当前位置：文档之家 › 振动力学第一章PPT

振动力学第一章PPT

  • 格式：ppt
  • 大小：2.47 MB
  • 文档页数：88

下载文档原格式

  / 88

合集下载

振动力学 第1章

振动力学 第1章

第一章 自由振动1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。

求系统的固有频率。

解：方法一：能量法求等效刚度和等效质量。

取刚性杆绕悬挂点的转角x 为参考坐标，系统的动能为：2222221111111()22323T m xl m l x ml m l x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭势能为:121(1cos )(1cos )2122lU mgl x m g x l mgl m g x =-+-⎛⎫≈+ ⎪⎝⎭n ω==方法二：列动力方程。

仍取刚性杆绕悬挂点的转角x 为参考坐标，由0OM=∑得 22111sin sin 032lm l ml x mgl x m g x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭因为x 远小于零，故sin x x ≈22111032l m l ml x mgl m g x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 亦有n ω=1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA =a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。

求系统的固有频率。

解：方法一：能量法求等效刚度和等效质量。

系统的振动是绕接地点的微小转动，取转角θ为广义坐标，系统的动能为2222221111322222T J mR mR mR θθθ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭势能为2212()2U k R a θ=⨯+图E1.1图E1.2nω===方法二：列动力方程OM=∑2232()02mR k R aθθ⎛⎫++=⎪⎝⎭亦有nω=1.3 转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k，2k和3k的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3解：方法一：能量法。

设圆盘的转动角度为θ2k和3k相当于串联，则有：332232,θθθθθkk=+=以上两式联立可得：θθθθ32233232,kkkkkk+=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=kkkkkkkkkkU系统的动能为212T Jθ=nω=方法二：列扭转振动的方程23123k kJ kk kθθ⎛⎫++=⎪+⎝⎭nω==1.4在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。

《振动力学基础》课件

《振动力学基础》课件

非耦合振动
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
振动力学-第一章

振动力学-第一章

第一章
单自由度线性系统的自由振动
单自由度线性系统自由振动
教学内容
1.1 振动系统的简化及其模型 1.2 单自由度线性系统的运动微分方程 1.3 无阻尼系统的自由振动 1.4 有阻尼系统的自由振动
单自由度线性系统的自由振动

1.1 振动系统的简化及其模型
为了建立合适的分析模型，必须对实际系 统进行简化。 机械振动系统的力学模型是由三种理想化 的元件组成：质量块、阻尼器和弹簧。 质量块：惯性就是能使物体当前运动持续 下去的性质。 k/2 弹簧：恢复性就是能使物体位置恢复到平 衡状态的性质。 阻尼器：阻尼就是阻碍物体运动的性质。 从能量的角度看，惯性是保持动能的元素， 恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量 散逸的元素
解：
取平衡位置
以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立 坐标系。
l/2
m
st
0
l/2
静平衡位置
静变形 st
x
mgl 3 由材料力学 ： st 48 EI
自由振动频率为 ： n
g
st
48 EJ ml 3
单自由度线性系统的自由振动 例：设有一悬臂梁。长度为L，抗弯刚度 为 EI ，自由端有一集中质量m。梁 本身重量可忽略不计。 求： 系统的自然频率。
自然频率是振动问题中的一个重要参数。
k 简谐振动的圆频率为 n ，称为自然圆频率： n m n 1 k f 自然频率为: 2 2 m
周期:
1 m T 2 f k
单自由度线性系统的自由振动
由以上各式可以看出： （1）自由振动的自然频率和周期仅决定于系统本身的 物理性质，如系统刚度 K 和振动块质量 m。
得
m
振动力学教程PPT课件

