九年级数学上册第二章一元二次方程2-5一元二次方程的根与系数的关系同步练习新版北师大版[001]

北师大版九年级数学上册第二章2.5一元二次方程的根与系数的关系 假期同步测试一．选择题1.如果一元二次方程x 2-3x-1=0的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2=（ ） A ．-3 B ．3 C ．-1 D ．12.一元二次方程x 2+4x-3=0的两根为1x 、2x ，则1x •2x 的值是（ ） A ．4 B ．-4 C ．3 D ．-33．一元二次方程3x 2﹣4x ﹣5=0的两实数根的和与积分别是（ ） A ．，﹣ B ．， C ．﹣，﹣D ．﹣，4.一元二次方程x 2-3x-2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1=-1，x 2=2 B ．x 1=1，x 2=-2 C ．x 1+x 2=3D ．x 1x 2=25. 设x 1，x 2是一元二次方程2x -2x-3=0的两根，则2211x x =（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 6．关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1=0的判别式为（ ） A ．1﹣b2B ．b 2﹣4C ．b 2+4D ．b 2+17. 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-4x+1=0的两个实数根，则x 1x 2-x 1-x 2的值等于（ ）A ．-3B ．0C ．3D ．58.若关于x 的方程x 2-2x+c=0有一根为-1，则方程的另一根为（ ）A．-1 B．-3 C．1 D．39.若关于x的一元二次方程x2-3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2-ab+b2=18，则a b的值是（）b aA．3 B．-3 C．5 D．-510.判断一元二次方程式x2-8x-a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（）A．12 B．16 C．20 D．24 11．（2019•贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 12．（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是A．2 B．–1 C．2或–1 D．不存在14．已知一元二次方程的两个根分别是x＝2和x＝－3，则这个一元二次方程是( )A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋2x－3＝0C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－6＝0二．填空题15.已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是_______16.设m、n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，则m2+3m+n= .17．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+3=0有实数解，则m的取值范围为．18.方程2x2-3x-1=0的两根为x1，x2，则x12+x22= ．19.关于x的方程2x2-ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 .20.已知一元二次方程x2+3x-4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22= .21．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+1﹣m=0的一个根为2，则另一个根是22.设m，n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= .23．（2019•娄底）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2>2，则m的取值范围是__________．三．解答题25．若关于x的方程x2＋mx＋7＝0的一个根为3－2，求方程的另一个根及m的值．26．（2019•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．27．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．28.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长29.已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．30．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝5成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．答案提示1.A；2.D；3．A；4.C；5. C；6．C；7.A；8.D；9.D；10.C；11．B；12．D；13．A；14．D.15.1； 16. 5； 17．m≤且m≠2； 18.134； 19.12； 20.13； 21．3；22. 2016； 23．﹣； 24．3<m≤5．25．解：设方程的另一个根为t，根据题意，得(3－2)t＝7，∴t＝73－2＝3＋ 2.所以－m＝3－2＋3＋2＝6，即m＝－6.即方程的另一个根为3＋2，m的值为－6.26．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．27．解: （1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．28.解: 设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，∴a+b=4，ab=3.5；根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，∴c=329.解：（1）∵a=1，b=2m，c= m2-1，∵△=b2-4ac=（2m）2-4×1×（m2-1）=4＞0，∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x2+2mx+m2-1=0有一个根是3，∴32+2m×3+ m2-1=0，解得，m=-4或m=-2．30．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＝4k－11＞0，解得k ＞114.(2)存在．∵x 1＋x 2＝2k －1，x 1x 2＝k 2－2k ＋3＝(k －1)2＋2＞0， ∴将|x 1|－|x 2|＝5两边平方，可得x 12－2x 1x 2＋x 22＝5，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5， ∴(2k －1)2－4(k 2－2k ＋3)＝5， 即4k －11＝5，解得k ＝4. ∵4>114，∴k ＝4.。

