高中数学-空间向量的基本定理练习

04课后课时精练一、选择题1. 下列命题正确的有( )①空间向量就是空间中一条有向线段；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；③|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；④AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个解析：①不正确．有向线段可以表示向量，但不是向量． ②正确，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →.又A ，B ，C ，D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →.③正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |D ⇒/a ＝b .④不正确.AB →＝CD →⇒|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向．但是向量可以平移，起点位置不确定．答案：B2. A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A. 不共面B. 共面C. 不一定共面D. 无法判断是否共面解析：OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →＝34OA →＋18(OA →＋AB →)＋18(OA →＋AC →) ＝OA →＋18AB →＋18AC →， ∴OP →－OA →＝18AB →＋18AC →， ∴AP →＝18AB →＋18AC →.由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面． 答案：B3．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝( )A. 12a －14b ＋14cB. a －12b ＋12cC. 12a ＋14b ＋14cD. 14a ＋12b ＋14c解析：OE →＝OA →＋AE →＝a ＋12AD →＝a ＋12(OD →－OA →) ＝12a ＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：C4．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则( )A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1、e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：假设a 与e 1共线，则a ＝k e 1，所以a ＝λe 1＋μe 2可变为(k －λ)e 1＝μe 2，所以e 1与e 2共线，这与e 1与e 2不共线相矛盾，故假设不成立，即A 不正确，同理B 不正确，则D 也错误．答案：C5．下列条件能使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A. OM →＝2OA →－OB →－OC → B. OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C. MA →＋MB →＋MC →＝0 D. OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0解析：在C 中，MA →＝－MB →－MC →，∴MA →、MB →、MC →共面．∴M 、A 、B 、C 一定共面，故C 正确．在A 、B 、D 三个选项中，OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →的式子中，x＋y ＋z ≠1，故全错．答案：C6．在空间四边形OABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列命题：①AB →＝a ＋b ；②BE →＝b ＋12(a ＋c )；③CF →＝12(a ＋b )－c ；④AF →＝－12a ＋12b ；⑤AD →＋BE →＋CF →＝0，其中正确的命题为( )A ．①②③B ．①②④C ．③④⑤D ．②③⑤解析：如图，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，∴①错；BE →＝OE →－OB →＝12(a ＋c )－b ，∴②错．答案中只有C 不含①②，故选C.答案：C 二、填空题7．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使 λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．解析：∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在唯一实数k 使AB →＝kAC →， 即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)， ∴(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0， 又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0， 令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ， 则λ＋m ＋n ＝0. 答案：08．若G 为△ABC 内一点，且满足AG →＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)解析：如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连接OG 、DG .由题意知AG →＝－BG →－CG →＝GB →＋GC →＝2GO →，同理BG →＝2GD →，故G 为△ABC 的重心．答案：重心9．如图，已知边长为1的正四面体O －ABC ，边OA 的中点为M ，自O 作平面ABC 的垂线OH 与平面ABC 交于点H ，与平面MBC 交于点I ，将OI →用OA →，OB →，OC →表示为________．解析：易知H 是正三角形ABC 的中心，所以OH →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．又I 在OH 上，故存在实数λ，满足OI →＝λOH →，故OI →＝λ3(OA →＋OB →＋OC →)＝λ3(2OM →＋OB →＋OC →)．因为I 在平面MBC 内，所以2λ3＋λ3＋λ3＝1，所以λ＝34，于是OI →＝14OA →＋14OB →＋14OC →.答案：OI →＝14OA →＋14OB →＋14OC →三、解答题10．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 分CA →所成的比为2∶1，N 分DA 1→所成的比为1∶2，设AB →＝m ，AD →＝n ，AA 1→＝t ，试将MN →表示成m 、n 、t 的关系式．解：连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →，由已知得四边形ABCD 为平行四边形，故AC →＝AB →＋AD →＝m ＋n ，又MA →＝－13AC →＝－13(m ＋n )，AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝13(t ＋2n )，MN →＝MA →＋AN →＝－13(m ＋n )＋13(t ＋2n )＝13(n ＋t －m )．11．已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点(如右图)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； (2)AC →∥EG →；(3)OG →＝kOC →.证明：(1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF → ＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →) ＝kAD →＋kmAB → ＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →， ∴AC →∥EG →.(3)由(2)知OG →＝EG →－EO →＝kAC →－kAO →， ＝k (AC →－AO →)＝kOC →， ∴OG →＝kOC →.12. 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，M 为PD 的中点，证明PB ∥平面ACM .(用向量法)证明：∵M 是PD 的中点，∴PM →＝MD →. 又∵PB →＝PM →＋MA →＋AB →＝PM →＋MA →＋AC →＋CB → ＝PM →＋MA →＋AC →＋DA → ＝PM →＋MA →＋AC →＋MA →－MD →.∴PB →＝2MA →＋AC →.∴PB →、MA →、AC →共面． 又∵PB ⊄平面ACM ，∴PB ∥平面ACM .。

1.2 空间向量基本定理-提高练一、选择题1.给出下列命题：①已知a b ^r r ，则()()a b c c b a b c ×++×-=×r r r r r r r r ；②,,,A B M N 为空间四点，若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面；③已知a b ^r r ，则,a b r r 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若,a b r r 共线，则,a b r r 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】对于①，若a b ^r r ，则0a b ×=r r ，故()()a b c c b a a b a c c b c a×++×-=×+×+×-×r r r r r r r r r r r r r r 0c b b c =+×=×r r r r ，故①正确；对于②，若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底，,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 这3个向量共线面，故,,,A B M N 共面，故②正确；对于③，当a b ^r r 时，若c r 与,a b r r 不共面，则{},,a b c r r r 可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确.2.若{},,a b c r r r 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-r r r r r B ．{},,b a b a b +-r r r r r C ．{},,c a b a b +-r r r r r D ．{},,2a b a b a b +-+r r r r r r 【答案】C 【解析】A ：因为()()2a b a b a r r r r r ++-=，所以向量,,a a b a b r r r r r+-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B ：因为()(1)()2a b a b b r r r r r ++--=，所以向量,,b a b a b r r r r r +-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C ：因为{},,a b c r r r 为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若,,c a b a b r r r r r +-不构成一组基底，则有()()()()c x a b y a b c x y a x y b r r r r r r r r =++-Þ=++-，所以向量,,a b cr r r 是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此,,c a b a b r r r r r +-能构成一组基底，D ：因为312()()22a b a b a b r r r r r r +=+++，所以向量,,2a b a b a b r r r r r r +-+是共面向量，因此,,2a b a b a b r r r r r r +-+不能构成一组基底.故选：C3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA uuu v ，OB uuu v ，OC uuu v 表示向量OG uuu v是（ ）A ．2233OG OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v uuu v B ．122233OG OA OB OC uuu v uuu v uuu v uuu v =++C ．111633OG OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v uuu v D ．112633OG OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v uuu v 【答案】C 【解析】2OG OM MG OM MN 3=+=+uuu r uuuu r uu Q uu r uuuu r uuuu r ,()()2121111OM MO OC CN OM OC OB OC OA OB OC 3333633uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r =+++=++-=++111OG OA OB OC 633uuu r uuu r uuu r uuu r \=++ ,故选：C ．4.在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为( )14341323【答案】A【解析】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,AE =12(AB +AC )=12(OB -2OA +OC ),AG 1=23AE =13(OB -2OA +OC ).因为OG =3GG 1=3(OG 1―OG ),所以OG=34OG 1.则OG =34OG 1=34(OA +AG 1)+13OB ―23OA =14OA +14OB +14OC .5.下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）A.若向量a r ，b r 与空间任意向量都不能构成基底，则//a b r r；B.若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则有//a c r r ；C.若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则A ，B ，C ，D 四点共面；D.若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则a r ，b r ，c r 也是空间的一组基底.【答案】ACD【解析】对于A ：若向量a r ，b r 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即//a b r r，故A 正确；对于B ：若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 不一定共线，故B 错误；对于C ：若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则()()1133OD OA OB OA OC OA -=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即1133AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，可得到A ，B ，C ，D 四点共面，故C 正确；对于D ：若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则空间任意一个向量d u r ，存在唯一实数组(),,x y z ，使()()()()()()d x a b y b c z x z a x c y b y a z c +=++++=+++++u r r r r r r r r r r ，则a r ，b r ，c r 也是空间的一组基底，故D 正确.6．（多选题）若{a ,b ,c }是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是( )A.{a ,2b ,3c }B.{a +b ,b +c ,c +a }C.{a +2b ,2b +3c ,3a -9c }D.{a +b +c ,b ,c }【答案】ABD【解析】由于a ,b ,c 不共面,易判断A,B,D 中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.对于C,有3(2b +3c )+(3a -9c )=3(a +2b ),故这三个向量是共面的,不能构成基底.二、填空题7．（2020山东泰安实验中学高二月考）在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若记®®=AB a ，AD b ®®=，AC c ®®=，则AG ®=______.【答案】111244a b c ®®®++【解析】在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，则AG AB BG ®®®=+12AB BE ®®=+11()22AB BC BD ®®®=+´+1()4AB AC AB AD AB ®®®®®=+-+-111442AB AC AD AB ®®®®=++-111244AB AD AC ®®®=++.8.（2020上海复旦附中青浦分校高二月考）在斜三棱柱111A B C ABC -中，BC 的中点为M ，11A B a =uuuu r r ，11A C b =uuuu r r ，1A A c =uuu r r ，则1B M uuuur 可用a r 、b r 、c r 表示为______.【答案】1()2c b a +-r r r 【解析】在1B BM D 中，11B M B B BM =+uuuur uuur uuuu r ,又BC 的中点为M ,12BM BC =uuuu r uuu r 111A B C ABC -Q 是斜三棱柱，11B C BC =uuuu r uuu r ，11B B A A=uuur uuur 111112B M A A B C uuuur uuur uuuu r =+, 在111A B C D 中111111B C AC A B uuuu r uuuu r uuuu r =-11111111()()22B M A A AC A B c b a uuuur uuur uuuu r uuuu r r r r \=+-=+-9.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 .【解析】如图所示.设BA =a ,BC =b ,BB 1=c ,则<a ,b >=120°,c ⊥a ,c ⊥b ,因为AB 1=AB +BB 1=-a +c , BC 1=BC +CC 1=b +c ,cos <AB 1,BC 1>=11|AB 1|·|BC 1|=10. （2020山东省高二期末）如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1,AB AA AD ==1BAD DAA Ð=Ð60,°=1BAA Ð30°=，N 为11A D 上一点，且111A N A D l =.若BD AN ^，则l 的值为________；若M 为棱1DD 的中点，//BM 平面1AB N ，则l 的值为________.1,23 【解析】 (1)取空间中一组基底：1,,AB a AD b AA c ===uuu r r uuu r r uuur r ，因为BD AN ^，所以0BD AN ×=uuu r uuu r ，因为11,BD AD AB b a AN AA A N c b l =-=-=+=+uuu r uuu r uuu r r r uuu r uuur uuuu r r r ，所以()()0b a c b l -×+=r r r r ，所以1022l l +-=，所以1l =-；(2)在AD 上取一点1M 使得11A N AM =，连接111,,M N M M M B ，因为11//A N AM 且11A N AM =，所以1111//,NB M B NB M B =，又因为1M B Ì/平面1AB N ，1NB Ì平面1AB N ，所以1//M B 平面1AB N ，又因为//BM 平面1AB N ，且1BM M B B =I ，所以平面1//M MB 平面1AB N ，所以1//MM 平面1AB N ，又因为平面11AA D D Ç平面1AB N AN =，且1MM Ì平面11AA D D ，所以1//M M AN ，所以11AA N MDM V V ∽，所以()111111121A N AA A D DM MD A D l l ===-，所以23l =.三、解答题11.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,MA =-13AC ,ND =13A 1D ,设AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,试用a ,b ,c 表示MN .【答案】见解析【解析】连接AN ,则MN =MA +AN .由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得AC =AB +AD =a +b ,MA =-13AC =-13(a +b ),又A 1D =AD ―AA 1=b -c ,故AN =AD +DN =AD ―ND =AD ―13A 1D =b -13(b -c ),所以MN =MA +AN =-13(a +b )+b -13(b -c )=13(-a +b +c ).12.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点.证明:(1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ;(2)A 1G ⊥平面EFD.【答案】见解析【解析】 (1)设正方体棱长为1,AB =i ,AD =j ,AA 1=k ,则{i ,j ,k }构成空间的一个单位正交基底.AB 1=AB +BB 1=i +k ,GE =GC +CE =12i +12k =12AB 1,∴AB 1∥GE.EH =EC 1+C 1H =12k +-i +j )=-12i -12j +12k ,∵AB 1·EH =(i +k )·-12i -12j +12k =-12|i |2+12|k |2=0,∴AB 1⊥EH.(2)A 1G =A 1A +AD +DG =-k +j +12i ,DF =DC +CF =i -12j ,DE =DC +CE =i +12k .∴A 1G ·DF =-k +j +12i ·i -12j =-12|j |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DF.A 1G ·DE =-k +j +12i ·i +12k =-12|k |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DE.又DE ∩DF=O ,∴A 1G ⊥平面EFD.。

