1.1.2 空间向量基本定理

1.2 空间向量的基本定理1．空间向量基本定理(1)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的起点．【题型精讲】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D 中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）A ．AB AC AD ，，B ．11AB AA AB ，，C ．11111D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【答案】C【解析】:AB AC AD ，，共面，排除A 11AB AA AB ，，共面，排除B 111AC AC CC ，，共面，排除D 11111 D A DC D D ，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .2．（2018·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +-C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 【答案】C【解析】选项A,B 中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D 中，()a b c a b c ++=++，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C 中,,a b b a c +-不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若{a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑}构成空间的一组基底，则( )A ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,a ⃑不共面B ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b ⃑⃑不共面C ．b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑不共面D ．a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑不共面 【答案】A【解析】∵2b ⃑⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+(b ⃑⃑−c ⃑)，∴b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b⃑⃑共面 ∵a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+a ⃑，∴b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑共面∵a ⃑+c ⃑=(a ⃑−2c ⃑)+3c ⃑，∴a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑共面故选A考点二 基底的运用【例2】（2020·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 的中点，AB a =，AD b =，1AA c =，则AO =（ ）A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+ 【答案】B【解析】O 为11A C 的中点， ∴()11111111111122AO AC AA AO AA AA A B A D =+=+++=()112AB AD AA =++()12c a b =++ 1122a c b =++． 故选：B ．【玩转跟踪】1．（2020·甘肃靖远。

1.2空间向量基本定理教学设计1.2空间向量基本定理教学设计主题：空间向量基本定理的教学设计一、引言在学习空间向量的基本定理之前，我们需要了解什么是空间向量及其相关概念。

空间向量是指具有大小和方向的有向线段，可以用来表示空间中的物理量。

本文将围绕空间向量的基本定理展开讲解，并设计相应的教学内容和活动，旨在帮助学生理解和掌握该定理的原理和应用。

二、教学目标通过本次教学，学生应能达到以下目标：1. 理解空间向量的概念及其基本性质；2. 掌握空间向量的加法、减法和数量乘法；3. 理解和运用空间向量基本定理。

三、教学内容与教学过程1. 空间向量的概念和性质（课堂讲解）a. 三维直角坐标系与空间向量的关系；b. 空间向量的表示方法（坐标、分解）；c. 空间向量的基本性质（相等、相反、共线等）。

2. 空间向量的运算（课堂讲解与练习）a. 空间向量的加法和减法原理；b. 空间向量数量乘法的定义和性质；c. 练习题：如何用坐标和分解法计算空间向量的加减法和数量乘法。

3. 空间向量基本定理的引入（课堂讲解）a. 空间向量基本定理的公式和意义；b. 理解空间向量基本定理的几何意义。

4. 空间向量基本定理的应用（课堂讲解与实例分析）a. 利用空间向量基本定理求解空间图形的性质和关系；b. 练习题：通过运用空间向量基本定理解决几何问题。

5. 教学活动设计a. 通过图示展示空间向量的概念和性质，引导学生观察和思考；b. 利用实际问题引入空间向量的加法、减法和数量乘法，培养学生的思维能力；c. 设计小组合作活动，让学生运用空间向量基本定理解答相关问题；d. 利用练习题、小测验等形式，检测学生对空间向量基本定理的理解和应用能力。

