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第五章流体动力学微分形式基本方程

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流体动力学基本方程

流体动力学基本方程

4
τ 21 = c21kl
∂ul ∂u ∂u = c2121 1 = µ 1 ∂xk ∂x2 ∂x2
′ = c21 ′ kl τ 21
′ ∂ul′ ∂u1 ∂u ′ ′ = c2121 =µ 1 ′ ′ ′ ∂xk ∂x2 ∂x2
′ x1 x2
x1
′ x2
cijkl 是四阶张量，考察变换
′ = β im β jnτ mn = β im β jn cmnpq τ ij ∂uq ∂x p = β im β jn cmnpq β kp β lq ∂ul′ ′ ∂xk
——能量方程
二、动能方程
G G G G G dV G G G dV 将动量方程 ρ = ρF + ∇ ⋅ P 两边同时点积 V 得： ρV ⋅ = ρF ⋅ V + V ⋅ (∇ ⋅ P) dt dt G G G G dV 1 d (V ⋅ V ) 1 dV 2 而V ⋅ ，故有动能定理 = = dt 2 dt 2 dt
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 §4.本构方程 数学预备： 二阶张量的坐标变换 记 ∇V = E ，将坐标系旋转，从原坐标系 o-xyz 到旋转后的坐标系 o-x′y′z ′ ，二阶张量 E 的张量元满足 变换：
Chapter 3
流体动力学基本方程
§1 质量连续性方程（质量守恒方程） 一．体系和控制体。 体系（物质体） ：流体团无论运动到哪，如何变形，总由同一批流体质点组成。 控制体：流场中一个确定的子空间，大小、形状、位置都固定。有流体质点不停出入。 二．通量的概念和 Reynolds 输运方程 质量通量：单位时间内穿过曲面 s 的质量

流体力学公式总结

流体力学公式总结

工程流体力学公式总结第二章流体得主要物理性质❖流体得可压缩性计算、牛顿内摩擦定律得计算、粘度得三种表示方法。

１.密度ρ= m／V2.重度γ= G /V3．流体得密度与重度有以下得关系:γ= ρg或ρ= γ/ g４.密度得倒数称为比体积,以υ表示υ= １/ ρ= V/m5.流体得相对密度:d = γ流/γ水= ρ流/ρ水6．热膨胀性７.压缩性、体积压缩率κ8．体积模量９.流体层接触面上得内摩擦力10．单位面积上得内摩擦力(切应力)(牛顿内摩擦定律)1１.、动力粘度μ：12.运动粘度ν:ν=μ/ρ1３．恩氏粘度°E:°E = t 1 /t 2第三章流体静力学❖重点：流体静压强特性、欧拉平衡微分方程式、等压面方程及其、流体静力学基本方程意义及其计算、压强关系换算、相对静止状态流体得压强计算、流体静压力得计算（压力体)。

1.常见得质量力:重力ΔW = Δmg、直线运动惯性力ΔFI ＝Δm·ａ离心惯性力ΔＦR ＝Δm·rω２、２.质量力为F。

:F= ｍ·aｍ= m(ｆｘi+f yj＋ｆzk)am ＝F/m = f xi＋f yj＋fｚk为单位质量力,在数值上就等于加速度实例:重力场中得流体只受到地球引力得作用，取z轴铅垂向上,xoy为水平面，则单位质量力在x、y、z轴上得分量为fｘ= ０,ｆy＝0 , fz=-mg/ｍ= －ｇ式中负号表示重力加速度g与坐标轴z方向相反３流体静压强不就是矢量,而就是标量,仅就是坐标得连续函数。

即:p=p(x,y,z),由此得静压强得全微分为：4.欧拉平衡微分方程式单位质量流体得力平衡方程为:５.压强差公式(欧拉平衡微分方程式综合形式)6．质量力得势函数7.重力场中平衡流体得质量力势函数积分得：U ＝-gz + c*注：旋势判断:有旋无势流函数就是否满足拉普拉斯方程：8.等压面微分方程式、fx dｘ＋fy d y + fz d z ＝09.流体静力学基本方程对于不可压缩流体,ρ=常数。

第5章 性流体动力学基本方程组

第5章 性流体动力学基本方程组

第5章 粘性流体动力学基本方程组5.1 粘性流体动力学基本方程流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定的，即质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。

