高中数学空间向量的基本定理题库

1.2 空间向量基本定理-提高练一、选择题1.给出下列命题：①已知a b ^r r ，则()()a b c c b a b c ×++×-=×r r r r r r r r ；②,,,A B M N 为空间四点，若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面；③已知a b ^r r ，则,a b r r 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若,a b r r 共线，则,a b r r 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】对于①，若a b ^r r ，则0a b ×=r r ，故()()a b c c b a a b a c c b c a×++×-=×+×+×-×r r r r r r r r r r r r r r 0c b b c =+×=×r r r r ，故①正确；对于②，若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底，,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 这3个向量共线面，故,,,A B M N 共面，故②正确；对于③，当a b ^r r 时，若c r 与,a b r r 不共面，则{},,a b c r r r 可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确.2.若{},,a b c r r r 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-r r r r r B ．{},,b a b a b +-r r r r r C ．{},,c a b a b +-r r r r r D ．{},,2a b a b a b +-+r r r r r r 【答案】C 【解析】A ：因为()()2a b a b a r r r r r ++-=，所以向量,,a a b a b r r r r r+-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B ：因为()(1)()2a b a b b r r r r r ++--=，所以向量,,b a b a b r r r r r +-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C ：因为{},,a b c r r r 为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若,,c a b a b r r r r r +-不构成一组基底，则有()()()()c x a b y a b c x y a x y b r r r r r r r r =++-Þ=++-，所以向量,,a b cr r r 是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此,,c a b a b r r r r r +-能构成一组基底，D ：因为312()()22a b a b a b r r r r r r +=+++，所以向量,,2a b a b a b r r r r r r +-+是共面向量，因此,,2a b a b a b r r r r r r +-+不能构成一组基底.故选：C3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA uuu v ，OB uuu v ，OC uuu v 表示向量OG uuu v是（ ）A ．2233OG OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v uuu v B ．122233OG OA OB OC uuu v uuu v uuu v uuu v =++C ．111633OG OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v uuu v D ．112633OG OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v uuu v 【答案】C 【解析】2OG OM MG OM MN 3=+=+uuu r uuuu r uu Q uu r uuuu r uuuu r ,()()2121111OM MO OC CN OM OC OB OC OA OB OC 3333633uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r =+++=++-=++111OG OA OB OC 633uuu r uuu r uuu r uuu r \=++ ,故选：C ．4.在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为( )14341323【答案】A【解析】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,AE =12(AB +AC )=12(OB -2OA +OC ),AG 1=23AE =13(OB -2OA +OC ).因为OG =3GG 1=3(OG 1―OG ),所以OG=34OG 1.则OG =34OG 1=34(OA +AG 1)+13OB ―23OA =14OA +14OB +14OC .5.下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）A.若向量a r ，b r 与空间任意向量都不能构成基底，则//a b r r；B.若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则有//a c r r ；C.若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则A ，B ，C ，D 四点共面；D.若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则a r ，b r ，c r 也是空间的一组基底.【答案】ACD【解析】对于A ：若向量a r ，b r 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即//a b r r，故A 正确；对于B ：若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 不一定共线，故B 错误；对于C ：若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则()()1133OD OA OB OA OC OA -=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即1133AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，可得到A ，B ，C ，D 四点共面，故C 正确；对于D ：若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则空间任意一个向量d u r ，存在唯一实数组(),,x y z ，使()()()()()()d x a b y b c z x z a x c y b y a z c +=++++=+++++u r r r r r r r r r r ，则a r ，b r ，c r 也是空间的一组基底，故D 正确.6．（多选题）若{a ,b ,c }是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是( )A.{a ,2b ,3c }B.{a +b ,b +c ,c +a }C.{a +2b ,2b +3c ,3a -9c }D.{a +b +c ,b ,c }【答案】ABD【解析】由于a ,b ,c 不共面,易判断A,B,D 中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.对于C,有3(2b +3c )+(3a -9c )=3(a +2b ),故这三个向量是共面的,不能构成基底.二、填空题7．（2020山东泰安实验中学高二月考）在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若记®®=AB a ，AD b ®®=，AC c ®®=，则AG ®=______.【答案】111244a b c ®®®++【解析】在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，则AG AB BG ®®®=+12AB BE ®®=+11()22AB BC BD ®®®=+´+1()4AB AC AB AD AB ®®®®®=+-+-111442AB AC AD AB ®®®®=++-111244AB AD AC ®®®=++.8.（2020上海复旦附中青浦分校高二月考）在斜三棱柱111A B C ABC -中，BC 的中点为M ，11A B a =uuuu r r ，11A C b =uuuu r r ，1A A c =uuu r r ，则1B M uuuur 可用a r 、b r 、c r 表示为______.【答案】1()2c b a +-r r r 【解析】在1B BM D 中，11B M B B BM =+uuuur uuur uuuu r ,又BC 的中点为M ,12BM BC =uuuu r uuu r 111A B C ABC -Q 是斜三棱柱，11B C BC =uuuu r uuu r ，11B B A A=uuur uuur 111112B M A A B C uuuur uuur uuuu r =+, 在111A B C D 中111111B C AC A B uuuu r uuuu r uuuu r =-11111111()()22B M A A AC A B c b a uuuur uuur uuuu r uuuu r r r r \=+-=+-9.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 .【解析】如图所示.设BA =a ,BC =b ,BB 1=c ,则<a ,b >=120°,c ⊥a ,c ⊥b ,因为AB 1=AB +BB 1=-a +c , BC 1=BC +CC 1=b +c ,cos <AB 1,BC 1>=11|AB 1|·|BC 1|=10. （2020山东省高二期末）如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1,AB AA AD ==1BAD DAA Ð=Ð60,°=1BAA Ð30°=，N 为11A D 上一点，且111A N A D l =.若BD AN ^，则l 的值为________；若M 为棱1DD 的中点，//BM 平面1AB N ，则l 的值为________.1,23 【解析】 (1)取空间中一组基底：1,,AB a AD b AA c ===uuu r r uuu r r uuur r ，因为BD AN ^，所以0BD AN ×=uuu r uuu r ，因为11,BD AD AB b a AN AA A N c b l =-=-=+=+uuu r uuu r uuu r r r uuu r uuur uuuu r r r ，所以()()0b a c b l -×+=r r r r ，所以1022l l +-=，所以1l =-；(2)在AD 上取一点1M 使得11A N AM =，连接111,,M N M M M B ，因为11//A N AM 且11A N AM =，所以1111//,NB M B NB M B =，又因为1M B Ì/平面1AB N ，1NB Ì平面1AB N ，所以1//M B 平面1AB N ，又因为//BM 平面1AB N ，且1BM M B B =I ，所以平面1//M MB 平面1AB N ，所以1//MM 平面1AB N ，又因为平面11AA D D Ç平面1AB N AN =，且1MM Ì平面11AA D D ，所以1//M M AN ，所以11AA N MDM V V ∽，所以()111111121A N AA A D DM MD A D l l ===-，所以23l =.三、解答题11.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,MA =-13AC ,ND =13A 1D ,设AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,试用a ,b ,c 表示MN .【答案】见解析【解析】连接AN ,则MN =MA +AN .由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得AC =AB +AD =a +b ,MA =-13AC =-13(a +b ),又A 1D =AD ―AA 1=b -c ,故AN =AD +DN =AD ―ND =AD ―13A 1D =b -13(b -c ),所以MN =MA +AN =-13(a +b )+b -13(b -c )=13(-a +b +c ).12.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点.证明:(1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ;(2)A 1G ⊥平面EFD.【答案】见解析【解析】 (1)设正方体棱长为1,AB =i ,AD =j ,AA 1=k ,则{i ,j ,k }构成空间的一个单位正交基底.AB 1=AB +BB 1=i +k ,GE =GC +CE =12i +12k =12AB 1,∴AB 1∥GE.EH =EC 1+C 1H =12k +-i +j )=-12i -12j +12k ,∵AB 1·EH =(i +k )·-12i -12j +12k =-12|i |2+12|k |2=0,∴AB 1⊥EH.(2)A 1G =A 1A +AD +DG =-k +j +12i ,DF =DC +CF =i -12j ,DE =DC +CE =i +12k .∴A 1G ·DF =-k +j +12i ·i -12j =-12|j |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DF.A 1G ·DE =-k +j +12i ·i +12k =-12|k |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DE.又DE ∩DF=O ,∴A 1G ⊥平面EFD.。

高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析1.在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为。

【答案】为ｚ轴，则【解析】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１（），，，（）。

所以，。

因为，所以，由此推出。

又，，从而有。

【考点】(1)空间向量的坐标运算及空间两点间距离公式的应用；（2）利用二次函数思想求最值。

2.是坐标原点，设，若，则点的坐标应为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，设点B(x,y,z),由于，且，故可知点的坐标应为，故选B.【考点】空间向量的坐标运算点评：主要是考查了空间中向量的坐标的代数运算，属于基础题。

