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L-模糊拓扑中广义Tychonoff定理的新证明赵虎; 张红英【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2018(033)004【总页数】7页(P470-476)【关键词】L-模糊拓扑; (L;M)-模糊邻域系; 积空间; 模糊紧度; 广义Tychonoff定理【作者】赵虎; 张红英【作者单位】西安工程大学理学院陕西西安710048; 西安交通大学数学与统计学院陕西西安710049【正文语种】中文【中图分类】O189.1史福贵教授和他的学生在文献[1]中提出了L-模糊拓扑空间的模糊紧度的概念,并利用L-模糊拓扑的子基间接地给出广义Tychonoff定理的证明.文献[2]将(L,M)-模糊拓扑和(L,M)-模糊邻域系的关系进一步做了研究,给出了(L,M)-模糊邻域子空间的初始结构和(L,M)-模糊拓扑乘积空间的初始结构.通过(L,M)-模糊邻域系范畴得到(L,M)-模糊拓扑空间的初始结构的构造真的是相当有趣的;事实上,两个范畴是同构的(见文献[2-3]),能使研究人员用其中一个替代另一个,去找到复杂问题的解.一个自然的问题是:L-模糊拓扑空间中的广义Tychonoff定理是否能被直接给出证明?从而使研究者较容易地理解这一定理.本文将利用(L,L)-模糊拓扑乘积空间的结构(见文献[2-3]),直接给出L-模糊拓扑空间中的广义Tychonoff定理的证明.本文总假设L和M是具有逆序对合对应的完全分配格[4-5](即Fuzzy格),0和1分别记为L的最小元和最大元.L中非单位元的素元(非单位元的交既约元)之集记为P(L),L中非0余素元(非0并既约元)之集记为J(L).L是完全分配格当且仅当L的每一个元,这里是指若,存在d∈D使得d≥a(见文献[4]).下面只回忆一下极大集的概念和存在性(关于极大集和极小集的详细知识见文献[6]). 若L是完备格,b∈L,A⊆L.如果(i)VA=b;(ii)若C⊆L且,则∀x∈A,存在y∈C使得y≤x,则称A为b的极大集.可以证明b的若干个极大集的并仍是b的极大集,从而若b有极大集,则必有一最大极大集,记为α(b).设L是完备格,则L是完全分配格当且仅当L的每一个元b都有一极大集,从而α(b)存在,b的标准极大集记为α∗(b)=α(b)∩P(L),显然.对偶地,可以定义极小集的概念(见文献[6]),b的最大极小集记为β(b),标准极小集记为在完全分配格L中,存在一个二元运算→.具体定义为:.容易证明→具有以下性质：设X,Y是非空集合,LX是X上的所有L-子集之集,f:X−→Y是映射,0X和1X分别表示LX的最小元和最大元.映射(称为Zadeh型函数)及其逆映射LX定义如下:对于任意的子族记为Φ的所有有限子族之集.∀a∈L,记为从X到L的常值映射,它的取值为a.映射T:LX−→M称为X上的(L,M)-模糊拓扑[7−8]是指T满足以下条件:称T(A)为L-集A开集的程度(∀A∈LX),且称偶对(X,T)是(L,M)-模糊拓扑空间.设T 是集合X上的(L,M)-模糊拓扑,若满足对每个λ∈L都有,则称T是满层的(L,M)-模糊拓扑.若L=M,则称T为L-模糊拓扑;若M={0,1},则称T为L-拓扑,若T是满层的,则称之为满层的L-拓扑;若L={0,1},则称T为M-模糊化拓扑.显然,若(L,M)=(L,L),则(X,T)是L-模糊拓扑空间.设(X,TX)和(Y,TY)是两个(L,M)-模糊拓扑空间,称f:X−→Y 是连续映射,是指TY(A)≤TX(f←(A))(∀A∈LY),由所有(L,M)-模糊拓扑空间及连续映射构成的范畴记为(L,M)-FTop.下面定义1.1和引理1.2是在L-模糊拓扑情形给出的(见文献[9]),但是容易被变形到(L,M)-模糊拓扑情形下(见文献[2-3]).定义1.1[2-3] X上的一个(L,M)-模糊模糊邻域系是一个映射,它满足以下条件:称N(U)(xλ)为xλ属于L-集U的邻域程度,且称偶对(X,N)为(L,M)-模糊邻域空间. 