这三大定律对流体运动的数学描述就是动力学基本方程组。

但这个方程组是不封闭的，要使其封闭还需加上辅助的物性关系等。

一般情况下，现在还求不出这个方程组的解析解，但研究这个方程组的性质却具有极其重要的意义，因为所有的流动现象都是由这个方程组所规定的。

粘性流动的一个基本特征是流动的有旋性。

因此研究涡的产生、输运和扩散就是很重要的了。

这些性质也都是由流体动力学基本方程组所规定的。

对流体运动的描述有两种方法，即拉格朗日法和欧拉法；对基本定理的数学表述也有两种方法，即积分形式和微分形式。

本章将采用欧拉法和微分形式来表述基本方程。

5.1.1 质量守恒定律——连续方程连续方程是质量守恒定律在运动流体中的数学表达式。

由于不涉及力的问题，因此粘性流体力学与非粘性流体方程完全相同，在非粘性流体中所做的推导和讨论在这里全部有效。

考察流体通过一微元体的界面所引起的微元体内质量的变化问题。

根据质量守恒定律，单位体积上通过微元体界面流出的质量流量即矢量ρu 的散度()ρ∇⋅u ，它应等于微元体内单位时间单位体积所减少的质量：()0tρρ∂+∇⋅=∂u (5.1.1) 展开后得：()()()0u v w t x y zρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ (5.1.2) 连续方程表示单位时间内流人流出微元体的质量必与密度变化相平衡。

对于定常流，此式可变为：()()()0u v w x y zρρρ∂∂∂++=∂∂∂ (5.1.3) ()0ρ∇⋅=u (5.1.4)对于不可压缩流，(5.1.2)式变为：()()()0u v w x y z∂∂∂++=∂∂∂ 即iiu x ∂= 0 (5.1.5) 由张量分析的知识可知，iiu x ∂是应变量张量的主对角线上三元素之和，恒为常数，表示微元体的体积变化率。

流体动力学基本方程

流体动力学基本方程

u
（ 2 p2 p1 )


2 g ( 1 ) h

皮托管测速计
§4.3 实际流体流束的伯努利方程
实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转 化为热能耗散。根据能量守恒原理，实际流体流束的伯努利方程为
整理： 1 p du x fx x dt
1 p du y fy y dt
同理：
1 p du z fZ z dt
1 p fx x 1 p fy y f 1 p Z z
§4.4 理想流体的运动学微分方程的伯努利积分
du x 1 p f x x dt du y 1 p fy y dt 1 p du z fZ z dt
沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得：
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 1 2 2 2 2 d u x u y uz d ( u ) 2 2


du y 1 p p p du x du z f x dx f y dy f z dz dx dy dz dx dy dz x y z dt dt dt
u x u y u z 0 x y z
② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为
u x u y u z 0 x y z

第五章 实际流体动力学基础分解

第五章 实际流体动力学基础分解
代入式（a）中得： 可见虹吸管顶部，相对压强为负值， 即出现真空。为使之不产生空化，应 控制虹吸管顶高（即吸出高），防止 形成过大真空。
图4-15
例2：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直径为 200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作恒 定出流，略去水头损失，试求点2的压强。
故有：
得：hp=16.47N· m/N 所需轴功率Np为：
图4-26
3.气流的能量方程
总流的能量方程式是对不可压缩流体导出的，气 体是可压缩流体，但是对流速不很大（u<60m/s）压 强变化不大的系统，如工业通风管道、烟道等，气流 在运动过程中密度的变化很小，在这样的条件下，伯 努利方程仍可用于气流。由于气流的密部空气的密度 是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考 虑外部大气压在不同高度的差值。
判断：测压管水头线若低于管轴心，则该处水流一 定处于真空状态。 你的回答： 对 错
问题：粘性流体总水头线沿程的变化是：
A.沿程下降； B.沿程上升； C.保持水平； D.前三种情况都有可能。 问题：粘性流体测压管水头线的沿程变化是：
A.沿程下降； B.沿程上升； C.保持水平； D.前三种情况都有可能。
例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损 失分别为hw1,2=0.6v2/(2g)和hw2,3=0.5v2/(2g) ，试求断 面2的平均压强。 解：取0-0，列断面1，2的能量方程a（取α 1=α 2=1） 而v2=v3=v（因d2=d1=d），因此可对断面1，3写出能量 方程b a 可得： b

Байду номын сангаас

4.总流能量与元流能量方程有什么不同点？
参考答案： 1）以断面的平均流速v代替元流中的点流速

流体动力学微分形式的基本方程

流体动力学微分形式的基本方程
z
❖ 质量 m ：m x y z
❖ 加速度的 x 向分量 ax ：
ax
du x dt
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
Xxyz ( xx yx zx )xyz
x y z
xyz( u x
t
ux
u x x
uy
u x y
uz
ux ) z
除以ΔxΔyΔz，并令 Δx→0,Δy→0,Δz→0 取极限，得出
dt
x
y
z
du
f
1
( σ)
dt
存在问题：
方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。
2. 不可压缩流体的应力与应变率关系
xx
p 2
u x x
yy
p 2 u y
y
zz
p 2 u z
z
xy
yx
( u y
x
u x ) y
yz
zy
( u z
y
u y ) z
zx
xz
( u x
z
u z ) x
3. 纳维－斯托克斯方程（N－S方程）
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
X
1
p x
v(
2ux x 2
2ux y 2
2u x z 2
)
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
x y
当定义
ux
y
和
uy
x
，连续性方程
自然满足。称ψ为流函数。