3.已知向量，若,则______。

【答案】【解析】因为，所以，显然所以【考点】本小题主要考查共线向量的数量关系，考查学生运用公式的能力.点评：向量共线是空间向量的常考内容，记清楚关系直接代入计算即可，难度不大.4.已知，，则的最小值是A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为，，则则利用二次函数的性质得到最小值为，选C5.在直三棱柱中，，已知G与E分别为和的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）.若，则线段DF长度的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，1 2 ），G（ 1 2 ，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）∴ GD =(-，y，-1)， EF =(x，-1，- )∵GD⊥EF，∴x+2y-1=0，∴x=1-2yDF2= x2+y2 = (1-2y)2+y2 = 5y2-4y+1 =" 5(y-2" 5 )2+1 5 ∵0＜y＜1∴当y="2" 5 时，线段DF长度的最小值是又y=1时，线段DF长度的最大值是 1而不包括端点，故y=1不能取；故线段DF的长度的取值范围是：[ ，1)．故选A．6.已知a=（1,1,0），b=（-1,0，2），且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是（）.A．1B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以7.空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则点C的轨迹为（）A．平面B．直线C．圆D．线段【答案】D【解析】解：因为A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则说明A,B，C三点共线，解：设点C的坐标为（x，y，z ），由题意可得（x，y，z ）=（3α-β，α+3β，0 ），再由α+β="1" 可得x=3α-β=3-4β，y=α+3β=1+2β，故有 x+2y-5=0，故点C的轨迹方程为x+2y-5=0，则点C的轨迹为直线，故选B.8.在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（x，4，3）为顶点的是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为。

第一章 1.2空间向量基本定理A 级——基础过关练1．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．2aB ．2bC ．2a ＋3bD ．2a ＋5c【答案】D 【解析】由于{a ，b ，c }是空间的一个基底，所以a ，b ，c 不共面，在四个选项中，只有D 与p ，q 不共面，因此，2a ＋5c 与p ，q 能构成一组基底．2．如图，设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，14，14B ．⎝⎛⎭⎫34，34，34 C ．⎝⎛⎭⎫13，13，13D ．⎝⎛⎭⎫23，23，23【答案】A 【解析】由已知OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34[OA →＋13(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB→－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，从而x ＝y ＝z ＝14.3．已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉＝( ) A ．－3135B ．－1935C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】∵|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，∴a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝52－6＝19.|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－2×6＋36＝7，因此cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b|a |·|a ＋b |＝195×7＝1935. 4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN →为( )A ．13a ＋13b －cB ．a ＋13b ＋13cC ．13a －13b ＋13cD ．13a ＋13b ＋13c【答案】D 【解析】MN →＝BN →－BM →＝BB 1→＋B 1N →－BM →，因为BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N ，BB 1→＝AA 1→，所以MN →＝AA 1→＋13B 1C 1→－23BA 1→＝AA 1→＋13BC →－23((AA 1→－AB →()＝AA 1→＋13((AC →－AB →()－23(AA 1→－AB →)＝13AA 1→＋13AC →＋13AB →＝13a ＋13b ＋13c .5．已知{e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，且d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ分别为________．【答案】52，－1，－12 【解析】由题意得a ，b ，c 为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使得d ＝αa ＋βb ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ) e 1＋(α＋β－γ) e 2＋(α－β＋γ) e 3.又d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于点O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.【答案】23a －13b ＋23c 【解析】PG →＝PB →＋BG →＝PB →＋23BD →＝PB →＋23(BA →＋BC →)＝PB →＋23(P A→－PB →＋PC →－PB →)＝23P A →－13PB →＋23PC →＝23a －13b ＋23c .7．从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】－23a ＋12b ＋12c 【解析】GH →＝PH →－PG →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .8．如图，已知在四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为点E ，F ，则EF →＝________.【答案】3a ＋3b －5c 【解析】如图，取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EF →＝GF →－GE →＝12CD →－12BA →＝12CD →＋12AB →＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c )＝3a ＋3b －5c . 9．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→.解：(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为N 是BC 的中点，所以A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c.(3)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 10．已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是PC 的中点，问向量P A →，MB →，MD →是否可以组成一个基底，并说明理由．解：P A →，MB →，MD →不可以组成一个基底，理由如下：如图，连接AC ，BD 相交于点O ，连接OM . 因为ABCD 是平行四边形， 所以O 是AC ，BD 的中点． 在△BDM 中，MO →＝12(MD →＋MB →)，在△P AC 中，M 是PC 的中点，O 是AC 的中点，则MO →＝12P A →，即P A →＝MD →＋MB →，即P A →与MD →，MB →共面．所以P A →，MB →，MD →不可以组成一个基底．B 级——能力提升练11．给出下列命题：①若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d≠0，则{a ，b ，d }也可作为空间的一个基底；②已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，N 是空间四点，如果BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面；④已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】空间任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，易知①②③④均为真命题．12．若{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．【答案】x ＝y ＝z ＝0 【解析】若x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0.13．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是________．【答案】(12,14,10) 【解析】设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．14．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°. (1)设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，用向量a ，b ，c 表示BC 1→，并求出BC 1的长度； (2)求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值．解：(1)BC 1→＝BB 1→＋B 1C 1→＝BB 1→＋A 1C 1→－A 1B 1→＝AA 1→＋AC →－AB →＝a ＋c －b ， 因为a ·b ＝|a |·|b |cos ∠BAA 1＝1×1×cos(60°＝12，同理可得a ·c ＝b ·c ＝12，所以|BC 1→|＝a ＋c －b2＝a 2＋c 2＋b 2＋2a ·c －2a ·b －2c ·b ＝ 1＋1＋1＋1－1－1＝ 2. (2)因为AB 1→＝a ＋b ， 所以|AB 1→|＝a ＋b2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋1＋1＝ 3.因为AB 1→·BC 1→＝(a ＋b )·(a ＋c －b )＝a 2＋a ·c －a ·b ＋b ·a ＋c ·b －b 2＝1＋12－12＋12＋12－1＝1，所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝12×3＝66.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为66. C 级——探究创新练15．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若向量AE →在以{AA 1→，AB →，AD →}为单位正交基底下的坐标为(1，x ，y )，则x ＝________，y ＝________.【答案】12 12 【解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋B 1C 1→)＝AA 1→＋12(AB→＋AD →)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →.16．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． 解：(1)D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )．(2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝D 1D →＋12DB →＝A 1A →＋12(AB →－AD →)＝－AA 1→＋12AB →－12AD →＝－c ＋12a －12b ，所以x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.。

高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析1.三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】以为原点，分别,,为, , 轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，, ，则由，得出，，，.于是向量，，所以，令，，则.因为对称轴为，所以关于为递增函数，关于为递增函数.又因为与独立取值，所以，所以和所成角余弦值的取值范围为，即为所求.【考点】立体几何与空间向量.2.点关于原点对称的点的坐标是．【答案】【解析】空间直角坐标系中点的对称关系:,可得.【考点】空间直角坐标系中点的对称关系.3.已知，，，三角形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，所以,故选B．【考点】1．空间向量夹角公式；2．三角形面积公式．4.已知＝(2,4,5)，＝(3，x，y)，若∥，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝【答案】D【解析】因为∥，所以，所以x＝6，y＝．【考点】空间向量的平行．5.设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是上一点，且，可得又因为是的重心，所以而，所以，所以，选A.【考点】1.空间向量的加减法；2.空间向量的基本定理.6.已知，当取最小值时，的值等于（）A．B．－C．19D．【答案】A【解析】根据空间中两点间的距离公式可得设，，故，根据二次函数的图像可知，该函数的最小值在对称轴上取到，所以当取最小值时，的值等于，选A.【考点】1.空间中两点间的距离问题；2.二次函数的图像与性质.7.设点关于原点的对称点为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】关于原点对称的两个点的坐标之间横坐标、纵坐标、坚坐标的数都是相反数，故，所以，故选A.【考点】1.关于原点对称的两个点的坐标；2.空间中两点间的距离公式.8.已知向量，，且，那么等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，解得，所以，选答案A.【考点】空间向量平行的坐标关系.9.已知，则的最小值是_______________．【答案】【解析】根据题意，由于，则可知，结合二次函数性质可知当t=时，根号下取得最小值，即可知答案为【考点】向量的数量积点评：主要是考查了运用向量的数量积来求解向量的模长的运用，属于基础题。