振动力学教程PPT课件


动的叠加-----------谐波分析
•
2、非周期：利用傅立叶积分作谐波分析
• δ函数又称为单位脉冲函数-----它的性质、应用
示成一系列简谐振
第22页/共35页
第一节：简谐振动及其表示方法
•一、简谐振动的表示方法
• （一）正弦函数表示
2、A、ω、Φ ------简谐振动三要素
第23页/共35页
第24页/共35页
船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。
3） 在土木建筑、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震
引起结构物的动态响应，爆破技术的研究等。
4） 在医学、生物工程中：脑电波、心电波、脉搏波动等的信号处理等。
第12页/共35页
2途径：
1）从具体的工程对象提炼出力学模型 2）建立数学模型------应用力学知识建立所研究问题的数学模型 3）对数学模型进行分析和计算，求出请确、近似或数值解。 4） 比较------将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行 比较，考察理论结果是否解决该工程问题，如不能解决而数学模型及求解均无错 误，则需要修改力学模型重复上述过程。
第9页/共35页
5 随机振动
20世纪50年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高 的要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题----如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪音导致飞行器表面结构 的声疲劳、火箭运载工具有效负荷的可靠性等。工程的需要迫使 人们用概率统计的方法研究承受非确定性载荷的机械系统和结构 的响应、稳定性和可靠性等， 从而 形成了随机振动这一振动力 学的重要组成部分。 在工程问题中振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提， 由于计算机的迅速发展和快速第1傅0页/立共35叶页 变换算法的出现，随机振动
振动力学课件

振动力学课件


振动的基本理论
F(t)
f0
已知周期函数如图1-6所示 所示， 例1-1 已知周期函数如图 所示， 试对其作谐波分析 解： 0<t <π f
F (t ) = − f0
0
−2π
−π
π
2π
t
π < t < 2π
a0 =
an =
bn =
1
π
1
∫
0
2π
−f0
0
F (t ) dt = 0
图1-6 周期性矩形波 πbn
τ τ
2 2
试求图1-8所示的单个矩形脉冲的频谱图 例 1-2 试求图 所示的单个矩形脉冲的频谱图 τ 解： 0 − ∞ < t < −
− < t <
τ
2
2
E
τ
2
−
τ
2
t
< t < +∞
G (ω ) =
∫
τ
2
−τ 2
Ee − jω t dt =
+∞ −∞
2E
ω
sin
ωτ
2
jω t
图1-8 矩形脉冲示意图
An
ϕn
A1 A2
A3
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ω1 2ω 1 3ω 1
nω1
ω 1 2 ω 1 3ω 1
nω 1
相位频谱图 幅值频谱图 频谱分析：利用频谱说明组成函数的简谐成分,反映该周期函 频谱分析：利用频谱说明组成函数的简谐成分 反映该周期函 数的特性方法。 数的特性方法。
10 太原科技大学应用科学学院
第一章
t 0
∞ − st 0
第一章 振动力学绪论

第一章 振动力学绪论

动静法或拉格朗日方程建立离散系统运动微分方。另外， 再考虑材料力学中取单元，变形等概念、公式对连续系统 建立运动微分方程。
振动力学
第一章 绪论
对离散系统所建立的振动微分方程一般为二阶常微分 方程。当系统为多自由度系统时，则为二阶联立微分方程 组。对连续系统所建的振动徽分方程一般为偏微分方程。 由于微分方程是系统振动行为的数学描述，为此人们便可 清楚地了解其运动的类型。 这样，根据运动微分方程是常微分方程，那系统一定 是集中质量系统，即离散系统。若运动微分方程是偏微分 方程，那么系统一定是分布参数系统，即连续系统。
振动力学
第一章 绪论
振动力学
第一章 绪论
京津高铁
武广高铁
日本新干线
振动力学
第一章 绪论
上海杨浦大桥
汕头海湾大桥
世界最长的行车、铁路 两用吊桥香港青马大桥
振动力学
第一章 绪论
水力发动机引起的厂房振动问题
振动力学
第一章 绪论
高层建筑中的振动问题
典型：风振、地震
振动力学
第一章 绪论
汶川地震对房屋的破坏
振动力学
第一章 绪论
基本原则：考察研究对象以空间的，还是平面的问题
来研究；以离散系统，还是连续系统来解决；以一个自由
度系统还是多个自由度系统来处理。 当力学模型建立之后，需建立系统参数（质量、弹性、
阻尼）、激励及响应三者之间的关系式，即数学表达式―
运动微分方程式。
振动力学
第一章 绪论
根据理论力学中的牛顿第二定律、动力学普遍定理、
连续系统具有连续分布的参量，它是由弦、杆、轴、
梁、板、壳等弹性元件组成的系统，有无穷多个自由度，
数学描述为偏微分方程。 离散系统是由彼此分离的有限个质量元件、弹簧和阻尼 构成的系统，有有限个自由度，数学描述为常微分方程。
《机械振动》张义民—第1章ppt

