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振动力学第五章 ppt课件

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振动力学—随机振动

振动力学—随机振动


T 2 T 2
1 2 xk t x dt Tlim T
xt x 2 dt
34
五、确定随机变量的概率分布函数和概率密度
函数
除某些特殊情况外，确定随机变量的概率分布函 数和概率密度函数都比较困难。 在随机振动中经常遇见的正态分布过程和某些 各态历经过程，却可以用一定的程序来计算。
2 k

T 2 T 2
x t dt
x 2 t dt
1 E X lim T T
2 x E X x 2

T 2 T 2
1 x t dt lim T T

T 2 T 2
T 2 T 2


1 lim T T
X t x k t
x k t ：样本函数
对于随机现象，我们感兴趣的往往不是各个样本 本身，而是力图从这些样本得出总体的统计特性。 7
5-3 随机过程的数字特征
8
一、集合平均 . 平稳过程
⑴ 随机过程 X t 的所有样本函数 x k t 在时刻 t1 的值 x1 t1 ，x2 t1 ， 构成一个随机变量 xk t1 记为X t1


二次矩：
2 E X x2 p x dx x 2
32
二次中心矩：
E X x
2


x x 2 pxdx x2
2


2 x
x x p x dx x p x dx 2x xp x dx x2 p x dx
X t1
取值于区间 a, b 的概率为：

振动力学—连续系统

振动力学—连续系统
建坐标系oxy
弦的横向振动
y(x,t)为弦上坐标为x处的横截面 在t时刻的横向位移l。
取微元，分析受力，如图
杆的纵向振动
假定：细长等截面杆, 振动时横截面仍保持为平面，横截 面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。 则同一横截面上各点在x方向作相等的位移。 参数：杆长l，截面积S，材料密度，弹性模量E
EI d 4Y d 2T a 2 , 4 Y IV , 2 T ，则上式为： 令 m dx dt IV T 2 Y a Y T
Y IV T a 2 Y T
2
梁的弯曲振动
方程
T 2T 0
Y
( 4)

2
a
2
Y 0
T Aei (t )
各态遍历过程
相关函数
自相关函数性质
1 偶函数
Rx ( ) Rx ( )
2 周期随机过程的自相关函数仍是周期函数 X (t ) X (t ) Rx ( ) Rx ( T ) 3 4
2 Rx (0) x
2 2 x x Rx ( ) Rx (0)
T(t ) 2T (t ) 0
X ( x)
2
a
2 0
X ( x) 0
杆的纵向振动
解为 时间域，初值问题 空间域，边值问题 固支边条件
T (t ) Aei (t )
X ( x) C1 sin

a0
x C2 cos

a0
x
x=0时，u(0,t)=X(0)· T(x)=0，即X(0)=0 x=l时，u(l,t)=X(0)· T(l)=0，即X(l)=0
x=H(0) f

Y第05章2振动.ppt

Y第05章2振动.ppt

1) 谐频是基频的整数倍
2） 若出现分数基频 如 ( v v v v ) 等等， 2 4 12 14
这是一种非线性效应，称之为倍周期分岔，
预示着混沌现象到来
二、非周期函数的频谱分析与傅立叶变换
如单个脉冲（非周期）f (t)
f (t) 1 F ()eitd
2
F () 1 f (t)eit dt
cos
)
常量
H E l2 1 cos 常量
mgl 2g
2g l
H
1
cos
H=0.1 H=1 H=3.5
相轨接近于一个椭圆 相轨封闭, 两端略尖 相轨分裂成两支, 不再闭合
H=2 相轨是分界线
U
H=2
1
0.1
相图 相轨
(3)初始时刻 t=0时,
0
d
dt
0
H E l2 1 cos
mgl 2g
cos n
sin 2 cos 2 sin cos
任意两个不同函数的乘积在区间 , 上的积分为 0 即
1sin nd 0 1 cos nd 0 sin n cos nd 0
sin m cos nd 0
cos m cos nd 0 m n
周期性函数 f (t) 在正交的三角函数系中展开式：
f (t) A0 ( Ak cos k0t Bk sin k0t)
k 1
T
A0
1 T
T
2 T
2
f (t)dt
T
Bk
2 T
2 T
f
(t) sin
k0tdt
2
Ak
2 T
2 T
f
(t) cos k0tdt

