第五章微分方程模型

微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。

本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。

一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。

以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。

例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。

2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。

常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。

3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。

利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。

三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。

通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。

结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。

在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。

以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。

微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。

微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。

建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。

2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。

()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。

这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。

第五章微分方程建模案例微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。

微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。

微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。

本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。

下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。

例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。

2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。

例如从几何观点看，曲线y=上某点的切线斜率即函数)yy=在该点的导数；力学中的牛顿第二运(x)(xy动定律：maF=，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数等等。

从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。

例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。

对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m，空气阻209210力系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：0)0(=v . 由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：2kv mg dtdv m -= 求解模型可得：)1]2(exp[)1]2(exp[+-=mkg t k m kg tmg v 由上式可知，当+∞→t 时，物体具有极限速度：kmg v v t ==∞→lim 1， 其中，阻力系数s k αρ=，α为与物体形状有关的常数，ρ为介质密度，s 为物体在地面上的投影面积。

微分方程模型的基本原理微分方程是数学中描述变化的一种重要工具，它能够描述系统中随时间、空间或者其他变量而发生的变化规律。

微分方程模型是一种基于微分方程的数学模型，用于描述各种实际问题的变化过程。

1.变量与变化率的关系：微分方程模型描述了系统中变量随时间的变化率，即变量的导数。

它指出了变量如何随时间而变化，从而提供了数量化的描述。

2.初始条件和边界条件：微分方程模型需要给定初始条件和边界条件，以确定具体的解。

初始条件是在系统起始时给定的变量值，边界条件是在系统边界上给定的限制条件。

这些条件可以是实际问题中必须满足的条件。

3.多变量之间的关系：微分方程模型可以涉及多个变量之间的相互作用。

这些变量可以表示不同的物理量或者变化过程，它们之间的关系可以是线性的、非线性的、常系数的或者变系数的。

这些关系可以通过微分方程进行描述。

4.具体问题的建模过程：微分方程模型的建立需要针对具体问题进行分析和建模过程。

这个过程中需要确定问题中涉及的变量、关系以及边界条件，并将其转化为合适的微分方程模型。

这个过程可以涉及到数学推理、物理实验、统计分析等多个方面。

微分方程模型的应用非常广泛，几乎涉及到各个学科领域。

例如，在物理学中，微分方程模型可以用于描述粒子的运动、电磁场的分布、热传导等问题；在经济学中，微分方程模型可以用于描述市场供需关系、经济增长等问题；在生物学中，微分方程模型可以用于描述生物种群的演化、药物动力学等问题。

微分方程模型的求解方法也非常丰富多样，可以通过数值方法、解析方法、近似方法等进行求解。

数值方法通过将微分方程转化为差分方程，然后采用逼近的方式进行求解。

解析方法通过数学推导和变量分离的方式求得方程的解析解。

近似方法通过针对特定问题的特殊性质，利用适当的近似方法得到问题的近似解。

总之，微分方程模型是一种重要的数学工具，广泛用于各个学科领域中的问题描述和解决。

它通过描述变量与变化率的关系，建立初始条件和边界条件，描述多变量之间的关系等方面，为实际问题提供了准确的数学描述和求解方法。

数学建模实验答案_微分⽅程模型实验07 微分⽅程模型（2学时）（第5章微分⽅程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中，i (t )是第t 天病⼈在总⼈数中所占的⽐例。

k 是每个病⼈每天有效接触的平均⼈数（⽇接触率）。

i 0是初始时刻（t =0）病⼈的⽐例。

1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最⼤值，并在曲线图上标注。

提⽰：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel 1）画曲线图⽤fplot 函数，调⽤格式如下： fplot(fun,lims)fun 必须为⼀个M ⽂件的函数名或对变量x 的可执⾏字符串。

若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。

若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。

本题可⽤fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最⼤值⽤求解边界约束条件下的⾮线性最⼩化函数fminbnd，调⽤格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为⼀个M⽂件的函数名或对变量x的可执⾏字符串。

返回⾃变量x在区间x1本题可⽤x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指⽰最⼤值坐标⽤线性绘图函数plot，调⽤格式如下：plot(x1,y1, '颜⾊线型数据点图标', x2,y2, '颜⾊线型数据点图标',…)本题可⽤hold on; %在上⾯的同⼀张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使⽤⽂本标注函数text，调⽤格式如下：格式1text(x,y,⽂本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注⽂本在图中添加的位置。

微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。

通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。

本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。

基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。

通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。

微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。

通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。

常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。

解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。

解析解是指能够用数学公式精确表示的解。

解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。

一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。

数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。