四、教学评价1. 课堂互动：通过课堂讨论和问题解答，检测学生对空间向量概念和运算的理解程度。

2. 实际问题解决：通过应用练习和解析实例，考察学生对空间向量基本定理的运用能力。

3. 作业评估：布置练习题和探究性问题，评估学生对空间向量基本定理的掌握情况。

1.2 空间向量基本定理【新知初探】1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝ .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个 ，a ，b ，c 都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x ，y ，z )是否唯一？2．正交分解 (1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都是 ，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i ，j ，k }表示． (2)正交分解把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量进行正交分解．【初试身手】1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{OA →，OB →，OC →}不能构成空间的一个基底，则O ，A ，B ，C 四点共面． ( ) (2)若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量． ( ) (3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．( )2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以和向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c3．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( ) A ．AB →，AC →，AD →B ．AB →，AA 1→，AB 1→C ．D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →D ．AC 1→，A 1C →，CC 1→4．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.【合作探究】【例1】 (1)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．[规律方法]基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μ c ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． [跟进训练]1．设向量{a ，b ，c }是空间一个基底，则一定可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，构成空间的另一个基底的向量是( ) A ．aB ．bC ．cD ．a 或b类型二 用基底表示向量【例2】 如图，四棱锥P ­OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.[规律方法]基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘． [跟进训练]2．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为( )A ．－23，16，16B ．23，－16，16C ．－23，16，－16D ．－23，－16，16类型三 正交分解在立体几何中的应用[探究问题]1．取单位正交基底比一般的基底的优点有哪些？2．正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO 1→，AO 2→，AO 3→}为基底，如何表示向量AC ′.【例3】 如图，已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，求异面直线BD 1和AC 所成角的余弦值．[母题探究]1．[变结论]在本例条件不变的前提下，求|AC 1→|.2．[变结论]在本例条件不变的前提下，证明BD ⊥面AA 1C 1C .[规律方法]基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤 (1)设出基向量．(2)用基向量表示出直线的方向向量．(3)用|a |＝a ·a 求长度，用a ·b ＝0⇔a ⊥b ，用cos θ＝a ·b|a ||b |求夹角．(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．【课堂小结】1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．2．空间向量基本定理说明，用空间三个不共面的向量构成的向量组{a ，b ，c }可以表示空间任意一个向量，并且表示结果是唯一的．3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．【学以致用】1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( ) A ．a ，a ＋b ，a －b B ．b ，a ＋b ，a －b C ．c ，a ＋b ，a －bD ．a ＋b ，a －b ，a ＋2b2．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A ．OA →，OB →，OC →共线 B ．OA →，OB →共线C ．OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面3．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z ，使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．4．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，取{AB →，AD →，AA 1→}为基底，若G 为面BCC 1B 1的中心，且AG →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝________.5．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．【参考答案】【新知初探】1．空间向量基本定理 x a ＋y b ＋z c 基底思考：[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定． 2．