北师⼤版数学九年级上册《⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系》同步练习题含答案第⼆章⼀元⼆次⽅程 2.5 ⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系1．已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α，β，则(α＋3)(β＋3)等于( )A. 8B. 9C. 10D. 122. 设x1，x2是⽅程5x2－3x－2＝0的两个实数根，则1x1＋1x2的值为( )A. －4B. －3C. －2D. －323. 若关于x的⼀元⼆次⽅程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab等于( )A. 4B. 3C. 2D. 14. 已知a，b是⽅程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为( )A. 20B. 22C. 23D. 255. 设m，n是⼀元⼆次⽅程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n等于( )A. 9B. 7C. 5D. 36. 已知⼀元⼆次⽅程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1?x2=( )A. 4B. 3C. -4D. -37. 判断⼀元⼆次⽅程式x2-8x-a=0中的a为下列哪⼀个数时，可使得此⽅程式的两根均为整数？( )A. 12B. 16C. 20D. 248. 若关于x的⼀元⼆次⽅程x2-4x+5-a=0有实数根，则a的取值范围是( )A. a≥1B. a＞1C. a≤1D. a＜19. 已知x1，x2是⼀元⼆次⽅程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值等于( )A. -3B. 0C. 3D. 510. 如果⼀元⼆次⽅程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=( )A. -3B. 3C. -1D. 111. 若关于x的⽅程x2+3x+a=0有⼀个根为-1，则另⼀个根为12. 设x1，x2是⼀元⼆次⽅程-2x-3=0的两根，则 =13. 设α，β是⼀元⼆次⽅程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是14. 若m，n是⼀元⼆次⽅程x2＝5x＋2的两个实数根，则m－mn＋n的值是15. 关于x的⽅程x2－ax＋2a＝0的两根的平⽅和是5，则a的值是16. 已知x1，x2是关于x的⽅程x2＋ax－2b＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是17. 已知关于x的⽅程x2＋3x＋a＝0有⼀个根为－2，则另⼀个根为18. 已知m，n是关于x的⼀元⼆次⽅程x2－3x＋a＝0的两个根，若(m－1)(n －1)＝－6，则a＝19. 若关于x⼀元⼆次⽅程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满⾜（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为20. 已知⽅程x2+mx+3=0的⼀个根是1，则它的另⼀个根是_______，m的值是_______21. 已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是_______22. 在解⽅程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得⽅程的根为x1＝1，x2＝－3；⼄同学看错了q，解得⽅程的根为x1＝4，x2＝－2，则⽅程中的p＝______，q＝________．23. 已知直⾓三⾓形的两条直⾓边的长恰好是⽅程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直⾓三⾓形的斜边长是_________24. 关于x 的⼀元⼆次⽅程（m-2）x 2+2x+1=0有实数根，求m 的取值范围.25. 设x 1，x 2是⼀元⼆次⽅程2x 2－x －3＝0的两根，求下列代数式的值．(1)x 12＋x 22；(2)x 2x 1＋x 1x 2；(3)x 12＋x 22－3x 1x 2.26. 若关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满⾜x 1＝3x 2，试求出⽅程的两个实数根及k 的值．27. 已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－6x ＋(2m ＋1)＝0有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)如果⽅程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，求m 的取值范围．。