5第五章流体动力学(微分方程)

5第五章流体动力学(微分方程)

上式减此式： 上式减此式： 定义状态参数焓： 定义状态参数焓： ，则能量方程又可表示为： 则能量方程又可表示为：
关于理想流体假设应用范围的讨论：粘性作用，速度梯度，边界层。 关于理想流体假设应用范围的讨论：粘性作用，速度梯度，边界层。 一般气体的粘性系数和导热系数值都很小， 一般气体的粘性系数和导热系数值都很小，只是在速度梯度和温度梯度 很大的区域中才起作用。 很大的区域中才起作用。
这一方程说明，对于理想流体，在质量有势（ 这一方程说明，对于理想流体，在质量有势（ 的条件ห้องสมุดไป่ตู้有： 压流场 的条件下有：
），流场为正 ），流场为正
ur ur r 流场如果一开始无旋，Ω ( x , 0) = 0 ，则： DΩ ≡ 0 ，流场将永远无旋。 流场如果一开始无旋， 流场将永远无旋。
上式说明，对于理想流体，在质量力有势、流场正压的条件下， 上式说明，对于理想流体，在质量力有势、流场正压的条件下，
一、应力张量的建立
我们首先讨论表面应力怎样随着受力面的方位变化而变化，并 我们首先讨论表面应力怎样随着受力面的方位变化而变化， 证明可以表示成受力面的外法线单位向量与某个张量的乘积， 证明可以表示成受力面的外法线单位向量与某个张量的乘积，而这 个张量只是空间点的位置和时间的单值函数。 个张量只是空间点的位置和时间的单值函数。 为此我们取一个四面体作为控制体， 为此我们取一个四面体作为控制体，该控制体的三个面是迪卡 尔坐标系中坐标轴构成的三个面，如同在流体静力学中所取一样。 尔坐标系中坐标轴构成的三个面，如同在流体静力学中所取一样。
Dt
我们知道，无旋流动是有势流动，由此可知， 我们知道，无旋流动是有势流动，由此可知，理想流动如果一开始是 有势的，则将一直是有势的。 有势的，则将一直是有势的。

流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程

流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程

或 D w 0
Dt
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（5.3a）
第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第二节 理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于

液压流体力学第五章流体动力学基础

液压流体力学第五章流体动力学基础
液压流体力学
南京工程学院
夏庆章
20150720
第五章 流体动力学基础
• • • • • • 流体动力学概述 5.1理想流体的运动微分方程式 5.3理想流体的伯努利方程式 5.4实际流体总流的伯努利方程式 5.7伯努利方程的应用 5.8动量、动量矩定理及其应用
流体动力学概述
流体动力学是研究流体在外力作用下的运
动规律即研究流体动力学物理量和运动学 物理量之间的关系的科学。 流体动力学主要研究内容就是要建立流体 运动的动量平衡定律、动量矩平衡定律和 能量守恒定律（热力学第一定律）。
5.1 理想流体的运动微分方程式
1、选取控制体：在所研究的运动流体中，任取一 微小平行六面体，如图5-1所示。六面体边长分别 为dx、dy、dz，平均密度为 ，顶点A 处的压强 为 p。 2、受力分析 质量力：fxdxdydz , fydxdydz , fzdxdydz 表面力：设A点压强为p时，则与其相邻的ABCD 、 ADEH、ABGH三个面上的压强均为p，而与这三个 面相对应的EFGH、 BCFG、 CDEF 面上的压强可 由泰勒级数展开略去二阶以上无穷小量而得到，分 p p p p dz p dx p dy 别为 z x y
p V p V z1 1 1 z 2 2 2 h w g 2 g g 2 g
2 2
式（5-1）的几何解释如图5-1所示，实际总水头线沿微元流 束下降，而静水头线则随流束的形状上升或下降。
图5-1 伯努利方程的几何解释
二、黏性流体总流的伯努利方程 流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为 有限值的总流流动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。 微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点 的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 都可认为是相同的。而 总流的同一有效截面上，流体质点的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。 因此，由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯 努利方程，对总流有效截面进行积分时，将遇到一定的困 难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便于积 分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的 p z 常数？这只有在有效截面附近处有缓变流动时 g 才能符合这个要求。