正交分解 (1)两两垂直 1 (2)两两垂直【初试身手】1．[提示] (1)√ (2)√ (3)× 2．[答案] D3．C [由题意知，D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →不共面，可以作为空间向量的一个基底．] 4．1 －1 [由m 与n 共线，得1x ＝－1y ＝11，∴x ＝1，y ＝－1.]【合作探究】类型一 基底的判断【例1】(1)C [如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→.由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面， 可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，故选C.] (2)[解] 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立， ∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)，即e 1＋2e 2－e 3＝(y －3x )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y 使得OA →＝xOB →＋yOC →， 所以OA →，OB →，OC →不共面．所以{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． [跟进训练]1．C [由题意和空间向量的共面定理， 结合p ＋q ＝(a ＋b )＋(a －b )＝2a ，得a 与p ，q 是共面向量，同理b 与p ，q 是共面向量， 所以a 与b 不能与p ，q 构成空间的一个基底；又c 与a 和b 不共面，所以c 与p ，q 构成空间的一个基底．]【例2】[解] 连接BO (图略)，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CP →＝BC →＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .[跟进训练]2．D [如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM →－PE →)＝12CD →－⎝⎛⎭⎫23PC →－12PC →＝12CD →－16PC →＝－12AB →－16(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，比较知x ＝－23，y ＝－16，z ＝16，故选D.][探究问题]1．[提示] 若取单位正交基底{i ，j ，k }，那么|i |＝|j |＝|k |＝1.且i ·j ＝j ·k ＝i ·k ＝0，这是其他一般基底所没有的．2．[提示] AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→＝12(AB →＋AD →)＋12(AD →＋AA ′→)＋12(AB →＋AA ′→)＝AO 1→＋AO 2→＋AO 3→.【例3】[解] {AB →，AD →，AA 1→}可以作为空间的一个基底，且|AB →|＝a ，|AD →|＝a ，|AA 1→|＝b ， 〈AB →，AD →〉＝90°，〈AA 1→，AB →〉＝120°，〈AA 1→，AD →〉＝120°. 又BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →，AC →＝AB →＋AD →，∴|BD 1→|2＝|AD →|2＋|AA 1→|2＋|AB →|2＋2AD →·AA 1→－2AD →·AB →－2AA 1→·AB → ＝a 2＋b 2＋a 2＋2ab cos 120°－0－2ab cos 120°＝2a 2＋b 2， |AC →|2＝|AB →|2＋2AB →·AD →＋|AD →|2＝2a 2， ∴|BD 1→|＝2a 2＋b 2，|AC →|＝2a . ∴BD 1→·AC →＝(AD →＋AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋|AD →|2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →－|AB →|2－AB →·AD → ＝0＋a 2＋ab cos 120°＋ab cos 120°－a 2－0＝－ab .∴|cos 〈BD 1→，AC →〉|＝|BD 1→·AC →||BD 1→||AC →|＝|－ab |2a 2＋b 2·2a ＝b4a 2＋2b 2.∴异面直线BD 1和AC 所成角的余弦值为b4a 2＋2b 2.[母题探究]1．[解] 由条件可知|AB →|＝|AD →|＝a ，|AA 1→|＝b ， 且〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝120°，AB →⊥AD →.∴|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→ ＝a 2＋a 2＋b 2＋0＋4×a ×b ×cos 120°＝2a 2＋b 2－2ab . ∴|AC 1→|＝2a 2＋b 2－2ab .2．[解] 由条件知，BD →＝AD →－AB →， ∵BD →·AA 1→＝AA 1→·(AD →－AB →)＝AA 1→·AD →－AA 1→·AB → ＝a ×b ×cos 120°－a ×b ×cos 120°＝0. ∴BD ⊥AA 1.又因四边形ABCD 为正方形，【学以致用】1．C [空间基底必须不共面．A 中a ＝12[]a ＋b ＋a －b，不可为基底；B 中b ＝12[(a＋b )－(a －b )]，不可为基底；D 中32(a ＋b )－12(a －b )＝a ＋2b ，不可为基底．]2．D [由题意知，向量OA →，OB →，OC →共面，从而O ，A ，B ，C 四点共面．]3．x ＝y ＝z ＝0 [由于{a ，b ，c }是空间的一个基底，所以当x a ＋y b ＋z c ＝0时，x ＝y ＝z ＝0.] 4．2 [如图，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BC 1→＝AB →＋12(BC →＋BB 1→)＝AB →＋12AD →＋12AA 1→.由条件知x ＝1，y ＝12，z ＝12，∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋12＝2.]5．[解] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ， 使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)c . ∵{a ，b ，c }是空间的一个基底，∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．。

