u n n u n n n ++⋅+==→→∞-⋅++,由比式判别法知,该级数发散.(2) 因为()()()112!102101!10n n n n n u n n u n +++⋅+==→∞→∞+⋅,由比式判别法知,该级数发散.(3)()1212n n n =→→∞+,由根式判别法知,该级数收敛. (4) 因为()()()111!111!nn n n n n n u n n u n e n n +++⎛⎫==→→∞ ⎪+⎝⎭+⋅,由比式判别法知,该级数收敛. (5)()12n =→→∞,由根式判别法知,该级数收敛. (6) 因为()()()()11131!333113!111n n n n n n n n n n n u n n u e n n n n +++⋅⋅+===→>→∞+⋅⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭,由比式判别法知,该级数发散.(7)()n b bn a a=→→∞,从而当a b >时,由根式判别法知,该级数收敛;而当a b <时,该级数发散;当a b =时,敛散性不定.3.设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为正项级数,且存在正数0N 时,对一切0n N >,有11n n n nu v u v ++≤.证明:若级数1nn v∞=∑收敛,则级数1nn u∞=∑也收敛;若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑也发散.证 由题目条件知,当0n N >,有11n nn nu u v v ++≤,从而,当0n N >,有 ()00001111101110N N n nn n n n N N u u u u u v n N v v v v ++++++++<≤≤≤⇒≤> , 由于0011N N u v ++是常数,鼓由比式判别法知, 级数1nn v∞=∑收敛,则级数1nn u∞=∑也收敛;若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑也发散.4.设正项级数1nn u∞=∑收敛,证明:21nn u∞=∑也收敛.试问反之是否成立?证 因为正项级数1nn u∞=∑收敛,由级数收敛的必要条件知,lim 0n n u →∞=,于是,存在正整数N ,当n N >时,有210n n n u u u<⇒<≤,由比较判别法知,级数21nn u∞=∑收敛.反之结论不成立.例如211n n ∞=∑收敛,但11n n∞=∑发散.5.设()01,2,n a n ≥= ,且{}n na 有界.证明21nn a∞=∑收敛.证 设()01,2,n a M n ≤≤= ,则0n M a n ≤≤,从而222n M a n ≤,而级数221n M n∞=∑收敛,由比较判别法知,级数21nn a∞=∑收敛.6.设级数21n n a ∞=∑收敛,证明()10nn n a a n ∞=>∑也收敛. 证 因为22112n n a a n n⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,而级数21n n a ∞=∑和211n n∞=∑都收敛,故由收敛级数的线性性和比较判别法知,级数1nn a n ∞=∑收敛. 7.设正项级数1nn u∞=∑收敛,证明级数1n ∞=.证()112n n u u +≤+,由条件知,级数()1112n n n u u ∞+=+∑收敛,由比较判别法知,级数1n ∞=.8.利用级数收敛的必要条件,证明下列等式: (1)()2lim0;!nn n n →∞= (2) ()()!2!lim01n n n a a→∞=>.证 (1)设()2!nn n u n =,则()11101nn n u n n u n n ++⎛⎫=→→∞ ⎪+⎝⎭.由比式判别法知,级数()21!nn n n ∞=∑收敛,由级数收敛的必要条件知, ()2lim0!nn n n →∞=.(2) 设()!2!n n n u a =,则()()()1!21220n n n n n n u n u a +⋅++=→→∞.由比式判别法知,级数()!12!n n n a ∞=∑收敛,由级数收敛的必要条件知,()!2!lim0n n n a →∞=.9.用积分判别法讨论下列级数的敛散性:(1) 2111n n ∞=+∑; (2)211n nn ∞=+∑; (3)()31ln ln ln n n n n ∞=∑; (4)()()11ln ln ln p qn n n n ∞=⋅⋅∑.解 (1) 设()211f x x =+,则()f x 在()1,+∞上非负递减,211dx x +∞+⎰收敛,由积分判别法知,级数2111n n ∞=+∑收敛. (2) 设()21x f x x =+,则()f x 在()1,+∞上非负递减,211xdx x +∞+⎰发散,由积分判别法知,级数2111n n ∞=+∑发散. (3) 设()()()1ln ln ln pqf x x x x =,则()f x 在()3,+∞上非负递减,211dxx +∞+⎰收敛,由积分判别法知,级数2111n n∞=+∑收敛. (4) 设()()1ln ln ln f x x x x =,则()f x 在()3,+∞上非负递减.