第五章 微分方程模型

第五章 微分方程模型、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化 解：设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立：1046750386941868wdw dt --=经化简有：232313956139565429()41868t t w et e c -=-⋅+假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下：2323139561395605429()41868t t w et e w -=-⋅+、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dtt dp = 其中t 以分钟计。

在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。

鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。

此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有条鲑鱼离开此水域。

（1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。

（2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数)(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况解： （1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下：2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt=--（2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题2()0.003()0.001()0.002(0)1000000dp t p t p t dtp ⎧=--⎪⎨⎪=⎩ 解得0.0010.0012999998()11000001t tae p t a ae --+==-其中当t→∞ 时，2p →。

、 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。

若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。

解：假设初始时刻该放射性物质的原子数位0N ，在时间t 时，该放射性物质的原子个数为N ，设衰变系数为k ，则有下列微分方程：0,(0)dNkN N N dt=-= 解得0()kt N t N e =由题可知，当1/2=t T 时，该放射性物质的原子个数下降到原来的一半，即有1/20012kT N N eN == 则有1/2ln 2/k T =-即为该放射性物质的衰变系数。

、 用具有放射性的14C 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子与氮结合产生14C 。

植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14C 。

在活组织中14C 的吸收速率恰好与14C 的衰变速率平衡。

但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C 的浓度随衰变而降低。

由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时14C 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。

若测得古生物标本现在14C 的衰变速率，由于14C 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。

试建立用14C 测古生物年代的模型（14C 的半衰期为5568年）。

解：假设现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率为0v ，古生物标本现在14C 的衰变速率为0t v ，设动物死亡后，经过时间t 后，动物体内14C 的浓度为()c t 。

再根据上题（题）解得某物质的衰变系数为1/2ln 2/c k T =其中1/2T 为14C 的半衰期，则有()()(),()c dc t v t k N t v t t dt==-为时衰变速度当00tt t ==、时，根据上述公式可得到000c c v v k N N k =-⇒=- ，0000t t c t t cv v k N N k =-⇒=-又因为0()c k t N t N e =，则有00000001lnc c t t k t k t t c c c v v v N N ee t k k k v ==-=-⇒=由题可知1/21/2ln 25568,c T k T ==-，则只要测出现在活组织样本和古生物标本中14C 的衰变速率，代入上式即可估算出古生物标本距今的时间。

、 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：（1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为计数（min ⋅g ），而活树木样本测得的计数为计数（min ⋅g ），试确定该洞中绘画的年代； （2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为计数（min ⋅g ），活数标本为计数（min ⋅g ），试估计该建筑的年代。

解： （1），根据上题建立的模型，由已知条件可以确定00 6.68,0.97t v v ==，代入上题模型中可算出001ln 15500t c v t k v == 年（2），同理可得，该古建筑距今的年代001ln 3940t c v t k v == 年、 一容器用一薄膜分成容积为AV 和BV 的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。

设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。

试建立描述容器中溶液浓度变化的数学模型。

设)(l V V B A ==，每隔100s 测量其中一部分溶液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626，650，659，单位为3/m mol 。

试建立扩散系数，并决定2h 后两部分中溶液的浓度各为多少。

解：假设浓度较高的部分为B V ，则测得的十组数据是A V 中溶液浓度的变化，设A V 和B V 中溶液浓度分别为()AC t 和()B C t 。

因为扩散速度与两部分溶液浓度差成正比，则()()A B A dC t k C C dt=-又因为在整个容器中，溶液的浓度是定值，设为0C ，所以02B A C C C =-，代入上式并解得：2220()(2)kt kt A C t e k C t e C -=-⋅+然后用所给的十组数据进行数据拟合，求出上式中的参数。

、 建立耐用消费品市场销售量的模型。

如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。

解：因为是耐用消费品，所以随着人们对它的拥有量的增加，其销售量()N t 的下降速度与()N t 成正比。

则可建立模型如下：()()dN t kN t dt=- 解上述微分方程得到：()kt N t ce -=根据已有数据用matlab 拟合指数曲线，可确定c k ，。

、 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增加，其销售量)(t s 的下降速度与)(t s 成正比。

广告宣传可给销售量添加一个增长速度，它与广告费)(t a 成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M ）。

建立销量)(t s 的模型。

若广告宣传只进行有限时间t ，且广告费为常数a ，问)(t s 如何变化解：假设在没有广告宣传的情况下，销售量()s t 的模型为1()()ds t k s t dt=-在加入广告宣传后，销售量()s t 随时间的变化情况如下：120()()()(())t ds t k s t k a t M s x dx dt=-+-⎰其中()ts x dx ⎰为0~t 时间内的销售总量。

如果广告宣传只进行有限时间t，则上述模型变为120001()(())()()tk s t k a M s x dx t t t ds t dt k s t t ⎧-+-≤≤+⎪=⎨⎪-⎩⎰其他时间、 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。

（2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减少而降低。

（3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。

解：（1），假设推广的人数为()N t ，因为推广是无限的，则()N t 可以达到无限大，建立模型如下()()dN t kN t dt=（2），总人数有限，推广速度随着推广人数()N t 的增加而降低，即推广速度与推广人数成反比，所以建立模型如下：()()dN t kN t dt=-（3），假设投入的广告费随时间的函数为()a t ，广告宣传的影响力与投入的广告费成正比，比例系数为1k ，所以建立模型如下：()1()()dN t k a t kN t dt=-、 某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌 解：设经过时间t 后细菌数量为()N t ，增长率为常数x 。

()()dN t xN t dt=- 求解上述微分方程，有()xtN t ce-=由题可知，0(0)1150011500N ce c ==⇒=(1)115002000 1.7492x N e x -==⇒= 则有1.7492*4(4)1150010.5203N e -== 个。