空间向量基本定理(2019年8月整理)

空间向量基本定理的推论证明摘要：I.引言- 空间向量基本定理简介- 推论及证明的背景和意义II.空间向量基本定理- 空间向量基本定理的定义- 空间向量基本定理的性质III.推论及证明- 推论1：如果两个向量线性无关，则它们是空间中的两个不同向量- 证明1：反证法- 推论2：如果两个向量线性相关，则它们可以用一个向量线性表示- 证明2：构造法- 推论3：如果一个向量是零向量，则它是线性相关的- 证明3：直接证明IV.结论- 空间向量基本定理推论的总结- 空间向量基本定理在数学中的应用和意义正文：空间向量基本定理的推论证明I.引言空间向量基本定理是线性代数中的一个重要定理，它为我们研究空间向量的性质和运算提供了基础。

在本文中，我们将介绍空间向量基本定理的一些推论，并通过证明这些推论来加深对空间向量基本定理的理解。

II.空间向量基本定理空间向量基本定理是指：如果三个向量线性无关，则它们是空间中的三个不同向量。

这个定理表明，任何一个线性空间都可以通过三个线性无关的向量来表示。

这三个向量被称为空间的基底，它们是空间中的基本元素，可以用来表示空间中的任意向量。

空间向量基本定理还有一个重要的性质，即：如果两个向量线性相关，则它们可以用一个向量线性表示。

这个性质为我们研究空间向量的性质和运算提供了方便。

III.推论及证明1.推论1：如果两个向量线性无关，则它们是空间中的两个不同向量证明：假设两个向量线性无关，那么它们不能用同一个向量线性表示。

如果它们是同一个向量，那么它们可以用一个向量线性表示，与假设矛盾。

因此，它们是空间中的两个不同向量。

2.推论2：如果两个向量线性相关，则它们可以用一个向量线性表示证明：假设两个向量线性相关，那么它们存在一个非零常数k，使得一个向量等于另一个向量乘以k。

因此，它们可以用一个向量线性表示。

3.推论3：如果一个向量是零向量，则它是线性相关的证明：假设一个向量是零向量，那么它可以表示为其他向量的线性组合。

空间向量的基本定理空间向量的基本定理一、引言空间向量是三维空间中的一个有向线段，是研究几何、物理等学科中经常使用的基本概念。

在研究空间向量的性质和应用时，需要掌握空间向量的基本定理。

二、定义1. 空间向量的表示在三维空间中，一个向量可以用它的起点和终点表示。

设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，则以A为起点，B为终点的有向线段AB就是一个向量，记作AB。

2. 空间向量的加法设有两个非零向量a和b，在它们各自平移后所在直线上任取一点P 和Q，并以它们为对角线作平行四边形，则以P为起点，Q为终点所得到的有向线段就是a+b。

3. 空间向量的数乘设k为实数，k与非零向量a相乘所得到的新向量记作ka。

当k>0时，ka与a同方向；当k<0时，ka与a反方向；当k=0时，ka=0。

4. 两个非零向量共线如果两个非零向量a和b共线，则存在实数k使得b=ka。

5. 两个非零向量垂直如果两个非零向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。

三、基本定理1. 平面向量的基本定理对于任意两个非零向量a和b，有以下三个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论称为平面向量的基本定理。

2. 空间向量的基本定理对于任意三个非零向量a、b和c，有以下六个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论与平面向量的基本定理相同。

（4）a+(–a)=0对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。

（5）(–1)a=–a对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。

而且当k=-1时，ka=-a。

这些结论称为空间向量的基本定理。

四、证明1. 平面向量的基本定理的证明（1）a+b=b+a由向量加法的定义可知，a+b和b+a的起点和终点相同，因此它们相等。

空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。

本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。

有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。

用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。

1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。

相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。

例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。

1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。

空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。

例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。

二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。

在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。

空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。

空间向量基本定理的推论证明一、空间向量基本定理概述空间向量基本定理是向量空间中的一个重要定理，它阐述了向量空间中的向量可以通过基向量的线性组合来表示。

空间向量基本定理对向量空间的性质和研究具有深远的影响，为后续的推论证明提供了理论基础。

二、空间向量基本定理的推论1.线性组合与线性无关线性组合是指向量空间中的向量通过基向量的线性组合得到的向量。

线性无关是指一组向量无法通过线性组合得到零向量。

根据空间向量基本定理，任何向量都可以表示为基向量的线性组合，因此基向量是线性无关的。

2.线性相关与线性无关线性相关是指一组向量可以通过线性组合得到零向量，而线性无关则相反。

根据空间向量基本定理，基向量是线性无关的，因此它们无法通过线性组合得到零向量。

3.基向量与坐标表示基向量是空间向量基本定理中的重要概念，它们可以用来表示空间中的任意向量。

任何一个向量都可以表示为基向量的线性组合，即坐标表示。

坐标表示使得我们可以用一个有序数对（或更高维的有序数组）来表示空间中的向量，方便计算和分析。

三、推论证明过程1.引理1：线性组合与线性无关证明：假设存在一组线性无关的向量α1，α2，...，αn，以及一个向量β，使得β可以表示为这组线性无关向量的线性组合，即β=α1*λ1+α2*λ2+...+αn*λn。

