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微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。
一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。
以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。
2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。
3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。
利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。
三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。
通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。
结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。
在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。
以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
第五章部分习题1. 对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若σ/10>s ，则()t i 先增加，在σ/1=s 处最大，然后减少并趋于零；()t s 单调减少至∞s 。
（2）若σ/10>s ，则()t i 单调减少并趋于零，()t s 单调减少至∞s 。
9. 在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率()t β和生育模式()t r h ,是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
*16. 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为∂（与地面夹角），建立投掷距离与∂,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
参考答案1. SIR 模型（14）式可写作().,1si dt di s i dt di λσμ-=-=由后一方程知()t s dtds ,0<单调减少。
1) 若σ10>s ，当01s s <<σ时，()t i dt di ,0>增加；当σ1=s 时，()t i dt di ,0=达到最大值m i ；当σ1<s 时，()t i dt di ,0<减少且()()式180=∞i 2) 若σ10<s ，()t i dt di ,0<单调减少至零 9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率()1=t β；晚婚晚育相当于生育模式()r h 中（5。
6节（13）式）使1r 和c r 增大；生育第2胎一些规定可相当于()t β略高于1，且()r h 曲线（5。
6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16. 在图中坐标下铅球运动方程为()()()().sin 0,cos 0,0,00,,0ααv y v x h y x g yx ====-== 解出()t x ，()t y 后，可以求得铅球掷远为,cos 2sin cos sin 2/12222ααααv g h g v g v R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=这个关系还可表为()ααtan cos 2222R h v g R +=由此计算0*=ααd dR，得最佳出手角度()gh v v +=-21*2sin α，和最佳成绩gh v g v R 22*+=设m h 5.1=，s m v /10=，则0*4.41≈α，m R 4.11*=。
第五章 微分方程模型、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化解：设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立：1046750386941868w dw dt --= 经化简有：232313956139565429()41868t t w e t e c -=-⋅+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下：2323139561395605429()41868t t w et e w -=-⋅+ 、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dtt dp = 其中t 以分钟计。
在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。
鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。
此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有条鲑鱼离开此水域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。
（2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数)(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况解：（1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下：2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt=-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题2()0.003()0.001()0.002(0)1000000dp t p t p t dt p ⎧=--⎪⎨⎪=⎩ 解得0.0010.0012999998()11000001tt ae p t a ae--+==-其中 当t→∞ 时，2p →。
、 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。
若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。
解：假设初始时刻该放射性物质的原子数位0N ，在时间t 时，该放射性物质的原子个数为N ，设衰变系数为k ，则有下列微分方程：0,(0)dN kN N N dt=-= 解得0()kt N t N e =由题可知，当1/2=t T 时，该放射性物质的原子个数下降到原来的一半，即有1/20012kT N N eN == 则有 1/2ln 2/k T =-即为该放射性物质的衰变系数。
、 用具有放射性的14C 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子与氮结合产生14C 。
植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14C 。
在活组织中14C 的吸收速率恰好与14C 的衰变速率平衡。
但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C 的浓度随衰变而降低。
由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时14C 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。
若测得古生物标本现在14C 的衰变速率，由于14C 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。
试建立用14C 测古生物年代的模型（14C 的半衰期为5568年）。
解：假设现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率为0v ，古生物标本现在14C 的衰变速率为0t v ，设动物死亡后，经过时间t 后，动物体内14C 的浓度为()c t 。
再根据上题（题）解得某物质的衰变系数为1/2ln 2/c k T =其中1/2T 为14C 的半衰期，则有()()(),()c dc t v t k N t v t t dt ==-为时衰变速度当00t t t ==、时，根据上述公式可得到0000c c v v k N N k =-⇒=- ，0000t t c t t cv v k N N k =-⇒=- 又因为0()c k t N t N e =，则有0000000001ln c c t t k t k t t c c c v v v N N e e t k k k v ==-=-⇒= 由题可知1/21/2ln 25568,c T k T ==-，则只要测出现在活组织样本和古生物标本中14C 的衰变速率，代入上式即可估算出古生物标本距今的时间。
、 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：（1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为计数（min ⋅g ），而活树木样本测得的计数为计数（min ⋅g ），试确定该洞中绘画的年代；（2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为计数（min ⋅g ），活数标本为计数（min ⋅g ），试估计该建筑的年代。
解：（1），根据上题建立的模型，由已知条件可以确定00 6.68,0.97t v v ==，代入上题模型中可算出0001ln 15500t c v t k v == 年 （2），同理可得，该古建筑距今的年代0001ln 3940t c v t k v == 年、 一容器用一薄膜分成容积为A V 和BV 的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。
设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。
试建立描述容器中溶液浓度变化的数学模型。
设)(l V V B A ==，每隔100s 测量其中一部分溶液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626，650，659，单位为3/m mol 。
试建立扩散系数，并决定2h 后两部分中溶液的浓度各为多少。
解：假设浓度较高的部分为B V ，则测得的十组数据是A V 中溶液浓度的变化，设 A V 和B V 中溶液浓度分别为()A C t 和()B C t 。
因为扩散速度与两部分溶液浓度差成正比，则()()A B A dC t k C C dt=- 又因为在整个容器中，溶液的浓度是定值，设为0C ，所以02B A C C C =-，代入上式并解得：2220()(2)kt kt A C t e k C t e C -=-⋅+然后用所给的十组数据进行数据拟合，求出上式中的参数。
、 建立耐用消费品市场销售量的模型。
如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。
解：因为是耐用消费品，所以随着人们对它的拥有量的增加，其销售量()N t 的下降速度与()N t 成正比。
则可建立模型如下：()()dN t kN t dt=-解上述微分方程得到：()kt N t ce -=根据已有数据用matlab 拟合指数曲线，可确定c k ，。
、 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增加，其销售量)(t s 的下降速度与)(t s 成正比。
广告宣传可给销售量添加一个增长速度，它与广告费)(t a 成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M ）。
建立销量)(t s 的模型。
若广告宣传只进行有限时间t ，且广告费为常数a ，问)(t s 如何变化解：假设在没有广告宣传的情况下，销售量()s t 的模型为1()()ds t k s t dt=- 在加入广告宣传后，销售量()s t 随时间的变化情况如下：120()()()(())t ds t k s t k a t M s x dx dt=-+-⎰ 其中0()ts x dx ⎰为0~t 时间内的销售总量。
如果广告宣传只进行有限时间t ，则上述模型变为120001()(())()()t k s t k a M s x dx t t t ds t dt k s t t ⎧-+-≤≤+⎪=⎨⎪-⎩⎰其他时间、 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。
（2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减少而降低。
（3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。
解：（1），假设推广的人数为()N t ，因为推广是无限的，则()N t 可以达到无限大，建立模型如下()()dN t kN t dt= （2），总人数有限，推广速度随着推广人数()N t 的增加而降低，即推广速度与推广人数成反比，所以建立模型如下：()()dN t kN t dt =- （3），假设投入的广告费随时间的函数为()a t ，广告宣传的影响力与投入的广告费成正比，比例系数为1k ，所以建立模型如下：()1()()dN t k a t kN t dt=-、 某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌解：设经过时间t 后细菌数量为()N t ，增长率为常数x 。
()()dN t xN t dt=- 求解上述微分方程，有()xt N t ce -=由题可知，0(0)1150011500N ce c ==⇒=(1)115002000 1.7492x N e x -==⇒=则有 1.7492*4(4)1150010.5203N e -== 个。