空间向量基本定理基础过关练题组一 空间向量基本定理及相关概念的理解1.设x=a+b ，y=b+c ，z=c+a ，且{a ，b ，c}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{a ，b ，x};②{x ，y ，z};③{b ，c ，z};④{x ，y ，a+b+c}，则其中可以作为空间的基底的向量组有(深度解析) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.若p:a ，b ，c 是三个非零向量;q:{a ，b ，c}为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，若a=e 1+e 2+e 3，b=e 1+e 2-e 3，c=e 1-e 2+e 3，d=e 1+2e 2+3e 3，且d=αa+βb+γc，则α，β，γ分别为 . 题组二 用空间的基底表示空间向量4.在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，D 是四边形BB 1C 1C 的中心，且AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(深度解析)A.12a+12b+12c B.12a-12b+12c C.12a+12b-12cD.-12a+12b+12c5.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x ，y 的值分别为( )A.1，1B.1，12 C.12，12 D.12，16.已知PA⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =j ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k ，试用基底{i ，j ，k}表示AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .题组三利用空间向量基本定理解决几何问题7.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.给出下列结论:①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.48.(2020黑龙江省实验中学高二上期中) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，AB=4，AA1=6.若E是棱BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为( )A.√1313B.2√1313C.3√1313D.√13269.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证:A1O⊥平面GBD.10.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ADC=60°，PA⊥平面ABCD ，PA=6，求线段PC 的长.能力提升练题组一 利用基底表示空间向量 1.(2020安徽淮北一中高二上期中，)已知M 、N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN上，且MP=2PN ，设向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.16a+16b+16c B.13a+13b+13c C.16a+13b+13cD.13a+16b+16c2.(2019北京第八十中学高二下月考，)已知空间的一个基底{a ，b ，c}，m=a-b+c ，n=xa+yb+c ，若m ，n共线，则x= ，y= . 3.(2020广东深圳实验学校高二上期中，)如图，在三棱锥O-ABC 中，G 是△ABC 的重心(三条中线的交点)，P 是空间任意一点.(1)用向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，并证明你的结论;(2)设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，x ，y ，z∈R，请写出点P 在△ABC 的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明).题组二证明平行和垂直4.(多选)()在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2，则下列说法正确的是(深度解析)A.EG⊥PGB.EG⊥BCC.FG∥BCD.FG⊥EF5.(2020海南五指山农垦实验中学高二上期中，)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=√2AD，若E、F分别为PC、BD的中点.求证:2(1)EF∥平面PAD;(2)EF⊥平面PDC.(用向量方法证明)深度解析6.(2020陕西西北大学附属中学高二上期中，)如图所示，已知四面体ABCD的棱长为1，点E，F，G分别⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b，AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c，{a，b，c}为空间向量的一个基底，计算:⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a，AA是AB，AD，CD的中点，设AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA(1)AA7.(2020浙江余姚中学高二上期中，)在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠B 1BC=60°，求证:(1)AB 1⊥BC; (2)A 1C⊥平面AB 1C 1.题组三 求线段长度和两条异面直线所成角 8.(多选)()如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )A.AC 1=6√6B.AC 1⊥DBC.向量A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是60°D.BD 1与AC 所成角的余弦值为√63 9.(2020浙江杭州学军中学高二上期中，)棱长为a 的正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AB 所成角的大小是 ，线段EF 的长度为 . 10.(2020天津一中高二期末，)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，点N为AA 1的中点. (1)求AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模;(2)求cos<AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值.答案全解全析 基础过关练1.C 结合长方体，如图，可知向量a ，b ，x 共面，x ，y ，z 不共面，b ，c ，z 不共面，x ，y ，a+b+c 也不共面，故选C.方法归纳 判断给出的某一个向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断.2.B 空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若a ，b ，c 是三个共面的非零向量，则{a ，b ，c}不能作为空间的一个基底;但若{a ，b ，c}为空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面，所以a ，b ，c 是三个非零向量，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.3.答案 52，-1，-12解析 由题意得，a 、b 、c 为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使d=αa+βb+γc.∴d=α(e 1+e 2+e 3)+β(e 1+e 2-e 3)+γ(e 1-e 2+e 3)=(α+β+γ)e 1+(α+β-γ)e 2+(α-β+γ)e 3. 又∵d=e 1+2e 2+3e 3，∴{A +A +A =1,A +A -A =2,A -A +A =3⇒{A =52,A =-1,A =-12.4.D A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a+12b+12c ，故选D. 方法归纳 用基底表示向量的策略:(1)若基底确定，则充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则以及数乘向量的运算律表示向量;(2)若没有设定基底，首先选择基底，选择基底时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.5.C AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x=12，y=12，故选C. 6.解析 如图所示，延长PG 交CD 于E ，则E 为CD 的中点.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13(-k+i+j-k+j)=13i+23j-23k.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-i+k+13i+23j-23k =-23i+23j+13k.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i+(-23A +23A +13A )=13i+23j+13k.7.C ∵A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而A 1M∥D 1P ，∵D 1P ⊂平面DCC 1D 1，A 1M ⊄平面DCC 1D 1，∴A 1M∥平面DCC 1D 1，同理A 1M∥平面D 1PQB 1，故①③④正确.又B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行，故②不正确.故选C.8.A 设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则{a ，b ，c}构成空间的一个基底， A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-12c ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c ，cos<A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =(A -12A )·(A +A )|A -12A ||A +A |=5×2√13=-√1313， 所以异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值为√1313.9.证明 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }，A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =[12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =[12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 所以A 1O⊥DG，A 1O⊥BG，又DG ，BG ⊂平面GBD ，BG∩DG=G，所以A 1O⊥平面GBD.10.解析 因为在平行四边形ABCD 中，∠ADC=60°，所以∠BAD=120°，又PA⊥平面ABCD ，所以PA⊥AB，PA⊥AD.因为AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√9+16+36+2×3×4×(-12)-0-0=7，即线段PC 的长为7.能力提升练1.C AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+13×12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b+13c+16a ，故选C. 2.答案 1;-1解析 ∵m ，n 共线，∴∃λ∈R，使m=λn， ∴a-b+c=λ(xa+yb+c)，得{1=AA ,-1=AA ,1=A ,解得{A =1,A =1,A =-1.3.解析 (1)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ). 证明如下:AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23×12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13[(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )] =13(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).(2)若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，x ，y ，z∈R，则点P 在△ABC 的内部(不包括边界)的充分必要条件是: x+y+z=1，且0<x<1，0<y<1，0<z<1.4.ABD 如图，设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则{a ，b ，c}是空间的一个正交基底， 则a·b=a·c=b·c=0，取AB 的中点H ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(a+b)=13a+13b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-23b-13c=13a-13b-13c ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-13b=13a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b-(13A +23A )=-13c-13b ，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A 正确;AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，B 正确;AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，C 不正确;AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，D 正确.故选ABD.解题反思 本题在解决过程中，重点应用了以下知识点.如图，△ABC 中，若BD ∶DC=λ∶μ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA +A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA +A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .在分线段成比例的图形中，要注意这个公式的应用.5.证明 (1)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面， 又EF ⊄平面PAD ，DA ，PD ⊂平面PAD ， 所以EF∥平面PAD.(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD ，侧面PAD∩底面ABCD=AD ，底面ABCD 是正方形，所以CD⊥平面PAD ，CD⊥PA. 设AD=1，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即1=12+12-2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以EF⊥PD，EF⊥CD，由PD ，CD ⊂平面PCD ，PD∩CD=D，可得EF⊥平面PCD.解题反思 用向量方法证明线面平行或垂直，理论依据是线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，其中涉及的线线平行用共线向量证明，涉及的线线垂直用数量积为0证明.6.解析 (1)由题意得|a|=|b|=|c|=1，a·b=a·c=b·c=12，∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12c-12a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a ， ∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12A -12A )·(-a)=-14+12=14.(2)∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c)-12a ，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(12A +12A -12A )2=14a 2+14b 2+14c 2+12b·c -12b·a -12a·c=12， ∴|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22.7.证明 (1)易知<AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×(-12)+2×2×12=0.所以AB 1⊥BC.(2)易知四边形AA 1C 1C 为菱形，所以A 1C⊥AC 1.因为AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×12-4-2×2×12+4 =0，所以AB 1⊥A 1C ，又AC 1∩AB 1=A ，所以A 1C⊥平面AB 1C 1.8.AB 因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°， 所以AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6×6×cos60°=18，(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=36+36+36+3×2×18=216，则|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6√6， 所以A 正确;AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，所以B 正确; 显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D=60°.因为A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且向量A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120°，所以A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120°，所以C 不正确; 因为AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=6√2，|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=6√3，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=36，所以cos<AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6√2×6√3=√66，所以D 不正确.故选AB. 9.答案π4;√22a 解析 设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则{a ，b ，c}是空间的一个基底，∴|a|=|b|=|c|=a ，a·b=a·c=b·c=12a 2.∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b)-12c ，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 2+12a·b -12a·c=12a 2，|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12A +12A -12A )2=√22a ，∴cos<AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12A 2√22a ×a =√22，∴异面直线EF 与AB 所成的角为π4.10.解析 (1)∵在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB=1，∠BCA=90°， ∴AB=√2，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1，故AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2+14×4=3， ∴|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3.(2)∵CA=CB=1，∠BCA=90°， ∴∠ABC=45°，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(180°-∠ABC)=√2×1×cos135°=-1， 又AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4， ∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+0+0+4=3，又|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6×√5=√30， ∴cos<AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√30=√3010.。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理学业分层测评新人教B 版选修21(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＋y 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．0【解析】 因为m 与n 共线，所以x a ＋y b ＋c ＝z (a －b ＋c )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝－z ，1＝z .所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以x ＋y ＝0.【答案】 D2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →，∴BD →与BA →共线， 又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1，∴点P ，A ，B ，C 四点共面．4．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此pq ，q ⇒p .【答案】 B5．正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO →1，AO →2，AO →3}为基底，AC ′→＝xAO →1＋yAO 2→＋zAO →3，则x ，y ，z 的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2【解析】 AC ′→＝AA ′→＋AD →＋AB →＝12(AB →＋AD →)＋12(AA ′→＋AD →)＋12(AA ′→＋AB →) ＝12AC →＋12AD ′→＋12AB ′→＝AO 1→＋AO 3→＋AO 2→， 由空间向量的基本定理，得x ＝y ＝z ＝1. 【答案】 A 二、填空题6．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，若λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，则λ2＋μ2＋v 2＝________.【解析】 ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3为不共面向量． 又∵λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，∴λ＝μ＝v ＝0，∴λ2＋μ2＋v 2＝0. 【答案】 07．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________.【导学号：15460063】【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.8．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8.【答案】 －8 三、解答题9．如图3­1­18所示，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：图3­1­18(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 【解】 由题意知|PB →|＝2，|CD →|＝2，PB →＝PA →＋AB →，DC →＝DA →＋AB →＋BC →， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA →·DA →＝PA →·AB →＝PA →·BC →＝0， ∵AB ⊥AD ，∴AB →·DA →＝0， ∵AB ⊥BC ，∴AB →·BC →＝0，∴PB →·DC →＝(PA →＋AB →)·(DA →＋AB →＋BC →) ＝AB →2＝|AB →|2＝1，又∵|PB →|＝2，|CD →|＝2，∴cos 〈PB →，DC →〉＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝12×2＝12，∴〈PB →，DC →〉＝60°，∴PB 与CD 所成的角为60°.10．正方体OABC ­O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c . (1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 【解】 (1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC→2＝12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°×3＝ 6.[能力提升]1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若α＋β＝1，则PA →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λBC →，故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PA 1→＋6(PA 1→－PB →)－4(PD 1→－PA 1→)＝11PA 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C.【答案】 C3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.【导学号：15460064】①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2，知a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③4．如图3­1­19所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN →与向量AD →，BC →是否共面．图3­1­19【解】 由题图可得MN →＝MA →＋AD →＋DN →，① ∵MN →＝MB →＋BC →＋CN →，② 又MA →＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得 2MN →＝AD →＋BC →，即MN →＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。