由于α1，α2，...，αn是线性无关的，所以存在一组不全为零的实数λ1，λ2，...，λn，使得β=α1*λ1+α2*λ2+...+αn*λn。

但这时β可以表示为这组线性无关向量的线性组合，与β线性无关的定义矛盾。

因此，假设不成立，得证。

2.引理2：线性相关与线性无关证明：同引理1，假设存在一组线性相关的向量α1，α2，...，αn，以及一个向量β，使得β不能表示为这组线性相关向量的线性组合。

则存在一组不全为零的实数λ1，λ2，...，λn，使得β=α1*λ1+α2*λ2+...+αn*λn。

但这与β不能表示为这组线性相关向量的线性组合的假设矛盾。

空间向量基本定理的推论证明摘要：1.空间向量基本定理的概念和意义2.空间向量基本定理的证明方法3.空间向量基本定理的应用举例4.空间向量基本定理在几何和物理中的意义正文：一、空间向量基本定理的概念和意义空间向量基本定理是指在空间中，任意一个向量都可以表示为三个线性无关向量的和。

这个定理为我们研究空间向量提供了一种基础性的理论支持，同时也是空间向量分析的重要基石。

二、空间向量基本定理的证明方法空间向量基本定理的证明方法有很多，其中比较常见的方法是利用向量分解和向量投影。

在这里，我们以向量投影为例进行证明。

假设在空间中有三个不共面的点A、B、C，我们以这三个点为顶点构建一个三角形ABC。

由于三角形ABC 的三个顶点不共面，所以它可以看作是一个平面。

我们设平面ABC 的法向量为n，向量AB、AC 分别与法向量n 垂直，那么向量AB、AC 在平面ABC 上的投影分别为AB·n 和AC·n。

根据向量投影的定义，AB·n = |AB|·cosθ1，AC·n = |AC|·cosθ2，其中θ1 和θ2 分别为向量AB 和AC 与法向量n 的夹角。

由于向量AB 和AC 在平面ABC 上的投影分别为AB·n 和AC·n，所以可以得到两个方程：AB·n = |AB|·cosθ1AC·n = |AC|·cosθ2我们将这两个方程相加，可以得到：AB·n + AC·n = |AB|·cosθ1 + |AC|·cosθ2根据向量的加法和数量积的定义，上式可以变形为：(AB + AC)·n = |AB|·cosθ1 + |AC|·cosθ2我们设向量AB + AC = P，那么上式可以进一步变形为：P·n = |AB|·cosθ1 + |AC|·cosθ2根据空间向量基本定理，向量P 可以表示为三个线性无关向量的和，即P = a·AB + b·AC，其中a、b 为实数。

空间向量的基本定理1. 引言空间向量是线性代数中的重要概念，它在物理、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

空间向量的基本定理是线性代数中一个重要的定理，它描述了空间向量之间的关系和运算规律。

本文将介绍空间向量的定义、性质以及基本定理的证明过程。

2. 空间向量的定义在三维空间中，我们可以用一个由三个实数构成的有序三元组表示一个向量。

设有两个向量a和b，它们分别表示为：a = (a1, a2, a3) b = (b1, b2, b3) 这里a1, a2, a3, b1, b2, b3是实数。

3. 向量的加法和数乘对于两个向量a和b，可以定义它们之间的加法和数乘运算： - 加法：两个向量相加得到一个新的向量，其每个分量等于对应分量相加。

- 数乘：将一个实数与一个向量相乘得到一个新的向量，其每个分量等于原来向量对应分量与实数相乘。

4. 空间向量的性质空间向量具有以下性质： - 交换律：a + b = b + a - 结合律：(a + b) + c =a + (b + c) - 零向量：存在一个特殊的向量，称为零向量，记作0，满足任何向量与零向量相加等于自身。