(ⅰ)当1p =时,()3ln ln 3ln ln ln qqdx duu x x x +∞+∞=⎰⎰.当1q >时收敛,当1q ≤时发散.所以,原级数当1p =,1q >,时收敛;当1p =,1q ≤时发散.(ⅱ) 当1p ≠时,()()()13ln ln 3ln ln ln pqp uqdx du eux x x +∞+∞-=⋅⎰⎰.对q ∀,当10p ->时,取1t >,有()()1111lim lim0tp up uqq tu u u e ueu---→+∞→+∞==⋅,故积分()1l n l n 3p uqdu eu+∞-⋅⎰收敛,也就是说,当1p >时,对任意的q ,原级数都收敛.当10p -<时,()()211211lim limp up uqq u u ueueu---→+∞→+∞==∞⋅,故积分()1ln ln 3p uqdu eu+∞-⋅⎰发散,由积分判别法知,原级数发散.10.设{}n a 为递减正项数列,证明:级数1n n a∞=∑与212m mn a ∞=∑同时收敛或同时发散.证 分别将两个级数记为(1)和(2),前n 项部分和分别记为,n n S T ,由{}n a 为递减正项数列知()()1123122221222n n n n n n n S S a a a a a a a a T +-<≤++++++≤+++= ,故(2)收敛时,(1)也收敛,又()()11123412422122112222m m m m m m S a a a a a a a a a a T --+=+++++++≥++++= , 从而(1)收敛时(2)也收敛.故(1)和(2)有相同的敛散性. 11.用拉贝判别法判别下列级数的敛散性:(1)()()11321124221n n n n ∞=⋅-⋅⋅+∑; (2) ()()()()1!012n n x x x x n ∞=>+++∑ . 解 (1)因为()()()()()()()121!!65212!!311122!!2321!!22232n n n n n u n n n n n u n n n n n +⎡⎤++⎛⎫+-=-⋅⋅=→>→∞⎢⎥ ⎪++-++⎝⎭⎣⎦, 由拉贝判别法知,该级数收敛.(2)因为()111n n u nxn x n u x n +⎛⎫-=→→∞ ⎪++⎝⎭,由拉贝判别法知,当1x >时,原级数收敛;当1x <时,原级数发散,而当1x =时,级数为11n +∑也发散.12.用根式判别法证明级数()12nn ---∑,并说明比式判别法对此级舒数无效.证 设()12nn n u ---=,则12n n ==.由根式判别法知,原级数收敛.而 ()()()1111111122n n n n nu u ++-+----+==, 所以,当n 为偶数时,114n n u u +=,当n 为奇数时,12n nuu +=,故比式判别法对此级数无效. 13.求下列极限(其中1p >):(1)()()()111lim 122p p p n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥++⎢⎥⎣⎦;(2) 122111lim n n n n p p p ++→∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ . 解 因为当1p >时,级数1p n∑收敛,由Cauchy 收敛准则知,对0,N ε+∀>∃∈ ,当n N >时,对任意的正整数k ,都有()()()11112pppn n n k ε+++<+++ .取k n =,即得()()()111122pppn n n ε+++<++ ,从而()()()111lim 0122p p p n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦. (2) 因为当1p >时,级数1n p∑收敛,由Cauchy 收敛准则知,对0,N ε+∀>∃∈ ,当n N >时,对任意的正整数k ,都有12111n n n kp p p ε++++++< .取k n =,即得 122111n n n p p p ε+++++< ,从而122111lim 0n n n n p p p ++→∞⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 14.设0n a >,证明数列()()(){}12111n a a a +++ 与级数na∑同时收敛或同时发散.证 因为数列与级数()ln 1na +∑有相同的敛散性.(事实上,因为()()()()()1ln 1limln 112lim 111lim nk n k n a a n n n a a a ee=→∞++→∞→∞∑∑+++== )因而,我们只需证明级数()ln 1na +∑与级数na∑有相同的敛散性.由级数收敛的必要条件知,若()ln 1na +∑与na∑两者只要有一个收敛,就有lim 0n n a →∞=,又由lim 0n n a →∞=可得ln(1)lim1n n na a →∞+=.