《机械振动》张义民—第1章ppt


●引起噪声污染； ●影响精密仪器设备的功能，降低机械加工 的精度和光洁度；
●加剧构件的疲劳和磨损，缩短机器和结构 物的使用寿命； ●消耗机械系统的能量，降低机器效率；
●使结构系统发生大变形而破坏，甚至造成 灾难性的事故，有些桥梁等建筑物就是由 于振动而塌毁；
●机翼的颤振、机轮的摆振和航空发动机的 异常振动，曾多次造成飞行事故；
●恶化飞机和车船的乘载条件，等等。
地震，群灾之首。 强烈的破坏性地震 瞬间将房屋、桥梁、 水坝等建筑物摧毁， 直接给人类造成巨 大的灾难，还会诱 发水灾、火灾、海 啸、有毒物质及放 射性物质泄漏等次 生灾害。
地震的破坏
唐山大地震
台湾大地震
土耳其大地震
印度洋强震引发海啸席卷南亚东南亚
振动引起的转子系统破坏
利用振动监测机器设备的运行
故障诊断或健康检测原理示意图
在实际工程和日常生活中，振动问题随处可见
工程系统如机械、车辆、船舶、飞机、航天器、建筑、 桥梁等都经常处在各种激励的作用下，因而会不可避免 地产生各种各样的振动，可见振动力学在工程实际中有 着广泛的应用。例如在机械、电机工程中，振动部件和 整机的强度和刚度、大型机械的故障诊断、精密仪器设 备的防噪和减振等问题；在交通运输、航空航天工程中， 车辆舒适性、操纵性和稳定性等问题，海浪作用下船舶 的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分 析等问题；在电子电信、轻工工程中，通信器材的频率 特性、音响器件的振动分析等问题；在土建、地质工程 中，建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震引起结构物 的动态响应，矿床探查、爆破技术的研究等问题；在医 学、生物工程中，脑电波、心电波、脉搏波动等信号的 分析处理等问题。
自然界中的振动现象
●人们可以根据逐年的气象情况统计出气候周期性的 振动规律，根据这一规律可预估气候趋势，对生产与 生活、抗洪和抗旱、防灾及减灾等有着重要的意义。
声与振动基础完整ppt课件

声与振动基础完整ppt课件


写成三角函数式
x a 1 c o t a 2 s s ite n t
2、阻尼振动的一般规律
讨论：
令 a 1 A 0co ,a 2 s A 0sin
x 上 式A 0 还e 可 t写c 成 o t s A t c o t s
其A0中 a12 a22
，
tg a2 a，1
AtA0et
任一时刻的总振动能为振动位能与势能的和,即：
E (t) e k(t) ep(t)1 2m 2(t)v 1 2D 2(t)x
所以，有：
3、阻尼振动系统的能量
E(t)
ek
(t)
ep
(t)
1 2
mv2(t)
1 2
Dx2(t)
12m{A0et[0
sin(0t
)
cos( 0t
)]}2
1 2
D[A0et
cos( 0t
其中 1, 是2 特征方程
22 0 20
的两个根。由此得
1,2 202
2、阻尼振动的一般规律
讨论：
（ 1 ）大阻尼振动－阻力很大时
2 02
Rm2 4mD
因为 1,2 202
则1、2为实数，并且 10,20
2、阻尼振动的一般规律
讨论：
xC 1e1tC 2e2t
其中每一项按指数规律衰减。
初始条件不同时，位移 xt的 变化规律不同。
阻力与速度成线性关系，（粘滞阻尼）
f阻Rmv
[ R]m=[力]/[速度]
MKS制中其单位：kgs-1（力欧姆）
4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述
②阻尼系数 Rm 2m ：解方程时引入的；分
析其物理意义：在
时， 02 2 振子自由
第一节振动分类 振动力学课件