高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析1.在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为。

【答案】为ｚ轴，则【解析】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１（），，，（）。

所以，。

因为，所以，由此推出。

又，，从而有。

【考点】(1)空间向量的坐标运算及空间两点间距离公式的应用；（2）利用二次函数思想求最值。

2.是坐标原点，设，若，则点的坐标应为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，设点B(x,y,z),由于，且，故可知点的坐标应为，故选B.【考点】空间向量的坐标运算点评：主要是考查了空间中向量的坐标的代数运算，属于基础题。

3.已知向量，若,则______。

【答案】【解析】因为，所以，显然所以【考点】本小题主要考查共线向量的数量关系，考查学生运用公式的能力.点评：向量共线是空间向量的常考内容，记清楚关系直接代入计算即可，难度不大.4.已知，，则的最小值是A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为，，则则利用二次函数的性质得到最小值为，选C5.在直三棱柱中，，已知G与E分别为和的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）.若，则线段DF长度的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，1 2 ），G（ 1 2 ，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）∴ GD =(-，y，-1)， EF =(x，-1，- )∵GD⊥EF，∴x+2y-1=0，∴x=1-2yDF2= x2+y2 = (1-2y)2+y2 = 5y2-4y+1 =" 5(y-2" 5 )2+1 5 ∵0＜y＜1∴当y="2" 5 时，线段DF长度的最小值是又y=1时，线段DF长度的最大值是 1而不包括端点，故y=1不能取；故线段DF的长度的取值范围是：[ ，1)．故选A．6.已知a=（1,1,0），b=（-1,0，2），且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是（）.A．1B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以7.空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则点C的轨迹为（）A．平面B．直线C．圆D．线段【答案】D【解析】解：因为A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则说明A,B，C三点共线，解：设点C的坐标为（x，y，z ），由题意可得（x，y，z ）=（3α-β，α+3β，0 ），再由α+β="1" 可得x=3α-β=3-4β，y=α+3β=1+2β，故有 x+2y-5=0，故点C的轨迹方程为x+2y-5=0，则点C的轨迹为直线，故选B.8.在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（x，4，3）为顶点的是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为。

3.1.2 空间向量的基本定理学习目标 1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．知识点一 共线向量定理与共面向量定理 1．共线向量定理两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数x ，使a ＝x b . 2．向量共面的条件(1)向量a 平行于平面α的定义已知向量a ，作OA →＝a ，如果a 的基线OA 平行于平面α或在α内，则就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α. (2)共面向量的定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量． (3)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b .知识点二 空间向量分解定理 1．空间向量分解定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c . 2．基底如果三个向量a ，b ，c 是三个不共面的向量，则a ，b ，c 的线性组合x a ＋y b ＋z c 能生成所有的空间向量，这时a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{a ，b ，c }，其中a ，b ，c 都叫做基向量．表达式x a ＋y b ＋z c ，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．1．向量a ，b ，c 共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( × ) 2．若向量e 1，e 2不共线，则空间任意向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )．( × ) 3．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb .( × )4．对于三个不共面向量a 1，a 2，a 3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a 1＋λ2a 2＋λ3a 3.( × )题型一 向量共线问题例1 (1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D(2)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________. 考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断 答案 (1)A (2)1解析 (1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，故AD →∥AB →，又AD →与AB →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2， 且AB →与AD →共线，故AD →＝xAB →， 即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2， 故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0， 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1. 反思感悟 (1)判断向量共线的策略①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b . ②判断向量共线的关键：找到实数λ.(2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． ①存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．②对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． ③对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线． 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1—→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.∴E ，F ，B 三点共线．题型二 空间向量共面问题例2 如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 证明 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面． 反思感悟 (1)利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值． (2)证明空间向量共面或四点共面的方法①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p ＝x a ＋y b ，则向量p ，a ，b 共面．②若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面．③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．跟踪训练2 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M ，满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面． 解 MA →，MB →，MC →三个向量共面． 因为OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，所以3OM →＝OA →＋OB →＋OC →，化简，得(OA →－OM →)＋(OB →－OM →)＋(OC →－OM →)＝0， 即MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－MB →－MC →， 故MA →，MB →，MC →共面．题型三 空间向量分解定理及应用例3 如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′—→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 解 连接AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′—→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′—→)＝12(a ＋b ＋c )．(2)AM →＝12(AC →＋AD ′—→)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c .(3)AN →＝12(AC ′—→＋AD ′—→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→)]＝12a ＋b ＋c .(4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA ′—→＝AC →＋45(AA ′—→－AC →)＝15AC →＋45AA ′—→＝15(AB →＋AD →)＋45AA ′—→＝15a ＋15b ＋45c . 反思感悟 用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a ，b ，c }可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a ，b ，c ，不能含有其他形式的向量．跟踪训练3 如图所示，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .试用向量a ，b ，c 表示向量GH →.解 ∵H 为△OBC 的重心，D 为BC 的中点， ∴OD →＝12(OB →＋OC →)，OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )．又OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →，AD →＝OD →－OA →，∴OG →＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →) ＝13(a ＋b ＋c )． ∵GH →＝OH →－OG →，∴GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .空间共线向量定理的应用典例 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，求证：CE ∥MN .考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用 证明 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点， 又四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →，又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)， ∴CE →＝2MN →，∴CE →∥MN →. ∵C 不在MN 上，∴CE ∥MN .[素养评析] 证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．这里关键是利用向量的线性运算，从而确定CE →＝λMN →中的λ的值．1．给出下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行； ②真命题．这是关于零向量的方向的规定； ③假命题．当b ＝0，则有无数多个λ使之成立．2．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量答案 A解析 ∵2a －b ＝2·a ＋(－1)·b ， ∴2a －b 与a ，b 共面．3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一组基底的关系是( )A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC →答案 C解析 对于A ，由结论OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇒M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于B ，D ，易知MA →，MB →，MC →共面，故只有C 中MA →，MB →，MC →不共面． 4．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 答案 －8解析 ∵BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2， 又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得AB →＝λBD →， ∴12＝－4k .∴k ＝－8. 5．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量； ②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量； ④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②④解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确．1．四点P ，A ，B ，C 共面⇔对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1.2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3．证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线． 4．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面.一、选择题1．如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BE →等于( )A ．a －12b ＋12cB ．－a ＋12b ＋12cC.12a －b ＋12c D ．－12a ＋b ＋12c考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 B 解析 连接AE ，∵E 是CD 的中点，AC →＝b ，AD →＝c ， ∴AE →＝12(AC →＋AD →)＝12(b ＋c )．在△ABE 中，BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋AE →，又AB →＝a ，∴BE →＝－a ＋12(b ＋c )＝－a ＋12b ＋12c .2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．a B ．b C ．a ＋2b D ．a ＋2c 答案 D解析 能与p ，q 构成基底，则与p ，q 不共面． ∵a ＝p ＋q 2，b ＝p －q 2，a ＋2b ＝32p －12q . ∴A ，B ，C 都不合题意．∵{a ，b ，c }为基底， ∴a ＋2c 与p ，q 不共面，可构成基底．3．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上 D.AB →与AP →的方向一定相同 答案 A解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →⇒OP →－OA →＝n (OB →－OA →)⇒AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，即点A ，P ，B 共线．故选A.4．对于空间一点O 和不共线三点A ，B ，C ，且有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．O ，A ，B ，C 四点共面 B ．P ，A ，B ，C 四点共面 C ．O ，P ，B ，C 四点共面 D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面答案 B解析 由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →， 得OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →)， 即AP →＝2PB →＋3PC →，∴AP →，PB →，PC →共面，又它们有公共点P ，∴P ，A ，B ，C 四点共面．故选B.5．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13答案 D解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，∴x ＝13.故选D.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，若将b 与c 作为基底，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.35c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 答案 A解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b .7．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 ①正确．基底必须不共面；②正确；③不对，a ，b 不共线．当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．8. 已知A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( ) A ．不共面 B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面 答案 B解析 OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →＝34OA →＋18(OA →＋AB →)＋18(OA →＋AC →)＝OA →＋18AB →＋18AC →，∴OP →－OA →＝18AB →＋18AC →，∴AP →＝18AB →＋18AC →.由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面．二、填空题9．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________. 答案215解析 由P ，A ，B ，C 四点共面可知，15＋23＋λ＝1，故λ＝215.10．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________． 答案 0解析 延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →， 故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AF →－AF →＝0.11．已知O 是空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________. 答案 －1解析 OA →＝(－2x )·OB →＋(－3y )·OC →＋(－4z )·OD →，由A ，B ，C ，D 四点共面，得－2x －3y －4z ＝1，即2x ＋3y ＋4z ＝－1. 三、解答题12．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，当OP →＝2OA →－OB →－OC →时，点P 是否与A ，B ，C 共面？并给出证明．解 点P 与A ，B ，C 三点不共面，证明如下：若点P 与A ，B ，C 共面，则存在唯一的实数对(x ，y )，使AP →＝xAB →＋yAC →，于是对平面ABC 外一点O ，有OP →－OA →＝x (OB →－OA →)＋y (OC →－OA →)， ∴OP →＝(1－x －y )OA →＋xOB →＋yOC →， 比较原式得⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＝2，x ＝－1，y ＝－1，此方程组无解，这样的x ，y 不存在，所以A ，B ，C ，P 四点不共面．13．已知点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)证明：BD ∥平面EFGH . 证明 如图，连接EG ，BG .(1)EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD → )＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知，E ，F ，G ，H 四点共面． (2)方法一 ∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，∴EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， ∴BD ∥平面EFGH .方法二 ∵BD →＝BA →＋AD →＝2EA →＋2AH →＝2EH →＝2(EG →＋GH →)＝2EG →＋2GH →， 又EG →，GH →不共线，∴BD →与EG →，GH →共面． 又BD ⊄平面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH .14．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________． 答案 0解析 ∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在唯一实数k 使AB →＝kAC →， 即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)， ∴(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0. 又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，则λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，∴λ＋m ＋n ＝0.15．已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面； (2)AC →∥EG →.证明 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →， 知A ，B ，C ，D 四点共面， E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →) ＝kAD →＋kmAB → ＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.。