- 加法逆元：对于任意向量a，存在一个特殊的向量，称为其加法逆元，记作-a，满足a + (-a) = 0 - 数乘结合律：(k1k2)a = k1(k2a) - 数乘分配律1：(k1+k2)a = k1a + k2a - 数乘分配律2：k(a+b) = k a + k b5. 空间向量的基本定理空间向量的基本定理描述了两个关于空间向量的重要结果： ### 定理一对于任意两个空间向量, a, b, 满足下列条件： - 向量, a, 和, b, 不共线； - 向量, a, 和, b, 不平行；那么这两个非零空间向量之和不为零。

证明如下：假设, a, 和, b, 不共线且不平行，即它们不在同一直线上，也不平行于同一直线。

那么可以找到一个平面，这个平面同时包含向量, a, 和向量, b。

第08讲空间向量基本定理7种常见考法归类1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点1空间向量基本定理1．定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p =x a +y b +z c .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．如果p =x a +y b +z c ，则称x a +y b +z c 为p 在基底{a ，b ，c }下的分解式.注：（1）对于基底{a ，b ，c }应明确以下三点：①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．②基底中的三个向量a ，b ，c 都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．（2）空间向量基本定理的推论设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间内任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→.推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i ，j ，k }表示．(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k ，使a ＝x i ＋y j ＋z k .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．易错辨析：（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．（2）在四棱锥O ­ABCD 中，OA ―→可表示为OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→＋z OD ―→且唯一，这种说法对吗？对．知识点2证明平行、共面问题1.对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2.如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．1、判断基底的方法(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．2、用基底表示向量的策略(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．3、证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a ＝λb 即可．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．考点一：空间向量基本定理基底的判断例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设{},,a b c构成空间的一个基底，下列说法正确的是（）A ．a ，b ，c两两不共线，但两两共面B ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc=++C ．a ，a c - ，a c +能构成空间另一个基底D ．若0xa yb zc ++=，则实数x ，y ，z 全为零变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（）A ．,2,a a b a b -+B ．,,a b a b c+- C ．22,,2a b a b c++D ．,,2a c b c a b c++++ 变式2．【多选】（2022·高二课时练习）若{}a b c ，，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b- C ．a b +，a b - ，c D ．a b +，a b c ++ ，c变式3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）{},,a b c 是空间的一个基底，与a b +、a c + 构成基底的一个向量可以是（）A ．b c+B ．b c-C ．bD ．c变式4．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若{}123,,e e e是空间的一个基底，且向量{}123123123,22,32OA e e e OB e e e OC ke e e =++=-+=++不能构成空间的一个基底，则k =（）A ．83B ．52C ．14-D ．94变式5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知SA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，1SA AB ==，5BC =间的一个单位正交基底可以为（）A ．1,,2AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B ．{},,AB AC ASC ．11,,22AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．5,,5AS AB ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭考点二：用基底表示空间向量例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC ，BD 相交于O ，M为1OC 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c =，则CM = （）A ．111442a b c+- B ．111442a b c-+ C ．111442a b c--+ D ．311442a b c-+- 变式1．（2023春·高二单元测试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b=，1AA c = ，则下列向量中与BM相等的向量是（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c -++C ．1122a b c --+D ．1122a b c-+变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体A PBC -中，过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为Q点，点M 满足34AM AQ = ，则PM =（）A ．131444PA PB PC -+ B ．111444PA PB PC ++C ．131444PA PB PC++D ．113444PA PB PC-+变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体O ABC -中，2PA OP =，Q 是BC 的中点，且M 为PQ 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c =，则OM = （）A ．111644a b c++ B ．111622a b c++C ．111322a b c++ D ．111344a b c++ 变式4．（2023秋·高二课时练习）如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，E 是MN 的三等分点，且13NE NM =，用向量,,OA OB OC 表示OE 为（）A ．16OE OA OB OC=++ B ．111333OE OA OC=++C ．111663OE OA OB OC=++ D ．111633OE OA OB OC=++变式5．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 是1CA 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，设AB a=，AD b = ，1AA c = ．