第一节振动分类 振动力学课件


二． 相关函数性质
自相关函数是描述随机变量在不同时刻之间相关程度 的统计量。
1. Rx (0) E X 2它(t)是平均x2 能量或功率的一种测量。
当 时0的自相关函数称 随Rx机(0过) 程均方值（能量）。
2.
2 x
E[ X (t) x ]称随机x2 振 动x2过程的
方差。
X (t)
两个不同的随机过程在时差 的两 个时刻，两随机
变量的相关程度。
(2) 性质：
a． Rxy ( ) 为非奇非偶函数，但有 Rxy ( ) Ryx ( ) b． Rxy ( ) Rx (0)Ry (0) x y
c． Rxx (0) E X (t)X (t) 0
(3)表明：
平稳随机过程 X与(t它) 的导数过程 互不相关。
第五章 随机振动
振动分类：
确定性振动——振动的激励、系统、响应均为一确定性 函数，称之为确定性振动。
例如:单自由度系统的自由振动和简谐激励下的稳态响应，都 可以用正弦函数描述；
非周期函数激励作用下，可以用杜哈梅积分可以给出响 应表达式。
工程实际中的激励常常不能近似处理为确定性函 数，如汽车在不平路面上行驶，路况的不规则使得汽车 所受路面位移激励，表现为一随机过程。
如下图阴影部分
x2
即 P(x1 x x2 ) p(x)dx x1
累积分布也可定义为
x
P(x) p(x)dx
密度函数具有以下性质：
p(x) 0
lim p(x) 0
x
均值 与x p(x)
p(x)dx 1
x E
X (t)
lim n
1 n
n k 1
xk
(t
)
lim
可修改《机械振动基础》课件第一章02.ppt

可修改《机械振动基础》课件第一章02.ppt


非齐次方程通解：
u(t)
u
(t)
u* (t )
a1
cos nt
a2
sin
nt
f0
2mn
t
cos nt
1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动
0.03
0.02
=50 rad/s, f=2sin(50t), m=10kg n
0.01
u, m
0.00
-0.01
-0.02
-0.03
0
1
2 t, s 3
4
【思考】：实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？
U1 U2 U1
1
x2 x1
1 e2
e2 1 2 4 2
2!
U 2 4 2 2
U
2!
证毕。
STOP
复习
填空：
1. 系统阻尼比的定义是：
cc
c
cc 2 mk 2mn
2. 阻尼振动频率的定义是：d
n 1 2
3. 对数衰减率为： 2
判断对错：
1. 单自由度欠阻尼系统的自由振动具有等时性，所以是周期运动； ╳
上次课复习
填空：
1.无阻尼单自由度系统的固有频率 n
k m
其单位是 rad/s
2.无阻尼单自由度系统的固有频率 n 2 fn
3.简谐振动的三要素： 振幅 、 频率 和 初相位
上次课复习
4.两个频率不同的简谐振动的合成，如果两频率比为 有理数 时，合成 振动为周期振动.
5.单自由度无阻尼振动系统的自由振动解为：
t2
= 10rad/s, = 4% n
u = 0.0m, du(0)/dt =2.0 m/s 0
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。


0
mgx k x
1 2
kx
2

1 2
kx
2
0 (m x kx ) x
x
kx 0 m x
d dt
不可能恒为 0
T V 0
28
单自由度系统自由振动
如果将坐标原点不是取在系统的静平衡 位置，而是取在弹簧为自由长时的位置 动能：
T 1 2
mg k
m
k
0

静平衡位置
x
固有振动或自由振动微分方程 ：
k
弹簧原长位置
kx 0 m x
m
0

静平衡位置 3
x
单自由度系统自由振动
固有振动或自由振动微分方程 ： 令：
0
k m
2
kx 0 m x
单位：弧度/秒（rad/s）
固有频率
则有 ：
0 x 0 x
解：
以静平衡位置为坐标原点 建立坐标系 振动固有频率：
0
k /m 49 10
2
k
0
x
/1
300
70 ( rad / s )
振动初始条件：
kx 0 mg sin 30
0
考虑方向
x 0 0 . 1 ( cm ) 0 0 x
初始速度：
运动方程：
x(t ) 0.1cos(70t ) (cm)
2
0
k m
x(t ) c1 cos(0t ) c2 sin( 0t ) A sin( 0t )
A c1 c 2
2 2
tg
1
c1 c2
0：
系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如 何进行振动的方式都毫无关系
A,： 不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到
kx 0 m x
在静平衡位置： 则有：
0
0
k m
弹簧原长位置
m
k
0