专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理一、单选题1．（2019·全国高二课时练习）已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ） A ．2a ，a ﹣b ，a +2b B ．2b ，b ﹣a ，b +2a C ．a ，2b ，b ﹣c D ．c ，a +c ，a ﹣c【答案】C 【解析】 对于A ，因为2a =43（a ﹣b ）+23（a +2b ），得2a 、a ﹣b 、a +2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A 不正确； 对于B ，因为2b =43（b ﹣a ）+23（b +2a ），得2b 、b ﹣a 、b +2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B 不正确；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a =λ•2b +μ（b ﹣c ）成立，故a 、2b 、b ﹣c 三个向量不共面， 它们能构成一个基底，C 正确； 对于D ，因为c =12（a +c ）﹣12（a ﹣c ），得c 、a +c 、a ﹣c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D 不正确 故选：C ．2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =，AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N （ ）A ．12a b c -++ B ．a b c -++C ．12a b c --+D ．12a b c -+【答案】A【解析】N 是BC 的中点，11111222A N A A AB BN a b BC a b AD a b c ∴=++=-++=-++=-++.故选：A.3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）A ．111333OA OB OC ++ B ．111234OA OB OC ++C ．111244OA OB OC ++D ．111446OA OB OC ++【答案】C 【解析】在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点∴12OG OA AD =+11()22OA AB AC =+⨯+1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+-111244OA OB OC =++ 故选:C.4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c =，则CE =（ ）A ．12a b c --+ B ．12a b c -+ C ．12a b c -- D ．12a b c +- 【答案】A 【解析】由题意结合平行六面体的性质可得1111CE CC C D D E =++111111111222CC C D D A AA AB AD a b c =++=--=--+.故选：A.5．（2020·广东省红岭中学高二期末） AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据向量共线的定义，可知若AB 与CD 共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合； 若AB ∥CD ，则AB 与CD 共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的必要不充分条件， 故选B点睛：向量共线的定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 .6．（2020·广东省红岭中学高二期末）O 为空间任意一点,,,A B C 三点不共线,若OP =111326OA OB OC ++,则,,,A B C P 四点 A ．一定不共面 B ．不一定共面 C ．一定共面D ．无法判断【答案】C【解析】：点P 在平面ABC 内，O 是平面ABC 外的任意一点，则OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=．利用此推论可直接证明一定共面．详解：因为OP =111326OA OB OC ++，且1111326++=，所以,,,A B C P 四点共面. 7．（2019·随州市第一中学高二期中）空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A 【解析】因为空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--，所以51133x --=，解得13x =. 故选A8．（2020·甘肃省高二期末）如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OM MA =，BN NC =，则MN 等于( )A ．221332a b c ++B ．122121a b c +- C ．122132a b c -++D ．123122a b c -+【答案】C 【解析】BN NC =，1()2ON OB OC ∴=+，2OM MA =，23OM OA ∴=，2121()233212MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=++-=-+，故选：C.9．（2020·广西壮族自治区高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）． A ．1122++a b c B ．1122-++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 【答案】B 【解析】11111111111()()=2222BM BB B M BB A D A B C b a a b c =+=+-=+--++故选B.10．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）在平行六面体ABCD-EFGH 中，若AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ，，则x ＋y ＋z 等于( )A ．76B ．23C ．56D ．1【答案】C 【解析】在平行六面体ABCD ﹣EFGH 中，AG =AB +BC +CG ， ∵AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ，CG =DH ， ∴x=1，﹣2y=1，3z=1，∴112x y ==-，，z=13， ∴x+y+z=56， 故选：C ． 二、多选题11．（2019·山东省济南一中高二期中）已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ）A ．AB CB AC -=B ．AC AB B C CC ''''=++C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=【答案】ABC 【解析】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图，可得AB CB AB BC AC -=+=，则A 正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，则B 正确；C 显然正确；AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=，则D 不正确.综上，正确的有ABC.故选：ABC12．（2020·江苏省高二期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为1AC 的有( )A ．AB BC CD ++ B ．11111AA BC DC ++ C ．111AB C C BC -+ D ．111AA DC B C ++ 【答案】BCD 【解析】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠，故错误；B ．11111111111AA BC DC AA A D DC AC ++=++=，故正确；C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=，故正确； D ．111111111AA DC BC AA A B BC AC ++=++=，故正确. 故选：BCD.13．（2020·山东省高二期末）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外的任一点，则“点M 与点A ，B ，C 共面”的充分条件的是（ ） A ．2OM OA OB OC =-- B ．OM OA OB OC =+- C ．1123OM OA OB OC =++ D ．111236OM OA OB OC =++ 【答案】BD 【解析】当MA mMB nMC =+时，可知点M 与点,,A B C 共面， 所以()()MO OA m MO OB n MO OC +=+++， 所以()1x y OM OA xOB yOC +-=-++，所以11111OA mOB nOC m nOM OA OB OC m n m n m n m n -++==-+++-+-+-+-，不妨令11x m n -=+-，1m y m n =+-，1n z m n =+-，且此时1x y z ++=，因为()()21101+-+-=≠，()1111++-=，111111236++=≠，1111236++=， 由上可知：BD 满足要求. 故选：BD.点睛：常见的证明空间中四点,,,M A B C 共面的方法有：(1)证明MA xMB yMC =+；(2)对于空间中任意一点O ，证明OMOA xMB yMC =++；(3) 对于空间中任意一点O ，证明()1OM xOA yOB zOC x y z =++++=.三、填空题14．（2019·江苏省高二期末）直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1BA =__________． 【答案】a b c -+ 【解析】直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===111BA BA AA CA CB CC a b c =+=-+=-+故答案为a b c -+15．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知非零向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC =5a -＋6b ，72CD a b =-，则,,,A B C D 中一定共线的三点是________.【答案】A ，B ，D 【解析】由向量的加法原理：5672242BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=又,BD AB 共点B ，故A ，B ，D 三点共线 故答案为：A ，B ，D16．（2019·浙江省诸暨中学高二期中）已知三棱锥O-ABC ，点D 是BC 中点，P 是AD 中点，设OP xOA yOB zOC =++，则x y z ++=________；x =________.【答案】1 12【解析】 如图，()()111222OP OA OD OA OB OC ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦111244OA OB OC xOA yOB zOC =++=++, 所以111,,244x y z ===，所以1x y z ++=，12x =.故答案为：1； 1217．（2019·江苏省高二期中）如图在正方体1111ABCD A B C D -中，已知1A A a =,11A B b =,11A D c =,O 为底面的ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =______【答案】215326a b c ++ 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，1A A a =,11AB b =,11A D c =, O 为底面的ABCD 的中心，G 为11DC O 的重心，∴AG AO OG =+()()111123AB AD OD OC =+++ ()12b c =+()11132BA BC DD ⎡+++⎢⎣()112AB AD CC ⎤+++⎥⎦()()()11111=26363b c b c a b c a ++-+++++ 215326a b c ++=. 故答案为：215326a b c ++.四、解答题18．（2018·全国高二课时练习）如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,AD=2,AA 1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个? (2)5.(3)试写出与AB 相等的所有向量. (4)试写出1AA 的相反向量.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析． 【解析】 分析：（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为5，即可写出所求向量（3）根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量. 详解：(1)模为1的向量有11111111,,,,,,,A A AA B B BB C C CC D D DD ,共8个单位向量. (2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5,因此模为5的向量为111,,,AD D A A D 11111,,,,DA BC C B B C CB .(3)与向量AB 相等的向量(除它自身之外)为1111,A B DC DC 及. (4)向量1AA 的相反向量为1111,,,A A B B C C D D. 19．（2020·全国高一课时练习）如图，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为123,,r r r ，求OD ．【答案】321OD r r r =+- 【解析】因为OD OC CD =+，CD BA OA OB ==-， 所以132OD OC OA OB r r r -=+-=+．20．（2019·三亚华侨学校高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,AB AD AA 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P 在线段BC 上，且3BP BC =，记1,,a AB b AD c AA ===.（1）试用,,a b c 表示1D P ；（2）求1D P 模.【答案】（1）23a b c --； （25【解析】（1）111()()D P AP AD AB BP AD AA =-=+-+，12()33a b b c a b c ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭. （2）因为AB ，AD ，1AA 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1. 所以33,1,2a b a c b c ⋅=⋅=⋅=， 2221244423933D P a b c a b c a b a c b c =--=++-⋅-⋅+⋅ 441422=++--+5=21．（2018·全国高二课时练习）在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形,AC 与BD 交于O,G 为BD 上一点,BG=2GD,PA =a ,PB =b ,PC =c ,试用基底{a ,b ,c }表示向量PG .【答案】212333a b c -+ 【解析】因为BG=2GD,所以2BG BD 3=.又BD BA BC PA PB PC PB =+=-+-=a+c-2b,所以PG PB BG =+=b+23(a+c-2b) =23a-13b+23c. 22．（2019·全国高一课时练习）设e 1,e 2是不共线的空间向量，已知AB =2e 1+ke 2，CB =e 1+3e 2，CD =2e 1-e 2.若A,B,D 三点共线，求k 的值.【答案】k=-8.【解析】分析：A ，B ，D 三点共线，故存在唯一实数λ，使得AB BD λ=，再由已知条件表示出BD 与AB ,建立方程组可求出k 和λ值详解：由已知，有BD CD =-CB =(2e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2.∵A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB =λBD ，即2e 1+ke 2=λ(e 1-4e 2)，∴2e 1+ke 2=λe 1-4λe 2.∵e 1,e 2是不共线的空间向量，∴24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得8k =-. 23．（2018·全国高二课时练习）已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA =e 1+2e 2-e 3,OB =-3e 1+e 2+2e 3,OC =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【答案】能，OD =17OA -5OB -30OC ．【解析】能作为空间的一组基底．假设,,OA OB OC 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y 使OA =x OB +y OC 成立123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-又因为{}123,,e e e 是空间的一个基底,所以123,,e e e 不共面.因此-31,2,2--1,x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩此方程组无解,即不存在实数x,y 使OA =x OB +y OC ,所以,,OA OB OC 不共面.故{,,OA OB OC }能作为空间的一个基底.设OD =p OA +q OB +z OC ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-因为{}123,,e e e 为空间的一个基底, 所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解得17,-5,-30.p q z =⎧⎪=⎨⎪=⎩故OD =17OA -5OB -30OC .点睛：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使p xa yb zc =++．我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底，其中,,a b c 叫基向量.。

第一章 1.2空间向量基本定理A 级——基础过关练1．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．2aB ．2bC ．2a ＋3bD ．2a ＋5c【答案】D 【解析】由于{a ，b ，c }是空间的一个基底，所以a ，b ，c 不共面，在四个选项中，只有D 与p ，q 不共面，因此，2a ＋5c 与p ，q 能构成一组基底．2．如图，设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，14，14B ．⎝⎛⎭⎫34，34，34 C ．⎝⎛⎭⎫13，13，13D ．⎝⎛⎭⎫23，23，23【答案】A 【解析】由已知OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34[OA →＋13(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB→－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，从而x ＝y ＝z ＝14.3．已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉＝( ) A ．－3135B ．－1935C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】∵|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，∴a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝52－6＝19.|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－2×6＋36＝7，因此cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b|a |·|a ＋b |＝195×7＝1935. 4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN →为( )A ．13a ＋13b －cB ．a ＋13b ＋13cC ．13a －13b ＋13cD ．13a ＋13b ＋13c【答案】D 【解析】MN →＝BN →－BM →＝BB 1→＋B 1N →－BM →，因为BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N ，BB 1→＝AA 1→，所以MN →＝AA 1→＋13B 1C 1→－23BA 1→＝AA 1→＋13BC →－23((AA 1→－AB →()＝AA 1→＋13((AC →－AB →()－23(AA 1→－AB →)＝13AA 1→＋13AC →＋13AB →＝13a ＋13b ＋13c .5．已知{e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，且d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ分别为________．【答案】52，－1，－12 【解析】由题意得a ，b ，c 为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使得d ＝αa ＋βb ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ) e 1＋(α＋β－γ) e 2＋(α－β＋γ) e 3.又d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于点O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.【答案】23a －13b ＋23c 【解析】PG →＝PB →＋BG →＝PB →＋23BD →＝PB →＋23(BA →＋BC →)＝PB →＋23(P A→－PB →＋PC →－PB →)＝23P A →－13PB →＋23PC →＝23a －13b ＋23c .7．从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】－23a ＋12b ＋12c 【解析】GH →＝PH →－PG →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .8．如图，已知在四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为点E ，F ，则EF →＝________.【答案】3a ＋3b －5c 【解析】如图，取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EF →＝GF →－GE →＝12CD →－12BA →＝12CD →＋12AB →＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c )＝3a ＋3b －5c . 9．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→.解：(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为N 是BC 的中点，所以A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c.(3)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 10．已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是PC 的中点，问向量P A →，MB →，MD →是否可以组成一个基底，并说明理由．解：P A →，MB →，MD →不可以组成一个基底，理由如下：如图，连接AC ，BD 相交于点O ，连接OM . 因为ABCD 是平行四边形， 所以O 是AC ，BD 的中点． 在△BDM 中，MO →＝12(MD →＋MB →)，在△P AC 中，M 是PC 的中点，O 是AC 的中点，则MO →＝12P A →，即P A →＝MD →＋MB →，即P A →与MD →，MB →共面．所以P A →，MB →，MD →不可以组成一个基底．B 级——能力提升练11．给出下列命题：①若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d≠0，则{a ，b ，d }也可作为空间的一个基底；②已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，N 是空间四点，如果BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面；④已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】空间任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，易知①②③④均为真命题．12．若{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．【答案】x ＝y ＝z ＝0 【解析】若x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0.13．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是________．【答案】(12,14,10) 【解析】设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．14．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°. (1)设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，用向量a ，b ，c 表示BC 1→，并求出BC 1的长度； (2)求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值．解：(1)BC 1→＝BB 1→＋B 1C 1→＝BB 1→＋A 1C 1→－A 1B 1→＝AA 1→＋AC →－AB →＝a ＋c －b ， 因为a ·b ＝|a |·|b |cos ∠BAA 1＝1×1×cos(60°＝12，同理可得a ·c ＝b ·c ＝12，所以|BC 1→|＝a ＋c －b2＝a 2＋c 2＋b 2＋2a ·c －2a ·b －2c ·b ＝ 1＋1＋1＋1－1－1＝ 2. (2)因为AB 1→＝a ＋b ， 所以|AB 1→|＝a ＋b2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋1＋1＝ 3.因为AB 1→·BC 1→＝(a ＋b )·(a ＋c －b )＝a 2＋a ·c －a ·b ＋b ·a ＋c ·b －b 2＝1＋12－12＋12＋12－1＝1，所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝12×3＝66.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为66. C 级——探究创新练15．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若向量AE →在以{AA 1→，AB →，AD →}为单位正交基底下的坐标为(1，x ，y )，则x ＝________，y ＝________.【答案】12 12 【解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋B 1C 1→)＝AA 1→＋12(AB→＋AD →)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →.16．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． 解：(1)D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )．(2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝D 1D →＋12DB →＝A 1A →＋12(AB →－AD →)＝－AA 1→＋12AB →－12AD →＝－c ＋12a －12b ，所以x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.。

