假设模态法 振动力学课件

位移向量：
2018/11/16 《振动力学》
x1 { x} x2
激励向量：
F1 {F } F2
10
3.1 两自由度系统的运动微分方程
振动方程：
m x ( cc ) xc x ( kk ) xk x F 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 m xc x ( c ) x k x ( k k ) x F 2 2 2 1 2 c 3 2 2 1 2 3 2 2
c u u f (t) 1 d 2 f (t) u 2
16
3.2 无阻尼系统的自由振动
令
c u u a u1 b u 2 2 1 d 2 u u1 2
2 f() t f() t 0
则有 其解为： 由第一式：
ft ( ) C c o s ( t )
振动方程两个同步解为：
( 1 ) ( 1 ) x () t u o s ( t ) 1 1C 1c 1 1 (1 ) ( 1 ) x () t u C o s ( t ) 2 1 r 1 1c 1 1
( 2 ) ( 2 ) x () t u o s ( t ) 1 1 C 2c 2 2 (2 ) ( 2 ) x () t u o s ( t ) 2 1 rC 2 2c 2 2
( 2 ) 2 u a c 2 2 r 2 ( 2 ) 2 u b d 1 2
2018/11/16 《振动力学》
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3.2 无阻尼系统的自由振动
由上述分析可知： 1.系统的固有频率仅与系统的物理有关。 2.系统按任一固有频率做同步运动时，m 1 和m 2 振具有确定比值的一对常数u 1( 1 ) 、u 2( 1 ) 或 u 1 、 的振动形态，称之为固有振型。 向量形式：

率ω1、 ω2的简谐振动的合成。（ ω1 < ω2 ）
分别将ω1和ω2称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频 率，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的第一阶固 有振动和第二阶固有振动。 每个根对应一种固有振动
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
一些概念：
k11 m12
k21
k22
k12 m22
6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动
坐标变换：
ui qi
（i=1,2）
代入原微分方程得到： Mqi Kqi fi
B1、B2待定
6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动
代入微分方程组得到
k1 k2 m12
k2
k2
k2 m2
2
B1 B2
0 0
由
det
k1
k2
m1
k2
2
k2
k2
m22
0
12 22
B11 B21
B12 B22
B11
B21
B12
B22
（固有振型矩阵）
k2 (u1 u2 ) c2 (u1 u2 )
u2 f2 m2
k3u2 c3u2
6.1 建立系统微分方程组
写成矩阵形式：
m1
0
0 m2
••u••1 u2
c1 c2
c2
c2 c 2 c3
•
u1
•
u2
k1 k2

k2
k2 k2 k3
u1
u2
f1 f2
6.2.1坐标的选择与方程耦合
1 l2
J J
ml22 ml1l2
J J
ml1l2 ml12
••

第九章 振动
则： A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
因此，
cos A1 cos1 A2 cos2 A sin A1 sin1 A2 sin2 A
x Acos cos0t Asin sin0t Acos0t
（1）
⑴式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其 频率和分振动频率相同。
l g
0
因此，
d 2
dt 2
02
0，
02
l g
（2）
上式即为单摆简谐振动的动力学方程
第九章 振动 nˆ
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第九章 振动
3. 复摆（物理摆）
任何刚体悬挂后所做的摆动叫复摆。如图示：
一刚体悬挂于O 点，刚体的质心C 距刚体的悬挂点O
之间的距离是a。选 角增加的方向为正方向，即：z 轴垂
x Acos(0t ) （1）
上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动 是围绕平衡位置的周期运动。
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二、描述简谐振动的物理量
1. 周期（T）
完成一次全振动所用的时间： T 2 0
第九章 振动
对弹簧振子： T 2 2 k
0
m
2. 频率（ ）
单位时间内完成的全振动的次数：
幅最大；
（2）若相位差 (2 1) (2n 1) ，即反相位，则：A A1 A2 ，
振幅最小；
（3）一般情况下，振幅 A 介于 A1 A2 与 A1 A2之间。
同方向同频率简谐振动的合成，在光波、声波等的 干涉和衍射中很有用。
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第九章 振动
二、同方向不同频率简谐振动的合成