5-第5章 机械振动

5-第5章 机械振动

§5- 2 简谐振动的运动学
特殊初位相的确定：
xxx xx
x
t
-A
OA
0
arctan( 0 ) x0
π
x
2
-A
OA
x
π
-A
OA
（1） x0 A, 0 0 0 0
2
（2） x
x0 0, 0 A 0 2
-A
OA
（3） x0 A, 0 0 0
（4）
x0 0, 0 A 0 3 2
例 一物体作简谐振动，振动方程为x=Acos(t+/4)，在t=T/4时，物体的加速度为:
A
1 2
2 A 2
C
1 2
3 A 2
B
1 2
D
1 2
答：选（B）
a
d2x dt 2
A 2
cos
t
π 4
2 A 2 3 A 2
t T 2π 1 π
4 4 2
a
A 2
cos
π
2
π 4
1 2
2 A 2
3
t (s)
0 0.1 0.2
0.3
(b)
(b) A 3cm 2π 10π
0.2
t 0 时， x 0, 0
0
3 2
π(或
1 2
π)
3 xb 0.03cos(10πt 2 π)(SI)
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§5- 2 简谐振动的运动学
“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§5- 2 简谐振动的运动学

《机械振动》张义民—第5章第9、10、11节ppt

《机械振动》张义民—第5章第9、10、11节ppt

例5.9-1 考虑图5.9-1所示系统，在系统上作用 有激励向量F(t)=[0 F0u(t)]T，u(t)为单位阶跃函数。 求在零初始条件下系统的响应。
解：系统的运动微分方程
1 m 0
0 2
q1 q2
k
2 1
1 q1
2
q2
0
F0u
t
为了用振型分析方法求解，
首先要解特征值问题，得
N t uTF t
F0 m
0.627963 0.325057
u
t
将上式代入方程(5.9-14)，得
1t
0.627963
F0 1
m 1
t 0
u
sin
1
t
d
0.62796312F0 m 1 cos1t
2t 0.325057
F0 1
m 2
t 0
u
sin
2
t
d
0.325057
F0
22
m
F0 1
m 2
t 0
sin
sin
1
t
d
0.325057
F0
22
m
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
最后，得
q1t
F0 m
0.455295112
sin
t
1
sin
1t
1
1
2
12
0.122009
1
22
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
q2t
F0 m
0.621945