设(X,N1)和(X,N2)是两个(L,M)-模糊邻域空间,称f:X−→Y是连续映射,是指:所有(L,M)-模糊邻域空间及连续映射构成的范畴记为：(L,M)-FNS.引理1.2[2-3] (L,M)-FTOP和(L,M)-FNS是同构的.证为方便读者对后面的理解,将引理的部分证明(详细证明见[2-3])摘抄如下: (1)定义NT:LX−→MJ(LX)如下:其中U∈LX,xλ∈J(LX)),则NT是由T诱导的(L,M)-模糊邻域系.(2)定义TN:LX−→M如下:则TN是由N诱导的(L,M)-模糊拓扑.(3)NT N=N,TN T=T,且(4)若f:(X,T1)−→(Y,T2)是(L,M)-模糊拓扑间的连续映射,则f:(X,NT1)−→(Y,NT2)是(L,M)-模糊邻域系间的连续映射.(5)若f:(X,N1)−→(Y,N2)是(L,M)-模糊邻域系间的连续映射,则f:(X,TN1)−→(Y,TN2)是(L,M)-模糊拓扑间的连续映射.定义1.3[2] 设{(Xj,Tj)}j∈J是一族(L,M)-FTOP-对象,,且设pj:X−→Xj是j-个投射,X 上的乘积(L,M)-模糊拓扑,记为：,是X上的最弱的(L,M)-模糊拓扑使得pj连续.称偶对的乘积空间.定理1.4[2-3] 设是一族(L,M)-FTOP-对象,,且设pj:X−→Xj是j个投射,(1)若,则(这里的符号只对格中的运算实用,关于的结构见文献[2]).(2)若(Y,TY)是一个(L,M)-模糊拓扑空间,则映射g:Y−→X连续当且仅当pj◦g(∀j∈J)连续.(3)若,则对任意的,以及A∈LX,且这里J是指标集,I是J的有限子集.显然,若(L,M)=(L,L),则容易得到(L,L)-模糊拓扑乘积空间的结构,也即L-模糊拓扑乘积空间的结构.定义1.5[8] X上的L-模糊包含是一个映射,具体定义如下:.本文为书写方便,将用代替.定义1.6[1] 设(X,T)是L-模糊拓扑空间且的模糊紧度cdT定义如下:引理1.7[1] 设(X,T)是L-模糊拓扑空间且G∈LX,对任意的U⊆LX,若则cdT(G)≥a.定理1.8[1] 设f:X−→Y是一个映射,T1是X上的L-模糊拓扑,T2是Y上的L-模糊拓扑,若f:(X,T1)−→(Y,T2)是连续映射,则对任意的.主要结果如下:定理1.9[1] (1)设(X,T)是{(Xj,Tj)}j∈J乘积L-模糊拓扑空间,则,其中Gj∈LXj,j∈J.(2)设(X,T)是乘积L-模糊拓扑空间,则其中1Xj是LXj的最大元.2 主要结果的新证明参考文献:【相关文献】[1]Li Hongyan,Shi Fugui.Measures of fuzzy compactness in L-fuzzy topological spaces[J].Computers&Mathematics with Applications,2010,59:941-947.[2]Zhao Hu,Li Shenggang,Chen Guixiu.Further study on(L,M)-fuzzy topologies and(L,M)-fuzzy neighborhood systems[J].Iranian Journal of Fuzzy System,2014,11(3):109-123. [3]Zhao Hu,Li Shenggang,Chen Guixiu.(L,M)-fuzzy topological groups[J].Journal of Intelligent and Fuzzy Systems,2014,26:1517-1526.[4]Dwinger P.Characterizations of the complete homomorphic images of a completely distributive complete lattice I[J].Indagationes Mathematicae(Proceedings),1982,85:403-414.