3x
2l
1 1.7723
G
l 2
1 (x)
sin
x
2l
0.0681sin
3x
2l
2 4.7795
G
l 2
2
(x)
0.1995sin
x
2l
sin
3x
2l
注意：
由于近似模态不是真正自然振型，故相当于增加约束即刚
度，所以对于各阶近似频率均有 i，即它i 解出了的上
限 。
工程上常取一系列近似方案，并算出结果中选一组最小的 i
I 0
l 1 0
x sin 2 2l
3x
2l
dx
0.3806
lI
0
m12
m21
I 0
l 0
1
x 2l
sin
x
2l
sin
3x
2l
dx
0.038
lI 0
00..30830860
i
(x)
sin
2i
2l
1
x
V 1
2
l 0
GI
(x) (x,t)2
dx
1 2
l
0 GI (x)
l
mij 0 l (x)i (x) j (x)dx mi (xa ) j (xa )
kij
l 0
EI
(
x)i"
(
x)
" j
(
x)dx
k1i'
(
xb
)
' j
(
xb
)
k
2i
(
xb
)
j

2 n
x C1er1t C2er2t
本征值与运动微分方程旳通解旳形式与阻尼比有关。
3. 小阻尼情形
当 n< n 时，阻尼系数 c 2 mk ，这时阻尼较小，
称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：
r1 n i
2 n
n2
r2 n i
2 n
n2
其方程旳解为
或
x Aent sin(
2 n
F l 3 3EI
Fl 3 3EI
F ky yst
k
3EI l3
k－等效刚度
Wl 3 mgl 3 yst 3EI 3EI
k
3EI l3
my mg F
F ky yst
my ky 0 此即梁－物块旳运动微分方程
y Asin(nt )
串联弹簧与并联弹簧旳等效刚度
1. 串 联
meq－等效质量：使系统在广 义坐标方向产生单位加 速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
meq q keq q＝0
q＝C1cosnt C2cosnt
q
2 n
q＝0
q＝Asinnt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
q02
q0
n
2
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相； q0－初始广义坐标； q0－初始速度。
l
处于平衡，若k、m、a、l 等均
为已知。
ak
m
求：系统微振动旳固有频率
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos

（10－23）
{F (t)} [S]T {P(t)}
（10－24）
在模态综合法中，为了描述结构在空间的运动和变形状态，采用两类广义坐
标来描述，分别为“物理（几何）坐标”和“模态坐标”，物理坐标描述结构各
节点的几何坐标位置，而模态坐标则表示物理坐标响应中各个模态成份大小的
量。
对于模态综合法中的“模态”一词，它比“振型”具有更加广义的内涵，它
（1）按结构特点划分子结构 （2）计算并选择分支模态进行第一次模态坐标变换 （3）在全部模态坐标中，选择不独立的广义坐标 （4）由位移对接条件，形成广义坐标的约束方程，得到独立坐标变换阵 [S ] （5）对组集得到的质量矩阵、刚度矩阵进行合同变换，得到独立坐标下的质量
矩阵，刚度矩阵，形成整个系统的振动方程 （6）根据坐标变换关系，再现子结构物理参数
（10－5）
通常，[ ], [ ] 的个数远少于对应子结构的自由度数。
记：
{
p}


p p

[
M
]

[
M 0
]
0 [M ]
[
K
]

[
K 0
]
0 [K ]
（10－6）
[M ] [ ]T [m ][ ] [M ] [ ]T [m ][ ]
[]T [K ][] diag[2]
（10－38）
子结构柔度矩阵为：
[G] [K ]1 [](diag[2 ])1[]T [k ](diag[k2 ])1[k ]T [d ](diag[d2 ])1[d ]T
（10－15）
{
p}

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施加谐波载荷并求解
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6 施加谐波载荷并求解
典型命令:
所有施加的载荷以规定的频率（或频率范 围）简谐地变化
“载荷”包括：
DK,… ! 或 D或DSYM DA,... DL,…
位移约束-零或非零的 作用力 压强
*AFUN,DEG FK,…
注意：如果要施加重力和热载荷，它 们也被当作简谐变化的载荷来考虑！
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确定各临界频率
和相角
• 用图形显示最高振幅 发生时的频率；
• 由于位移与施加的载 荷不同步（如果存在 阻尼的话），需要确 定出现最大振幅时的 相角；
– 要进行上述工作， 首先要选择振幅+ 相位选项。
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On the evening of July 24, 2021
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6
1.绘制结构上的特殊点处的位移-频率曲线
2.确定各临界频率和相应的相角
3.观看整个结构在各临界频率和相角时的位移和应力
典型命令: /POST26 NSOL,… PLVAR,...
On the evening of July 24, 2021
• 输入：
– 已知大小和频率的谐波载荷（力、压力和强迫位移）；
– 同一频率的多种载荷，可以是同相或不同相的。
• 输出：
– 每一个自由度上的谐位移，通常和施加的载荷不同相；