1.2 空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A.B. C. D. 【答案】C【解析】如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A ，B ，C 为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C ．2.设向量a ,b ,c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b ,b-a ,a }B.{a+b ,b-a ,b }C.{a+b ,b-a ,c }D.{a+b+c ,a+b ,c }【答案】C【解析】由已知及向量共面定理,易得a+b ,b-a ,c 不共面,故可作为空间的一个基底.3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为点M ,AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,则下列向量中与C 1M 相等的向量是( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +c 【答案】C 【解析】C 1M =AM ―AC 1=12(AB +AD )-(AB +BC +CC 1)=-12a -12b -c .4.已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,且向量a =OA +OB +OC ,向量b =OA +OB ―OC ,则不能与a ,b 构成空间的一个基底的是( )A.OAB.OBC.OCD.OA 或OB【答案】C 【解析】∵a =OA +OB +OC ,b =OA +OB ―OC ,∴OC =12(a -b ),∴OC 与向量a ,b 共面,∴OC ,a ,b 不能构成空间的一个基底.5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b v v ，则,a b v v 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN uuu v uuuu v uuu v不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c v v v 组是空间的一个基底，若m a c =+v v v ，则{},,a b m v v v 也是空间的一个基底【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 共面，又由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则基向量,a b r r 与向量m a c =+u r r r 一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：ABCD.6．（多选题）设a r ，b r ，c r 是空间一个基底( )A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r r B ．则a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面C ．对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc=++r r r r D ．则a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底【分析】利用a r ，b r ，c r 是空间一个基底的性质直接求解．【解答】解：由a r ，b r ，c r 是空间一个基底，知：在A 中，若a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 相交或平行，故A 错误；在B 中，a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面，故B 正确；在C 中，对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++r r r r ，故C 正确；在D 中，a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底，故D 正确．故选：BCD ．二、填空题7.在空间四边形OABC 中,OA =a ,OB =b ,OC =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,点N 是OB 的中点,则MN =______.【答案】 -13a +12b -23c 【解析】MA =23CA =23(OA ―OC ),ON =12OB , MN =MO +ON =MA +AO +ON =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .8．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE = .【答案】 -12a +12b +c 【解析】如图,BE =BB 1+B 1E =AA 1+12(B 1C 1+B 1A 1)=AA 1+12(AD ―AB )=-12a +12b +c .9.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =αa +βb +γc 时,α+β+γ= .【答案】3【解析】由已知d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.10．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =uuu r r ，AC b =uuu r r ，AD c =u u u r r ，用a r ，b r ，c r 表示向量DM =uuuu r ______，异面直线D M 与CN 所成角的余弦值为______.【答案】()122a b c +-r r r . 16. 【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则(1) ()()11222DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-uuuu r uuu r uuuu r r r r r r r .(2)由(1) ()122DM a b c =+-uuuu r r r r ,又()11222CN AN AC a b a b =-=-=-uuu r uuu r uuu r r r r r .又12a b a c b c ×=×=×=r r r r r r .设异面直线D M 与CN 所成角为q 则cos q 22111212222412=336a ab a b b ac b c-+--+-×+×--×+×==r r r r r r r r r r .三、解答题11.已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA uuu r =e 1+2e 2-e 3,OB uuu r =-3e 1+e 2+2e 3,OC uuu r =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD uuu r =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【答案】能，OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r ．【解析】能作为空间的一组基底．假设,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r 成立123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 又因为{}123,,e e e u v u u v uv 是空间的一个基底,所以123,,e e e u r u u r ur 不共面.因此-31,2,2--1,x y x y x y +=ìï+=íï=î此方程组无解,即不存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r ,所以,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 不共面.故{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r}能作为空间的一个基底.设OD uuu r =p OA uuu r +q OB uuu r +z OC uuu r ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-u v u u v uv 因为{}123,,e e e u v u u v uv 为空间的一个基底,所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=ìï++=íï+=î解得17,-5,-30.p q z =ìï=íï=î故OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r.12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,取向量AB ,AD ,AA '为基底的基向量,在下列条件下,分别求x ,y ,z 的值.(1)BD '=x AD +y AB +z AA ';(2)AE =x AD +y AB +z AA '.【答案】见解析【解析】 (1)因为BD '=BD +DD '=BA +AD +DD '=-AB +AD +AA ',又BD '=x AD +y AB +z AA ',所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为AE =AA '+A 'E =AA '+12A 'C '=AA '+12(A 'B '+A 'D ')=12AD +12AB +AA ',又AE =x AD +y AB +z AA ',所以x=12,y=12,z=1.。

高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题1.已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )A．B．C．4D．8【答案】B．【解析】首先由向量的数量积公式可求与夹角的余弦值，然后根据同角三角函数的关系得，最后利用正弦定理表示平行四边形的面．【考点】向量模的运算；利用正弦定理表示三角形的面积．2.点关于原点对称的点的坐标是．【答案】【解析】空间直角坐标系中点的对称关系:,可得.【考点】空间直角坐标系中点的对称关系.3.在空间直角坐标系中，点P（1,3，-5）关于平面xoy对称的点的坐标是（ )A．（-1,3，-5）B．（1,3，5）C．（1,-3，5）D．（-1,-3，5）【答案】B【解析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论：点（x，y，z）关于平面xoy对称的点坐标为（x，y，-z），可知答案是B.【考点】空间直角坐标系点的对称问题.4.已知向量，且∥，则实数的值为．【答案】.【解析】由已知得=（k+1,2k+2，k+2），=（-1，-2，-3），再由两向量共线的充要条件知=，建立方程解得k=.【考点】（1）向量的坐标运算；（2）向量共线的充要条件.5.已知向量，，且，那么等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，解得，所以，选答案A.【考点】空间向量平行的坐标关系.6.已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为,选A7.已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由已知中△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，-3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线故选B.【考点】空间中两点之间的距离点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．8.为空间的两个不同的点，且，空间中适合条件的点的集合表示的图形是 .【答案】经过点且与垂直的平面【解析】设点M（x,y,z），那么可知设A（0，0，0），B（0，0，1），，由则可知（x,y,z）（0，0，1）=1，z=1，可知表示的图形为过点B的与AB垂直的平面。