所以由比较判别法知, 级数()ln 1n a +∑与n a ∑有相同的敛散性.从而知结论成立.§3 一般项级数 1.判断下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散.(1)sin !nx n ∑; (2)()11n n n -+∑; (3)()11np nn +-∑; (4)()21sin nn -∑; (5)11n n ⎡⎤-+⎥⎥⎦∑; (6)()()1ln 11nn n -++∑; (7) ()2100131nnn n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑; (8)!nx n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. 解 (1)因为()2sin 14!nx n n n≤>,而级数21n ∑收敛,故原级数绝对收敛.(2)因为lim101n nn →∞=≠+,由级数收敛的必要条件知,原级数发散.(3)当0p ≤时,因为()11lim0nn p nn→∞+-≠,故原级数发散.当1p >时,因为1p n ∑收敛,而()()111~np p nn n n +-→∞,所以,此时原级数绝对收敛,且当01p <≤时,原级数不是绝对收敛的.当01p <≤时,将通项改写成()1npn -,由于级数()1npn -∑条件收敛,而数列单调递增趋于1,故由Abel 判别法知级数()11np nn+-∑收敛,又它不是绝对收敛的,故为条件收敛.(令11n p nu n+=,则()()()()()111111111111111111111111111p n n p nnn n n ppppnn n n p nn u n nnnnu n n n n n n n n+++++++++===<=⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于分子分母的极限皆为1,并不易判别分子与分母的大小,故很难判别{}n u 的单调性,因而用莱部尼茨判别法不易得到结论) (4) 因为()()221sin~nn n n-→∞,又级数2n ∑发散,故原级数不是绝对收敛的.又2sin n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减且2limsin 0n n →∞=,由莱布尼茨判别法知,原级数条件收敛. (5)由于1n-∑,而级数1n ∑发散,故原级数发散.(6)因为()()ln 11211n n n n +>≥++,而级数11n +∑发散,由比较判别法知,原级数发散. (7) ()21002313n n n +=→→∞+,故原级数绝对收敛.(8)由于()111n nnu x x n u en +=→→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故当x e <时,原级数绝对收敛,而当x e≥时,110n n u u u +≥≥≥> ,即lim 0n n u →∞≠,从而原级数发散.2.应用Abel 判别法或Dirichlet 判别法判断下列级数的收敛性. (1)()()101nn n x x nx->+∑; (2)()()sin ,0,20nx x n απα∈>∑; (3)()2cos 1n nxn -∑. 解 (1)对于数列1n n x x ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭而言,当0x >时,011n nnn x x x x <<=+,又 ()111111111,01,11, 1.111n n n nn n n nx x x x x x x x x x x ++++++≤<≤⎧+==⎨>>+⎩++ 因此数列1n n x x ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是单调有界的,又()1nn -∑收敛,由Abel 判别法知,原级数收敛. (2) 对于()0,2x π∈,有11sin sin 2k kx x∞=≤∑,从而sin nx ∑的部分和数列有界,又当0α>时,数列1n α⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减且1lim 0n n α→∞=,由Dirichlet 判别法知,原级数收敛.(3) 由于数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减趋于零,而对任一正整数n ,有()()()()()()211111111111cos 1cos 21cos 222221sin 21111112cos (2)1,22222222sin 4sin22kknnn nnkkkk k k k k n k kx kx kxn x k x x x ππππ======---=+-≤+-⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤++=+-≤+++∑∑∑∑∑∑故()21cos nnx -∑的部分和数列有界,由Dirichlet 判别法知,原级数收敛.3.