[5]Gierz G,Hofmann K H,Keimel K,et al.A Compendium of ContinuousLattices[M].Berlin:Springer Verlag,1980.[6]王国俊.L-fuzzy拓扑空间论[M].西安:陕西师范大学出版社,1988.[7]Rodabaugh S E.Categorical foundations of variable-basis fuzzytopology[A].Mathematics of Fuzzy Sets:Logic,Topology,and MeasureTheory(U.Hhle,S.E.Rodabaugh eds.),The Handbooks of Fuzzy SetsSeries,vol.3[C].Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1999.[8]ostak A P.Two decades of fuzzy topology:Basic ideas,notions and results[J].Russian Mathematical Surveys,1989,44:125-186.[9]Shi Fugui.L-fuzzy interiors and L-fuzzy closures[J].Fuzzy Sets andSystems,2009,160:1218-1232.。
正规弱(-θ)空间的无限Tychonoff积
朱培勇
【期刊名称】《数学研究及应用》
【年(卷),期】2004(024)001
【摘要】本文证明:(1)如果X=∏σ∈∑Xσ是|Σ|-仿紧空间,则X是正规弱(-θ)-可加空间当且仅当F∈[∑]＜ω,∏σ∈FXσ是正规弱(-θ)-可加空间.(2)设X=∏i∈ωXi是可数仿紧的,则下列三条等价:X是正规弱(-θ)-可加的; F∈[ω]＜ω,∏i∈FXi是正规弱(-θ)-可加的; n∈ω,∏i≤nXi是正规弱(-θ)-可加的.
【总页数】4页(P155-158)
【作者】朱培勇
【作者单位】电子科技大学应用数学学院,四川,成都,610054
【正文语种】中文
【中图分类】O189.11
【相关文献】
1.关于弱次meso紧空间的无限Tychonoff乘积 [J], 李卫平;朱培勇
2.集体次正规空间的逆极限与无限 Tychonoff积 [J], 朱培勇
3.正规弱（-θ-）空间的Tychonoff乘积性质 [J], 朱培勇
4.正规弱次亚紧空间Tychonoff乘积的刻画 [J], 曹金文;宋际平;杨家会
5.遗传正规弱(-δθ)-可加空间的无限Tychonoff乘积性质 [J], 任萍;尹纪超
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tychonoff定理Tychonoff定理，也被称为Tychonoff-Tietze定理，是一个重要的拓扑学定理，该定理最早由俄罗斯数学家和拓扑学家A.T.Titze 和A.N.Tychonoff在1930年首次提出。
它表明，可以将任意一个有限、连续的空间连接起来，以便构成一个完全拓扑空间。
Tychonoff 定理是现代拓扑学研究的重要理论基础，它对解决拓扑学问题有重要的意义。
Tychonoff定理是一个关于有限连续空间的定理，它表明，任意一个有限、连续的空间都可以完全拓扑化，即可以将其连接起来，使得空间中的任何两个点都可以用一个简单的连续回路来连接。
Tychonoff定理也可以表述为：任何有限数量的连续空间可以拼接成一个完全拓扑空间。
Tychonoff定理的证明涉及空间中连续回路的定义，该定义是拓扑学研究中最重要的内容。
连续回路是指在空间中的点A到点B的连接，其中它的曲线可以任意收缩且收缩后的曲线仍然具有连续性。
Tychonoff定理的证明要求证明连续回路的性质，这意味着它必须证明任何一个空间的连续回路都可以由空间的有限个连续回路构成，以及将空间的连续回路连接起来，以构成一个完全拓扑空间。