则（）A ．333101010QP a b c =++ B ．777101010QP a b c =+- C ．333101010QP a b c=+- D ．111101010QP a b c=++ 变式6．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体ABCD 中，O 为BCD △的重心，记AB a =，AC b =，AD c = ．若23AP AO = ，2CM MD = ，则PM =______．（用a ，b ，c 表示）变式7．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是ABC 、OBC △的重心，D为BC 的中点，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，试用试用基底{},,a b c 表示向量OG和GH .考点三：利用空间向量基本定理求参数例3．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥O ABC -，点P 为平面ABC 上的一点，且12OP OA mOB nOC =++（m ，n ∈R ）则m ，n 的值可能为（）A ．11,2m n ==-B ．,112m n ==C ．1,12m n =-=-D ．1,12m n ==-变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知正方体1111ABCD A B C D -中，侧面11CC D D 的中心是P ，若1AP AD mAB nAA =++，则m =_________，n =_________．变式2．（2023秋·高二课时练习）已知1,,BA BC BB 为三条不共面的线段，若1123AC xAB yBC zC C =++，那么x y z ++=（）A ．1B ．76C ．56D ．116变式3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点M N ，满足12PM PC = ，23PN PD = ．若MN x AB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A ．12-B ．12C ．56-D ．－1变式4．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，若PD xPA yPB zPC =++，则xyz =______．变式5．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11AC 的中心，若1AE AA xAB y AD =++，则2x y -等于（）A ．2B ．1-C ．12-D ．13例4．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知{},,a b c 是空间的一组基底，其中23AB a b =- ，AC a c =- ，2AD b c λ=+.若A ，B ，C ，D 四点共面，则λ=（）A ．34-B ．34C ．43D ．43-变式1．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD 中，若M 是棱CD 的中点，AP AM λ=，1166AB BP AC AD +=+，则λ=______.考点四：用向量法证明平行、共面问题例5．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知,,A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点,,,M A B C 共面的是（）A ．123OM OA OB OC=+- B ．322OM OA OB OC=-- C ．111243OM OA OB OC =++ D ．221333OM OA OB OC=+- 变式1．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．(1)试证：EF 与BC，AD 共面；(2)AD a = ，AB b = ，AC c = ，试用基底{a ，b ，c}表示向量BF ．变式2．（2023春·高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，O 为1AC 上一点，且1123A O A C =，BD与AC 交于点M .求证：1,,C O M三点共线．变式3．（2023春·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC 中，12BM BC = ，12MN NO = ，34AP AN =，用向量,,OA OB OC 表示OP ，则OP =________．若OQ OB λ= ，且PQ //平面ABC ，则实数λ=________．变式4．（2023·四川达州·统考二模）如图，E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 、AB 、CD 的中点，H 是1AC 上的点，1//GC 平面EFH .若AB =AH =___________.变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 为平行四边形，E 为棱AB 的中点，13AF AD = ，12AG GA = ，1AC 与平面EFG 交于点M ，则1AMAC =________.考点五：用基底法求空间向量的数量积例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11A D ，CD 的中点，记BC a = ，BA b = ，1BB c = ，满足11π3B BC B BA ∠=∠=，π2CBA ∠=，2AB BC ==，13BB =.(1)用a ，b ，c 表示FE；(2)计算BC FE ⋅.变式1．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为____________．变式2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中点，设OA a,OB b,OC c ===.(1)试用向量,,a b c 表示向量OE；(2)若4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠====== ，求OE AC ⋅的值.考点六：用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题例7．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，且1160BAD A AD A AB ∠=∠=∠=︒，则1C AB ∠的余弦值是________.变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2AD =，12AA =，1160BAA DAA ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，则1BC 与1CA 所成角的余弦值为（）A ．6-B C ．4-D ．4变式2．【多选】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A ­BCD 中，AB，AC ，AD 两两夹角均为π3，且112AB AC AD === ，若G ，M 分别为线段AD ，BC 的中点，则（）A ．MG =B ．MG =C ．异面直线AC 与DB 所成角的正弦值为6D ．异面直线AC 与DB 变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点M 、N 分别是正四面体ABCD 棱BC 、AD 的中点，则cos ,AM CN =______．变式4．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，且4,2,60AB AD BAD ∠===，11190,60,BAA DAA BD ∠∠==(1)用1,,AB AD AA 表示1BD，并求1AA 的长；(2)若E 为11B C 中点，求异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值.变式5．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，1AD =且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=.(1)求1DB 的长；(2)求向量1DB 与AB夹角的余弦值.例8．（2022·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.变式1．