设()10,1,2,n n n a a a n +>>= 且lim 0n n a →∞=.证明级数()1121n na a a n-+++-∑ 收敛.证 因为lim 0n n a →∞=,所以,由第二章第3节18题的结论知, 12lim0nn a a a n→∞+++= ,又112n n na a a a +≤+++ ,所以121121n n n a a a a a a a n n ++++++++≤+ ,所以12n a a a n +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调减趋于零.由莱布尼茨定理知,交错级数()1121n na a a n-+++-∑ 收敛.4.设,n n p q 如教材8页(8)式所定义.证明:若nu∑条件收敛,则级数np∑与nq∑都是发散的.证 ,22n nn nn n u u u u p q +-==,由已知得,级数nu∑发散,故np∑发散.同理可证nq∑发散.5. 写出下列级数的乘积:(1) ()111111n n n n n nx nx ∞∞---==⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑; (2)()0011!!nn n n n ∞∞==⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.解 (1)级数11n n nx∞-=∑与()1111n n n nx ∞--=-∑当1x <时均绝对收敛,按对角线相乘,第n 条对角线和为()()()()()11111111nnn kn kk n kn n k k k xn k xx k n k ω-----==⎡⎤=--+=--+⎣⎦∑∑,从而()()()()()()()()()()]2221212112112122213221121(21)12231100,mm km m k mm m m xk m k x m m m m m m m m m m x ω--=---=--+⎡=-+---++-++⋅⎣--⋅+-⋅++-+⋅=⋅=∑()()()()[()()()2121221221112112221212111012345221224224621.m m m k m k mm k k m k mm m k mxk m k k xk x m m m m m x ωω++-+-+==+-=⎡⎤=---++-⎢⎥⎣⎦=-+-=+-+-+--++++++-+++=+⎤⎦∑∑∑故()()()1112111111n n n mn n m nx nx m x x ∞∞∞---===⎛⎫⎛⎫-=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (2)这两个级数均绝对收敛,按对角线顺序,其乘积的一般项为01ω=,()()()()()()0011!1111101,2,!!!!!!n k n k nnn n k k n n k n k n k n k n ω--==---=====--∑∑ , 所以, ()00111!!n n n n n ∞∞==⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.6.证明级数0!n n a n ∞=∑与0!n n b n ∞=∑绝对收敛,且它们的乘积等于0()!nn a b n ∞=+∑.证 因为11!limlim01!n nn n a a n n a n +→∞→∞+==+,故级数0!nn an ∞=∑收敛,因而,级数0!nn a n ∞=∑绝对收敛,同理,级数0!nn b n ∞=∑也绝对收敛.按对角线顺序,其乘积的各项为:()0010!a b ω+==,()()()()111!1,2,!!!!!!nk n k nn k n k n k k a b a b n a b n k n k n k n k n ω--==+====--∑∑ ,所以00!!n n n n a b n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑0()!nn a b n ∞=+∑. 7.重排级数()111n n+-∑,使它成为发散级数. 解 因1121k k ∞=-∑为发散级数,从而1n +∃∈ ,使得111111212n k c k ==->-∑,又11121k n k ∞=+-∑也为发散级数,从而()221n n n +∃∈> ,使得2121111214n k n c k =+=->-∑,又21121k n k ∞=+-∑也为发散级数,从而()332n n n +∃∈> ,使得3231111216n k n c k =+=->-∑,一般地,()11i i i n n n +++∃∈> ,使得()()11011110,1,2,,02121i i n i k n c i i k i ++=+=->==-+∑ , 这样得到原级数的一个重排()()31212111111111111111212214216111,2121i i n n n n k k n k n n k n i n k k k k i ++==+=+∞=+=-=-+-+-+---+-+>=+∞-+∑∑∑∑∑∑因而,加扩号得到的级数1ii c ∞=∑发散.8.