k
m
c x
kx c·x
m F0 cos t
简谐强迫振动
系数
B
2
x
2 0


x0
n d
x0


tan 1 x0 n x0 d x0

X




A
1
(
n
)
2

2

2
n
2
ET
U1kA2 2
12(x02x02n2)
ET UE
Rayleigh商 动能系数
能量关系
T1mA2 2
12mxm 2ax
n2

k m

Umax T
阻尼自由振动
方程
mxcxkx 0 x(0) x0, x0(0) 0
x2nxn2x 0
自激振动：输电线的舞动 1940年美国塔可马(Tacoma Narrows)吊桥在中速
风载作用下，因桥身发生扭转振动和上下振动造 成坍塌事故 1972年日本海南的一台66×104kW汽轮发电机组， 在试车过程中发生异常振动而全机毁坏； 步兵在操练时，不能正步通过桥梁，以防发生共 振现象造成桥梁坍塌
x ( t) e n t( c 1 c o sd t c 2 s ind t)
x (t)X e n tco s(dt)
c 1 x 0 ,c 2 (xn x 0)/ d
阻尼自由振动
对数衰减率
x1 x2
X Xeenntt12ccooss((ddtt11)
单自由度系统
自由振动 简谐振动 非周期强迫振动

振动信号的分析
振动信号的分析可以通过时域分析和频域分析来研究信号的特性，帮助我们 理解信号的来源和影响。
振动控制的基本原理
振动控制是指通过调节振动系统的参数或施加控制力来减小或消除不必要的振动，提高系统的性 能。
传感器和测量方法
传感器和测量方法用于获取振动系统的相关数据，例如位移、速度和加速度，进而进行分析和控 制。
总结与展望
在这份PPT课件中，我们了解了振动学的基本知识和应用，希望这些知识能对 你的学习和工作有所帮助。
《振动学基础》PPT课件
这份PPT课件将为你介绍振动学的基础知识，从引言开始逐步深入讲解振动学 的各个方面，包括振动系统的建模方法、振动信号的分析以及振动工程的应 用前景。
什么是振动学？
振动学是研究物体在弹性力作用下自由或受迫地以周期性变化的方式来回摆 动或振动的科学。
自由振动
自由振动指物体在没有外界作用力的情况下以自身的固有频率振动，如钟摆的摆动、吊桥的摇摆。
振动系统的能量
振动系统的能量可以通过振动系统的动能和势能来描述，两者在振动过程中 不断转化。
振动系统的建模方法
振动系统的建模可以使用单自由度系统和多自由度系统进行描述，不同的系 统对应析方法包括模态分析、频域分析和时域分析，可以帮助我们理解和预测振动系统的 行为。
受迫振动
受迫振动是物体在外力作用下以非固有频率振动，如受音频驱动的共振现象。
简谐振动
简谐振动是指物体在受到恢复力作用下，其加速度与位移成正比且方向相反 的振动，如弹簧的振动。
阻尼振动
阻尼振动是指物体在存在阻尼的情况下进行的振动，如在摩擦力存在的情况下的弹簧振动。
共振现象
共振现象是指在外界频率接近物体的固有频率时，物体发生异常放大振动的 现象，如摇摆的秋千。

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建议： 由于结构的振动特性决定结构对于各种动力载荷的响应
情况，所以在准备进行其它动力分析之前首先要进行模态分析。
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计算模态分析
通用运动方程：
• 假定为自由振动并忽略阻尼：
• 假定为谐运动：
这个方程的根是ωi平方， 即特征值， i 的范围从1到自由度的 数目， 相应的向量是{u}I， 即特征向量。
遗漏高端频率.
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• 在模态分析中一般忽略阻尼，但如果阻尼的效果比较明显， 就要使用阻尼法：
– 主要用于回转体动力学中，这时陀螺阻尼应是主要的； – 在ANSYS的BEAM4和PIPE16单元中，可以通过定义实常数 中的SPIN（旋转速度，弧度/秒）选项来说明陀螺效应； – 计算以复数表示的特征值和特征向量。 • 虚数部分就是自然频率； • 实数部分表示稳定性，负值表示稳定，正值表示不确定。
注意• 模态分析假定结构是线性的(如, [M]和[K]保持为常数)
• 简谐运动方程u = u0cos(ωt), 其中ω 为自振圆周频率(弧 度/秒）
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• 特征值的平方根是ωi ， 它是结构的自然圆周频率（弧度/ 秒），并可得出自然频率fi = ωi /2π • 特征向量{u}i 表示振型， 即假定结构以频率fi振动时的形 状 • 模态提取是用来描述特征值和特征向量计算的术语
一定不会理想。
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（4）振形动画
参数识别的结果得到了结构的模态参数模型，即一组固有频 率、模态阻尼以及相应各阶模态的振形。 由于结构复杂，由许多自由度组成的振形也相当复杂，必须 采用动画的方法，将放大了的振形叠加到原始的几何形状上。