高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题1.已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )A．B．C．4D．8【答案】B．【解析】首先由向量的数量积公式可求与夹角的余弦值，然后根据同角三角函数的关系得，最后利用正弦定理表示平行四边形的面．【考点】向量模的运算；利用正弦定理表示三角形的面积．2.点关于原点对称的点的坐标是．【答案】【解析】空间直角坐标系中点的对称关系:,可得.【考点】空间直角坐标系中点的对称关系.3.在空间直角坐标系中，点P（1,3，-5）关于平面xoy对称的点的坐标是（ )A．（-1,3，-5）B．（1,3，5）C．（1,-3，5）D．（-1,-3，5）【答案】B【解析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论：点（x，y，z）关于平面xoy对称的点坐标为（x，y，-z），可知答案是B.【考点】空间直角坐标系点的对称问题.4.已知向量，且∥，则实数的值为．【答案】.【解析】由已知得=（k+1,2k+2，k+2），=（-1，-2，-3），再由两向量共线的充要条件知=，建立方程解得k=.【考点】（1）向量的坐标运算；（2）向量共线的充要条件.5.已知向量，，且，那么等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，解得，所以，选答案A.【考点】空间向量平行的坐标关系.6.已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为,选A7.已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由已知中△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，-3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线故选B.【考点】空间中两点之间的距离点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．8.为空间的两个不同的点，且，空间中适合条件的点的集合表示的图形是 .【答案】经过点且与垂直的平面【解析】设点M（x,y,z），那么可知设A（0，0，0），B（0，0，1），，由则可知（x,y,z）（0，0，1）=1，z=1，可知表示的图形为过点B的与AB垂直的平面。

教学内容空间向量及其运算教学目标.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.重点.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系难点.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系教学准备教学过程自主梳理1．空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是________________________．(4)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得p＝x a＋y b，推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O有，OP→＝________________或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOM→，其中x＋y＋z＝____.(5)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝________________________，把{e1，e2，e3}叫做空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝________________________________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若b≠0，则a∥b⇔________⇔__________，________，______________，a⊥b⇔__________⇔________________________(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝________________________________，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝__________________________.若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|AB→|＝______________________________.教学效果分析教学过程3．利用空间向量证明空间中的位置关系若直线l，l1，l2的方向向量分别为v，v1，v2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下：平行垂直直线与直线l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ为非零实数)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0直线与平面①l∥α⇔v⊥n1⇔v·n1＝②l∥α⇔v＝x v1＋y v2其中v1，v2为平面α内不共线向量，x，y均为实数l⊥α⇔v∥n1⇔v＝λn1(λ为非零实数)平面与平面α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝λn2(λ为非零实数)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 自我检测1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则x＝_________，y＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则B1M→用a，b，c表示为________．3．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则|AC′→|＝________.4．下列4个命题：①若p＝x a＋y b，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝x a＋y b；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题是________(填序号)．5．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).教学效果分析教学过程探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．教学效果分析教学过程探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.教学效果分析教学过程探究点三利用向量法解探索性问题例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．教学效果分析教学过程(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的序号为________．2．若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD的形状是______________三角形．3. 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角等于________．4．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝____________.5．在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为________．6. (2010·信阳模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若EF→＝λ(AB→＋DC→)，则λ＝________.7．(2010·铜川一模)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A1D1→－A1A→)－AB→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→；③(AD→－AB→)－2DD1→；④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→.其中能够化简为向量BD1→的是________．(填所有正确的序号) 8．(2010·丽水模拟) 如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．二、解答题(共42分)9．(14分) 如图所示，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点教学效果分析E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.10．(14分)(2009·福建)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．11. (14分)如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．。

1.2 空间向量基本定理基础练习一、单选题1．已知三棱锥O —ABC ，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于（ ）A ．()12c a b -- B ．()12b ac -- C ．()12a cb -- D ．()12c a b ++ 【答案】A【分析】利用空间向量基本定理进行计算.【详解】()11122212MN ON OM OC OA O b B c a ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎭-⎝.2．（2022·全国·高二）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c【答案】D【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可. 【详解】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+. 3．（2022·全国·高二）已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（ ）A ．OA ，OB ，OC 共线 B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线 C ．OA OB +与OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面【答案】D【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底知OA ，OB ，OC 共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面4．设向量{,,}a b c 是空间一个基底，则一定可以与向量,p a b q a b =+=-构成空间的另一个基底的向量是( ) A ．a B ．bC ．cD ．a 或b【答案】C【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．【详解】解：由题意和空间向量的共面定理， 结合()()2p q a b a b a +=++-=， 得a 与p 、q 是共面向量， 同理b 与p 、q 是共面向量，所以a 与b 不能与p 、q 构成空间的一个基底； 又c 与a 和b 不共面，所以c 与p 、q 构成空间的一个基底．5．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1CM MD =，14CQ QA =，则（ ） A ．11122AM AB AD AA =++ B ．11122AQ AB AD AA =++ C ．1113444AQ AB AD AA =++ D ．1114555AQ AB AD AA =++ 【答案】D【分析】根据题意利用空间向量基本定理求解即可【详解】因为1CM MD =，所以11112111()222CD DD AB CM A CD A =+=-+=，所以AM AB BC CM =++ 11122AB AD AB AA =+-+ 11122AB AD AA =++， 所以A 错误因为14CQ QA =，所以1114444()554555CB BA AA AB AD A C A Q CA =++=-=-+，所以AQ AB BC CQ =++ 1444555AB AD AB AD AA =+--+ 1114555AB AD AA =++,6．（2022·江苏南通·高二期末）在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点D 满足BD BC λ=，E 为AD 的中点，且111244OE a b c =++，则λ=（ ） A ．12 B ．14C ．13D ．23【答案】A【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可【详解】111111244244OE a b c OA OB OC =++=++uu u r r r r uu r uu u r uuu r，其中 E 为中点，有 1122OE OA OD =+ ，故可知 1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r ，则知 D 为 BC 的中点，故点 D 满足 12BD BC =， 12λ= ．7．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，c AP =，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（ ）A ．1132a b c ++B ．1162a b c -++C ．1132a b c -+D ．1162a b c --+【答案】D【分析】由图形可得MN MC CD DN =++，根据比例关系可得13MC AD =，12DN DP =，再根据向量减法DP AP AD =-，代入整理并代换为基底向量． 【详解】()111111323262MN MC CD DN AD AB DP AD AB AP AD AB AD AP =++=-+=-+-=--+ 即1162MN a b c =--+二、多选题8．（2022·全国·高二）若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．b c +r r，b ，b c -r r B ．a ，a b +，a b - C ．a b +，a b -，c D ．a b +，a b c ++，c【答案】ABD【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项. 【详解】对于A ，因为()()12b c b b c ⎡⎤=+⎣⎦+-，故b c +，b ，b c -共面； 对于B ，因为()()12a b a a b ⎡⎤=+⎣⎦+-，故a ，a b +，a b -共面；对于D ，因为()c a b c a b =++-+，故a b +，a b c ++，c 共面； 对于C ，若a b +，a b -，c 共面，则存在实数,λμ，使得：，()()()()c a b a b a b λμλμλμ=++-=++-，故,,a b c 共面，这与{},,a b c 构成空间的一个基底矛盾，9．（2022·江苏南通·高二期末）已知a ，b ，c 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ）A ．若//a b ，//b c ，则//a cB ．若a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c 共面C ．对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++D ．若{}a b c ，，是空间的一组基底，则{}a b b c c a +++，，也是空间的一组基底 【答案】AD【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答】解：a ，b ，c 是空间的三个单位向量， 由//a b ，//b c ，则//a c ，故A 正确；a ，b ，c 两两共面，但是a ，b ，c 不一定共面，a ，b ，c 可能两两垂直，故B 错误；由空间向量基本定理，可知只有当a ，b ，c 不共面，才能作为基底，才能得到p xa yb zc =++，故C 错误；若 {}a b c ，，是空间的一组基底，则a ，b ，c 不共面，可知{}a b b c c a +++，，也不共面，所以{}a b b c c a +++，，也是空间的一组基底，故D 正确． 10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底 D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC【分析】对于A ，根据共线向量的概念理解判断；对于B ：根据OP xOA yOB zOC =++uu u r uu r uu u r uuu r且1x y z ++=⇔P ，A ，B ，C 四点共面，分析判断；对于C ：基底向量的定义{},,a b c 是空间的一个基底,,a b c ⇔不共面，分析判断；对于D ：根据数量积的定义可得cos ,0a b <，结合向量夹角的范围分析判断．【详解】对于A ，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，所以A 正确；对于B ，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++因为1111632++=，根据空间向量的基本定理，可得P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以B 正确； 对于C ，由于{},,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b c 不共面 ∵m a c =+，则,,a c m 共面∴可得向量,,a b m 不共面，所以{},,a b m 也是空间的一个基底，所以C 正确；对于D ，若cos ,0⋅=<a b a b a b ，即cos ,0a b <，又[],0,π∈a b ，所以π,,π2a b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以D 不正确．11．（2022·江苏·高二阶段练习）下面四个结论正确的是（ ） A ．空间向量a ，b （0a ≠，0b ≠），若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{,,}a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c ，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 【答案】ABC【分析】A.利用空间向量数量积的定义判断；B.利用空间向量共线定理的推论判断；C.利用空间基底的定义判断；D.根据()a b c ⋅⋅与 c 共线，()a b c ⋅⋅与 a 共线判断.【详解】A.空间向量a ，b （0a ≠，0b ≠），若a b ⊥，则,90=a b ，所以0a b ⋅=，故正确；B. 若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，且1111632++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，故正确；C.因为{},,a b c 是空间的一组基底,所以,,a b c 不共面，则,,a b a c +r r rr也不共面，又m a c =+，所以,,a b m 不共面，则{,,}a b m 也是空间的一组基底，故正确；D.因为()a b c ⋅⋅与 c 共线，()a b c ⋅⋅与 a 共线，又a ，b ，c 是任意向量，所以 ()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等，故错误； 三、填空题12．正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是上底面1111D C B A 的中心，若1AE xAB yAD z AA =++，则x y z ++=___________. 【答案】2【分析】根据向量线性运算，利用1,,AB AD AA 表示出AE ，由此可得,,x y z 的值. 【详解】()()11111111111111222AE AA A E AA AC AA A B A D AA AB AD =+=+=++=++11122AB AD AA =++， 12x ∴=，12y =，1z =，2x y z ∴++=. 13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若AB a =，BC b =，1AA c =，则BM =______．（用a 、b 、c 表示）【答案】1122a b c -++【分析】利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可. 【详解】根据题意，()1111111122BM BA AA A M AB AA A C AB AA AB BC =++=-++=-+++ 11122AB BC AA =-++=1122a b c -++. 14．（2022·全国·高二）如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，设1AB e =，2AC e =，3AD e =uuu r u r，请用1e ､2e ､3e 的线性组合表示DE =uuu r___________.【答案】1231122e e e +-u r u r u r 【分析】先求出()12AE AB AC =+，再由DE DA AE =+求解即可. 【详解】在ABC 中，因为E 是BC 的中点，所以()()121122AE AB AC e e +=+=，所以1231122DE DA AE e e e uuu r uu u r uu u r u r u r u r =+=+-.四、解答题15．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知在三棱锥A BCD -中，向量AB a =，AC b =，AD c =uuu r r，已知M 为BC 的中点，试用a 、b 、c 表示向量DM ．【答案】()122DM a b c =+- 【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得. 【详解】∵M 为BC 的中点， ∴()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()()11222DM AM AD AB AC AD a b c =-=+-=+-. 16．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P 在线段BC 上，且3BP BC =，记a A B =，b AD =，1c AA =．试用a ，b ，c 表示1D P ．【答案】123D P a b c =--【分析】利用空间向量的线性运算，即可用a ，b ，c 表示1D P .【详解】因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段BC 上，且3BP BC =， 所以111()()D P AP AD AB BP AD AA =-=+-+12()33a b b c a b c ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭.17．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．。