证明:级数()11n n∞=-∑收敛.证 将()11n n∞=-∑的这些相邻且具有相同符号的项合并成一项,则可得到新级数1kk u∞=∑为一交错级数,且()()222211111111211kk k k u k k k k ∞∞==⎡⎤=-++++⎢⎥+++-⎢⎥⎣⎦∑∑ (1) 因为()222221211111211111k k k k k k k k k k k +<++++++<+++-++- 项项(上述不等式成立的理由是:前k 项的和小于211k k k⋅=,而后面1k +项的和小于()2111k k k k +⋅=+,又222111111k k k k k k k k >⇒>++-++-,同样有()211111k k k +>++-,所以,上述不等式成立)由迫敛原理,得lim 0k k u →∞=,又()222211111211k u k k k k =+++++++- , ()()()()1222211111111221k u k k k k +=++++++++++- ,用数学归纳法,可证{}ku 单调递减,因而由莱布尼茨判别法知1kk u∞=∑收敛.设()11n n∞=-∑的部分和为()11NN n S n=-=∑,而级数(1)的部分和为1MM nn U u==∑,则任一N S 均包含在某相邻两个部分和1,M M U U +之间,从而有1N M M M S U U U +-≤-.而级数(1)收敛,故()110M M M U U u M ++-=→→∞.因此()0N M S U N -→→∞.可见lim lim N M N M S U →∞→∞=,因而数列{}N S 收敛,由级数收敛的定义知,级数()11n n∞=-∑收敛.总练习题1.证明:若正项级数1nn u∞=∑收敛,且数列{}n u 单调,则lim 0n n nu →∞=.证 由已知{}n u 必单调递减,又1nn u∞=∑收敛.由Cauchy 收敛准则知,对0,N ε+∀>∃∈ ,当n N >时,有1202N N n u u u ε++<+++<,又当n N >时,,1,2,,N i i u u i n N +≥=- ,从而当n N >时,()1202n N N n n N u u u u ε++<-≤+++<,取2n N >,则()022n n n u n N u ε<≤-<,因而,()02n nu n N ε<<>,故lim 0n n nu →∞=.(请考虑下述证明方法是否正确?用反证法:若lim 0n n nu →∞≠,则lim01n n u n→∞≠,又级数1n∑发散,由比较判别法知,1nn u∞=∑发散.此为矛盾.证毕.)2.若级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛,且成立不等式()1,2,n n n a b c n ≤≤= ,证明级数1nn b∞=∑也收敛.若级数1n n a ∞=∑,1nn c∞=∑都发散,试问1nn b∞=∑一定发散吗?证 由1nn a∞=∑与1nn c∞=∑收敛知,()1nn n ca ∞=-∑收敛.又因为()01,2,n n n n b a c a n ≤-≤-= ,由比较原则知()1nn n ba ∞=-∑也收敛.于是由()1n n n n n b b a a ∞==-+⎡⎤⎣⎦∑∑知,1n n b ∞=∑也收敛.但级数1n n a ∞=∑,1n n c ∞=∑都发散时,1n n b ∞=∑不一定发散.例如1n a n -=∑∑与111n n n c n∞∞===∑∑都发散,但()11n nb n--=∑∑收敛,且满足()1,2,n n n a b c n ≤≤= .3.若lim0nn na kb →∞=≠,且级数n b ∑绝对收敛,证明级数n a ∑也收敛.若上述条件中只知道nb∑收敛,能推得na∑收敛吗?证 由lim0nn n a k b →∞=≠,知lim 0n n na kb →∞=>,由比较原则,n b ∑收敛,故n a ∑收敛,从而知na∑收敛.若只知n b ∑收敛,则得不到n a ∑收敛.例如()1nn b n-=∑∑收敛,取()111,2,nn a n n-== , 则11lim lim 110n nn n n a b -→∞→∞⎡⎤-=+=≠⎢⎢⎣,级数n a ∑发散. 4. (1)设n u ∑为正项级数,且11n nu u +<,能否断定n u ∑收敛? (2)对于级数n u ∑有11n nu u +≥,能否断定级数n u ∑不绝对收敛,但可能条件收敛? (3)设n u ∑为收敛的正项级数,能否存在一个正数ε,使得1lim01nn u c n ε→∞+=>? 解 (1)否.例如1n u n=∑∑,当然有111n n u nu n +=<+,但级数n u ∑发散. (2)否.由11n nu u +≥得110n n u u u +≥≥>,于是lim 0n n u →∞≠,从而lim 0n n u →∞≠,根据级数收敛的必要条件知,nu∑发散.(3)不一定.例如1n n∑收敛,但对任意的0ε>,1111lim lim 01n n n n n n n εε--→∞→∞+==. 