高二数学空间向量试题1.如图，正三棱柱中，是的中点，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）想要解决这个问题，需要构造平行线，连结交于，连结，则又平面平面（Ⅱ）解决本题的关键是构造二面角的平面角，过作的垂线，过作的垂线，则就是二面角的平面角，然后根据条件计算出 .试题解析：（Ⅰ）连结交于，连结，则分别是，的中点，又平面平面（Ⅱ）过作的垂线，垂足为，则，且面，过作的垂线，垂足为，则，连结，则就是二面角的平面角，且，即二面角的余弦值为【考点】线面平行的判定，二面角.2.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，,，点分别为、、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）线面平行的证明主要是走线面平行的判定定理这条路，因此必须在平面内寻找到一条与平行的直线，借助平几知识，这条直线不难找到；（2）在证明垂直关系时，如果几何证明有困难，也可从向量考虑；（3）求二面角的大小，主要是走向量这条路，它有固定步骤：首先求两个面的法向量，其次求法向量的余弦值进而得法向量的夹角，然后根据二面角是锐角还是钝角，决定其大小.试题解析：（1）证明：连接，是的中点，过点，为的中点，，又面，面，平面；（2）在直角中，，，，棱柱的侧棱与底面垂直，且，以点为原点，以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则，，，，，，，，；（3）依题意得，，，，，，，，设面的一个法向量为，由，得，令，得，同理可得面的一个法向量为，故二面角的平面角的余弦值为.【考点】空间向量与立体几何.3.如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．【答案】(1)；(2)【解析】因为直线AB、AC、两两垂直，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，（1）向量分别为直线A1B与C1D的方向向量，求出的坐标，由空间两向量夹角公式可得向量夹角的余弦值；（2）设平面的法向量为，又，根据法向量定义求出平面的一个法向量，因为平面，取平面的一个法向量为，先求出与夹角的余弦值，又平面ADC1与平面ABA1夹角与与夹角相等或互补。

高中数学-空间向量的基本定理练习题课后训练1．AM 是△ABC 中BC 边上的中线，设AB ＝e 1，AC ＝e 2，则AM 为( )A ．e 1＋e 2B ．121122-e e C ．e 1－e 2 D ．121122+e e 2．设O ，A ，B ，C 为空间四边形的四个顶点，点M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN 为( )A ．1()2+-c b a B ．1()2+-a b c C ．1()2+-a c b D ．1()2++a b c 3．对于空间一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有6OP ＝OA ＋2OB ＋3OC ，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点共面B ．P ，A ，B ，C 四点共面C ．O ，P ，B ，C 共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面4．如果a ，b ，c 共面，b ，c ，d 也共面，则下列说法正确的是( )A ．若b 与c 不共线，则a ，b ，c ，d 共面B ．若b 与c 共线，则a ，b ，c ，d 共面C ．当且仅当c ＝0时，a ，b ，c ，d 共面D ．若b 与c 不共线，则a ，b ，c ，d 不共面5．三射线AB ，BC ，BB 1不共面，若四边形BB 1A 1A 和四边形BB 1C 1C 的对角线均互相平分，且1AC ＝x AB ＋2y BC ＋3z 1CC ，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．56C ．23D ．116 6．非零向量e 1，e 2不共线，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k ＝__________.7．已知D ，E ，F 分别是△ABC 中BC ，CA ，AB 上的点，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AF ＝13AB ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则DE ＝__________. 8．已知G 是△ABC 的重心，点O 是空间任意一点，若OA ＋OB ＋OC ＝λOG ，则λ＝__________.9．已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE ＝k OA ，OF ＝k OB ，OG＝k OC，OH＝k OD，求证：(1)点E，F，G，H共面；(2)AB∥平面EG.10．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且M分PC成定比2，N分PD成定比1，求满足MN＝x AB＋y AD＋z AP的实数x，y，z的值．参考答案1. 答案：D2. 答案：A3. 答案：B 6OP ＝OA ＋2OB ＋3OC ，得OP －OA ＝2(OB －OP )＋3(OC －OP )， AP ＝2PB ＋3PC ，∴AP ，PB ，PC 共面．又它们有同一公共点P ，∴P ，A ，B ，C 四点共面．4. 答案：A5. 答案：D 由题意知AB ，BC ，BB 1不共面，四边形BB 1C 1C 为平行四边形，1CC ＝1BB ， ∴{AB ，BC ，1CC }为一个基底．又由向量加法1AC ＝AB ＋BC ＋1CC ，∴x ＝2y ＝3z ＝1.∴x ＝1，12y =，13z =，∴x ＋y ＋z ＝116. 6. 答案：±1 k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则存在唯一的实数x ，使k e 1＋e 2＝x (e 1＋k e 2)，,11k x k kx=⎧⇒±⎨=⎩. 7. 答案：1233-b a 8. 答案：39. 答案：分析：(1)要证E ，F ，G ，H 四点共面，可先证向量EG ，EF ，EH 共面，即只需证EG 可以用EF ，EH 线性表示；(2)可证明AB 与平面EG 中的向量EF 或EG ，EH 之一共线．证明：(1)∵OA ＋AB ＝OB ，∴k OA ＋k AB ＝k OB .而OE ＝k OA ，OF ＝k OB ，∴OE ＋k AB ＝OF .又OE ＋EF ＝OF →，∴EF ＝k AB .同理：EH ＝k AD ，EG ＝k AC .∵ABCD 是平行四边形，∴AC ＝AB ＋AD ， ∴EG EF EH k k k=+， 即EG ＝EF ＋EH .又它们有同一公共点E ，∴点E ，F ，G ，H 共面．(2)由(1)知EF ＝k AB ，∴AB ∥EF .又AB 平面EG ，∴AB 与平面EG 平行，即AB ∥平面EG .10. 答案：分析：结合图形，从向量MN 出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用AB ，AD ，AP 表示出来，即可求出x ，y ，z 的值． 解：解法一：如图所示，取PC 的中点E ，连NE ，则MN ＝EN －EM .∵EN ＝12CD ＝12BA ＝－12AB ， EM ＝PM －PE ＝23PC －12PC ＝16PC ， ∴MN ＝－12AB －16PC . 连AC ，则 PC ＝AC －AP ＝AB ＋AD －AP ，∴MN ＝－12AB －16(AB ＋AD －AP ) ＝－23AB －16AD ＋16AP ， ∴23x =-，16y =-，16z =.解法二：如图所示，在PD 上取一点F ，使F 分PD 所成比为2，连MF ，则MN ＝MF ＋FN ，而MF ＝23CD ＝－23AB ， FN ＝DN －DF ＝12DP －13DP ＝16DP ＝16(AP －AD )，∴MN ＝－23AB －16AD ＋16AP ， ∴23x =-，16y =-，16z =.解法三：∵MN ＝PN －PM ＝12PD －23PC ＝12(PA ＋AD )－23(PA ＋AC ) ＝－12AP ＋12AD －23(－AP ＋AB ＋AD ) ＝－23AB －16AD ＋16AP ， ∴2=3x －，1=6y -，1=6z .。