Tychonoff定理具有重要的理论意义，它是拓扑学、实变函数论、几何学和空间数学研究的重要理论基础。
它解决了许多重要的问题，如计算拓扑空间的维数，建立拓扑空间的张量计算，以及拓扑学空间中的四彩问题。
此外，Tychonoff定理还可以很好地解释许多自然现象，如活性物质在自然界中的分配，以及空间系统中的变化及其影响。
Tychonoff 定理为许多前沿研究领域提供了重要的指导，是拓扑学研究不可缺少的重要理论。
Tychonoff定理是一个重要的拓扑学定理，它揭示了任意有限、连续的空间都可以完全拓扑化，是拓扑学领域的重要理论基础。
它的证明方法简洁、连续回路的定义明确、定理的意义重要，可以解释拓扑学问题，解释许多自然现象，为拓扑学研究和其他空间研究提供重要的指导，因此它是拓扑学研究不可缺少的理论基础。
§6.5分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间本节重点:掌握各分离性公理是否是连续映射所能保持的性质,是否是可遗传的,可积的.本书正文中提到的所有的分离性公理有（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则和正规等，它们都是经由开集或者经由通过开集定义的概念来陈述的，所以它们必然都会是拓扑不变性质．但是我们还是愿意完全形式地作一番验证，但只是以一种情形为例．其它的请读者自己去作．定理6.5.1 设X和Y是两个同胚的拓扑空间．如果X是一个完全正则的空间，则Y也是一个完全正则的空间．证明设h：X→Y是一个同胚．对于Y中的任意一个点和任何一个不包含点x的闭集B，（x）和（B）分别是X中的一个点和一个不包含点（x）的闭集．由于X是一个完全正则空间，故存在一个连续映射f: X→[0,1]使得f((x))=0和对于任何y∈（B）有f（y）＝l．于是连续映射g＝f：Y→[0,1]，满足条件：g(x)＝0和对于任何z∈B有g(z)=1．（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是可遗传的性质．我们也只是举一例证明之，其余的留给读者自己去作．习题第1题中的结论表明正规和对于闭子空间是可遗传的性质．定理6.5.2 正则空间的每一个子空间都是正则空间．证明设X是一个正则空间，Y是X的一个子空间，设y∈Y和B是Y的一个闭集使得yB．首先，在X中有一个闭集使得∩Y＝B．因此．由于X是一个正则空间，所以y和分别在X中有开邻域（对于拓扑空间X而言）使得．令，它们分别是y和B在子空间Y中开邻域，此外易见.（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是有限可积性质，证明(略)正规和不是有限可积性质．至于本书正文中提到的所有分离性公理都不是可商性质这个结论，可以通过适当的反例来指出．例6.5.1 由于实数空间R是一个度量空间，所以它满足本书正文中提到的所有分离性公理．在实数空间R中给出一个等价关系～使得对于任意x，y∈R，x～y的充分必要条件是或者x，y∈（-∞，0]；或者x，y∈（0，1）；或者x，y∈[1，∞）．将所得到的商空间记为Y．换言之，Y便是在实数空间中分别将集合A=(-∞，0］，B=（0，l）和C=［1，∞）各粘合为一个点所得到的拓扑空间．事实上Y＝{A，B，C}．容易验证Y的拓扑便是{，{A,B},{B},{B,C},{A,B,C}}．考察点A和点B可见，Y不是空间，因此也不是（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及空间．此外，考察两个单点闭集{A}和{C}可见，Y既不是正则空间也不是正规空间．此外容易验证Y是一个空间．上述例子尚没有说明不是可商性质．事实上例3.3.1中所给出的实数空间R的那个商空间是包含着两个点的平庸空间，当然也就不是空间了．然而例3.3.1并不能代替例6.5.1，因为平庸空间既是正则空间，也是正规空间．作业:P175 1.。