流体力学-05 微分形式基本方程

流体力学-05 微分形式基本方程

控制面净的质量流率
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
控制体内的质量变化率为
质量守恒的微分表达式
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
质量守恒定律表示为
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
为常数的线在该点处斜率的负倒数
Ψ 为常数的线与 Φ 为常数的线是正交的。 为常数的线是正交的
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
5-6.3 6 3 无旋流动和粘度
速度势只在无旋流动中存在，流函数满足连 续性方程，流函数不限定在无旋流动中。 在什么条件下能够形成无旋流动？ 开始不旋转的质点在没有角变形时将不会 发展成旋转运动。
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
Surface Left ( x) (Right (+x) = = = = = = = =
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
Bottom = ( y) (Top (+y) Back ( z) (Front (+z) = = =
每一个面的性能参数通过相对于O点的 泰勒级数展开
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
Surface Inside = (-r) ( Right = (+r) Front = ( θ) (Back = (+θ ) Bottom = ( z) (Top = (+z)

流体力学欧拉方程

流体力学欧拉方程

流体力学欧拉方程
流体力学欧拉方程:(ax²D²+bxD+c）y=f(x）
欧拉方程，即运动微分方程，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程，是指对无黏性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。

欧拉方程应用十分广泛。

1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。

在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)
其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。

它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y 的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。

这样的方程称为欧拉方程。

例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。

化学中足球烯即C-60和此方程有关。

流体力学连续性方程微分形式

流体力学连续性方程微分形式

0 t
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时

u x u y u z 0 x y z
Const
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ， 与流出的流体体积（质量）之差等于零。 适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应
等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：
[
•
( u x ) x
( u y ) ( u z ) y ]dxdydz dxdydz z t
流体的连续性微分方程的一般形式：
适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
1
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u z u x x 2 x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D ux dx 1 dx dy u u 左表面流速 M A x 2 x B o u x x 1 右表面流速 u N u x dx 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u x ) ( u x ) 1 1 M M [ u x dx]dydz [ u x dx]dydz 右 左 2 x 2 x ( u x ) x dxdydz

等，即pxx pyy pzz。任一点动压强为：
p xx p p zz ) 3 u

流体动力学动量方程及伯努利方程一流体力学

流体动力学动量方程及伯努利方程一流体力学

R
2
d2
p1
R
1
2
R Q(v3x v2x ) Q(0 v2x )
1000( 25 )( 4 25 / 3600 ) 3600 3.14 0.022 4
180N
3 v3 3 R′
v2
3
3
v3
对平板冲击力 F R 180N
总流伯努利方程
z1
p1
1V12
2g
z2
p2
2V2 2
2g
hl
总流伯努利方程意义与微小流束方程相 同，式中以均速替代实际流速，用系数修正
§5.6 动量方程
讨论运动的流体与固体边界的相互作用力。
质点系动量定理
dM dt
d ( mu)
dt
F
概念：
控制体
控制面
流体系统
一、定常不可压缩流体动量方程
p1
d12
4
0
Q(v2 x
v1x) )
Q2
d 2 2
[1 ( d2 )2 ]
4
d1
R
1000( 25 )2 3600
4 0.02 2
[1
( 0.02 ) 2 0.05
]
2.38
105
0.052 4
338N 喷嘴接头处拉力 F R 338N
取2-2,3-3面及射流表面 为控制面
d1
1
v1
2g
z p — 测压管水头；
单位重量流体 具有的比势能
z p u2 H
2g
H—总水头；
单位重量流体的总机械能，总比能
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g

微分型基本方程_449206731

微分型基本方程_449206731

VF = VW , TF = TW
液体——流体界面（互不搀混流体的界面）
1 1 考虑表面张力： ( pn i n ) + − ( pn i n ) − = σ ( + ) R1 R2
V+ = V−
( pn i s ) + = ( pn i s ) − ( pn it ) + = ( pn it ) −
2 pij = [ − p + ( µ ′ − µ )∇iV ]δ ij + 2 µ Sij 3
p = ρ RT ,
e = cvT
独立未知数：
ρ , e, T ,V , p, pij 13个未知数
流体力学方程组的封闭性
二、流体动力学中经常采用封闭方程组
2. 重力场，qR=0，牛顿流体、Fourier定律的不可压缩均质流体
D V2 （ ∫∫∫) ρ e + 2 )dτ 0 = τ∫∫∫) qR ρ dτ 0 + A∫∫t ) qλ dA0 + τ∫∫∫) ( f iV )ρ dτ 0 + A∫∫t（pn iV )dA0 Dt τ 0 ( t 0 (t 0( 0 (t 0( )
D V2 D V2 D V2 （ （ （ ∫∫∫) ρ e + 2 )dτ 0 = τ∫∫∫) Dt e + 2 )ρ dτ 0 = ∫∫∫ Dt e + 2 )ρ dτ Dt τ 0 ( t τ 0 (t
流体的运动方程——动量守恒
微分形式基本方程 D ∫∫∫) ρVdτ 0 = τ∫∫∫) ρ fdτ 0 + A∫∫t ) pndA0 Dt τ 0 ( t 0 (t 0(
D D DV D DV DV ρVdτ 0 = ∫∫∫ ( ρVdτ 0 ) = ∫∫∫ [ ρ dτ 0 + V ( ρ dτ 0 )] = ∫∫∫ ρ dτ 0 = ∫∫∫ ρ dτ ∫∫∫) Dt τ 0 ( t Dt Dt Dt Dt Dt τ0 (t ) τ0 (t ) τ0 (t ) τ

