1.3.1 二阶、三阶行列式

则根据归纳假设得证: Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) ( x i x j )
( x i x j ).
n i j 1
n i j 2
作

业
P26 4(4), 9 补充： 利用范德蒙德行列式计算4阶行列式
1 1 1 1 16 8 2 4 D 81 27 3 9 256 64 4 16
D = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + ain Ain + anj Anj .
i , j 1,2,
, n
推论 行列式中任一行或列的元素与另一行对应元 素的代数余子式乘积之和为零。 ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0, i j
1 1
例2 求解方程
1 x 0. x2
2 3 4 9
解
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
推论
行列式中任一行或列的元素与另一行 或列对应元素的代数余子式乘积之和 为零。即
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a1 j A1 j
j 1
3
定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素 与其代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3
a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j ( j 1,2, 3)

第一章行列式问题与背景 中学我们就学过解二元一次方程组、三元一次方程组。

我们能不能得到一个求解二元一次方程组、三元一次方程组等n 元线性方程组的公式呢？我们先从二元一次方程组入手。

利用加减消元法，我们很容易得到二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a 的解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=211222112112112211222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x大家一定疑惑，这么容易就能得到的公式，为什么以前不讲呢？问题是这个公式很难记住。

一个公式如果很难记住，它的作用自然不能很好地发挥。

只要我们引入行列式的概念，改变一下这个公式的形式，这个公式就很容易记住，上面的公式就求活了。

1.1 二阶、三阶行列式一、二阶行列式我们用记号11122122a a a a 表示代数和11221221a a a a -，称为二阶行列式，即1112112212212122a a a a a a a a =-二阶行列式表示的代数和，可以用对角线法则的方法记忆例15152(1)31332-=⨯--⨯=。

例2 设231D λλ=。

问：（1）当λ为何值时0D =。

（2）当λ为何值时0D ≠。

解：223(3)31D λλλλλλ==-=-（1）当0λ=或3λ=时，0D =。

（2）当0λ≠且3λ≠时，0D ≠。

二、 三阶行列式我们用记号111213212223313233a a a a a a a a a 表示代数和112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为三阶行列式，即111213112233122331132132212223112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 用对角线法则的方法记忆三阶行列式所表示的代数和例3 12340510625(1)34030(1)246150106=⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-104858=--=-。

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pi 这个元素的逆序数是 τi，即：
τ ( p1 p2 …pn)= τ 1 + τ 2 +…+ τ n
就是这个排列的逆序数 逆序数。 逆序数 例1 求排列13…(2n − 1)24…(2n)的逆序数。 解：在该排列中，1 ～(2n−1)中每个奇数的逆 序数全为0，2的逆序数为(n − 1)，4的逆序数为 (n − 2),…，(2n − 2)的逆境序数为1，2n的逆序数 为0，于是该排列的逆序数为 τ=(n-1)+(n-2)+…+1+0=n(n-1)/2
τ1 =τ (l1l2 Lln )
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τ2 = τ (s1s2 L sn )
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这就表明，对换乘积项中两元素的位置， 这就表明，对换乘积项中两元素的位置， 从而行标排列与列标排列同时做了相应的对 换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的 奇偶性并不改变。 奇偶性并不改变。
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... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 = a11a22...ann ... ann a1n a2n = a11a22...ann ... ann
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3)次上三角行列式 次上三角行列式
4)次下三角行列式 次下三角行列式
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定理2： 阶行列式 阶行列式D= 定理 ：n阶行列式 aij的一般项可以记为
λn
0 0 = λλ2...λn 1 ...
=1+ 2 + ... + (n − 2) + (n −1) n (n −1) = 2
λ1
0 = (−1) ... 0

二阶三阶行列式对角线法则-概述说明以及解释1.引言1.1 概述行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学工具，用于描述线性方程组的性质和解的情况。

二阶和三阶行列式是行列式理论中的基础，它们具有重要的数学意义和广泛的应用。

在本文中，我们将重点讨论二阶和三阶行列式的性质和计算方法，特别是介绍对角线法则在求解行列式值时的应用。

通过学习二阶和三阶行列式，可以深入理解行列式的概念和性质，为进一步学习多阶行列式奠定基础。

同时，对角线法则作为一种简便的计算方法，可以帮助我们更快速地求解行列式的值，提高解题效率。

因此，本文的目的是帮助读者全面了解二阶和三阶行列式，并掌握对角线法则的运用，为深入学习行列式理论打下坚实的基础。

1.2 文章结构文章结构部分：本文主要分为三个部分，即引言、正文和结论。

引言部分主要包括对二阶和三阶行列式的简要概述，介绍了行列式在数学和工程中的重要性和应用，并说明了文章的目的和意义。

正文部分分为二阶行列式、三阶行列式和对角线法则三个小节，将详细介绍二阶和三阶行列式的定义、性质和计算方法，以及介绍对角线法则在计算行列式时的应用和意义。

结论部分将对二阶和三阶行列式进行总结，展示其重要性和应用，并展望未来在更高阶行列式及其在数学和工程中的进一步研究和应用。

1.3 目的目的部分的内容应该概括文章的主要目标和意义。

例如：目的：本文旨在介绍二阶、三阶行列式以及它们的性质，并重点讲解对角线法则在计算行列式时的应用。

通过本文的阐述，读者可以深入了解行列式的计算方法，并且掌握对角线法则在简化计算过程中的重要作用。

同时，我们也希望读者能够进一步应用这些知识，解决实际问题和拓展数学思维。

2.正文2.1 二阶行列式二阶行列式是指一个2x2矩阵的行列式，通常表示为：a bc d其中，a、b、c、d分别为矩阵中的元素。

二阶行列式的计算公式为ad - bc。

这个公式也被称为“交叉相乘减交叉相乘”的方法。

举个例子，对于矩阵2 34 1其二阶行列式的计算过程为：2*1 - 3*4 = 2 - 12 = -10。