第1课时 空间向量基本定理学习目标 1.掌握空间向量基本定理. 2.会用空间向量基本定理对向量进行分解 .知识点一 空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． 思考 零向量能否作为基向量？答案 不能. 零向量与任意两个向量a ，b 都共面． 知识点二 空间向量的正交分解 1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i ，j ，k }表示． 2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k 使得a ＝x i ＋y j ＋z k . 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．1．只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．( × ) 2．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量．( √ )3．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a 与b 共线．( √ ) 4．对于三个不共面向量a 1，a 2，a 3，不存在实数组(x ，y ，z )，使0＝x a 1＋y a 2＋z a 3.( × )一、空间的基底例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底． 解 假设OA →，OB →，OC →共面．则存在实数λ，μ使得OA →＝λOB →＋μOC →， ∴e 1＋2e 2－e 3＝λ(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋μ(e 1＋e 2－e 3)＝(－3λ＋μ)e 1＋(λ＋μ)e 2＋(2λ－μ)e 3， ∵e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＋μ＝1，λ＋μ＝2，2λ－μ＝－1此方程组无解，∴OA →，OB →，OC →不共面，∴{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底． 反思感悟 基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 跟踪训练1 (1)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{b ，c ，z }，③{x ，y ，a ＋b ＋c }，其中可以作为空间一个基底的向量组有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个答案 B解析 因为x ＝a ＋b ，所以向量x ，a ，b 共面． 如图，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→.可知向量b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 不共面，故选B.(2)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＋y ＝________. 答案 0解析 因为m 与n 共线，所以x a ＋y b ＋c ＝z (a －b ＋c )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝－z ，1＝z .所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以x ＋y ＝0. 二、空间向量基本定理例2 如图，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，已知AA ′——→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，点M ，N 分别是BC ′，B ′C ′的中点，试用基底{a ，b ，c }表示向量AM →，AN →.解 连接A ′N (图略)．AM →＝AB →＋12BC ′——→＝AB →＋12(BC →＋CC ′——→)＝AB →＋12BC →＋12CC ′——→＝AB →＋12(AC →－AB →)＋12AA ′——→＝12AB →＋12AC →＋12AA ′——→＝12(a ＋b ＋c )． AN →＝AA ′——→＋A ′N ———→＝AA ′——→＋12(A ′B ′———→＋A ′C ′———→)＝AA ′——→＋12(AB →＋AC →)＝a ＋12b ＋12c .延伸探究若把本例中“AA ′——→＝a ”改为“AC ′——→＝a ”，其他条件不变，则结果是什么？ 解 因为M 为BC ′的中点，N 为B ′C ′的中点， 所以AM →＝12(AB →＋AC ′——→)＝12a ＋12b . AN →＝12(AB ′——→＋AC ′——→)＝12(AB →＋BB ′——→＋AC ′——→) ＝12AB →＋12CC ′——→＋12AC ′——→ ＝12AB →＋12(AC ′——→－AC →)＋12AC ′——→＝12AB →＋AC ′——→－12AC → ＝12b ＋a －12c . 反思感悟 用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{a ，b ，c }可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a ，b ，c ，不能含有其他形式的向量．跟踪训练2 如图，四棱锥P-OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.解 连接BO ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(BA →＋AO →＋OP →) ＝12(c －b －a ) ＝－12a －12b ＋12c .BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .1．下列结论错误的是( )A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a ，b 是两个不共线的向量，且c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底D ．若OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则O ，A ，B ，C 四点共面 答案 C解析 由基底的概念可知A ，B ，D 正确，对于C ，因为满足c ＝λa ＋μb ，所以a ，b ，c 共面，不能构成基底，故错误．2．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a ，2b ，b －c D ．c ，a ＋c ，a －c答案 C解析 对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基底；同理可判断B ，D 中的向量共面．故选C.3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间一个基底的是( ) A.AB →，AC →，AD → B.AB →，AA 1—→，AB 1—→ C.D 1A 1—→，D 1C 1—→，D 1D —→ D.AC 1—→，A 1C —→，CC 1—→ 答案 C解析 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，只有C 中的三个向量D 1A 1—→，D 1C 1—→，D 1D —→不共面，可以作为空间的一个基底．4．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO 1—→，AO 2—→，AO 3—→}为基底，AC ′——→＝x AO 1—→＋y AO 2—→＋z AO 3—→，则( ) A ．x ＝y ＝z ＝12B ．x ＝y ＝z ＝1C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2答案 B解析 AC ′——→＝AB →＋BC ′——→＝AB →＋BB ′——→＋BC →＝AB →＋AA ′——→＋AD → ＝12(AB →＋AD →)＋12(AB →＋AA ′——→)＋12(AA ′——→＋AD →) ＝12AC →＋12AB ′——→＋12AD ′——→＝AO 1—→＋AO 2—→＋AO 3—→， 对比AC ′——→＝x AO 1—→＋y AO 2—→＋z AO 3—→，得x ＝y ＝z ＝1.5．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .1．知识清单： (1)空间的基底． (2)空间向量基本定理． 2．方法归纳： 转化化归． 3．常见误区：(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件． (2)运算错误：利用基底表示向量时计算要细心．1．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底， 当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量． 因此p ⇏q ，q ⇒p .2．已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量MA →，MB →，MC →成为空间的一个基底的是( ) A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC → 答案 C解析 对于选项A ，由OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇒M ，A ，B ，C 四点共面，知MA →，MB →，MC →共面；对于选项B ，D ，易知MA →，MB →，MC →共面，故选C.3.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间内任意一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →可用a ，b ，c 表示为( )A ．a －b ＋2cB ．a －b －2cC ．－12a ＋12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 D解析 OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋12BA →＝OC →＋12(OA →－OB →)＝12a －12b ＋c .4．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，则( ) A ．a ，p ，q 是空间的一组基底 B ．b ，p ，q 是空间的一组基底 C ．c ，p ，q 是空间的一组基底D ．p ，q 与a ，b ，c 中的任何一个都不能构成空间的一组基底 答案 C解析 假设c ＝k 1p ＋k 2q ，即c ＝k 1(a ＋b )＋k 2(a －b )，得(k 1＋k 2)a ＋(k 1－k 2)b －c ＝0， 这与{a ，b ，c }是空间的一个基底矛盾，故c ，p ，q 是空间的一组基底，故选C.5.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，若AB →＝a ，AA 1—→＝c ，BC →＝b ，则下列向量与BM →相等的是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1—→＋B 1M —→＝AA 1—→＋12(B 1A 1—→＋B 1C 1—→)＝AA 1—→＋12(BA →＋BC →)＝12(－a ＋b )＋c ＝－12a ＋12b ＋c . 6．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________. 答案 －13AC →－112AB →＋34AD →解析 设AC 的中点为F ，则GE →＝GB →＋BE →＝23FB →＋34BD →＝－23×12(BC →＋BA →)＋34BD →＝－13(AC →－2AB →)＋34(AD →－AB →)＝－13AC →－112AB →＋34AD →.7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用AC →，AB 1→，AD 1—→作为基向量，则AC 1—→＝____________.答案 12(AD 1—→＋AB 1—→＋AC →)解析 ∵2AC 1—→＝2AA 1—→＋2AD →＋2AB →＝(AA 1—→＋AD →)＋(AA 1—→＋AB →)＋(AD →＋AB →)＝AD 1—→＋AB 1—→＋AC →， ∴AC 1—→＝12(AD 1—→＋AB 1—→＋AC →)．8.如图所示，已知PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且PA ＝AD ＝1，四边形ABCD 为正方形，以{AB →，AD →，AP →}为基底，则MN →＝________.答案 12AD →＋12AP →解析 MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →)＝－12AB →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋AB →)＝12AD →＋12AP →. 9．已知平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′——→＝c . (1)用a ，b ，c 表示向量AC ′——→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 解 (1)AC ′——→＝AC →＋CC ′——→＝OC →－OA →＋OO ′——→＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH →＝－12(OB →＋OC ′——→)＋12(OB ′——→＋OO ′——→)＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，E 为A 1D 1的中点，F 为BC 1与B 1C 的交点．(1)用基底{a ，b ，c }表示向量DB 1—→，BE →，AF →； (2)化简DD 1—→＋DB →＋CD →，并在图中标出化简结果． 解 (1)DB 1—→＝DC →＋CB 1—→＝DC →＋BB 1—→－BC →＝a －b ＋c . BE →＝BA →＋AA 1—→＋A 1E —→＝－a ＋12b ＋c .AF →＝AB →＋BF →＝a ＋12(b ＋c )＝a ＋12b ＋12c .(2)DD 1—→＋DB →＋CD →＝DD 1—→＋(CD →＋DB →)＝DD 1—→＋CB →＝DD 1—→＋D 1A 1—→＝DA 1—→. 如图，连接DA 1，则DA 1—→即为所求．11．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为( ) A ．－23，16，16B.23，－16，16 C ．－23，16，－16D ．－23，－16，16答案 D解析 取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM →－PE →)＝12CD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫23PC →－12PC →＝12CD →－16PC →＝－12AB →－16(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →， 比较知x ＝－23，y ＝ －16，z ＝16，故选D. 12.如图，点M 为OA 的中点，{OA →，OC →，OD →}为空间的一个基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则有序实数组(x ，y ，z )＝________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， －1 解析 DM →＝OM →－OD →＝12OA →－OD →，所以有序实数组(x ，y ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， －1. 13．已知四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 3a ＋3b －5c解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EF →＝GF →－GE →＝12CD →－12BA →＝12CD →＋12AB → ＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c )＝3a ＋3b －5c . 14．如图，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OG →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 16a ＋13b ＋13c 解析 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →) ＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋OB →－OA →＋12BC → ＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤OB →－12OA →＋12OC →－OB → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c .15．设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 答案 A 解析 如图所示，连接AG 1交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)， AG 1—→＝23AE → ＝13(OB →－2OA →＋OC →)， ∵OG →＝3GG 1—→＝3(OG 1—→－OG →)，∴OG →＝34OG 1—→＝34(OA →＋AG 1—→) ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫OA →＋13OB →－23OA →＋13OC →＝14OA →＋14OB →＋14OC →，故选A. 16.如图所示，在空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用向量a ，b ，c 表示向量GH →.解 因为OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝13OA →＋23OD →＝13OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )， 又OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )，所以GH →＝OH →－OG →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .。

1.2 空间向量基本定理【学习目标】一．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．二．单位正交基底空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}，a可以分解成三个向量，a＝x i＋y j＋z k，像这样叫做把空间向量进行正交分解。

【小试牛刀】思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．( )(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．( )(3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．( )(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．( )【经典例题】题型一基底的判断判断标准：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．例1 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量：①{a，b，x}；①{b，c，z}；①{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的有()A．1个B．2个C．3个D．0个【跟踪训练】1已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．题型二 用基底表示向量点拨：用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．例2 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1-→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B -→，EF →；(2)若D 1F -→＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值．【跟踪训练】2 如图所示，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是①ABC ，①OBC 的重心，设OA→＝a ，OB→＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点．试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.【当堂达标】1. 以下四个命题中正确的是( )A ．基底{a ，b ，c }中可以有零向量B ．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底C ．①ABC 为直角三角形的充要条件是AB→·AC →＝0 D ．空间向量的基底只能有一组2. (多选)已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA→＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB→－OC →，则与a ，b 能构成空间基底的向量是( ) A.OA→ B.OB → C.OC → D.OA →或OB → 3. 下列能使向量MA-→，MB -→，MC -→成为空间的一个基底的关系式是( ) A.OM -→＝13OA →＋13OB →＋13OC → B.MA -→＝MB -→＋MC -→ C.OM-→＝OA →＋OB →＋OC → D.MA -→＝2MB -→－MC 4．已知a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，若d ＝αa ＋βb ＋λc ，则α，β，λ的值分别为________．5.如图，在梯形ABCD 中，AB ①CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设OA→＝a ，OB→＝b ，OC →＝c ，则向量OD →用a ，b ，c 表示为________． 6．如图，已知P A ①平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为①PDC 的重心，AB→＝i ，AD →＝j ，AP→＝k ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG →，BG →.【参考答案】【小试牛刀】× √ √ ×【经典例题】例1 B 解析：①①均可以作为空间的基底，故选B.【跟踪训练】1解 假设OA→，OB →，OC →共面．则存在实λ，μ使得OA →＝λOB →＋μOC →， ①e 1＋2e 2－e 3＝λ(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋μ(e 1＋e 2－e 3)＝(－3λ＋μ)e 1＋(λ＋μ)e 2＋(2λ－μ)e 3， ①e 1，e 2，e 3不共面，①⎩⎨⎧ －3λ＋μ＝1，λ＋μ＝2，2λ－μ＝－1此方程组无解，①OA→，OB →，OC →不共面，①{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底． 例2 解 (1)如图，连接AC ，D 1B -→＝D 1D -→＋DB →＝－AA 1-→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A -→＋12AC →＝－12(AA 1-→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F -→＝12(D 1D -→＋D 1B -→)＝12(－AA 1-→＋D 1B -→)＝12(－c ＋a －b －c )＝12a －12b －c ，①x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.【跟踪训练】2解 因为OG →＝OA →＋AG →，而AG →＝23AD →，AD →＝OD →－OA →，又D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，所以OG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →) ＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 又因为GH →＝OH →－OG →，OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )， 所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a . 所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a .【当堂达标】1. B 解析：使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A 不正确；①ABC 为直角三角形并不一定是AB→·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间基底可以有无数多组，故D 不正确．2. ABD 解析：①OC →＝12a －12b 且a ，b 不共线，①a ，b ，OC →共面，①OC →与a ，b 不能构成一组空间基底．3. C 解析： 对于选项A ，由OM -→＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)①M ，A ，B ，C 四点共面知，MA-→，MB-→，MC -→共面；对于选项B ，D ，可知MA -→，MB -→，MC -→共面，故选C. 4. 5. 52，－1，－12 解析：①d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋λ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋λ)e 1＋(α＋β－λ)e 2＋(α－β＋λ)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3， ①⎩⎨⎧ α＋β＋λ＝1，α＋β－λ＝2，α－β＋λ＝3，①⎩⎪⎨⎪⎧ α＝52，β＝－1，λ＝－12. 5. 12a －12b ＋c 解析 ①AB→＝－2CD →， ①OB →－OA →＝－2(OD →－OC →)，①b －a ＝－2(OD →－c )，①OD →＝12a －12b ＋c . 6.解：延长PG 交CD 于点N ，则N 为CD 的中点，PG →＝23PN →＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12PC →＋PD →＝13(P A →＋AB →＋AD →＋AD →－AP →) ＝13AB →＋23AD →－23AP →＝13i ＋23j －23k .BG →＝BC →＋CN →＋NG →＝BC →＋CN →＋13NP →＝AD →－12DC →－13PN →＝AD →－12AB →－⎝ ⎛⎭⎪⎫16AB →＋13AD →－13AP → ＝23AD →－23AB →＋13AP →＝－23i ＋23j ＋13k .。