工程流体力学 第5章 流体动力学

工程流体力学 第5章 流体动力学

§5-3 动量方程的微分和积分形式
一、动量方程的积分形式
对于某瞬时占据空间固定体积τ的流体所构成的体系，由
牛顿运动第二定律可知，体系的动量随时间的变化率等于作用
在该体系上所有外力的合力，即
D Dt
Vd
F
利用雷诺输运公式，则式(5-29)可写为
式(5-29)
V
t
d
A
V V
dA F
式(5-30)
§5-1 雷诺输运定理
二、临界雷诺数
管中流动呈何种流态，除了与流体的平均流速有关外，还 与管径d、流体的密度ρ、粘度μ等因素有关：
Re d d v
式中的Re称为雷诺数。上式说明雷诺数与平均速度和管径 成正比，与流体的运动粘度成反比。
如果管径及流体运动粘度一定，则雷诺数只随平均速度变
化。实验中发现流体由紊流转变为层流时的平均流速与由层流
Fb Rd
式(a)
§5-3 动量方程的微分和积分形式
式(5-20)
t
V
d
0
由于积分体积τ是任意取的，且假定被积函数连续，因此
，只有当括号内的值处处为零时，积分才可能为零。于是就得
到微分形式的连续方程，即
V 0
t
式(5-22)
将式(5-22)中 项展开，则 V V V 式(5-23)
§5-2 连续方程的微分和积分形式
将式(5-23)代入式(5-22)，有
转变为紊流时的平均流速不同。这两个流速分别称为下临界流
速
c
和上临界流速
' c
，相应的雷诺数分别称为下临界雷诺数
Rec。及上临界雷诺数Rec’，即
Rec
cd v
Rec'

流体动力学基本方程 微分形式连续性方程

流体动力学基本方程 微分形式连续性方程

个坐标方向的投
影（不包括惯性
力）。
二、综合应用举例 【例】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径 管相连接处的断面1-1上压力表读数p1=17.6×104Pa，管中流量 qv=0.1m3/s，若直径d1=300㎜，d2=200㎜，转角Θ=600，如图3-25所 示。求水对弯管作用力F的大小
1) 能量形式
2) 压头形式 3) 水头形式
•伯努利方程的物理Байду номын сангаас义

能量意义： p gz V 2 常数
2 沿流线，(压力能＋势能＋动能)守恒
单位：J/kg
V 2 p gz 常数 单位： Pa 2 沿流线，(静压＋位压＋动压)守恒

几何意义：
p V2 z 常数 g 2g
【解】 水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管 壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry 两个分力。
取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示 方向设置。 1.根据连续性方程可求得：
v1

qV d 12
0 .1 4 1.42 2 0 .3
单位：mH 2 O
沿流线, (压力水头＋位置水头＋速度水头)＝总水头, 即：沿流线总水头守恒
恒定总流的动量方程
式中，Fx ,Fy ,Fz 为作用于控制体 上所有外力在三
qv ( 2 v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2 v2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2 v2 z 1v1z ) Fz
微分形式连续性方程
( u ) ( v ) ( w ) 0 t x y z

流体力学(热能)第5章 不可压缩流体动力学基础讲解

流体力学(热能)第5章 不可压缩流体动力学基础讲解

的下标表示发生角变形的所在平面的法线方向。
三、亥姆霍兹速度分解定理 （了解）
设流体微团内某点M0(x,y,z),速度为ux0 、u y0 、uz0 ，
则邻边M0的另一点M (x+dx,y+dy,z+dz)的速度为
ux ux0 dux uy uy0 duy
uz uz0 duz
了。
四、 N-S方程
把（7-5-1）式和（7-5-6）式代入（7-4-1）式，消去应力
ux
对不可压缩流体有 x
uy y

uz z
0
代入得
X

1

p x

(
2u x x 2

2u x y 2

2u x z 2
)

dux dt
Y

1

p y

(
2u y x 2
3 xx
yy
zz
(7-5-4)
（3）
p


1 3
(
pxx

pyy

pzz )