5 一元二次方程的根与系数的关系知识点 1 利用根与系数的关系求代数式的值1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋16＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是( ) A ．－10 B ．10 C ．－16 D ．162．2017·怀化若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－33．设x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 12＋x 22的值为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．124．若方程x 2－3x －4＝0的两根分别为x 1和x 2，则1x 1＋1x 2的值是( )A ．1B ．2C ．－34D ．－435．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2－5x ＋1＝0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：(1)(x 1－3)(x 2－3)；(2)(x 1＋1)2＋(x 2＋1)2.知识点 2 利用根与系数的关系求方程的根及待定字母的值6．教材习题2.8第3题变式题若关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根为－1，则另一个根为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．37．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ＋n 的值是( )A ．－10B ．10C ．－6D ．28．2017·呼和浩特已知关于x 的一元二次方程x 2＋(a 2－2a )x ＋a －1＝0的两个实数根互为相反数，则a 的值为( )A ．2B ．0C ．1D ．2或09．若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋k 2＝0的两根互为倒数，则k ＝________． 10．若方程3x 2－8x ＋m ＝0的两根之比为3∶2，求m 的值．11．一元二次方程x 2－3x －1＝0与x 2－3x ＋3＝0的所有实数根的和等于( ) A ．－3 B ．－6 C ．6 D ．312．若关于x 的一元二次方程的两个实数根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是( ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2－3x ＋2＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．x 2＋3x ＋2＝013．2017·仙桃若α，β为方程2x 2－5x －1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为( )A ．－13B ．12C ．14D ．1514．已知实数a ，b 满足a 2－6a ＋4＝0，b 2－6b ＋4＝0，且a ≠b ，则b a ＋ab的值是________．15．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，求(m＋2)(n ＋2)的最小值．16．已知关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若两实数根分别为x1和x2，且x12＋x22＝11，求m的值．17．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数根是x1和x2.(1)求k的取值范围；(2)如果x1＋x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值．18．已知关于x的一元二次方程k2x2＋(2k－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)k为何值时，x1与x2互为倒数？19．已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．20.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．1．A 2.D 3．C 4．C5．解：根据题意，得x 1＋x 2＝52，x 1x 2＝12.(1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝12－3×52＋9＝2.(2)(x 1＋1)2＋(x 2＋1)2＝x 12＋2x 1＋1＋x 22＋2x 2＋1＝x 12＋x 22＋2(x 1＋x 2)＋2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋2＝(52)2－2×12＋2×52＋2＝1214.6．D 7．A 8．B 9．－110．解：设方程的两根分别为3n ，2n ， ∴5n ＝83，6n 2＝m 3，∴n ＝815，∴m ＝18n 2＝18×(815)2＝12825.11．D 12．B ． 13．B . 14．715．解：∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－2tx ＋t 2－2t ＋4＝0的两实数根， ∴m ＋n ＝2t ，mn ＝t 2－2t ＋4，∴(m ＋2)(n ＋2)＝mn ＋2(m ＋n )＋4＝t 2－2t ＋4＋2×2t ＋4＝t 2＋2t ＋8＝(t ＋1)2＋7. ∵方程有两个实数根，∴Δ＝(－2t )2－4(t 2－2t ＋4)＝8t －16≥0，∴t ≥2，∴(t ＋1)2＋7≥(2＋1)2＋7＝16. 即(m ＋2)(n ＋2)的最小值是16.16．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2＋3x －m ＝0有实数根， ∴Δ＝32＋4m ≥0， 解得m ≥－94.(2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝－m ， 而x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝11， ∴(－3)2＋2m ＝11， 解得m ＝1.17．解：(1)∵方程有实数根， ∴b 2－4ac ＝22－4(k ＋1)≥0， 解得k ≤0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k ＋1，则x 1＋x 2－x 1x 2＝－2－(k ＋1)．由已知，得－2－(k ＋1)＜－1， 解得k ＞－2. 又由(1)得k ≤0， ∴－2＜k ≤0. ∵k 为整数， ∴k 的值为－1或0.18．解：(1)依题意，得(2k －1)2－4k 2>0，且k ≠0， 解得k <14且k ≠0.(2)由x 1·x 2＝1k 2＝1，得k ＝±1，而k <14且k ≠0，所以k ＝－1.19 (1)证明：一元二次方程x 2－(m －3)x －m 2＝0中， ∵a ＝1，b ＝－(m －3)＝3－m ，c ＝－m 2，∴b 2－4ac ＝(3－m )2－4×1×(－m 2)＝5m 2－6m ＋9＝5(m －35)2＋365＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．(2)由根与系数的关系，得x 1·x 2＝ca＝－m 2≤0，x 1＋x 2＝m －3. ∵|x 1|＝|x 2|－2， ∴|x 1|－|x 2|＝－2.若x 1≥0，x 2≤0，上式化简得x 1＋x 2＝－2， ∴m －3＝－2，即m ＝1， 方程化为x 2＋2x －1＝0，解得x 1＝－1＋2，x 2＝－1－2；若x 1≤0，x 2≥0，上式化简得－(x 1＋x 2)＝－2， ∴x 1＋x 2＝m －3＝2，即m ＝5， 方程化为x 2－2x －25＝0， 解得x 1＝1－26，x 2＝1＋26.20．解：(1)∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1·x 2＝m 2＋5，∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＝m 2＋5－2(m ＋1)＋1＝28， 解得m ＝－4或m ＝6. 当m ＝－4时，原方程无解， ∴m ＝6.(2)①当7为底边长时，此时方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝4(m ＋1)2－4(m 2＋5)＝0， 解得m ＝2，∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∵3＋3＜7，∴不能构成三角形．②当7为腰长时，设x1＝7，代入方程得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m＝10或m＝4.当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得x＝7或x＝15.∵7＋7＜15，∴不能构成三角形；当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，解得x＝3或x＝7.∵3＋7>7，∴能构成三角形．此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.即这个三角形的周长为17.。