高中数学-空间向量的基本定理练习题课后训练1．AM 是△ABC 中BC 边上的中线，设AB ＝e 1，AC ＝e 2，则AM 为( )A ．e 1＋e 2B ．121122-e e C ．e 1－e 2 D ．121122+e e 2．设O ，A ，B ，C 为空间四边形的四个顶点，点M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN 为( )A ．1()2+-c b a B ．1()2+-a b c C ．1()2+-a c b D ．1()2++a b c 3．对于空间一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有6OP ＝OA ＋2OB ＋3OC ，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点共面B ．P ，A ，B ，C 四点共面C ．O ，P ，B ，C 共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面4．如果a ，b ，c 共面，b ，c ，d 也共面，则下列说法正确的是( )A ．若b 与c 不共线，则a ，b ，c ，d 共面B ．若b 与c 共线，则a ，b ，c ，d 共面C ．当且仅当c ＝0时，a ，b ，c ，d 共面D ．若b 与c 不共线，则a ，b ，c ，d 不共面5．三射线AB ，BC ，BB 1不共面，若四边形BB 1A 1A 和四边形BB 1C 1C 的对角线均互相平分，且1AC ＝x AB ＋2y BC ＋3z 1CC ，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．56C ．23D ．116 6．非零向量e 1，e 2不共线，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k ＝__________.7．已知D ，E ，F 分别是△ABC 中BC ，CA ，AB 上的点，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AF ＝13AB ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则DE ＝__________. 8．已知G 是△ABC 的重心，点O 是空间任意一点，若OA ＋OB ＋OC ＝λOG ，则λ＝__________.9．已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE ＝k OA ，OF ＝k OB ，OG＝k OC，OH＝k OD，求证：(1)点E，F，G，H共面；(2)AB∥平面EG.10．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且M分PC成定比2，N分PD成定比1，求满足MN＝x AB＋y AD＋z AP的实数x，y，z的值．参考答案1. 答案：D2. 答案：A3. 答案：B 6OP ＝OA ＋2OB ＋3OC ，得OP －OA ＝2(OB －OP )＋3(OC －OP )， AP ＝2PB ＋3PC ，∴AP ，PB ，PC 共面．又它们有同一公共点P ，∴P ，A ，B ，C 四点共面．4. 答案：A5. 答案：D 由题意知AB ，BC ，BB 1不共面，四边形BB 1C 1C 为平行四边形，1CC ＝1BB ， ∴{AB ，BC ，1CC }为一个基底．又由向量加法1AC ＝AB ＋BC ＋1CC ，∴x ＝2y ＝3z ＝1.∴x ＝1，12y =，13z =，∴x ＋y ＋z ＝116. 6. 答案：±1 k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则存在唯一的实数x ，使k e 1＋e 2＝x (e 1＋k e 2)，,11k x k kx=⎧⇒±⎨=⎩. 7. 答案：1233-b a 8. 答案：39. 答案：分析：(1)要证E ，F ，G ，H 四点共面，可先证向量EG ，EF ，EH 共面，即只需证EG 可以用EF ，EH 线性表示；(2)可证明AB 与平面EG 中的向量EF 或EG ，EH 之一共线．证明：(1)∵OA ＋AB ＝OB ，∴k OA ＋k AB ＝k OB .而OE ＝k OA ，OF ＝k OB ，∴OE ＋k AB ＝OF .又OE ＋EF ＝OF →，∴EF ＝k AB .同理：EH ＝k AD ，EG ＝k AC .∵ABCD 是平行四边形，∴AC ＝AB ＋AD ， ∴EG EF EH k k k=+， 即EG ＝EF ＋EH .又它们有同一公共点E ，∴点E ，F ，G ，H 共面．(2)由(1)知EF ＝k AB ，∴AB ∥EF .又AB 平面EG ，∴AB 与平面EG 平行，即AB ∥平面EG .10. 答案：分析：结合图形，从向量MN 出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用AB ，AD ，AP 表示出来，即可求出x ，y ，z 的值． 解：解法一：如图所示，取PC 的中点E ，连NE ，则MN ＝EN －EM .∵EN ＝12CD ＝12BA ＝－12AB ， EM ＝PM －PE ＝23PC －12PC ＝16PC ， ∴MN ＝－12AB －16PC . 连AC ，则 PC ＝AC －AP ＝AB ＋AD －AP ，∴MN ＝－12AB －16(AB ＋AD －AP ) ＝－23AB －16AD ＋16AP ， ∴23x =-，16y =-，16z =.解法二：如图所示，在PD 上取一点F ，使F 分PD 所成比为2，连MF ，则MN ＝MF ＋FN ，而MF ＝23CD ＝－23AB ， FN ＝DN －DF ＝12DP －13DP ＝16DP ＝16(AP －AD )，∴MN ＝－23AB －16AD ＋16AP ， ∴23x =-，16y =-，16z =.解法三：∵MN ＝PN －PM ＝12PD －23PC ＝12(PA ＋AD )－23(PA ＋AC ) ＝－12AP ＋12AD －23(－AP ＋AB ＋AD ) ＝－23AB －16AD ＋16AP ， ∴2=3x －，1=6y -，1=6z .。

空间向量基本定理课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A.-12a +12b +cB.12a +12b +c C.-12a -12b -cD.-12a -12b +c1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a -12b -c .2.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,点E 为上底面A 1C 1的中心,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x ,y 的值分别为( ) A.1,1B.1,12C.12,12D.12,1AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=12.故选C .3.在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,N 是OB 的中点,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.23a +12b -23c B.23a -12b +23c C.-13a +12b -23cD.13a +12b -13c=23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ = .,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a +12b +c .-12a +12b +c5.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB ⊥AC 1.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b +c .所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·(b +c )=a ·b +a ·c , 因为AA 1⊥平面ABC ,∠BAC=90°, 所以a ·b =0,a ·c =0, 得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AB ⊥AC 1. 6.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°,PA ⊥平面ABCD ,PA=6,求线段PC 的长.ABCD 中,∠ADC=60°,所以∠BAD=120°.又PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥AB ,PA ⊥AD.因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AP⃗⃗⃗⃗⃗ )2= √|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗=√9+16+36+2×3×4×(-12)-0-0 =7,即线段PC 的长为7.关键能力提升练7.(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M ,N 分别是四面体OABC 的棱OA ,BC 的中点,点P 在线段MN 上,且MP=2PN ,设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.16a+16b+16c B.13a+13b+13c C.16a+13b+13c D.13a+16b+16c⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13×12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b +13c +16a ,故选C .8.在四面体O -ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )为( ) A.(14,14,14)B.(34,34,34)C.(13,13,13) D.(23,23,23)如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 的中点,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3GG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34( OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗)=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .9.(多选题)在三棱锥P-ABC 中,三条侧棱PA ,PB ,PC 两两垂直,且PA=PB=PC=3,G 是△PAB 的重心,E ,F 分别为棱BC ,PB 上的点,且BE ∶EC=PF ∶FB=1∶2,则下列说法正确的是( ) A.EG ⊥PG B.EG ⊥BC C.FG ∥BC D.FG ⊥EF,设PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个正交基底,则a ·b=a ·c=b ·c=0.取AB 的中点H , 则BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b , PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(a+b )=13a+13b , PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23b+13c , 则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-23b-13c=13a-13b-13c ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b ,FG⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-13b=13a , EF⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b-13c+23b =-13c-13b. EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确;EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),故C 不正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 正确.故选ABD .10.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =α a +β b +γ c 时,α+β+γ=.d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以{α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.11.(2020浙江杭州学军中学高二上期中)在棱长为a 的正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与AB 所成角的大小是 ,线段EF 的长度为 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a ,a ·b=a ·c=b ·c =12a 2.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b )-12c , ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 2+12a ·b-12a ·c =12a 2, |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b -12c) 2=√22a. ∴cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12a 2√22a×a=√22,∴异面直线EF 与AB 所成的角为π4.√22a12.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,试用a ,b ,c 表示MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AN ,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b ),又A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -c ,故AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -13(b -c ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b )+b -13(b -c )=13(-a +b +c ).13.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点.证明: (1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ; (2)A 1G ⊥平面EFD.设正方体棱长为1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =i ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k ,则{i ,j ,k }构成空间的一个单位正交基底. AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i +k , GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12i +12k =12AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB 1∥GE.EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12k +(-12)(i +j )=-12i -12j +12k ,∵AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(i +k )·(-12i -12j +12k)=-12|i |2+12|k |2=0,∴AB 1⊥EH. (2)A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-k +j +12i ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =i -12j ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =i +12k . ∴A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i -12j)=-12|j |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DF.A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i +12k)=-12|k |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DE.又DE ∩DF=O ,∴A 1G ⊥平面EFD.学科素养创新练14.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0,则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b )=12(|b |2-|a |2)=0. ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C. ∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。