pt

2 3
( ux
x

u y y

uz z
)
(7-5-5)
式中， pxx 、 pyy 、 pzz表示法向应力，
p 表示压强，
pt 表示理想流体压强。
代入（7-5-4）
（4）
p xx


p

2
u x x
（2）
ur

2r
cos 2

1 r
u 2r sin 2
解： ur

流体动力学微分形式的基本方程

流体动力学微分形式的基本方程
r r q ( r , t0 ) = f ( r )
二、边界条件： 1、固体壁面：渗透、介质交换 无分离条件：理想流体，不可以渗透时法向速度为零。 r r (v 若物面静止不动： b ) ⋅ n = 0 设物面方程为 F ( x, y, z, t ) = 0 ，则物面上组成光滑流体面， DF =0 则 Dt 无滑移条件：粘性流体，沿壁面切向、法向速度均为零。
Dp ∂p r = + v ⋅∇p Dt ∂t
1 Dρ r ∇⋅v = − ρ Dt
Dp ∂p r v ⋅∇p = − Dt ∂t
§4-7 理想流体动力学的基本方程
D p ∂p r 所以： ∇ ⋅ ( Pv ) = − ρ + Dt ρ ∂t 代入能量方程中得：
r r D p v2 ∂p ρ e + + = ρ f ⋅ v + ρ qR + ρ 2 Dt ∂t r ρv ： 将动量方程两边乘以 r r r r D v2 r Dv ρv = ρ f ⋅ v − v ⋅∇p = ρ Dt Dt 2 因此有： Di 1 Dp = qR + Dt ρ Dt
§4-9 理想流体动力学的定解条件
3、自由面：流体质点的光滑面
r v∞ 2、无穷远或管道进口处的边界条件：一般给定管道进口及
p = const
τ τ τ τ
§4-7 理想流体动力学的基本方程
若积分号内均为连续函数，又因为积分区域的随意性： r r D v2 r ρ e + = ρ f ⋅ v + ∇ ( Pv ) + ρ qR + ∇ ⋅ ( λ∇T ) Dt 2 由于是理想流体： µ = 0 , λ = 0 . 因此 ∇ ⋅ ( λ∇T ) = 0 又在理想流体中： P = − pδ r r r r r ∇ ⋅ ( Pv ) = ∇ ⋅ ( − pδ v ) = ∇ ⋅ ( − pv ) = − p∇ ⋅ v − v ⋅∇p 因为： 1 Dρ r + ∇⋅v = 0 ρ Dt

