2.3向量的坐标表示和空间向量的基本定理-北师大版高中数学选择2-1课件

2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理1．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重点) 2．掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标．(重点)3．理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底．能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角。

(难点) 知识点一 空间向量的标准正交分解与坐标表示在给定的空间直角坐标系中，i ，j ，k 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a ，存在唯一一组三元有序实数(x ，y ，z )，使得a ＝x i ＋y j ＋z k .我们把a ＝x i ＋y j ＋z k 叫作a 的标准正交分解，把i ，j ，k 叫作标准正交基．(x ，y ，z )叫作空间向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )，a ＝(x ，y ，z )叫作向量a 的坐标表示．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为(x ，y ，z )，向量OP →的坐标也是(x ，y ，z )． 知识点二 投影(1)一般地，若b 0为b 的单位向量，称a ·b 0＝|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影．如图所示，向量a 在向量b 上的投影为OM ＝|a |cos 〈a ，b 〉．(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．知识点三 空间向量基本定理(1)如果向量e 1、e 2、e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3.(2)空间中不共面的三个向量e 1、e 2、e 3叫作这个空间的一个基底，a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3表示向量a 关于基底e 1、e 2、e 3的分解，e 1、e 2、e 3都叫作基向量．(3)当向量e 1、e 2、e 3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解，当e 1＝i ，e 2＝j ，e 3＝k 时，a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3叫作a 的标准正交分解． 知识点四 空间向量运算的坐标表示 1．空间向量运算的坐标表示设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则：(1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和． (2)a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差． (3)λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)(λ∈R )，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．(4)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.即，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．2．空间向量的坐标与起点和终点坐标的关系：若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．知识点五 空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则(1)若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λ b ⇔x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0. |a |＝a 2＝x 21＋y 21＋z 21.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22.(a ≠0，b ≠0)考点一 空间向量的坐标表示例1 (1)设i ，j ，k 分别是x ，y ，z 轴正方向上的单位向量，若a ＝(3,7，－2)则a 关于i ，j ，k 的分解式为________．(2)设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位的正交基底，a ＝2i －4j ＋5k ，b ＝i ＋2j －3k ，则向量a ，b 的坐标分别是________．(3)已知在如图2­3­3所示的棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{AB →，AD →，AA 1→}为基底，则向量AE →的坐标为________，向量AF →的坐标为________，向量AC 1→的坐标为________．【名师指津】1．建立空间直角坐标系需根据图形性质，寻找三条两两垂直的直线．建系时，通常建立右手直角坐标系．2．空间向量的坐标与其在标准正交基下的线性表示的关系是a ＝x i ＋y j ＋z k ⇔a ＝(x ，y ，z )考点二 空间向量的投影例2如图 所示，已知单位正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，(1)求向量CA ′→在CD →上的投影； (2)求向量CA ′→在DC →上的投影．【名师指津】求向量a 在向量b 上的投影，通常有两种方法：1．利用投影的计算公式求，a 在b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，亦为a ·b|b |. 2．利用投影的几何意义求，如图，a 在b 上的投影为有向线段OM 的数量，正方向为向量b 的方向．例3.如图 ，四棱锥P ­OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.【名师指津】对于基底e 1，e 2，e 3除了知道它们不共面外，还应明确：(1)用基底表示向量，要表示彻底，结果中只能含有e 1，e 2，e 3不能含有其他形式的向量； (2)用e 1，e 2，e 3表示向量，需要根据三角形法则，及平行四边形法则，结合相等向量的代换，向量的运算进行变形，化简；(3)基底一旦确定，所有向量的表示就唯一确定了．练习1..如图2­3­6，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.考点三 空间向量的坐标运算例3(1)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(1,2，－1)，则a ＋b ＝________， 2a －b ________. (2)(2016·南宁高二检测)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值为________．(3)已知a ＝(1,0，－1)，b ＝(1，－2,2)，c ＝(－2,3，－1)，则a －b ＋2c ＝________. 考点四 数量积的坐标运算例4已知a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)， 求(1)a ·b ；(2)(2a －b )·(3a ＋b )． 【名师指津】空间向量数量积即将对应坐标乘积的求和，牢记运算公式是正确计算的关键． 练习1本例条件不变，求(a ＋b )·(a －b )．考点五 利用坐标运算解决长度和夹角问题例5已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)，求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积． 【名师指津】1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化． 2．平行四边形面积的计算公式：S ▱ABCD ＝|AB →||AC →|2－AB →·AC→2.练习2．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)． (1)求cos ∠BAC ；(2)求△ABC 中BC 边上中线的长度． 考点六 坐标形式下的平行与垂直问题例6已知空间三点A (－2,0,2)、B (－1,1,2)、C (－3,0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ； (2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .【名师指津】向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题．解决这种问题时要注意：①适当引入参数参与运算；②建立关于参数的方程；③准确运算．练习3．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k . 课堂练习1．在以下3个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则a ，b ，c 构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．32．若向量a 、b 、c 是空间的一个基底，向量m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，那么可以与m 、n 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．2a3．O ，A ， B ，C 为空间四边形的四个顶点，点M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN →为( )A.12(c ＋b －a ) B ．12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D ．12(a ＋b ＋c )4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(0，－1,4)，则a ＋b ＝________.3b ＝________，a ·b ＝________. 5．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．。