第一章 1.2请同学们认真完成练案 [3]A 组·素养自测一、选择题1．(多选题)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是( ABD )A ．{a,2b,3c }B ．{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }C ．{a ＋2b,2b ＋3c,3a －9c }D ．{a ＋b ＋c ，b ，c }[解析] 由于a ，b ，c 不共面，易判断A ，B ，D 中三个向量也不共面，可以作为一组基向量．对于C ，有3(2b ＋3c )＋(3a －9c )＝3(a ＋2b )，故这三个向量是共面的，不能构成基底．2．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与C 1M →相等的向量是( C )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b －cD ．－12a －12b ＋c[解析] C 1M →＝AM →－AC 1→＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋BC →＋CC 1→)＝－12a －12b －c ．3．已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则不能与a ，b 构成空间的一个基底的是( C )A ．OA →B ．OB →C ．OC →D ．OA →与OB →[解析] ∵a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →， ∴OC →＝12(a －b )，∴OC →与向量a ，b 共面，∴OC →，a ，b 不能构成空间的一个基底．4．(2020·四川广元高二期中)已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 满足任意三点不共线，但四点共面，且BP →＝mOA →＋OB →＋OC →，则m 的值为( C )A ．－1B ．2C ．－2D ．－3[解析] ∵O 为空间任意一点，BP →＝mOA →＋OB →＋OC →，∴OP →＝mOA →＋2OB →＋OC →．∵A ，B ，C ，P 满足任意三点不共线，但四点共面，∴m ＋2＋1＝1，解得m ＝－2．5．(2020·陕西咸阳高二期末)如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上，且满足OM →＝2MA →，BN →＝NC →，点G 是线段MN 的中点，用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应为( A )A ．OG →＝13OA →＋14OB →＋14OC →B ．OG →＝13OA →－14OB →＋14OC →C ．OG →＝13OA →－14OB →－14OC →D ．OG →＝13OA →＋14OB →－14OC →[解析] OG →＝OM →＋MG →＝23OA →＋12MN →＝23OA →＋12(MA →＋AN →)＝23OA →＋12⎣⎡⎦⎤13OA →＋12(AB →＋AC →)＝23OA →＋16OA →＋14(OB →－OA →)＋14(OC →－OA →)＝13OA →＋14OB →＋14OC →． 二、填空题6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列关于AC 1→的表达式中：①AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→； ②AB →＋DD 1→＋D 1C 1→； ③AD →＋DD 1→＋D 1C 1→；④12(AB1→＋CD1→)＋A1C1→．正确的个数有__3__个．[解析]AB→＋DD1→＋D1C1→＝AB→＋DC1→＝AB→＋AB1→≠AC1→，②不正确；12(AB1→＋CD1→)＋A1C1→＝12 (AB1→＋BA1→)＋A1C1→＝AA1→＋A1C1→＝AC1→，④正确；①③显然正确．7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝x a＋y b＋c，若m与n共线，则x ＝__1__，y＝__－1__．[解析]因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λx a＋λy b＋λc，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx，－1＝λy，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－1.8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF→＋λA1D→＝0(λ∈R)，则λ＝__－12__．[解析]如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊12A1D，所以EF→＝12A1D→，即EF→－12A1D→＝0，所以λ＝－12．三、解答题9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示D1B→，EF→；(2)若D1F→＝x a＋y b＋z c，求实数x，y，z的值．[解析](1)如图，D1B→＝D1D→＋DB→＝－AA1→＋AB→－AD→＝a－b－c，EF→＝EA→＋AF→＝12D1A→＋12 AC→＝－12(AA1→＋AD→)＋12(AB→＋AD→)＝12(a－c)．(2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋D 1B →)＝12(－c ＋a －b －c )＝12a －12b －c ，所以x ＝12，y ＝－12，z ＝－1． 10．如图，已知直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解析] (1)设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0． 所以CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ．所以CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，所以CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D ． (2)因为AC ′→＝－a ＋c ，所以|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，因为AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， 所以cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010．所以异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010．B 组·素养提升一、选择题1．(2020·陕西西安高二期末)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，则x ＋y ＋z ＝( B )A ．1B ．76C ．56D ．23[解析] 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →－C 1C →，与AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →比较可得x ＝1,2y ＝1，－1＝3z ，则x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76．2．(2021·浙江杭州模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →可表示为( A )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c[解析] 取AC 的中点N ，连接BN ，MN ，如图所示．∵M 为A 1C 1的中点，AB →＝a ，BC →＝b ，AA 1→＝c ，∴NM →＝AA 1→＝c ，BN →＝12(BA →＋BC →)＝12(－AB→＋BC →)＝－12a ＋12b ，∴BM →＝BN →＋NM →＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋c ＝－12a ＋12b ＋c ．3．在四面体O －ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( A )A ．⎝⎛⎭⎫14，14，14B ．⎝⎛⎭⎫34，34，34 C ．⎝⎛⎭⎫13，13，13 D ．⎝⎛⎭⎫23，23，23[解析]如图所示，连接AG 1交BC 于点E ，则E 为BC 中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)，AG 1→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)．因为OG →＝3GG 1→＝3(OG 1→－OG →)， 所以OG ＝34OG 1．则OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34⎝⎛⎭⎫OA →＋13OB →－23OA →＋13OC → ＝14OA →＋14OB →＋14OC →． 4．(多选题)关于空间向量，以下说法正确的是( ABC )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{a ，b ，c }是空间中的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角[解析] 根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以A 正确；若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，则根据空间向量的基本定理，可得P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以B 正确；由{a ，b ，c }是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 也不共面，所以{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }也是空间的一组基底，所以C 正确；若a ·b ＜0，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，所以D 错误．故选ABC ．二、填空题5．若a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，若e 1，e 2，e 3不共面，当d ＝αa ＋βb ＋γc 时，α＋β＋γ＝__3__．[解析] 由已知d ＝(α＋γ)e 1＋(α＋β)e 2＋(γ＋β)e 3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧α＋γ＝1，α＋β＝2，γ＋β＝3，故有α＋β＋γ＝3．6．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，若λe 1＋μe 2＋υe 3＝0，则λ2＋μ2＋υ2＝__0__． [解析] ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3为不共面向量．又∵λe 1＋μe 2＋υe 3＝0，∴λ＝μ＝υ＝0，∴λ2＋μ2＋υ2＝0．7．如图，在四面体ABCD 中，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝__－112AB →－13AC →＋34AD →__．[解析] 连接AG 交BC 于点M ，连接AE ，则GE →＝AE →－AG →＝AB →＋34BD →－23AM →＝AB →＋34(AD→－AB →)－23×12(AB →＋AC →)＝－112AB →－13AC →＋34AD →．三、解答题8．如图所示，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，求证：GH ∥OA ．[证明] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ．因为H 为△OBC 的重心，D 为BC 的中点， 所以OD →＝12(OB →＋OC →)，OH →＝23OD →，从而OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )．又OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →，AD →＝OD →－OA →，所以OG →＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )．因为GH →＝OH →－OG →，所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a ＝－13OA →，所以GH →∥OA →，即GH ∥OA ．9．已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN ．[证明] 如图，取向量OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则OM →＝12(OB →＋OC →)，ON →＝12(OA →＋OC →)．所以PM →＝OM →－OP →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12(OB →＋OC →－OA →)，QN →＝ON →－OQ →＝12(OA →＋OC →)－12OB →＝12(OA →＋OC →－OB →)．又因为AB →＝OB →－OA →，所以PM →＝12(AB →＋OC →)，QN →＝12(OC →－AB →)，所以PM →·QN →＝12(AB →＋OC →)·12(OC →－AB →)＝14(|OC →|2－|AB →|2)，又因为|AB →|＝|OC →|，所以PM →·QN →＝0，即PM ⊥QN ．。