流体力学第五章

流体力学第五章

Shanghai Jiao Tong University
5.7.2 涡量场的时间特性
整理上面的结果，可以得到：
dΓ = dt
∫
⎛V 2 p⎞ d⎜ − f − ⎟=0 ρ⎠ ⎝ 2
Γ = 常数
Kelvin定理(旋涡强度时间保持定理)：理想、不可 压或正压流体，在有势的质量力作用下，沿任一 封闭物质线的速度环量和通过任一物质面的涡通 量在运动过程中恒定不变。
∫ [udu + vdv + wdw]
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5.7.2 涡量场的时间特性
由理想流体的欧拉动量方程，方程右边第二项可表示为:
dv dw ⎞ ⎛ du ∫ ⎜ dt dx + dt dy + dt dz ⎟ ⎝ ⎠ ⎡⎛ ⎛ ⎛ 1 ∂p ⎞ 1 ∂p ⎞ 1 ∂p ⎞ ⎤ = ∫ ⎢⎜ f x − ⎟ dy + ⎜ f z − ⎟ dx + ⎜ f y − ⎟ dz ⎥ ρ ∂x ⎠ ρ ∂y ⎠ ρ ∂z ⎠ ⎦ ⎝ ⎝ ⎣⎝ ⎡ 1 ⎛ ∂p ∂p ∂p ⎞ ⎤ = ∫ ⎢( f x dx + f y dy + f z dz ) − ⎜ dx + dy + dz ⎟ ⎥ ρ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎦ ⎣ ⎛ 1 ⎞ = ∫ ⎜ −df − dp ⎟ = ρ ⎠ ⎝ ⎡ ⎛ p ⎞⎤ ∫ ⎢−df − d ⎜ ρ ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣
a1
b1
A2
a2 b2
A1
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5.8 Helmholtz定理
2. Helmholtz第二定理(涡管保持定理)：理想、不可压或正压流 体，在有势的质量力作用下，流场中的涡管始终由相同的流体 质点组成。 K为涡管表面上的封闭周线，其 包围的面积内涡通量等于零。由 Stokes定理知，周线K上的速度 环量应等于零；又由Thomson定 理，K上的速度环量将永远为 零，即周线K上的流体质点将永 远在涡管表面上。换言之，涡管 上流体质点将永远在涡管上，即 涡管是由相同的流体质点组成 的，但其形状可能随时变化。
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第五章
流体动力学微分形式基本方程
第二节
理想流体运动方程
欧拉方程在圆柱坐标系统中的形式，可以用上述同样的方法得到，在流场 中取微小扇形六面体微团，然后根据牛顿第二运动定律列出微团的力的平 衡方程，从而得到该坐标系统的欧拉运动方程，具体形式如下
2 1 ∂p ∂wr ∂wr wθ ∂wr ∂wr wθ + wr + + wz − = Fr − r ∂θ r ∂t ∂r ∂z ρ ∂r
∇ ⋅ ( ρw ) = 0
对于不可压缩流体， ρ 为常数，则连续性方程为
∂w x ∂w y ∂wz + + =0 ∂x ∂y ∂z
即
（5.5） （5.5a）
∇⋅w = 0
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第五章
流体动力学微分形式基本方程
第一节
连续性方程
二、圆柱坐标系统的连续性方程 在圆柱坐标系统中，取一扇形六面体流 体微团ABCD，如图5.2所示。单位时间内 z 流入AB、BC、CA面的流体质量分别为 ρwr rdθdz，ρwθ drdz， ρwz rdθdr
对不可压缩流动连续性方程变为
∇⋅w = 0
将速度分布代入上式得到
A + A − 2A = 0
因此，该流动为不可压缩流动。 第7页 退出 返回
第五章
流体动力学微分形式基本方程
第二节
第4页 退出 返回
第五章
流体动力学微分形式基本方程
第二节
理想流体运动方程
w y、 wx 、 wz ，故欧拉方程加上 、 wy、 连续性方程就能求解。对可压缩流体的流动，其未知量有 w x 、 wz 、 ρ、p、T，除了用欧拉方程和连续性方程外，还要增加状态方程和能量 方程来求解。 求解理想流体运动问题主要依靠欧拉方程和连续性方程。方程是普遍 的，但各个问题的初始条件和边界条件不同，因此对各个具体问题应作 具体分析。 初始条件是指流体运动开始瞬时所对应的条件。在理想流体力学问题 ρ 、p、T，因此，在 t = t0时，这些物理量 中，所要求的是 w x 、 wz 、 wy 、
第五章
流体动力学微分形式基本方程
第一节
连续性方程
同理可得： 沿 y 方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为 ∂ (ρw y ) dxdydz ∂y 沿 z 方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为 ∂ ( ρw z ) dx dy d z ∂z 单位时间内净流出整个六面体的流体质量为 ∂ (ρwx ) ∂ (ρw y ) ∂ (ρwz ) 另外，流体密度随时间的变化也影响六面体中流体的质量。设在 t
的数值应是给出的，即
二、理想流体运动方程的求解 对不可压缩流体的流动，未知量为p
w x ( x , y , z , t0 ) = f 1 ( x , y , z )
w y ( x , y , z , t0 ) = f 2 ( x , y , z )
返回
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第五章
流体动力学微分形式基本方程
第二节
wz ( x , y , z , t0 ) = f 3 ( x , y , z )
理想流体运动方程
p ( x , y , z , t0 ) = f 4 ( x , y , z )
T ( x , y , z , t0 ) = f 6 ( x , y , z )
ρ ( x , y , z , t0 ) = f 5 ( x , y , z )