5.证明:若级数na∑收敛,()1n n bb +-∑绝对收敛,则级数n n a b ∑也收敛.证 由na∑收敛知,对10,N ε+∀>∃∈ ,当1n N >时,对p +∀∈ ,都有n pkk naε+=<∑.又()1n n bb +-∑绝对收敛,对上述的ε,2N +∃∈ ,当2n N >时,对p +∀∈ ,都有1n pk k k nb b ε++=-<∑,而由()1n n bb +-∑收敛知,其部分和数列()1111nk k n k b b b b ++=-=-∑有界,即()1,2,n b M n <= .由阿贝耳变换知,当{}12max ,n N N >时,对任何自然数p ,有()()()()11111211112111.n pn p n n k kn n n n n k n p n p kn p kk nk nk nk nn p n p n pn n n n n kn p n pkn pkk nk nk nn p k k k na bb b a b b a b b ab a b b a b b ab b ab ab b M M εεεε++-++++++-++====++-+++++-++===+-+==-+-++-+≤-+-++-+⎛⎫≤-+≤+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑由Cauchy 收敛准则,级数n na b∑收敛.6.设0n a >,证明级数()()()12111nna a a a +++∑ 收敛.证 ()()()12111nn a a a a +++∑ 是正项级数()()()()()()()()1111111111111111111nn k k n k k k k k n a a S a a a a a a a a ==-⎡⎤==-=-<⎢⎥++++++++⎣⎦∑∑ 可见{}n S 有界,故级数()()()12111nna a a a +++∑ 收敛.7.证明:若级数2n a ∑与2n b ∑收敛,则级数n n a b ∑和()2n n a b +∑也收敛,且()222n nnna b a b≤⋅∑∑∑.()()()()111222222nn nnab a b +≤+∑∑∑.证 因为()2212n n n n a b a b ≤+,且2n a ∑与2n b ∑都收敛,故n n a b ∑收敛,从而n n a b ∑也收敛,同时,()()2222n n n n n n a b a a b b +=++∑∑也收敛.在Cauchy-Schwarz 不等式222111n n n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑和Mink 不等式()111222222111n n n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑, 中令n →∞,便得所要证明的不等式.。
华东师范大学2019 年攻读硕士学位研究生入学试题一(12 分)设 f(x) 是区间 I 上的连续函数。
证明:若f(x) 为一一映照,则 f(x) 在区间 I 上严格单一。
二( 12 分)设证明:若 f(x), D(x)f(x)在点x=0处都可导,且f(0)=0,则f '(0)0三( 16 分)观察函数 f(x)=xlnx的凸性,并由此证明不等式:四( 16 分)设级数a n n 收敛,试就d n为正项级数和一般项级数两种n 1n 1状况分别证明a n n n 也收敛。
n 1五( 20 分)设方程F ( x , y )0 知足隐函数定理条件,并由此确立了隐函数y=f(x) 。
又设F ( x , y )拥有连续的二阶偏导数。
(1)求f ''( x)(2)若F ( x0, y0)0, y0 f ( x0 ) 为f(x)的一个极值,试证明:当 F y ( x0 , y0 ) 与 F xx ( x0 , y0 ) 同号时, f ( x0 ) 为极大值;当 F y ( x0 , y0 ) 与 F xx ( x0 , y0 ) 异号时, f ( x0 ) 为极小值。
(3)对方程x2xy y 227 ,在隐函数形式下(不解出y)求y=f(x) 的极值,并用( 2)的结论鉴别极大或极小。
六( 12 分)改变累次积分的积分序次,并求其值。
七(12 分)计算曲面积分I ( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) dss其中 s 为锥面 z x2 y2上介于 0 z h 的一块,c o s , c o s 为,s c的下o侧s法向的方向余弦。
华东师范大学2019 年攻读硕士学位研究生入学试题一.简答题( 20 分)( 1)用定义考证: lim 3 n 2 2 32 ;n 2 n n 1 2( 2)计算x 3dx .1x2二 ( 12 分 ) 设 f(x) 有连续的 二 阶 导 函 数 , 且f ()2, [ f ( x )f '' ( x )]sinxdx5, 求 f(0).三( 20 分)( 1)已知 a n 为发散的一般项级数,试证明(11) a n 也是发散级数。