2018-2019九年级数学上册第二章一元二次方程2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019九年级数学上册第二章一元二次方程2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

5 一元二次方程的根与系数的关系1。

若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2,则x1＋x2＝（）A．－4 B．3 C．－错误!D。

错误!2．(2016·江西)设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是( ）A．2 B．1 C．－2 D．－13．一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是( )A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2C．x1＋x2＝3 D．x1x2＝24．已知x1,x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两实数根,且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1,则b a的值是( ）A。

14B．－错误! C．4 D．－15. 对于任意的非零实数m,关于x的方程x2－4x－m2＝0的根的情况是（ )A．有两个正实数根 B．有两个负实数根C．有一个正实数根,一个负实数根 D．没有实数根6. 已知关于x的一元二次方程x2－(m－1)x－（2m－2)＝0的两根之和等于两根之积,则m的值为( ）A．1 B．－1 C．2 D．－27. 已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2,则这个方程的另一个根是____，m＝____．8. 如果方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝____，x1x2＝____．9. 已知关于x的方程x2＋x＋2a－1＝0的一个根是0,则a＝____．10。

北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为（A）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．已知关于x的一元二次方程x2－2kx－8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x的方程x2＋mx－2n＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m＋n的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x2－3x－10＝0．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则m＋n＋mn＝－1．11．若x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是x2－3x＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2．13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0.解得a ＜3. ∵a 为正整数， ∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2， ∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16. 解得a 1＝－1，a 2＝6. 又由(1)知a ＜3， ∴a ＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0. ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k－4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围． 解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求m n ＋n m 的值．解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；(3)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，且1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4m ＋8＞0.∴m＜2. ∴当m ＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，则x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＝m －1＞0.∴m＞1. ∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m ≤2.∴m 的取值范围是1＜m≤2. (3)由题意可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1. ∵1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，∴1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2， 即1＋m －1＝22－2(m －1)．解得m ＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0. (1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)． ∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0， 解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2. 当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。

数学北师大版九年级上册2一、选择题1.假定关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，那么另一个根为〔〕A. -2B. 2C. 4D. -32.设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A. 2021B. 2021C. 2021D. 20213.以下一元二次方程中，两个实数根之和为1的是( )A. x²+x+2=0B. x²+x-2=0C. x²-x+2=0D. x²-x-2=04.假设一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A. -3B. 3C. -1D. 15.在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2-〔2m-1〕x+4〔m-1〕=0的两根，那么m的值是〔〕A.4B.-1C.4或-1D.-4或16.m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，那么〔m+2〕〔n+2〕的最小值是〔〕A.7B.11C.12D.167.关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，那么m2〔〕=〔〕A.B.C.4D.﹣48.关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0异样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；② (m-1)2+(n-1)2≥2；③-1≤2m-2n≤1.其中正确结论的个数是〔〕A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题9.关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，那么方程的另一个根为________．10.实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，那么________.11.假定x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，那么x12x2+x1x22的值是________．12.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，那么m2+3m+n=________13.关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，那么实数m的取值范围是________．14.经过学习，喜好思索的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕，当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1= ，x2= ，于是：x1+x2= ，x1•x2= 、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论处置以下效果：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根区分为x1，x2，且x12+x22=1，那么k的值为________．三、解答题15.关于x的一元二次方程x2＋x＋m2-2m＝0有一个实根为-1，求m的值及方程的另一个实根.16.关于x的方程〔的两根之和为，两根之差为1，•其中a,b,c是△ABC的三边长．〔1〕求方程的根；〔2〕试判别△ABC的外形．17.关于x的一元二次方程有两个不等实根〔1〕务实数k的取值范围．〔2〕假定方程两实根满足，求k的值．18.关于x的一元二次方程〔x-1〕〔x-4〕=p2，p为实数．〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；〔2〕p为何值时，方程有整数解．〔直接写出三个，不需说明理由〕19.设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求以下代数式的值．〔1〕x12＋x22；〔2〕；〔3〕x12＋x22－3x1x2.20.关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．〔1〕求m的取值范围；〔2〕当x12+x22=6x1x2时，求m的值．21.在关于x的分式方程①和一元二次方程〔2﹣k〕x2+3mx+〔3﹣k〕n=0②中，k、m、n 均为实数，方程①的根为非正数．〔1〕求k的取值范围；〔2〕当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；〔3〕当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1〔x1﹣k〕+x2〔x2﹣k〕=〔x1﹣k〕〔x2﹣k〕，且k 为负整数时，试判别|m|≤2能否成立？请说明理由．答案解析局部一、选择题1.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】解答: 设一元二次方程的另一根为，那么依据一元二次方程根与系数的关系，得-1+ =-3，解得：=-2．应选A．剖析: 依据一元二次方程根与系数的关系，应用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根2.【答案】C【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2021=0的根，∴a2+a﹣2021=0，∴a2=﹣a+2021，∴a2+2a+b=﹣a+2021+2a+b=2021+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=2021﹣1=2021．应选C．【剖析】先依据一元二次方程的解的定义失掉a2=﹣a+2021，那么a2+2a+b=2021+a+b，然后依据根与系数的关系失掉a+b=﹣1，再应用全体代入的方法计算．3.【答案】D【考点】一元二次方程根的判别式及运用，一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：A．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不契合题意；B．两根之和=－1，故不契合题意；C．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不契合题意；D．两根之和=1，故契合题意．故答案为：D．【剖析】依据根与系数的关系和根的判别式可求解。