【多选】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD交于O 点，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，4AB AD ==，15AA =.则下列结论正确的有（）A ．1AC BD ⊥B ．119BC AC ⋅=C ．1BD =D ．111122OB AB AD AA =--变式2．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中AB AD =，11AA =，60DAB ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，下列说法中正确的是（）A ．1AC =B ．1AC DB⊥C ．直线AC 与直线1BD 是相交直线D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为2考点七：用向量法解决立体几何的距离问题例9．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒，则1AC 的长为（）A ．3B ．2C ．5D ．6变式1．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，且1145A AD A AB ∠=∠=，60DAB ∠= ，则1BD =（）A ．1B ．2C ．3D ．2变式2．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且60PAB PAD ∠=∠= .若M 是PC 的中点，设,,AB a AD b AP c === .(1)将空间向量PC 与BM 用,,a b c表示出来；(2)求线段BM 的长.变式3．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB DC 上的点，且,2,AE BE CF DF ==设,,.DA a DB b DC c ===（1）以{},,a b c 为基底表示FE ，则FE＝________；（2）若60ADB BDC ADC ︒∠=∠=∠=且||4,||3,||3,DA DB DC === 则||FE =________.变式4．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形ABCD ，CDEF 的边长都是3，且二面角A CD E --为60 ，M 为对角线AC 靠近点A 的三等分点，N 为对角线DF 的中点，则线段MN =______.一、单选题1．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点PA ⊥平面ABCD ，且M ，N ，分别为PC ，PD 上的点，且,2,PM MC PN ND NM xAB y AD z AP ===++，则x y z ++=（）A ．12-B ．12C ．56D ．12．（2021秋·辽宁·高二校联考期中）已知三棱柱111ABC A B C -，点P 在线段11B C 上，且11113B P BC =，则AP =（）A ．11122AB AC AA ++B ．11122AB AC AA ++ C ．11233AB AC AA ++D ．12133AB AC AA ++3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省新海高级中学校考阶段练习）若{},,a b c是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（）A ．,,a a b a b +-B ．,,2a b a b a b +-+C ．,,a b a c b c++- D ．,,c a b a b+- 4．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知,,a b c是空间的一个基底，则下列说法错误．．的是（）A ．若x y z ++=0a b c ，则0x y z ===B ．,,a b c 两两共面，但,,a b c不共面C ．一定存在x ，y ，使得a xb yc=+D ．,,2a b b c c a +-+一定能构成空间的一个基底5．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2AD =，12AA =，1160BAA DAA ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，则1BC 与1CA 所成角的余弦值为（）A ．B ．6C ．4-D ．46．（2023·高二校考课时练习）已知直线AB ，BC ，1BB 不共面，若四边形11BB C C 的对角线互相平分，且1123AC xAB yBC zCC =++，则x y z ++的值为（）A ．1B ．56C ．23D ．1167．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA =，AB AD =，且1145A AD A AB ∠=∠=，60DAB ∠= ，则1BD =（）A ．1B CD ．28．（2022秋·山西太原·高二校考阶段练习）已知{},,a b c 为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（）A ．,,a b b c a c ++-B ．2,,a b b a c +-C ．2,2,a b b c a b c++++ D ．,2,2a c b a b c++- 9．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体O ABC -中，2PA OP =，Q 是BC 的中点，且M为PQ 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c =，则OM = （）A ．111644a b c++ B ．111622a b c++C ．111322a b c++ D ．111344a b c++二、多选题10．（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）给出下列命题，其中正确的有（）A ．已知向量a b ，则,a b与任何向量都不能构成空间的一组基底B ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一组基底，则,,,A B M N 共面C ．若0OP OA OB OC +++=，则点,,,P A B C 四点共面D ．已知{},,a b c是空间向量的一组基底，若m a c =+ ，则{},,a b m 也是空间一组基底11．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是边OA ，CB 上的点，且2AM MO =，2CN NB =，点G 是线段MN 的中点，则以下向量表示正确的是（）A ．511636AG OA OB OC=++B ．121636BG OA OB OC=-+C ．115636CG OA OB OC =-+ D ．111636OG OA OB OC =++ 三、填空题12．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中点，设,,OA a OB b OC c === .向量,,a b c表示向量OE = __________.13．（2023秋·高二课时练习）已知空间向量a ，b ，c不共面，且32m a b c =++ ，()()()2n x a b y b c c a =-+--- ，若//m n，则x y +=__________．四、解答题14．（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD 中，H ，G 分别是AD ，CD 的中点，E ，F 分别边AB ，BC 上的点，且13CF AE FB EB ==，CA a =，CB b = ，c DC = (1)求FH（用向量,,a b c 表示）；(2)求证：点E ，F ，G ，H 四点共面．15．（2022秋·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）如图，在底面ABCD 为菱形的平行六面体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别在棱11AA CC ，上，且1111133A M AA CN CC ==，，且1160A AD A AB DAB ∠∠∠=== ．(1)用向量1AA AD AB ，，表示向量MN；(2)求证：1D M B N ，，，共面；(3)当1AA AB为何值时，11AC A B ⊥．16．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简1AA BC AB ++；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的34分点，设1MN AB AD AA αβγ=++ ，试求α，β，γ的值．。