第2课时 空间向量基本定理的初步应用学习目标 1.会用基底法表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．知识点一 证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a ＝λb . (2) 如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p ＝x a ＋y b .思考 怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？ 答案 平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题． 知识点二 求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ,b 的夹角,则cos θ＝a ·b|a ||b |. (2)若a ,b 是非零向量,则a ⊥b ⇔a ·b ＝0.思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？答案 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题,解题中要注意角的范围． 知识点三 求距离(长度)问题 ||a ＝a ·a ( ||AB →＝AB →·AB →)．思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？ 答案 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模,用数量积可以求得．1．四点A ,B ,C ,D 构成平行四边形ABCD 的充要条件是AB →＝DC →.( × ) 2．若AB →＝CD →,则A ,B ,C ,D 四点共线．( × )3．已知两个向量 NM →,MP →的夹角为 60°,则 ∠NMP ＝60°.( × ) 4．如果OP →＝OM →＋ON →,则四点O ,P ,M ,N 一定共面．( √ )一、证明平行、共面问题例1 如图,已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′,E ,F 分别为AA ′和CC ′的中点．求证：BF ∥ED ′.证明 BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋12CC ′——→＝AD →＋12DD ′——→,ED ′——→＝EA ′——→＋A ′D ′———→＝12AA ′——→＋AD →＝12DD ′——→＋AD →,∴BF →＝ED ′——→, ∴BF →∥ED ′——→,∵直线BF 与ED ′没有公共点,∴BF ∥ED ′. 反思感悟 证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．跟踪训练1 如图所示,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别在B 1B 和D 1D 上,且BE ＝13BB 1,DF ＝23DD 1.求证：A ,E ,C 1,F 四点共面． 证明 因为AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→＝AB →＋AD →＋13AA 1—→＋23AA 1—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1—→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1—→＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →, 所以AC 1—→,AE →,AF →共面, 所以A ,E ,C 1,F 四点共面． 二、求夹角、证明垂直问题例2 如图所示,在三棱锥 A －BCD 中,DA ,DB ,DC 两两垂直,且DB ＝DC ＝DA ＝2,E 为BC 的中点．(1)证明：AE ⊥BC ；(2)求直线AE 与DC 的夹角的余弦值．(1)证明 因为AE →＝DE →－DA →＝12(DB →＋DC →)－DA →,CB →＝DB →－DC →,所以AE →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DB →＋12DC →－DA →·(DB →－DC →)＝12DB →2－12DC →2－DA →·DB →＋DA →·DC →, 又DA ,DB ,DC 两两垂直, 且DB ＝DC ＝DA ＝2, 所以AE →·CB →＝0, 故 AE ⊥BC .(2)解 AE →·DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DB →＋12DC →－DA →·DC →＝12DB →·DC →＋12DC →2－DA →·DC →＝12DC →2＝2, 由AE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DB →＋12DC →－DA →2＝14DB →2＋14DC →2＋DA →2＝6,得||AE→＝ 6. 所以cos 〈AE →,DC →〉＝AE →·DC →||AE →||DC→＝26×2＝66 .故直线AE 与DC 的夹角的余弦值为66. 反思感悟 求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cos 〈a ,b 〉＝a ·b|a ||b |,求〈a ,b 〉的大小,进而求得线线角,两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．跟踪训练2 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2,BC ＝B 1B ＝1,M ,N 分别是AD ,DC 的中点．求异面直线MN 与BC 1所成角的余弦值．解 MN →＝DN →－DM →＝12(DC →－DA →),BC 1—→＝BC →＋CC 1—→＝－DA →＋DD 1—→ ,所以MN →·BC 1—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DC →－12DA →·()－DA →＋DD 1—→＝12DA →2＝12, 又||MN →＝12||AC →＝52, ||BC 1—→＝2, 所以 cos 〈MN →,BC 1—→〉＝MN →·BC 1—→||MN →||BC 1—→＝1252×2＝1010,故异面直线MN 与BC 1所成角的余弦值为1010. 三、求距离(长度)问题例3 已知平面α⊥平面β,且α∩β＝l ,在l 上有两点A ,B ,线段AC ⊂α ,线段BD ⊂β ,并且AC ⊥l ,BD ⊥l ,AB ＝6,BD ＝24,AC ＝8,则 CD ＝ ________.答案 26解析 ∵平面α⊥平面β,且α∩β＝l ,在l 上有两点A ,B ,线段AC ⊂α,线段BD ⊂β,AC ⊥l ,BD ⊥l ,AB ＝6,BD ＝24,AC ＝8,∴CD →＝CA →＋AB →＋BD → , ∴CD →2 ＝(CA →＋AB →＋BD → )2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＝64＋36＋576＝676, ∴CD ＝26.反思感悟 求距离(长度)问题的思路选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量,利用基底表示向量,将距离(长度)问题转化为向量的模的问题．跟踪训练3 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,AM →＝12MC 1—→,点N 为B 1B 的中点,则|MN →|等于( )A.216aB.66aC.156a D.153a 答案 A解析 ∵MN →＝AN →－AM →＝AN →－13AC 1—→＝AB →＋BN →－13(AB →＋AD →＋AA 1—→)＝23AB →＋16AA 1—→－13AD →, ∴|MN →|＝49|AB →|2＋136|AA 1—→|2＋19|AD →|2 ＝216a .1．(多选)已知A ,B ,C 三点不共线,O 为平面ABC 外的任一点,则“点M 与点A ,B ,C 共面”的充分条件是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝OA →＋OB →－OC →C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D.OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →答案 BD解析 根据“OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →,若 x ＋y ＋z ＝1,则点M 与点A ,B ,C 共面”, 因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,1＋12＋13＝116≠1,12＋13＋16＝1,由上可知,BD 满足要求．2．设A ,B ,C ,D 是空间不共面的四点,且满足AB →·AC →＝0,AC →·AD →＝0,AB →·AD →＝0,则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案 B解析 在△BCD 中,BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AB →2＞0,∴B 为锐角, 同理,C ,D 均为锐角．3．如图,三棱锥S －ABC 中,SA ⊥底面 ABC ,AB ⊥BC ,AB ＝BC ＝2,SA ＝22,则SC 与AB 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°答案 B解析 因为SA ⊥底面ABC ,所以SA ⊥AC ,SA ⊥AB ,所以AS →·AB →＝0, 又AB ⊥BC ,AB ＝BC ＝2,所以 ∠BAC ＝45° ,AC ＝2 2 . 因此AB →·AC →＝||AB→||AC →cos 45°＝2×22×22＝4,所以SC →·AB →＝AC →·AB →－AS →·AB →＝4, 又SA ＝22,所以 SC ＝SA 2＋AC 2＝4 , 因此cos 〈SC →,AB →〉＝SC →·AB →||SC →||AB →＝44×2＝12 , 所以SC 与AB 所成角的大小为60° .4．如图,已知▱ABCD 中,AD ＝4,CD ＝3,∠D ＝60°,PA ⊥平面ABCD ,且PA ＝6,则PC 的长为________．答案 7解析 ∵PC →＝PA →＋AD →＋DC →,∴|PC →|2＝PC →·PC →＝(PA →＋AD →＋DC →)2＝|PA →|2＋|AD →|2＋|DC →|2＋2PA →·AD →＋2PA →·DC →＋2AD →·DC → ＝62＋42＋32＋2|AD →||DC →|cos 120°＝61－12＝49. ∴PC ＝7.5．已知a ,b 是空间两个向量,若|a |＝2,|b |＝2,|a －b |＝7,则cos 〈a ,b 〉＝________. 答案 18解析 将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7,求得a ·b ＝12,再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉求得cos 〈a ,b 〉＝18.1．知识清单： (1)空间向量基本定理．(2)空间向量共线、共面的充要条件． (3)向量的数量积及应用． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：(1)向量夹角和线线角的范围不同,不要混淆．(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标,不理解空间向量基本定理的意义．1．已知O ,A ,B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足2AC →＋CB →＝0,则OC →等于( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →答案 A解析 由已知得2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0, ∴OC →＝2OA →－OB →.2．如图,已知空间四边形ABCD 中,AC ＝BD ,顺次连接各边中点P ,Q ,R ,S ,所得图形是( )A ．长方形B ．正方形C ．梯形D ．菱形 答案 D解析 因为PQ →＝BQ →－BP →＝12BC →－12BA →＝12AC →.同理SR →＝12AC →,所以PQ →＝SR →,所以四边形PQRS 为平行四边形． 又PS →＝AS →－AP →＝12AD →－12AB →＝12BD →,所以|PS →|＝12|BD →|,即PS ＝12BD .又|PQ →|＝12|AC →|,故PQ ＝12AC ,而AC ＝BD ,所以PS ＝PQ ,故四边形ABCD 为菱形．3．如图,长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝AB ＝2,AD ＝1,E ,F ,G 分别是DC ,AB ,CC 1的中点,则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是( )A ．0 B.33 C.55D.155答案 A解析 根据题意可得,A 1E —→·GF →＝(A 1A —→＋AD →＋DE →)·(GC →＋CB →＋BF →) ＝(－AA 1—→＋AD →＋12DC →)·(－12AA 1—→－AD →－12DC →)＝12AA 1—→2 －AD →2 －14DC →2＝12×4－1－14×4＝0, 从而得到A 1E →和GF →垂直,故其所成角的余弦值为0.4．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1 中,若AB ＝2BB 1,则 CA 1 与 C 1B 所成的角的大小是( ) A ．60° B ．75° C ．90° D ．105°答案 C解析 设|BB 1→|＝m ,CA →＝a ,CB →＝b ,CC 1—→＝c , 则CA 1—→＝a ＋c ,C 1B —→＝b －c , CA 1—→·C 1B —→ ＝(a ＋c )·(b －c ) ＝a ·b ＋b ·c －a ·c －c 2＝2m ·2m cos π3＋0－0－m 2＝0,∴CA 1—→⊥C 1B —→,∴CA 1 与 C 1B 所成的角的大小是 90°. 5．如图,二面角α－l －β等于2π3,A ,B 是棱l 上两点, BD, AC 分别在平面α,β内,AC ⊥l ,BD ⊥l ,且 2AB ＝AC ＝BD ＝2,则CD 的长等于( )A ．2 3 B.13 C ．4 D ．5答案 B解析 ∵二面角α－l －β等于2π3,AC ⊥l ,BD ⊥l ,所以〈CA →,BD →〉＝π－2π3＝π3,∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →,∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝22＋12＋22＋0＋0＋2×2×2×cos π3＝13.即CD ＝13.6．已知向量a ,b 满足条件|a |＝32,|b |＝4,若m ＝a ＋b ,n ＝a ＋λb ,〈a ,b 〉＝135°,m ⊥n ,则实数λ＝________. 答案 －32解析 因为m ·n ＝0,所以(a ＋b )·(a ＋λb )＝0, 所以a 2＋(1＋λ)a ·b ＋λb 2＝0, 所以18＋(1＋λ)×32×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋16λ＝0, 解得λ＝－32.7．如图,在空间四边形ABCD 中,∠ABD ＝∠CBD ＝π2 ,∠ABC ＝π4,BC ＝BD ＝1,AB ＝2,则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是________．答案π3解析 依题意可知CD ＝BC 2＋BD 2＝2,AB →·CD →＝AB →·(BD →－BC →) ＝AB →·BD →－AB →·BC →＝0＋BA →·BC →＝||BA →·||BC →·cos 45°＝1. 设直线AB 与CD 所成角为α,则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·CD →||AB →·||CD→＝12×2＝12,故α＝π3. 8．如图,平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,|AB |＝|AD |＝|AA 1|＝1,∠BAD ＝∠BAA 1＝120°,∠DAA 1＝60°,则线段AC 1的长度是________．答案2解析 ∵AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→,∴AC 1—→2＝AB →2＋AD →2＋AA 1—→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1—→＋2AD →·AA 1—→ ＝1＋1＋1＋2×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1×1×12＝2,∴AC 1＝ 2. 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→＝c ,E ,F 分别是AD 1,BD 的中点．(1)用向量a ,b ,c 表示D 1B —→,EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ,求实数x ,y ,z 的值．解 (1)如图,连接AC ,EF ,D 1F ,BD 1,D 1B —→＝D 1D —→＋DB →＝－AA 1—→＋AB →－AD →＝a －b －c ,EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A —→＋12AC →＝－12(AA 1—→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )．(2)D 1F —→＝12(D 1D —→＋D 1B —→)＝12(－AA 1—→＋D 1B —→)＝12(－c ＋a －b －c )＝12a －12b －c ,∴x ＝12,y ＝－12,z ＝－1.10.如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是C 1D 1,D 1D 的中点,正方体的棱长为1.(1)求〈CE →,AF →〉的余弦值；(2)求证：BD 1—→⊥EF →.(1)解 AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AA 1—→,CE →＝CC 1—→＋C 1E —→＝AA 1—→＋12CD →＝AA 1—→－12AB →.因为AB →·AD →＝0,AB →·AA 1—→＝0,AD →·AA 1—→＝0,所以CE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1—→－12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AA 1—→＝12. 又|AF →|＝|CE →|＝52,所以cos 〈CE →,AF →〉＝25. (2)证明 BD 1—→＝BD →＋DD 1—→＝AD →－AB →＋AA 1—→,EF →＝ED 1—→＋D 1F →＝－12(AB →＋AA 1—→), 所以BD 1—→·EF →＝0,所以BD 1—→⊥EF →.11．在四面体O －ABC 中,G 是底面△ABC 的重心,且OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →,则log 3|xyz |等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 A解析 连接AG (图略), OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AC →＋AB →)＝OA →＋13(OC →－OA →＋OB →－OA →) ＝13OA →＋13OB →＋13OC →＝xOA →＋yOB →＋zOC →, ∴x ＝y ＝z ＝13,则log 3|xyz |＝log 3127＝－3. 12．在三棱柱ABC － A 1B 1C 1中, AA 1⊥底面ABC, AB ＝BC ＝AA 1, ∠ABC ＝90°, 点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点, 则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．90°D ．60°答案 D解析 因为点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点,所以 EF → ＝BF →－BE →＝12(BB 1—→－BA →),BC 1—→＝BC →＋BB 1—→, 所以EF →·BC 1—→＝12(BB 1—→－BA →)(BC →＋BB 1—→)＝12BB 1—→2 , 设所求异面直线的夹角为 θ,则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BC 1—→|EF →||BC 1—→|＝12,所以θ＝60° . 13．如图,已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等,M 是侧棱CC 1的中点,则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．答案 90° 解析 不妨设棱长为2,则AB 1—→＝BB 1—→－BA →,BM →＝BC →＋12BB 1—→, cos 〈AB 1—→,BM →〉＝BB 1—→－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1—→22×5＝0－2＋2－022×5＝0, 则〈AB 1—→,BM →〉＝90°.14．如图,一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 ,其中,以顶点A 为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是________．(填序号)① (AA 1—→＋AB →＋AD →)2＝2(AC →)2 ；②AC 1—→·(AB →－AD →)＝0 ；③向量B 1C —→与AA 1—→的夹角是60°；④BD 1与AC 所成角的余弦值为63. 答案 ①②解析 以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°,可设棱长为1,则AA 1—→·AB →＝AA 1—→·AD →＝AD →·AB →＝1×1×cos 60°＝12, (AA 1—→＋AB →＋AD →)2＝AA 1—→2＋AB →2＋AD →2＋2AA 1—→·AB →＋2AB →·AD →＋2AA 1—→·AD →＝1＋1＋1＋3×2×12＝6, 而 2(AC →)2＝2(AB →＋AD →)2＝2(AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋2×12＝2×3＝6,所以①正确．AC 1—→·(AB →－AD →)＝(AA 1—→＋AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AA 1—→·AB →－AA 1—→·AD →＋AB →2－AB →·AD →＋AD →·AB →－AD →2＝0,所以②正确． 向量B 1C —→＝A 1D —→,显然△AA 1D 为等边三角形,则∠AA 1D ＝60° .所以向量A 1D —→与AA 1—→的夹角是 120°,向量B 1C —→与AA 1—→的夹角是 120° ,则③不正确．又BD 1—→＝AD →＋AA 1—→－AB →,AC →＝AB →＋AD →,则|BD 1—→|＝AD →＋AA 1—→－AB →2＝2,|AC →|＝AB →＋AD →2＝3,BD 1—→·AC →＝()AD →＋AA 1—→－AB →·(AB →＋AD →)＝1,所以cos 〈BD 1—→,AC →〉＝BD 1—→·AC →|BD 1—→||AC →|＝12×3＝66 ,所以④不正确,故①②正确．15．(多选)在四面体P －ABC 中,以上说法正确的有( )A ．若AD →＝13AC →＋23AB →,则可知 BC →＝3BD →B ．若Q 为△ABC 的重心,则PQ →＝13PA →＋13PB →＋13PC →C ．若PA →·BC →＝0,PC →·AB →＝0,则 PB →·AC →＝0D ．若四面体P －ABC 各棱长都为2,M ,N 分别为PA ,BC 的中点,则|MN →|＝1 答案 ABC解析 对于A, ∵AD →＝13AC →＋23AB →,∴3AD →＝AC →＋2AB →,∴2AD →－2AB →＝AC →－AD →,∴2BD →＝DC →,∴3BD →＝BD →＋DC →,即3BD →＝BC →,故A 正确；对于B,若Q 为△ABC 的重心,则QA →＋QB →＋QC →＝0,∴3PQ →＋QA →＋QB →＋QC →＝3PQ →,∴3PQ →＝PA →＋PB →＋PC →,即PQ →＝13PA →＋13PB →＋13PC →,故B 正确； 对于C,∵PA →·BC →＝0,PC →·AB →＝0,∴PA →·BC →＋PC →·AC →＋PC →·CB →＝0,∴(PA →－PC →)·BC →＋PC →·AC →＝0,∴CA →·BC →＋PC →·AC →＝0,∴AC →·()CB →＋PC→＝0, ∴AC →·PB →＝0,故C 正确；对于D,∵MN →＝PN →－PM →＝12(PB →＋PC →)－12PA → ＝12(PB →＋PC → －PA →), ∴|MN →|＝12|PA →－PB →－PC →|, ∵|PA →－PB →－PC →|＝2 2.∴|MN →|＝2,故D 错误,故选ABC .16．如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,P 是DD 1的中点,O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC .证明 如图,连接BD ,则BD 过点O ,令AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→＝c ,则|a |＝|b |＝|c |＝1,且AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ,OB 1—→＝OB →＋BB 1—→＝12DB →＋BB 1—→＝12(AB →－AD →)＋BB 1—→＝12a －12b ＋c . ∴AC →·OB 1—→＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b ＋c＝12|a |2＋12a ·b －12a ·b －12|b |2＋a ·c ＋b ·c ＝12－12＝0.∴AC →⊥OB 1—→,即AC ⊥OB 1.又AP →＝AD →＋12DD 1—→＝b ＋12c ,∴OB 1—→·AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b ＋c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c＝12a ·b －12|b |2＋c ·b ＋14a ·c －14b ·c ＋12|c |2＝－12＋12＝0,∴OB 1—→⊥AP →,即OB 1⊥AP .又AC ∩AP ＝A ,AC ,AP ⊂平面PAC , ∴OB 1⊥平面PAC .。