（5.7）
第五章
流体动力学微分形式基本方程
第二节
理想流体运动方程
运动方程描述流体在运动中所受的力与流动参量之间的关系。理想 流体是指无粘性的流体。工程实践中的流体都是具有粘性的，它们并不 是理想的流体，但在很多情况下，流体的粘性力和其他力比起来作用很 小，因而可视为理想流体。 一、理想流体运动方程的建立 建立运动方程的基础是牛顿第二运动定 dy ∂p dx dydz p+ pdydz X ∂x 律。在理想流体流场中取出一微小六面体 微团。微团所受的力有表面力（压力）和 dz 体积力（质量力）。六面体在 x 轴方向上 dx x o 所受的表面力和单位质量的体积力如图5.3 所示。设单位质量的体积力为X、Y、Z， x 轴方向根据牛顿第二运动定律 z 则在 应有 图 5.3 流体微团在x方向所受的力 第1页 退出 返回
第五章
流体动力学微分形式基本方程
第二节
理想流体运动方程
−1
A = 1.0 s 。 例题5.1 有一稳定流场，其速度分布为 w = Axi + Ayj − 2 Azk ， 试证明它是不可压缩流动。又假定质量力为重力，z 轴垂直向上， ρ = 1000kg/m3，长度单位为m，试计算点M（2，2，5）处的压力梯度。 解：连续性方程和运动方程分别为 1 Dw ∂ρ F − ∇ = p + ∇ ⋅ ( ρw ) = 0 Dt ρ ∂t
dz dx x 沿 x 方向在单位时间内流出六面体的流体 o 质量为 ∂ ( ρw x ) + dx dydz w ρ x ∂x z 沿 x 方向在单位时间内净流出 图 5.1 正六面体流体微团 六面体的流体质量为 ∂ ( ρw x ) dxdydz ∂x 退出 返回 第2页
ρwx dydz
第1页 退出 返回
第五章
流体动力学微分形式基本方程
第一节
连续性方程
在研究流体运动时，对于流体量的处理上必须遵循物质不灭原理。因 为流体充满整个流场，连续不断运动，所以在流体力学中物质不灭原理 又称为连续性原理。反映这个原理的数学关系式叫做连续性方程。 一、笛卡儿坐标系统的连续性方程 ∂ ( ρw x ) y + dx dy dz ρ w 在流场中取一六面体微团，其边长为 x ∂ x d y， d z（图5.1）。沿 x 方向在单位时间 d x， ρwxdydz dy 内流入六面体的流体质量#43; ρ∇ ⋅ w = 0 Dt
（5.2） （5.3） （5.3a）
退出
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第五章
流体动力学微分形式基本方程
第一节
对于稳定流动，
连续性方程
（5.4） （5.4a）
即
∂ρ ≡ 0 ，于是式（5.1）变为 ∂t ∂ (ρwx ) ∂ (ρw y ) ∂ (ρwz ) + + =0 ∂x ∂y ∂z
研究生教材
流 体 力 学
顾伯勤 主编
中国科学文化出版社
退出
第二篇 流体动力学基本原理及流体工程
第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章
流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相似原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体的流动 气体动力学基础
r
dθ
B dr dz D C
∂ (ρwr ) dr ∂r
ρwr + 单位时间内流出CD、DA、BD面的流体质量 ρwr A 分别为 ∂ (ρwr ) + w ρ dr (r + dr )dθdz ， r r ∂r o ∂ (ρwθ ) ρ w + dθ drdz ， θ ∂θ 图 5.2 扇形六面体流体微团 ∂ (ρwz ) ρwz + dz rdθdr ∂ z 第6页
∂wθ ∂w w ∂wθ ∂w ww 1 ∂p + wr θ + θ + wz θ + r θ = Fθ − ∂t ∂r r ∂θ ∂z r ρ r∂θ
（5.9）
1 ∂p ∂wz ∂wz wθ ∂wz ∂wz + wr + + wz = Fz − ρ ∂z r ∂θ ∂t ∂r ∂z
式中 Fr 、 Fθ 、 Fz 分别为单位质量的体积力在r、θ、z方向的分量。
Z− 1 ∂p dwz = ρ ∂z dt
（5.8）
第2页 退出 返回
第五章
流体动力学微分形式基本方程
第二节
1
理想流体运动方程
（5.8a）
Dw F − ∇p = Dt ρ
式中， F = Xi + Yj + Zk
称为单位质量的体积力矢量。
（5.8）式就是理想流体的运动方程，它是欧拉于1755年提出的，故又称 欧拉运动方程。它给出了压力、体积力与惯性力的关系。对于给定的流体 （密度已知，或者已知压力与密度的关系，例如气体方程），在已知体积 力场（即X、Y、Z已知）内，根据此式和连续性方程进行积分，可解出任 意时刻 t ，流场中任意位置（x，y，z）的p，wx，wy，wz。但是实际对该 式进行解析计算是有困难的，往往需要给定限制条件。最简单的限制条件 是讨论沿流线的运动和无旋流场。这两种情况都是有现实意义的，后面将 详细讨论。 第3页 退出 返回
y
第五章
流体动力学微分形式基本方程
第二节
理想流体运动方程
同理可推导得到
dw ∂p pdydz − p + dx dydz + Xρdxdydz = ρdxdydz x ∂x dt 1 ∂p dwx − = X 化简得 dt ρ ∂x
z 轴方向力的平衡关系式，于是有 y、
X− 1 ∂p dwx = ρ ∂x dt 1 ∂p dw y Y− = ρ ∂y dt
退出
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第五章
流体动力学微分形式基本方程
第一节
连续性方程
单位时间内，微团中净流出的流体质量为 ∂ (ρwr ) ∂ (ρwθ ) ∂ (ρwz ) + + + ρ drdθdz w r r r ∂ ∂ ∂ θ r z 由于微团中流体密度增加而使微团中增加的流体质量为 ∂ρ rdθdrdz ∂t 根据连续性原理，微团中流体质量的总变化应等于零，所以