北师大版数学九年级上册第二章第5节一元二次方程根与系数的关系同步练习1．若x 1、x 2是一元一次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是 ( )A ．1B ．5C ．－5D ．62．若x 1、x 2是一元一次方程x 2＋x －2＝0的两个根，则x 1·x 2的值是 ( )A ．－1B ．－2C ．1D ．23．以3和—2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2＋x －6＝0B ．x 2＋x ＋6＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2－x ＋6＝04．已知x 2－(m －1)x －(2m －2)＝0两根之和等于两根之积，则m 的值为（ ）A ．1B ．—1C ．2D ．—25．已知方程3x 2－5x －7＝0的两根为x 1、x 2，则下列各式中正确的是 ( )A ．x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝7B ．x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝－7C ．x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝－73D ．x 1＋x 2＝－53，x 1·x 2＝－736．设方程x 2＋x ﹣2＝0的两个根为α，β，那么α＋β﹣αβ的值等于（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．37．关于x 的一元二次方程x 2＋（a 2﹣3a ）x ＋a ＝0的两个实数根互为倒数，则a 的值为（ ）A ．﹣3B ．0C ．1D ．﹣3 或 08．关于x 的一元二次方程2x 2＋kx ﹣4＝0的一个根x 1＝﹣2，则方程的另一个根x 2和k 的值为（）A ．x 2＝1，k ＝2B ．x 2＝2，k ＝2C ．x 2＝1，k ＝﹣1D ．x 2＝2，k ＝﹣19．关于x 的一元二次方程x 2﹣5x ＋2p ＝0的一个根为1，则另一根为（ ）A ．﹣6B ．2C ．4D ．110．已知m 、n 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两个实数根，则1m +1n ＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．13D ．﹣1311．一元二次方程x 2－4x －c ＝0的一个根是3，则c ＝_________，另一个根是_________．12．一元二次方程x 2－x －3＝0两根的倒数和等于__________．13．关于x 的方程x 2＋px ＋a ＝0的根为x 1＝1＋2，x 2＝1－2，则p ＝______，q ＝____．14．若x 1、x 2是方程x 2－5x －7＝0的两根，那么（1）x 2 1＋x 2 2＝________；（2）(x 1－x 2)2＝__________；15．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a．根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 1x 2＋ x 2x 1＝ ． 16．利用方程的根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积：（1）x 2－3x －5＝0 （2）2x 2＋5x －5＝017．已知x 1、x 2是一元二次方程2x 2－2x ＋1－3m ＝0的两个实数根，且x 1·x 2＋2(x 1＋x 2)＞0，求实数m的取值范围．18．已知实数a 、b 满足等式a 2－2a －1＝0，b 2－2b －1＝0，求b a ＋a b的值．19．已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0的两根是一个长方形形两邻边的长． （1）k 为何值时，方程有两个实数根；（2）当该长方形形的对角线长为5时，求k ．（3）当k 为何值时，矩形变为正方形？20．关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12＋x22＝12，求m的值．21．已知：关于x的一元二次方程x2＋πx﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．22．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＋k＋2＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得等式1x 1＋1x 2＝k ﹣2成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由．答案1．B2．B3．C4．A5．C6．C7．C8．A9．C10．B11．－3；112．－1313．－2；－114．39；5315．10；16．（1）x 1＋x 2＝3，x 1•x 2＝-5；（2）x 1＋x 2＝-52，x 1•x 2＝-52．17．解：∵x 1、x 2是一元二次方程2x 2﹣2x ＋1﹣3m ＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，x 1•x 2＝1－3m 2． 又∵x 1﹣x 2＋2（x 1＋x 2）＞0，∴1－3m 2＋2＞0 解得：m ＜53（4分）， 又∵原方程有实数根，∴b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4×2×（1﹣3m ）＝4﹣8＋24m ＝﹣4＋24m ≥0，∴m ≥16（7分） ∴16≤m ＜53（8分） 18解：当a ＝b 时，原式＝1＋1＝2；当a ≠b 时，可以把a 、b 看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，∴a ＋b ＝2，ab ＝﹣1，∴b a ＋a b ＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝4＋2－1＝﹣6． 综上所述：b a ＋a b的值为2或﹣6． 19．解：（1）△＝[﹣（k ＋1）]2﹣4×1×（14k 2＋1）＝2k ﹣3， ∵方程有两个实数根，∴△≥0，即2k ﹣3≥0，解得：k ≥32， ∴当k ≥32时，方程有两个实数根． （2）设方程x 2﹣（k ＋1）＋14k 2＋1＝0的两根分别为a 、b ， 则a ＋b ＝k ＋1，ab ＝14k 2＋1， ∵矩形的对角线长为5，即a 2＋b 2＝5，∴a 2＋b 2＝（a ＋b ）2﹣2ab ＝（k ＋1）2﹣2×（14k 2＋1）＝5， 整理得：k 2＋4k ﹣12＝0，解得：k ＝2或k ＝﹣6（舍去）． ∴当矩形的对角线长为5时，k 的值为2．（3）当矩形为正方形时，方程两根相等，∴△＝2k ﹣3＝0，解得：k ＝32． ∴当k 为32时，矩形变为正方形． 20．解：（1）根据题意得：△＝（2m ）2﹣4（m 2＋m ）＞0，解得：m ＜0．∴m 的取值范围是m ＜0．（2）根据题意得：x 1＋x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝m 2＋m ，∵x 12＋x 22＝12，∴(x 1＋x 2)2﹣2x 1x 2＝12，∴（﹣2m ）2﹣2（m 2＋m ）＝12，∴解得：m 1＝﹣2，m 2＝3（不合题意，舍去），∴m 的值是﹣2．21．解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根， ∴△＝[π]2﹣4×1×（﹣2）＝m ＋8≥0，且m ≥0， 解得：m ≥0．（2）∵关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根x 1、x 2， ∴x 1＋x 2＝﹣π，x 1•x 2＝﹣2，∴（x 1﹣x 2）2﹣17＝（x 1＋x 2）2﹣4x 1•x 2﹣17＝0，即m ＋8﹣17＝0， 解得：m ＝9．22．解：（1）∵一元二次方程x 2﹣2x ＋k ＋2＝0有两个实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k ＋2）≥0，解得：k ≤﹣1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ＋k ＋2＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝k ＋2．∵1x 1＋1x 2＝k ﹣2， ∴x 1＋x 2x 1·x 2＝2k+2＝k ﹣2， ∴k 2﹣6＝0，解得：k 1＝﹣6，k 2＝6．又∵k ≤﹣1，∴k ＝﹣6．∴存在这样的k 值，使得等式1x 1＋1x 2＝k ﹣2成立，k 值为﹣6．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（1）x 1＝，x 2＝；（2）x 1＝，x 2＝；（3）x 1＝，x 2＝；（4）x 1＝，x 2＝；（5）x 1＝，x 2＝；（6）x 1＝，x 2＝；。