静平衡位置
mg k
x
k m

g

对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 ，则用 该式计算是较为方便的 。
11
单自由度系统自由振动
例： 提升机系统
重物重 量
W 1 . 47 10 N
单自由度系统自由振动
x
48 EJ
自由振动频率为 ： 0

g


48 EJ ml
3
16
单自由度系统自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0
m h

l/2
0
0 x
2 gh
l/2
静平衡位置
则自由振动振幅为 ：
A x0
2
x 0 0

2
x

2h
2
梁的最大扰度：
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 0 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。
x
T 2 /
0
初始条件的说明： 初始条件是外界能量转入的一 种方式，有初始位移即转入了 弹性势能，有初始速度即转入 了动能。
x0

0
A
0
t
9
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t ) x0 cos(0t ) 0 x
由牛顿第二定律：
k 0 I
2 0 0
扭振固有频率
0
k / I
18
单自由度系统自由振动
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振 动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、 k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完 全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广 义的 。
x(t ) x0 cos(0t )
0 x
0
sin( 0t24 )
钱学森 人 眼球
25
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动
• 等效粘性阻尼
26
单自由度系统自由振动
• 能量法
对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以 利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系 统的固有频率。 无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之和保持不变 ，即：
0
静平衡位置
mx
2
m
势能：
V mgx

1
x
x
kxdx
k
0
mgx
2
kx
2
x mg x kx x 0 m x
kx mg m x
ky 0 m y
d dt
设新坐标
y x
mg k
x
T V 0
29
单自由度系统自由振动
如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静 平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位 置上，方程中就不会出现重力项 。
30
单自由度系统自由振动
考虑两个特殊位置上系统的能量
静平衡位置上，系统势 能为零，动能达到最大
T m ax 1 2 m ax mx
k
2
m
0
静平衡位置
V m ax 0
x
最大位移位置，系统动 能为零，势能达到最大
通解 ： x(t ) c1 cos(0t ) c2 sin( 0t ) A sin( 0t )
c 1 , c 2： 任意常数，由初始条件决定
振幅 ：
A
c1 c 2
2
2
初相位 ： tg
1
c1 c2
4
单自由度系统自由振动
kx 0 m x
0 x 0 x
c 1 b 1 cos( 0 ) b 2 sin( 0 )
c 2 b1 sin( 0 ) b 2 cos( 0 )
有：
x ( t ) b1 cos 0 ( t ) b 2 sin 0 ( t )
b1 x
b2
x
0
单自由度系统自由振动
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动
• 等效粘性阻尼
2
单自由度系统自由振动
• 无阻尼自由振动
令 x 为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，λ为静变形。
弹簧原长位置
当系统受到初始扰动时，由牛顿第 二定律，得： mg k ( x ) m x 在静平衡位置：
弹簧原长位置
m
k
0

静平衡位置
k
x
I

kx 0 m x
0
k /m
k 0 I
0
k / I
19
单自由度系统自由振动
从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着 惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度 或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使 固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。
弹簧原长位置
m
k
0

静平衡位置
k
x
I

kx 0 m x
0
k /m
k 0 I
0
k / I
20
单自由度系统自由振动
例：复摆（物理摆）
a
刚体质量 m 重心 C 对悬点的转动惯量 I 0
C
mg
0
I0
求： 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率
m ax A
x(t ) x0 cos(0t ) 0 x
0
sin( 0t )
17
单自由度系统自由振动
例：圆盘转动
圆盘转动惯量 I
k
k 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩 ( N m / rad )
I

在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点位置
21
单自由度系统自由振动
解：
由动量矩定律 ：
mga sin 0 I 0
a
0

因为微振动： 则有 ：
sin
C
mg
I0
mga 0 I 0
固有频率 ： 0

mga / I 0
若已测出物体的固有频率 0 ，则可求出 I 0 ，再由移轴定 理，可得物质绕质心的转动惯量：
14
单自由度系统自由振动
例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ
m
h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
15
单自由度系统自由振动
解：
取平衡位置
以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立 坐标系 静变形 由材料力学 ：
mgl
3
m h

l/2
0
l/2
静平衡位置
I c I 0 ma
2
实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法
22
单自由度系统自由振动
例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动