空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。

本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。

有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。

用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。

1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。

相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。

例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。

1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。

空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。

例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。

二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。

在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。

空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。

1.2空间向量基本定理教案
一、教学目标：
1. 知识目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明。

2. 能力目标：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量。

会作空间任一向量的分解图。

类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。

二、教学重难点：
重点：空间向量基本定理及其应用。

难点：空间向量基本定理的证明。

三、教学过程：
1. 导入：复习平面向量基本定理，引出空间向量基本定理。

2. 定理讲解：讲解空间向量基本定理的内容，并借助多媒体演示其证明过程。

3. 例题讲解：通过例题，让学生学会运用空间向量基本定理解决立体几何问题。

4. 课堂练习：让学生练习一些典型的立体几何问题，加深对空间向量基本定理的理解。

5. 小结：总结本节课的主要内容，强调空间向量基本定理的重要性。

四、作业布置：
布置一些与空间向量基本定理相关的练习题，让学生巩固所学知识。

1.1.2 空间向量基本定理一、选择题1．下列命题中正确的个数是 ( )①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线．②向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对于空间任意一个向量p 存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .④若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．32．已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p ，q 构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．无法确定3.如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 4．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( ) A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC → D ．以上皆错 二、填空题5．下列命题是真命题的是________(填序号)．①若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则AB →与CD →是共线向量；②若A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB →与CD →不是共线向量；③若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上；④若向量AB →与AC →是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上．6．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.7.如图，点M 为OA 的中点，{OA →，OC →，OD →}为空间的一个基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则有序实数组(x ，y ，z )＝________.三、解答题8．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．9.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ QA ′＝41，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.[尖子生题库]10.如图，空间四边形ABCD 中，点G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC的中点，则AG →＋13BE →＋12CA →的化简结果为( )A.AF →B.AH →C.AE →D.CF →【参考答案】一、选择题1．【解析】①中当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③正确；④不对，a ，b 不共线．当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面．【答案】B2．【解析】∵a ＝12p ＋12q ，∴a 与p ，q 共面， ∵b ＝12p －12q ，∴b 与p ，q 共面，∵不存在λ，μ，使c ＝λp ＋μq ， ∴c 与p ，q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，故选C.【答案】C3．【解析】MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c . 【答案】B4．【解析】∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →， ∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)，∴AP →＝PB →＋PC →，∴P A →＝－PB →－PC →，∴P ，A ，B ，C 四点共面．【答案】B二、填空题5．【解析】①为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，向量AB →，CD →的方向相同或相反，因此AB →与CD →是共线向量；②为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB →，CD →的方向不确定，不能判断AB →与CD →是否为共线向量；③为假命题，因为AB →，CD →两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为AB →，AC→两个向量所在的直线有公共点A ，且AB →与AC →是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线．故填①④.【答案】①④6．【解析】因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 【答案】1 －1 7．【解析】DM →＝OM →－OD →＝12OA →－OD →，所以有序实数组(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1. 【答案】⎝⎛⎭⎫12，0，－1 三、解答题8．【解】假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →成立， 即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.因为{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，所以e 1，e 2，e 3不共面，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →成立，所以OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．9．【解】连接AC ，AD ′，AC ′(图略)．(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→) ＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→) ＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12a ＋b ＋12c .(3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→) ＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→) ＝12a ＋b ＋c . (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →) ＝15AC →＋45AA ′→＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→＝15a ＋15b ＋45c . [尖子生题库]10．【解析】∵G 是△BCD 的重心，∴|GE →|＝13|BE →|，∴GE →＝13BE →. 又EF →＝12CA →，∴AG →＋13BE →＝AG →＋GE →＝AE →，AE →＋EF →＝AF →， 从而AG →＋13BE →＋12CA →＝AF →. 【答案】A。