北师大版数学九年级上册同步练习2.5 一元二次方程的根与系数的关系一．选择题（共10小题）1．下列方程一定有实根的是（）A．x2﹣4x+3=0 B．x2﹣4x+5=0 C．y2﹣4y+c=0 D．y2﹣4y+12=02．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2+4x﹣1=0 C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣23．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或14．不解方程，判别方程2x2﹣3x=3的根的情况（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根5．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，若k为非负整数，则k 等于（）A．0 B．1 C．0，1 D．26．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．7．关于x的一元二次方程x2+bx﹣1=0的判别式为（）A．1﹣b2B．b2﹣4 C．b2+4 D．b2+18．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣39．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．610．一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的两实数根的和与积分别是（）A．，﹣B．，C．﹣，﹣D．﹣，二．填空题（共6小题）11．对于方程3x2﹣5x+2=0，a=，b=，c=，b2﹣4ac=，此方程的解的情况是．12．关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，则m的取值范围为．13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+3=0有实数解，则m的取值范围为．14．设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的两个根，且x1+x2=1，则x1=，x2=．15．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+1﹣m=0的一个根为2，则另一个根是三．解答题（共4小题）17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．18．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时，求方程的根．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．20．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0（Ⅰ）求证：无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；（Ⅱ）若此方程的一个根为1，请求出方程的另一个根．参考答案一．选择题（共10小题）1．A．2．C．3．A．4．B．5．B．6．C．7．C．8．B．9．C．10．A．二．填空题（共6小题）11．3，﹣5，2，1，有两个不相等的实数根．12．m＞．13．m≤且m≠2．14．﹣2；3．15．16．3三．解答题（共4小题）17．（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．18．（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．解得m＜2；（2）由（1）知，m＜2．有m为正整数，∴m=1，将m=1代入原方程，得x2﹣2x=0x（x﹣2）=0，解得x1=0，x2=2．19．（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．20．（1）证明：x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0，△=[﹣（m+2）]2﹣4×1×（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∵不论m为何值，（m﹣2）2+4＞0，∴△＞0，∴无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；（2）解：把x=1代入方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0得：1﹣（m+2）+2m﹣1=0，解得：m=2，方程为x2﹣4x+3=0，设方程的另一个根为a，则a+1=4，解得：a=3，即方程的另一个根为3．。

