§1_二阶与三阶行列式20页PPT

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
n 阶行列式定义
将n2个数排成n行n列的数表，按下列规
则计算出的数，即
D ( 1) a1 p1 a 2 p2 a np n n! a n1 a nn
2 D1 ( 1) ( 1) 1 x1 , 2 D ( 1) ( 2) 2
( 1) D2 x2 2 ( 1) ( 2) D
2
1 , 2
2 2 ( 1) ( 1) D3 x3 2 D ( 1) ( 2)
ci 2 ai 1b12 ai 2b22 ainbn 2 , (i 1,2,, n)
D
a11 a 21 a n1 1
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn 1 1
再证唯一性.假设
x j c j , j 1,2,, n 也是(1)的解.
在(2)两端同时乘以cj
a11 a1 j c j a1n cjD an1 anj c j ann
a11 (a11c1 a1 j c j a1n cn ) a1n an1 (an1c1 anj c j anncn ) ann
例6.2 问λ在什么条件下,方程组
ì λx1 + x2 = 0, ï ï í ï ï î x1 + λx2 = 0
有非零解？
解 由定理6.5知，若方程组有非零解，则其系数行列
式必为零.
D

1
1

0 2 1 0,

8.有限个向量的向量组与矩阵一一对应
列向量组
行向量组
9、向量的运算
（特殊矩阵）
转置、相等、加法、数乘、乘法；运算律
T T T （ 1 ， 1 ， 1 ） , （ 0 ， 1 ， 2 ） , （ 1 ， 0 ， 1 ） 例：设
求 解
.
T T T
7.向量组：
若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组.
行向量组 列向量组
有限个向量 无限个向量
本课程默认为列向量组 先讨论有限个向量
m个n维列向量构成向量组 称为向量组 a1 , a2 ,, am ，或者称为向量组A
A : a1 , a2 ,, am
,或者称为向量组 A :
a1 , a2 ,, am .
T T T
T
等表示，如：
a T (a1 , a 2 ,, a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如：
a1 a2 a a n
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
1 2 3 1 2 1 5 3 6 r ~ 0 1 2 2 8 0 5 4 5 7 0
7 0 0 0 5 4 1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 1
R( A) 3 R( B) 4
因此向量 b 不能由向量组 A 线性表示.
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
a1 , a2 ,, an , b
线性方程组与增广矩阵的列向量组一一对 应
二、 线性组合与线性表示

a11 D
a12
a13 a23 a33 a43
a12
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32 a41 a42
a11
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M 12 M 12
M 44 a21 a22 a31 a32
a41 a42 a43 a44
a 32 的代数余子式 A32 ( 1)32 M 32 a13 的代数余子式 A ( 1)13 M 13 13
a21 a31 a41
完
a22b1 a12 a21b1 x2 a11a22 a12a21
a11 a12 D a11a22 a12a21 , a21 a22
a12 a22
主对角线 a11 a21 称 D 为二阶行列式。 副对角线
(-)
a13 a11 a33 a31
(+)
a12 a32
(+) (+)
a23 a21 a22
(-)
(-)
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 设有三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
解 计算二阶行列式
D
2 1 3 2
7 , D1
5 11
1 2
21 , D2
2
5
3 11
7 .
由 D 7 0 知方程组有唯一解：
D1 D2 x1 3 , x2 1. D D

2 3 4 1 . 3 4 1 2 4 1 2 3
解 把所有列都加到第一列上去，然后，从第一列提 取公因子，再把第二、三、四行都减去第一行.
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 10 1 10 2 10 3 10
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
1 1 10 1 1
2 3 4 1
3 4 1 2
3
4 1 2 3 4 1 0 1 1 3 10 2 0 2 2 2 3 0 1 1 1
4
1 2
2r2 r3 0 1 1 3 10 120. r1 r4 0 0 3 1 0 0 0 4
例5.5 设
a11 D am1 c11 cn1 a11
D1 am1
0 x2
x2 x1
x3 x1 x3 x3 x1 x3
n2
x3 x1
xn
xn x1
1 x2 x1 x3 x1 xn x1 x2 x2
n2
1 x3 x3
n2

1 xn
n2
( x2 x1 )( x3 x1 )
a11 ai1 D a j1 an1 a j2 an 2 a jn ann a12 ai 2 a1n ain a j1 kai1 a j 2 kai 2 an1 an 2 a jn kain ann a11 ai1 a12 ai 2 a1n ain .
例5.3 计算
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d