1.1.2 空间向量基本定理学习目标 1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．知识点一 共线向量定理与共面向量定理1．共线向量基本定理：如果a ≠0且b ∥a ，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa .2．平面向量基本定理：如果平面内两个向量a 与b 不共线，则对该平面内任意一个向量c ，存在唯一的实数对(x ，y )，使得c ＝x a ＋y b .3．共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量a ，b ，c 共面的充要条件是存在唯一的实数对(x ，y )，使c ＝x a ＋y b .4．共面向量定理的推论：如果A ，B ，C 三点不共线，则点P 在平面ABC 内的充要条件是存在唯一的实数对(x ，y )，使AP →＝xAB →＋yAC →. 知识点二 空间向量基本定理如果空间中的三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c . ①若x a ＋y b ＋z c ＝0⇔x ＝y ＝z ＝0.②表达式x a ＋y b ＋z c 称为向量a ，b ，c 的线性组合或线性表达式．③如果三个向量a ，b ，c 不共面，则它们的线性组合x a ＋y b ＋z c 能生成空间的所有向量，a ，b ，c 组成的集合{a ，b ，c }称为空间向量的一组基底．此时a ，b ，c 都称为基向量；如果p ＝x a ＋y b ＋z c ，则称x a ＋y b ＋z c 为p 在基底{a ，b ，c }下的分解式．1．向量a ，b ，c 共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( × ) 2．若向量e 1，e 2不共线，则空间任意向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )．( × ) 3．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb .( × )4．对于三个不共面向量a 1，a 2，a 3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a 1＋λ2a 2＋λ3a 3.( × )一、空间向量共面问题例1 如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．证明 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面． 反思感悟 证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p ＝x a ＋y b ，则向量p ，a ，b 共面．(2)若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面．(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．跟踪训练1 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M ，满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面． 解 MA →，MB →，MC →三个向量共面． 因为OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，所以3OM →＝OA →＋OB →＋OC →，化简，得(OA →－OM →)＋(OB →－OM →)＋(OC →－OM →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－MB →－MC →， 故MA →，MB →，MC →共面．二、空间向量基本定理例2 (1)已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．a B ．b C ．a ＋2b D ．a ＋2c答案 D解析 只有a ＋2c 与p ，q 不共面，故可以与p ，q 构成一个基底．(2)已知空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，F 为MN 中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量： ①MN →；②OF →. 解 如图所示，①MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝－23a ＋12b ＋12c .②OF →＝12(OM →＋ON →)＝12OM →＋12ON → ＝12×23OA →＋12×12(OB →＋OC →) ＝13OA →＋14OB →＋14OC → ＝13a ＋14b ＋14c . 反思感悟 用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a ，b ，c }可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a ，b ，c ，不能含有其他形式的向量．跟踪训练2 如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →.设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →，MD 1→.解 连接AN (图略)，则MN →＝MA →＋AN →.由ABCD 是平行四边形，得AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， 则MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )．又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )．故MN →＝MA →＋AN →＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c )＝13(－a ＋b ＋c )． 连接AD 1→(图略)，则MD 1→＝MA →＋AD 1→.MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，AD 1→＝AD →＋AA 1→＝b ＋c ，故MD 1→＝MA →＋AD 1→＝－13(a ＋b )＋b ＋c＝－13a ＋23b ＋c .三、空间向量基本定理的应用例3 已知在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°. (1)求AD 1→·A 1B →； (2)求AC 1→的模．解 如图，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，∴{a ，b ，c }为一组基底． (1)∵AD 1→＝b ＋c ， A 1B →＝AB →－AA 1→＝a －c ， ∴AD 1→·A 1B →＝(b ＋c )·(a －c ) ＝a ·b ＋a ·c －b ·c －c 2＝1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°－1×1×cos 60°－1 ＝12－1 ＝－12.(2)∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，∴AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→ ＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6， ∴|AC 1→|＝ 6.反思感悟 利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧根据条件确定基底，一般用已知的向量(向量的长度已知，夹角已知等等)作为基底，用基底表示要求的向量，可证平行、垂直．可求两向量的数量积、夹角，可求向量的长度． 跟踪训练3 (1)对O 为空间内任意一点，都有OA ，OB ，OC 两两垂直，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形答案 A解析 OA ，OB ，OC 两两互相垂直，所以AB →·AC →＝(OB →－OA →)·(OC →－OA →)＝OA →·OA →＝|OA →|2>0， 所以〈AB →，AC →〉为锐角，同理∠ABC ，∠BCA 均为锐角．