专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理 一、单选题 1．（2019·全国高二课时练习）已知a ,b ,c 是不共面的三个向量,则能构成一个基底的一组向量是（ ） A ．2a ,a ﹣b ,a +2bB ．2b ,b ﹣a ,b +2aC ．a ,2b ,b ﹣cD ．c ,a +c ,a ﹣c 【正确答案】C【详细解析】对于A,因为2a =43（a ﹣b ）+23（a +2b ）,得2a 、a ﹣b 、a +2b 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,A 不正确;对于B,因为2b =43（b ﹣a ）+23（b +2a ）,得2b 、b ﹣a 、b +2a 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,B 不正确;对于C,因为找不到实数λ、μ,使a =λ•2b +μ（b ﹣c ）成立,故a 、2b 、b ﹣c 三个向量不共面, 它们能构成一个基底,C 正确;对于D,因为c =12（a +c ）﹣12（a ﹣c ）,得c 、a +c 、a ﹣c 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,D 不正确故选:C ．2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,设1AA a =,AB b =,AD c =,N 是BC 的中点,试用a ,b ,c 表示1A N （ ）A ．12a b c -++B ．a b c -++C ．12a b c --+D ．12a b c -+ 【正确答案】A【详细解析】 N 是BC 的中点,11111222A N A A AB BN a b BC a b AD a b c ∴=++=-++=-++=-++. 故选:A.3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）A ．111333OA OB OC ++B ．111234OA OB OC ++C ．111244OA OB OC ++D ．111446OA OB OC ++ 【正确答案】C【详细解析】 在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点∴12OG OA AD =+ 11()22OA AB AC =+⨯+ 1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+- 111244OA OB OC =++ 故选:C.4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中,E 为11A D 的中点,设AB a =,AD b =,1AA c =,则CE =（ ）A ．12a b c --+B ．12a b c -+C ．12a b c --D ．12a b c +- 【正确答案】A【详细解析】由题意结合平行六面体的性质可得1111CE CC C D D E =++111111111222CC C D D A AA AB AD a b c =++=--=--+. 故选:A.5．（2020·广东省红岭中学高二期末） AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【正确答案】B【详细解析】根据向量共线的定义,可知若AB 与CD 共线,则它们所在的直线可能平行,也可能重合;若AB ∥CD ,则AB 与CD 共线;根据充分条件和必要条件的概念,可知AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的必要不充分条件,故选B点睛:向量共线的定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量 .6．（2020·广东省红岭中学高二期末）O 为空间任意一点,,,A B C 三点不共线,若OP =111326OA OB OC ++,则,,,A B C P 四点A ．一定不共面B ．不一定共面C ．一定共面D ．无法判断【正确答案】C【详细解析】:点P 在平面ABC 内,O 是平面ABC 外的任意一点,则OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=．利用此推论可直接证明一定共面．详解:因为OP =111326OA OB OC ++,且1111326++=,所以,,,A B C P 四点共面. 7．（2019·随州市第一中学高二期中）空间A B C D 、、、四点共面,但任意三点不共线,若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--,则实数x 的值为（ ） A ．13 B ．13- C ．23 D ．23- 【正确答案】A【详细解析】 因为空间A B C D 、、、四点共面,但任意三点不共线,对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--,所以51133x --=,解得13x =. 故选A8．（2020·甘肃省高二期末）如图,空间四边形OABC 中,OA a =,OB b =,OC c =,且2OM MA =,BN NC =,则MN 等于( )A ．221332a b c ++ B ．122121a b c +- C ．122132a b c -++ D ．123122a b c -+ 【正确答案】C【详细解析】 BN NC =,1()2ON OB OC ∴=+,2OM MA =,23OM OA ∴=,2121()233212MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=++-=-+,故选:C.9．（2020·广西壮族自治区高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中,M 为11A C 与11B D 的交点．若AB a =,AD b =,1AA c =,则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）． A ．1122++a b c B ．1122-++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 【正确答案】B【详细解析】11111111111()()=2222BM BB B M BB A D A B C b a a b c =+=+-=+--++ 故选B.10．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）在平行六面体ABCD-EFGH 中,若AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ,,则x ＋y ＋z 等于( )A ．76B ．23C ．56D ．1【正确答案】C【详细解析】在平行六面体ABCD ﹣EFGH 中,AG =AB +BC +CG ,∵AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ,CG =DH ,∴x=1,﹣2y=1,3z=1,∴112x y ==-，,z=13, ∴x+y+z=56, 故选:C ．二、多选题 11．（2019·山东省济南一中高二期中）已知平行六面体ABCD A B C D ''''-,则下列四式中其中正确的有（ ）A ．AB CB AC -= B ．AC AB B C CC ''''=++C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=【正确答案】ABC【详细解析】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图,可得AB CB AB BC AC -=+=,则A 正确;AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=,则B 正确;C 显然正确;AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=,则D 不正确.综上,正确的有ABC.故选:ABC12．（2020·江苏省高二期末）如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,下列各式中运算的结果为1AC 的有()A ．AB BC CD ++ B ．11111AA BC DC ++C ．111AB C C BC -+D ．111AA DC B C ++【正确答案】BCD【详细解析】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠,故错误;B ．11111111111AA BC DC AA A D DC AC ++=++=,故正确; C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=,故正确; D ．111111111AA DC BC AA A B BC AC ++=++=,故正确. 故选:BCD. 13．（2020·山东省高二期末）已知A,B,C 三点不共线,O 为平面ABC 外的任一点,则“点M 与点A,B,C 共面”的充分条件的是（ ）A ．2OM OA OB OC =--B ．OM OA OB OC =+- C ．1123OM OA OB OC =++D ．111236OM OA OB OC =++ 【正确答案】BD【详细解析】当MA mMB nMC =+时,可知点M 与点,,A B C 共面,所以()()MO OA m MO OB n MO OC +=+++,所以()1x y OM OA xOB yOC +-=-++, 所以11111OA mOB nOC m n OM OA OB OC m n m n m n m n -++==-+++-+-+-+-, 不妨令11x m n -=+-,1m y m n =+-,1n z m n =+-,且此时1x y z ++=, 因为()()21101+-+-=≠,()1111++-=,111111236++=≠,1111236++=, 由上可知:BD 满足要求.故选:BD.点睛:常见的证明空间中四点,,,M A B C 共面的方法有:(1)证明MA xMB yMC =+;(2)对于空间中任意一点O ,证明OM OA xMB yMC =++;(3) 对于空间中任意一点O ,证明()1OM xOA yOB zOC x y z =++++=.三、填空题14．（2019·江苏省高二期末）直三棱柱111ABC A B C -中,若1,,CA a CB b CC c ===,则1BA =__________． 【正确答案】a b c -+【详细解析】直三棱柱111ABC A B C -中,若1,,CA a CB b CC c ===111BA BA AA CA CB CC a b c =+=-+=-+故正确答案为a b c -+15．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知非零向量a ,b ,且AB ＝a ＋2b ,BC =5a -＋6b ,72CD a b =-,则,,,A B C D 中一定共线的三点是________.【正确答案】A,B,D【详细解析】由向量的加法原理:5672242BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=又,BD AB 共点B ,故A ,B ,D 三点共线故正确答案为:A ,B ,D16．（2019·浙江省诸暨中学高二期中）已知三棱锥O-ABC,点D 是BC 中点,P 是AD 中点,设OP xOA yOB zOC =++,则x y z ++=________;x =________.【正确答案】1 12 【详细解析】如图,()()111222OP OA OD OA OB OC ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦111244OA OB OC xOA yOB zOC =++=++,所以111,,244x y z ===,所以1x y z ++=,12x =.故正确答案为:1; 1217．（2019·江苏省高二期中）如图在正方体1111ABCD A B C D -中,已知1A A a =,11AB b =,11A D c =,O 为底面的ABCD 的中心,G 为11DC O 的重心,则AG =______【正确答案】215326a b c ++ 【详细解析】 在正方体1111ABCD A B C D -中,1A A a =,11AB b =,11A D c =, O 为底面的ABCD 的中心,G 为11DC O 的重心,∴AG AO OG =+()()111123AB AD OD OC =+++ ()12b c =+()11132BA BC DD ⎡+++⎢⎣()112AB AD CC ⎤+++⎥⎦ ()()()11111=26363b c b c a b c a ++-+++++ 215326a b c ++=. 故正确答案为:215326a b c ++. 四、解答题18．（2018·全国高二课时练习）如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,AD=2,AA 1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个?(2)5.(3)试写出与AB 相等的所有向量.(4)试写出1AA 的相反向量.【正确答案】（1）正确答案见详细解析;（2）正确答案见详细解析;（3）正确答案见详细解析;（4）正确答案见详细解析．【详细解析】分析:（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为5,即可写出所求向量（3）根据大小相等,方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等,方向相反的向量即为相反向量.详解: (1)模为1的向量有11111111,,,,,,,A A AA B B BB C C CC D D DD ,共8个单位向量. (2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5,因此模为5的向量为111,,,AD D A A D 11111,,,,DA BC C B B C CB .(3)与向量AB 相等的向量(除它自身之外)为1111,A B DC DC 及. (4)向量1AA 的相反向量为1111,,,A A B B C C D D. 19．（2020·全国高一课时练习）如图,已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A,B,C 的向量分别为123,,r r r ,求OD ．【正确答案】321OD r r r =+- 【详细解析】因为OD OC CD =+,CD BA OA OB ==-,所以132OD OC OA OB r r r -=+-=+． 20．（2019·三亚华侨学校高二期中）如图,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1,,AB AD AA 两两夹角为60°,长度分别为2,3,1,点P 在线段BC 上,且3BP BC =,记1,,a AB b AD c AA ===.（1）试用,,a b c 表示1D P ;（2）求1D P 模.【正确答案】（1）23a b c --; （25【详细解析】（1）111()()D P AP AD AB BP AD AA =-=+-+,12()33a b b c a b c ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭. （2）因为AB ,AD ,1AA 两两夹角为60°,长度分别为2,3,1. 所以33,1,2a b a c b c ⋅=⋅=⋅=, 2221244423933D P a b c a b c a b a c b c =--=++-⋅-⋅+⋅ 441422=++--+5=21．（2018·全国高二课时练习）在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形,AC 与BD 交于O,G 为BD 上一点,BG=2GD,PA =a ,PB =b ,PC =c ,试用基底{a ,b ,c }表示向量PG .【正确答案】212333a b c -+ 【详细解析】因为BG=2GD,所以2BG BD 3=. 又BD BA BC PA PB PC PB =+=-+-=a+c-2b,所以PG PB BG =+=b+23(a+c-2b) =23a-13b+23c. 22．（2019·全国高一课时练习）设e 1,e 2是不共线的空间向量,已知AB =2e 1+ke 2,CB =e 1+3e 2,CD =2e 1-e 2.若A,B,D 三点共线,求k 的值.【正确答案】k=-8.【详细解析】分析:A,B,D 三点共线,故存在唯一实数λ,使得AB BD λ=,再由已知条件表示出BD 与AB ,建立方程组可求出k 和λ值详解:由已知,有BD CD =-CB =(2e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2.∵A,B,D 三点共线,∴存在实数λ,使AB =λBD ,即2e 1+ke 2=λ(e 1-4e 2),∴2e 1+ke 2=λe 1-4λe 2.∵e 1,e 2是不共线的空间向量,∴24k λλ=⎧⎨=-⎩,解得8k =-. 23．（2018·全国高二课时练习）已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA =e 1+2e 2-e 3,OB =-3e 1+e 2+2e 3,OC =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【正确答案】能,OD =17OA -5OB -30OC ．【详细解析】能作为空间的一组基底．假设,,OA OB OC 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y 使OA =x OB +y OC 成立123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-又因为{}123,,e e e 是空间的一个基底,所以123,,e e e 不共面.因此-31,2,2--1,x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩此方程组无解,即不存在实数x,y 使OA =x OB +y OC ,所以,,OA OB OC 不共面.故{,,OA OB OC }能作为空间的一个基底.设OD =p OA +q OB +z OC ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-因为{}123,,e e e 为空间的一个基底, 所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解得17,-5,-30.p q z =⎧⎪=⎨⎪=⎩故OD =17OA -5OB -30OC .点睛:如果三个向量,,a b c 不共面,那么对于空间任意一个向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使p xa yb zc =++．我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底,其中,,a b c 叫基向量.。