(优质)大学物理(振动学)PPT课件

(优质)大学物理(振动学)PPT课件

k
F
m
F kx ma
0
x
x
k
a x
m
又 a d 2 x 令 2 k
dt 2
m
d 2 x 2 x 0 (a 2 x)
dt 2
4
3 简谐振动的运动方程 （振动方程）
x Acos(t )
d 2 x 2 x 0 dt 2
dx dt
Asin( t
)
a
d2x dt 2
2 Acos(t
圆 绕O点以角速度 逆时针旋 (4) 已知质点的运动状态,
转的矢量 A，在x 轴上的投 （或振动曲线）能画出振
影正好描述了一个简谐振动 幅矢量的位置,从而确定该 时刻位相
15
例1：
t
时刻
1
:
x1
A/
2 , 1
0
t 方法：
t
时刻
2
:
x2
0 , 2
0
（a） 取ox轴（沿振动方向）
1
1.
A 2
2
. o
t 0 x A 0
t x 0 A
2
(2) 初相:
不同的位 相表示不 同的运动 状态
0
2
x 0
x 0
A
0
0 0
0
A
初相不同， 物体的初始 运动状态不 同
10
（3）对位相作四点说明
x Acos(t )
a) 用位相表征物体的振动状态,可以反映振动的周期性
b) 若已知位相差△，可以求出同一简谐振动由一个
16
例题2
一质点沿x 轴作简谐运动，A = 0.12 m ，T=2s ，当t = 0
时质点对平衡位置的位移 x0 = 0.0 6m 向x 轴正向运动。
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EI m
4
l4
自振频率
2 EI
l2 m
精确解
（2）取振型为梁在自重荷载上的挠曲线。图（c）所示为匀布 自重荷载作用下简支梁的静力挠曲线，即
(x)
ym
16 5l4
(x4
2lx3
l3x)
最大动能
Tmax
m2
2
l 0
ym
16 (x4 5l4
2lx3
l3x)2dx
0.252ml2 ym2
外力做功的最大值
1 1.1908
EI
Sl 4
选择端部集中质量作用下的静挠度曲线作为试函数：
(x) A2 (3lx2 x3)
1 1.1584
EI
Sl 4
因集中质量大于梁的分布质量，选用后一种试函数好
Vmax
1 2
l EI2(x)dxT
0
*
1 2
l 0
S
2
(
x)dx
m
2
(
xa
)
R(
)
Vmax T*
14
例.用能量法计算图示体系的基频.
系统的动能
T1 lm(x)v2dx
20
将振动速度代入得
T12co 2( st)lm (x)2(x)dx
2
0
动能的最大值发生在 cost ()1 时刻，即
Tm ax 1 22
lm(x)2(x)dx
0
若只考虑弯曲变形的影响，系统的应变能为
V
1 2
l
2
E(Ix)y(x,t)dx
0
(式中y， (x,t)表示 y(x,t)对坐x求 标二阶偏导数）
将运动方程代入得
V 1 2si2(n t )0 lE(xI)(x,t)2dx
当 sint()1时，应变能最大，即
Vmax1 20lE(Ix)(x,t)2dx
使 TmaxVmax ，即可得到
l EI(x)(x)2dx
2 0 l m(x)2(x)dx 0
瑞利商
用外力做功的数值代替系统应变能的数值 图（b）系统上外力所做的总功为
k
X
1
X
T 1
mX
1
1 0.445 k / m
14k 0.2k / m 1 0.447 k / m
70m
2.取直线
mk 3
1
X 1 2
3
12 0.214k / m 1 0.463 k / m
m m
k k
2 1
3.取常数
1
mg
y3
X 1 1 12 0.333k / m mg
y2
1 1 0.577 k / m mg
由TmaxMmax 得到
l
n
2
m(x)g(x)dx
0
Fii
i1
l m(x)2(x)dx
0
n
mi (i )2
i1
例：如图（a） 所示均质等截面简支
梁。单位梁长的质量为 m ，其抗弯 刚所挠度示度E）(Ix和为)图常ym （数sc。in）l若x（所y振示m 为型梁梁分在中别自点为重的图作最（用大b下）
Wmax12 0lmgym51l46(x42lx3l3x)dx
0.32m0glm y24.6El3Iym 2
式中y， m
5mgl4 384EI
因为 TmaxWmax,可以解得
9.8 EI
l2 m
此值与精确解相比较，偏大约2％
例：计算重力坝沿水流方向 的自振频率时，可以取沿坝 轴线方向单位长度的坝体近 似地简化为图（a）所示的变 截面悬臂梁。试用瑞利法计 算其自振频率。
解：选变截面悬臂梁在其自重作用下所引起的挠曲线作为
近似振型，如图（b）所示，即
(x)
y(x)
h2
Eb2
x2
式中， 为坝身材料单位重 体量 积。 的
从图（b）可以看出其分布质量为
m(x) b()
hg 最大动能和外力功的最大值为
Tmax
1 2
2
h m(x) 2 (x)dx
0
1 2 3 h9
2 E2b3g 30
y1
3
X 1 5
6
12
X
T 1
k
X
1
X
T 1
mX
1
精确解:
12 0.198k / m 1 0.445 k / m
T1 2
l m(x)v2dx1
0
2
n i1
mivi2
式中vi为各集中质体的度 振。 动速 将振动速度代入得
T 12 cos2(t ) l m(x)2(x)dx
2
0
1 2
2
cos2
(t
)
n i1
mi
(i
)2
当cost ()1时，动能达最大值
Tma x1 22 0lm(x)2(x)dx1 22i n1mi(i)2
第五章 自振频率和振型的实用计算
第一节 能量法求自振频率
一，瑞利能量法 根据能量守恒，在任何瞬时（忽略能量散失）
T(t)V(t)常数
设图示系统中任一质点的运动方程为
y(x,t) (x)si n t ()
振动速度
v y ( x ,t ) ( x )co t )s(
(式y ( 中 x ,t)表 y ， (x ,t 示 )对t求 时偏 ) 间导
W 1 20 lm (x)gy(x,t)d x1 2i n 1F iy(xi,t)
将运动方程代入上式得
y(x,t)为静荷载（自 重、F等）引起的位 移，如自重等
W 1 2 sitn )( 0 lm (x )g (x )d 1 x 2 sitn )i ( n 1F ii
式中g， :重力加速度
Fi :集中质 mi得 量重力荷Fi＝ 载mi（ g）
i :集中质量作用点振幅
当 sint()1时，应变能达到最大值，此时外
力所作的功亦为最大值，
W1 20lm (x)g(x)d x1 2i n1Fii
这时系统的动能除了分布质量m(x)的动能外，还应
包括各集中质量m i(i1,2, ,n) 的动能，即
解:
m
m
m
m
2 1 0
k 1 2 1 k
0 1 1
mk 3
m
2
k
m
1
k
1.取自重引起的位移
y13mg /k
mg
y3
y 2 y 1 2 m /k g 5 m /k g
mg
y2
y 3y 1 m/k g 6 m/k g
mg
y1
3
X 1 5
6
精确解:
12 0.198k / m
12
X
T 1
的挠曲线。分别计算自振频率，并将
所得结果进行比较。
解：（1）振型为(x)ymsinlx
T ma xm 220 l ymsiln x 2d xm 42ym 2l
从而得
V ma xE 20 Il yml2 2siln x 2d x4 E l3I4ym 2
2
EI 4l3
4
ym2
m 4
ym2
l
Wmax
1 2
h
m(x)g (x)dx
0
1 2 h2
2 Eb12
根据Tm
axWm
得到
ax
1.58h1b2
E（ g 比精确3.0解 ％ 6 大 ）
y
例：等截面悬臂梁
端部有一集中质量 m 2Sl 0
x
m
用瑞利法估计基频
l
解：
选择等截面悬臂梁在均布载荷下的静挠度曲线作为试函数：
(x) A1(x4 4lx3 6l 2x2 )