(2)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，E 为CC 1上的点，且CE ＝1，则AB 1→与BE →夹角的余弦值为________．答案3210解析 令AB →＝a ，BC →＝b ，AA 1→＝c ，∴|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0， ∴{a ，b ，c }能作为一组基底． ∵AB 1→＝a ＋c ， BE →＝BC →＋CE →＝b ＋13c ，∴AB 1→·BE →＝(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋13c ＝a ·b ＋13a ·c ＋b ·c ＋13c 2＝3.又|AB 1→|＝10，|BE →|＝5， ∴cos 〈AB 1→，BE →〉＝310×5＝3210.1．对于空间的任意三个向量a ，b ，2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量答案 A解析 ∵2a －b ＝2·a ＋(－1)·b ，∴2a －b 与a ，b 共面．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( ) A ．{AB →，AC →，AD →} B ．{AB →，AA 1→，AB 1→} C ．{D 1A 1—→，D 1C 1—→，D 1D →} D ．{AC 1→，A 1C →，CC 1→}答案 C解析 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，只有C 中的三个向量D 1A 1—→，D 1C 1—→，D 1D →不共面，可以作为空间向量的一个基底．3.如图，已知三棱锥O －ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于( )A.12(b ＋c －a ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(c －a －b ) 答案 D解析 由题意知MN →＝ON →－OM →＝12OC →－12(OA →＋OB →)．因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 所以MN →＝12(c －b －a )．4．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 答案 A解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，故AD →∥AB →，又AD →与AB →有公共点A ， 所以A ，B ，D 三点共线．5．如图，已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．则(1)BC →·ED 1→＝________；(2)BF →·AB 1→＝________.答案 (1)16 (2)0解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1—→)＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→) ＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2 ＝22－22＝0.1．知识清单：(1)共线、共面向量定理． (2)空间向量基本定理．2．方法归纳：数形结合、转化与化归．3．常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错．1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( ) A ．{3a ，a －b ，a ＋2b } B ．{2b ，b －2a ，b ＋2a } C ．{a ,2b ，b －c } D ．{c ，a ＋c ，a －c }答案 C解析 对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基底；同理可判断B ，D 中的向量共面．2.如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BE →等于( )A ．a －12b ＋12cB ．－a ＋12b ＋12cC ．12a －b ＋12cD ．－12a ＋b ＋12c答案 B 解析 连接AE ，∵E 是CD 的中点，AC →＝b ，AD →＝c ， ∴AE →＝12(AC →＋AD →)＝12(b ＋c )．BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋AE →，又AB →＝a ，∴BE →＝－a ＋12(b ＋c )＝－a ＋12b ＋12c .3．对于空间一点O 和不共线三点A ，B ，C ，且有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．O ，A ，B ，C 四点共面 B ．P ，A ，B ，C 四点共面 C ．O ，P ，B ，C 四点共面 D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面 答案 B解析 由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →， 得OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →)， 即AP →＝2PB →＋3PC →，∴AP →，PB →，PC →共面，又它们有公共点P ，∴P ，A ，B ，C 四点共面．故选B.4．{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，向量a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3.若d ＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值分别为( ) A ．52，－1，－12B ．52，1，12C ．－52，1，－12D ．52，1，－12答案 A解析 x a ＋y b ＋z c ＝x (e 1＋e 2＋e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＋z (e 1－e 2＋e 3)＝(x ＋y ＋z )e 1＋(x ＋y －z )e 2＋(x －y ＋z )e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3，由空间向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，x ＋y －z ＝2，x －y ＋z ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－1，z ＝－12.5．(多选)下列命题中，真命题是( ) A ．向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面B ．三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面C ．若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线D ．若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底 答案 BC解析 A 不正确．三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行；B 正确．基底必须不共面；C 正确；D 不对，a ，b 不共线．当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面．故选BC. 6．(多选)若向量MA →，MB →，MC →的始点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则不能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一组基底的关系的是( ) A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC →答案 ABD解析 对于A ，由结论OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇒M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于B ，D ，易知MA →，MB →，MC →共面，故只有C 中MA →，MB →，MC →不共面，只要MA →，MB →，MC →共面，就不能作为一组基底，故选ABD.7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋2c .