空间向量基本定理课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A.-12a +12b +cB.12a +12b +c C.-12a -12b -cD.-12a -12b +c1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a -12b -c .2.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,点E 为上底面A 1C 1的中心,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x ,y 的值分别为( ) A.1,1B.1,12C.12,12D.12,1AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=12.故选C .3.在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,N 是OB 的中点,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.23a +12b -23c B.23a -12b +23c C.-13a +12b -23cD.13a +12b -13c=23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ = .,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a +12b +c .-12a +12b +c5.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB ⊥AC 1.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b +c .所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·(b +c )=a ·b +a ·c , 因为AA 1⊥平面ABC ,∠BAC=90°, 所以a ·b =0,a ·c =0, 得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AB ⊥AC 1. 6.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°,PA ⊥平面ABCD ,PA=6,求线段PC 的长.ABCD 中,∠ADC=60°,所以∠BAD=120°.又PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥AB ,PA ⊥AD.因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AP⃗⃗⃗⃗⃗ )2= √|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗=√9+16+36+2×3×4×(-12)-0-0 =7,即线段PC 的长为7.关键能力提升练7.(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M ,N 分别是四面体OABC 的棱OA ,BC 的中点,点P 在线段MN 上,且MP=2PN ,设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.16a+16b+16c B.13a+13b+13c C.16a+13b+13c D.13a+16b+16c⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13×12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b +13c +16a ,故选C .8.在四面体O -ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )为( ) A.(14,14,14)B.(34,34,34)C.(13,13,13) D.(23,23,23)如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 的中点,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3GG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34( OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗)=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .9.(多选题)在三棱锥P-ABC 中,三条侧棱PA ,PB ,PC 两两垂直,且PA=PB=PC=3,G 是△PAB 的重心,E ,F 分别为棱BC ,PB 上的点,且BE ∶EC=PF ∶FB=1∶2,则下列说法正确的是( ) A.EG ⊥PG B.EG ⊥BC C.FG ∥BC D.FG ⊥EF,设PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个正交基底,则a ·b=a ·c=b ·c=0.取AB 的中点H , 则BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b , PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(a+b )=13a+13b , PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23b+13c , 则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-23b-13c=13a-13b-13c ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b ,FG⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-13b=13a , EF⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b-13c+23b =-13c-13b. EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确;EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),故C 不正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 正确.故选ABD .10.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =α a +β b +γ c 时,α+β+γ=.d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以{α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.11.(2020浙江杭州学军中学高二上期中)在棱长为a 的正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与AB 所成角的大小是 ,线段EF 的长度为 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a ,a ·b=a ·c=b ·c =12a 2.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b )-12c , ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 2+12a ·b-12a ·c =12a 2, |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b -12c) 2=√22a. ∴cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12a 2√22a×a=√22,∴异面直线EF 与AB 所成的角为π4.√22a12.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,试用a ,b ,c 表示MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AN ,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b ),又A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -c ,故AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -13(b -c ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b )+b -13(b -c )=13(-a +b +c ).13.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点.证明: (1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ; (2)A 1G ⊥平面EFD.设正方体棱长为1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =i ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k ,则{i ,j ,k }构成空间的一个单位正交基底. AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i +k , GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12i +12k =12AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB 1∥GE.EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12k +(-12)(i +j )=-12i -12j +12k ,∵AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(i +k )·(-12i -12j +12k)=-12|i |2+12|k |2=0,∴AB 1⊥EH. (2)A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-k +j +12i ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =i -12j ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =i +12k . ∴A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i -12j)=-12|j |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DF.A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i +12k)=-12|k |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DE.又DE ∩DF=O ,∴A 1G ⊥平面EFD.学科素养创新练14.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0,则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b )=12(|b |2-|a |2)=0. ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C. ∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。

专题2空间向量基本定理及空间范围与最值目录【题型一】空间向量基底.................................................................................................................1【题型二】基底表示向量.................................................................................................................2【题型三】共面.................................................................................................................................3【题型四】空间向量概念综合.......................................................................................................4【题型五】空间向量数量积.............................................................................................................5【题型六】空间向量求长度.............................................................................................................6【题型七】数量积最值与范围.........................................................................................................8【题型八】空间长度最值与取值范围.............................................................................................8【题型九】空间角度范围最值.........................................................................................................9【题型十】轨迹.............................................................................................................................11培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................12培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................14培优第三阶——培优拔尖练.. (16)【题型一】空间向量基底【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）已知{},,a b c 是空间的一组基底，则下列向量中能与a b +，a b -构成一组基底的是（）1.（2023·全国·高二专题练习）已知{},,a b c 是空间一个基底，p a b =+，q a b =-，一定可以与向量p ，q 构成空间另一个基底的是（）A ．aB ．bC ．cD ．123p q -2.（2021·全国·高二课时练习）若{,,}a b c →→→为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）A ．{},,a a b a b →→→→→+-B ．{},,b a b a b→→→→→+-C ．{},,c a b a b→→→→→+-D ．{},,2a b a b a b→→→→→→+-+3.（2021·上海市松江二中高二期中）已知向量{},,a b c 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（）A ．a b +，a ，a b -B ．a b +，b ，a b-C ．a b +，c ，a b-D ．a b +，2a b -，a b-【题型二】基底表示向量【典例分析】（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，AB b =，AD c =uuu r r，点P 在1A C 上，且1:2:3A P PC =，则AP 等于（）A ．233555a b c++B ．322555a b c++C ．-223555a b c++D ．322555a b c--1.（2022·全国·高二课时练习）已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，向量{},,a b a b c +-是空间的另一个基底，一向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为(1,2,3)，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（）A ．1332(2),,B ．31(,,3)22-C ．13(3,,)22-D ．13(,,3)22-2.（2022·全国·高二专题练习）如图的平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 在BB 1上，点N 在DD 1上，且BM 12=BB 1，D 1N 13=D 1D ，若1MN xAB y AD z AA =++，则x +y +z ＝（）A ．17B ．16C ．23D ．323.（2022·全国·高二课时练习）在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点D 满足BD BC λ=，E 为AD 的中点，且111244OE a b c =++，则λ=（）A ．12B ．14C ．13D ．23【题型三】共面【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）已知空间中四个点O ，A ，B ，C ，{},,OA OB OC 为空间的一组基底，则下列说法正确的是（）A ．O ，A ，B ，C 四点共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．1OA OB OC ===1.（2021·全国·高二课时练习）已知空间四点()4,1,3A ，()2,3,1B ，()3,7,5C -，(),1,3D x -共面，则x 的值为（）A ．4B ．1C ．10D ．112.（2022·重庆市巫山大昌中学校高二期末）已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是A ．OM OA OB OC =++B ．23OM OA OB OC=++C ．111222OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC=++3.（2022·全国·高二期末）已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是A ．OM OA OB OC =++B ．2OM OA OB OC=--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111236OM OA OB OC=++【题型四】空间向量概念综合【典例分析】（2022·全国·高二）下列命题中正确的个数是（）．①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线．②向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++．④若a ，b 是两个不共线的向量，而c a b λμ=+（,λμ∈R 且0λμ≠），则{},,a b c 是空间向量的一组基底．A ．0B ．1C ．2D ．3【变式训练】1.（2021·广东·顺德市李兆基中学高二期中）以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底；③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅．其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.（2019·安徽·阜阳市第三中学高二期末（理））以下四个命题中正确的是（）A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{,,}a b c 为空间向量的一组基底，则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底C ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅=D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底3.（2022·全国·高二课时练习）在以下命题中，不正确的个数为()①a b a b +－＝是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ＝2OA －2OB －OC ，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.A ．2B ．3C ．4D ．5【题型五】空间向量数量积【典例分析】（2021·辽宁实验中学高二期中）已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 为AB 中点，F 为BC 中点，则ED AF →→⋅=（）A ．12B ．1C ．32D ．21.（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）设正四面体ABCD 的棱长为a ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF →→的值为（）A ．214aB ．212aC ．a 2D ．4a 22.（2022·全国·高二课时练习）四面体OABCE ，F ，G 分别为OA ，OC ，BC 中点，则GE GF ⋅=___________.3.如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG AB ⋅=（）A ．4B ．14C ．12D ．2【题型六】空间向量求长度【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则线段1AC 的长为（）A 6B 10C 11D ．3【提分秘籍】基本规律1.在空间直角坐标系中，设()1111,,P a b c ，()2222,,P a b c ，则12,P P 两点间的距离1212PP PP ==_()()()222212121a a b b c c -+-+-__．2.2222||||()()()()222OP OA OB OC OA OB OC OA OB OC OA OB OA OC OB OC=++=++=+++++1.（2022·全国·高二专题练习）在平行六面体1111ABCDA B C D -中，11AB BC BB ===，11ABB ABC B BC ∠=∠=∠3π=，12AE BD =，则1||B E =（）A 33B ．5C ．32D ．32.（2022·广东汕头·高二期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若111111===A B A D A A ，1190AA D ∠=，1111160AA B B A D ∠∠==，则1B M 的值为（）A ．12B C ．1D ．23.（2021·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且6AB AP ==，2AD =，60BAD BAP DAP ∠=∠=∠=︒，E ，F 分别为PB ，PC 上的点，且2PE EB =，PF FC =，EF =（）A ．1BC ．2D 【题型七】数量积最值与范围【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）已知MN 是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN ⋅的取值范围为（）A ．[]0,4B ．[]0,2C ．[]1,4D ．[]1,2【变式训练】1.（2021·全国·高二专题练习）已知球O 的半径为2，A 、B 是球面上的两点，且AB =若点P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．[]2,6-C ．[]0,1D ．[]0,32.（2022·全国·高二课时练习）已知123,,e e e 是空间单位向量，12233113e e e e e e ⋅=⋅=⋅=，若空间向量a 满足()120,0a xe ye x y =+>>，4a =，则3a e ⋅的最大值是_______.3.（2022·全国·高二专题练习）正四面体A BCD -的棱长为4，空间中的动点P 满足PB PC +=AP PD ⋅的取值范围为（）A ．4⎡-+⎣B ．C ．44⎡-⎣D ．[]14,2-【题型八】空间长度最值与取值范围【典例分析】（2021·全国·高二期末）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，AC =1BC =，90ACB ∠=︒，点D 是11A B 的中点，F 是侧面11AA B B （含边界）上的动点.要使1AB ⊥平面1C DF ，则线段1C F 的长的最大值为A ．52B ．2C ．133D ．5【变式训练】1.（2021·全国·高二专题练习）棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为（）A ．6B ．63C ．36D ．12.（2019·湖北武汉·高一期末）设点M 是棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是A ．222B ．455C ．2D ．2633.（2018·北京一零一中双榆校区高二期中）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，平面A 1B 1C 1D 1内的一动点P ，满足到点A 1的距离与到线段C 1D 1的距离相等，则线段PA 长度的最小值为A ．22B ．32C ．52D ．2【题型九】空间角度范围最值【典例分析】（2022·全国·高二专题练习）如图，在棱长为33的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足1||||5213DP PB +=+，则直线1B P 与直线1AD 所成角的取值范围为（）（参考数据：43sin 53,sin 37)55︒=︒=A ．[37︒，53]︒B ．[37︒，90]︒C ．[53︒，90]︒D ．[37︒，127]︒设直线l 的方向向量为u r ，平面sin θ=___cos ϕ___=___u u （4）求平面与平面的夹角平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于cos θ=____12cos ,n n 〈〉_____=____【变式训练】1.（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，11AA =，O 是AC 的中点，点P 在线段11A C 上，若直线OP 与平面1ACD 所成的角为θ，则cos θ的取值范围是（）A ．33⎣⎦B ．33⎣⎦C ．,43⎣⎦D ．3733⎣⎦2.（2022·全国·高二专题练习）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为（）A ．15B ．35C ．25D ．453.（2018·上海·曹杨二中高二期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与1AC ，所成的角为45°的点P 的个数为A ．0B ．3C ．4D ．6【题型十】轨迹【典例分析】（2023·全国·高二专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AB AC AA ===，P 为该三棱柱表面上一动点，若1CP B P =，则P 点的轨迹长度为（）A ．B ．C ．D ．1.（2021·全国·高二专题练习）空间向量AB ，AC ，AD ，,2AB AC π=，,3AB AD π=，,3AC AD π=，且2AB AC ==，4AD =，若点P 满足AP xAB y AC z AD =++，且1≥x ，1y ≥，1z ≥，5x y x ++≤，则动点P 的轨迹所形成的空间区域的体积为__________.2.（2022·全国·高二课时练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 分别是棱AD 、11B C 上的中点．若点P 为侧面正方形11ADD A 内（含边）动点，且存在x 、y R ∈，使1B P xBE yBF =+成立，则点P 的轨迹长度为_________．3.（2021·全国·高二期末）已知三棱锥A BCD -的所有棱长均为2，E 为BD 的中点，空间中的动点P 满足PA PE ⊥，PC AB ⊥，则动点P 的轨迹长度为（）A ．1116πB C ．112D 培优第一阶——基础过关练1.（2022·全国·高二课时练习）若{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）①a ，a b +，a b -；②b ，a b +，a b -；③c ，a b +，a b -；④a b +，a b -，2a b +．2.（2022·浙江·高二开学考试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，F 为1BB的中点，,,AE a AF b AD c ===，则1AA =（）A ．4332a b c --B ．4433a b c --C ．424333a b c --D ．3423a b c --3.（2022·江苏镇江·高二开学考试）已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，侧棱PB 、PC 、PD 上分别有一点E 、F 、G ，且满足23PE PB =，12PG PD =uuu r uuu r ，PF PC λ=，若A 、E 、F 、G 四点共面，则实数λ=__________．4.（2022·全国·高二课时练习）在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{},,OA OB OC 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（）A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线5.（2022·全国·高二课时练习）已知四面体ABCD ，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则AF CE ⋅=（）A ．1B ．2C ．-1D ．-26.（2022·全国·高二专题练习）已知斜三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为2，113A AB A AC π∠=∠=，点E ､F 满足112AE AA =，12BF BC =uu u r uu u r ，则EF =（）A B C ．2D7.（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，1a =，2b =，c =，则a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.（2021·浙江省杭州学军中学高二期中）如图，二面角AB αβ--的大小为θ，P ，Q 分别在平面α，β内，PM AB ⊥，NQ AB ⊥，PM m =，QN n =，1PQ =，则MN =（）AB CD 9.（2022·全国·高二课时练习）已知(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________.培优第二阶——能力提升练1.（2021·全国·高二课时练习）设,,x a b y b c z c a =+=+=+且{},,a b c 是空间的一组基底，给出下列向量组：①{},,a b x ；②{,,}x y z ③{,,}b c z ④{,,}x y a b c ++其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．2.（2022·福建·厦门海沧实验中学高二期中）如图，在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OM MA =，BN NC =，则MN =（）A ．221332a b c ++B ．221332a b c +-r r rC ．211322a b c -++D ．121232a b c -+3.（2021·福建·厦门双十中学高二期中）已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-，若,,a b c 三向量共面，则实数λ=_____.4.（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则//a br r ②若非零向量a ，b ，c 满足，a b ⊥，b c ⊥，则有//a c ③a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件④若AB ，CD 共线，则//AB CD5.（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱11ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，侧棱垂直于底面，14,6AB AA ==.若E 是棱1BB 的中点，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（）A B C D 6.（2021·安徽·高二阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，13AA =，113BAD BAA A AD π∠=∠=∠=，12CM MC =，则AM 的长为（）A ．B C ．D 7.（2022·全国·高二专题练习）已知MN 是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，则PM PN ⋅的取值范围为（）A ．[14]，B ．[012]，C ．[08]，D ．[16]，8.（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，三棱锥O ABC -各棱的棱长是1，点D 是棱AB 的中点，点E 在棱OC 上，且OE OC λ=，则DE 的最小值为（）A ．1 2B ．22CD ．19.（2020·浙江·湖州中学模拟预测）已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -表面上一动点，且满足||2||PA PB =，设1PD 与平面ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值为（）A ．4πB ．3πC ．6πD ．2π培优第三阶——培优拔尖练1.（2019·安徽蚌埠·高二期末（理））已知()a 1,2,3=-，()b 1,14=--，，()c 1,3,m =-，则“m 1=”是“a ，b ，c 构成空间的一个基底”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ，设AB a =，AD b =，1AA c =，则选项中与向量1C M uuuu r 相等的是（）A ．1122---a b cB ．1122a b c ++C ．1122--a b cD ．1122+-a b c 3.（2022·全国·高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是矩形ABCD 和11BB C C 的中心，若点P 满足DP =mDA nDM k DN ++，其中m n k R ∈、、，且1m n k ++=，则点P 可以是正方体表面上的点________.4.（2021·全国·高二专题练习）下列命题正确的是（）A ．若a 与b 共线，b 与c 线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a =λbD ．零向量是模为0，方向任意的向量5.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么（）．A ．AE BC AE CD⋅<⋅B ．AE BC AE CD ⋅=⋅C ．AE BC AE CD ⋅>⋅D ．AE BC ⋅与AE CD ⋅不能比较大小6.（2022·全国·高二单元测试）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则1AC =（）A ．B C ．D 7.（2021·全国·高二专题练习）已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点A 在空间直角坐标系O xyz -的x 轴上移动，点C 在平面yOz 上移动，则1OC OB ⋅的最大值是（）A ．2B ．1C ．4+D ．68.（2022·全国·高二专题练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则线段1AD 上的动点P 到直线11A C 的距离的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．39.（2022·江西鹰潭·高二期末（理）P ABC -中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且AM =设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（）A 25B ．5C ．25D。