若向量m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.答案 2 －2解析 因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋2λc .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λx ，－1＝λy ，1＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2. 8．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.答案 3a ＋3b －5c解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接EG ，FG.EF →＝GF →－GE →＝12CD→－12BA → ＝12CD →＋12AB → ＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c ) ＝3a ＋3b －5c .9．已知点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)证明：BD ∥平面EFGH .证明 如图，连接EG ，BG .(1)EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD → )＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)方法一 ∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →， ∴EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH .方法二 ∵BD →＝BA →＋AD →＝2EA →＋2AH →＝2EH →＝2(EG →＋GH →)＝2EG →＋2GH →，又EG →，GH →不共线，∴BD →与EG →，GH →共面．又BD ⊄平面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH .10.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，点N 为AA 1的中点．(1)求BN →的长；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．解 令CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2且a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0.(1)BN →＝CN →－CB →＝CA →＋AN →－CB →＝a ＋12c －b ， ∴|BN →|＝⎝⎛⎭⎫a ＋12c －b 2 ＝a 2＋14c 2＋b 2＋a ·c －2a ·b －b ·c ＝1＋14×4＋1＝ 3.(2)BA 1→＝CA 1→－CB →＝CA →＋CC 1→－CB →＝a ＋c －b ，CB 1→＝CB →＋CC 1→＝b ＋c ，所以|BA 1→|＝(a ＋c －b )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋2a ·c －2a ·b －2b ·c ＝ 6.|CB 1→|＝5，BA 1→·CB 1→＝(a ＋c －b )·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＋b ·c ＋c 2－b 2－b ·c＝4－1＝3.所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝36×5＝3010.11．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13答案 D解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，∴x ＝13.故选D.12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若G 点是△BA 1D 的重心，且AG →＝xAD →＋yAB →＋zCC 1→，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3答案 B解析 2AO →＝AB →＋AD →，OG →＝13OA 1→，OA 1→＝OA →＋AA 1→，所以AG →＝AO →＋OG →＝AO →＋13OA 1→ ＝AO →＋13(OA →＋AA 1→) ＝23AO →＋13AA 1→ ＝13AB →＋13AD →＋13CC 1→， 因为AG →＝xAD →＋yAB →＋zCC 1→，所以x ＋y ＋z ＝13＋13＋13＝1. 13．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________________.答案 －13AC →－112AB →＋34AD → 解析 设AC 的中点为F ，则GE →＝GB →＋BE →＝23FB →＋34BD → ＝－23×12(BC →＋BA →)＋34BD → ＝－13(AC →－2AB →)＋34(AD →－AB →) ＝－13AC →－112AB →＋34AD →. 14．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA→＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．答案 0解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在唯一实数k 使AB →＝kAC →，即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)，∴(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0.又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，则λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，∴λ＋m ＋n ＝0.15．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO 1→，AO 2→，AO 3→}为基底，AC ′——→＝xAO 1→＋yAO 2→＋zAO 3→，则x ，y ，z 的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12C ．x ＝y ＝z ＝22 D ．x ＝y ＝z ＝2答案 A解析 AC ′——→＝AB →＋BC ′——→＝AB →＋BB ′——→＋BC →＝AB →＋AA ′——→＋AD →＝12(AB →＋AD →)＋12(AB →＋AA ′——→)＋12(AA ′——→＋AD →) ＝12AC →＋12AB ′——→＋12AD ′——→ ＝AO 1→＋AO 2→＋AO 3→，对比AC ′——→＝xAO 1→＋yAO 2→＋zAO 3→，得x ＝y ＝z ＝1.16.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明 设A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A →＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |.∵A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →) ＝c ＋12a ＋12b ，BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→ ＝12a ＋12b －12c ， ∴A 1O →·BD →＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a ＝12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. 于是A 1O →⊥BD →，即A 1O ⊥BD .同理可证A 1O →⊥OG →，即A 1O ⊥OG .又∵OG ∩BD ＝O ，OG ⊂平面GBD ，BD ⊂平面GBD ， ∴A 1O ⊥平面GBD .。