九年级上册数学解一元二次方程根与系数的关系同步练习及答案1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是( )A ．1B ．5C ．－5D ．62．设方程x 2－4x －1＝0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( )A ．－4B ．－1C ．1D ．03．两个实数根的和为2的一元二次方程可能是( )A ．x 2＋2x －3＝0B ．2x 2－2x ＋3＝0C ．x 2＋2x ＋3＝0D ．x 2－2x －3＝04．孔明同学在解一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0时，正确解得x 1＝1，x 2＝2，则c 的值为______．5．已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a ，b ，则1a ＋1b的值是________． 6．求下列方程两根的和与两根的积：(1)3x 2－x ＝3; (2)3x 2－2x ＝x ＋3.7．已知一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0.(1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为x 1，x 2，且x 1＋3x 2＝3，求m 的值．8．点(α，β)在反比例函数y ＝k x的图象上，其中α，β是方程x 2－2x －8＝0的两根，则k ＝__________9．已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________． 10．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．答案1．B 2.B 3.D 4.25．－65解析：∵a ，b 是一元二次方程的两根， ∴a ＋b ＝6，ab ＝－5.1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝－65. 6．解：(1)原方程化为一般形式为3x 2－x －3＝0.所以x 1＋x 2＝－－13＝13，x 1x 2＝－33＝－1. (2)原方程化为一般形式为3x 2－3x －3＝0，即x 2－x －1＝0.所以x 1＋x 2＝－－11＝1，x 1x 2＝－11＝－1. 7．解：(1)∵方程x 2－2x ＋m ＝0有两个实数根， ∴Δ＝(－2)2－4m ≥0.解得m ≤1.(2)由两根关系可知，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m .解方程组121223 3.x x x x ⎧⎨⎩＋＝，＋＝解得123,21.2x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝ ∴m ＝x 1·x 2＝34. 8．－89．10 解析：x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3, x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝10. 10．解：(1)由方程有两个实数根，可得Δ＝b 2－4ac ＝4(k －1)2－4k 2＝4k 2－8k ＋4－4k 2＝－8k ＋4≥0.解得k ≤12. (2)依据题意，可得x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12， ∴2(k －1)＜0，x 1＋x 2＜0.∴|x 1＋x 2|＝－x 1－x 2＝x 1·x 2－1.∴－2(k －1)＝k 2－1.解得k 1＝1(舍去)，k 2＝－3.∴k 的值是－3.。

一元二次方程根与系数的关系测试题一、选择题1.关于x的一元二次方程3x2+2x+1=0的根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断2.一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p,q,则p+q等于（）A.0B.1C.0或-2D.0或-13.若关于x的一元二次方程（k-5）x2-2x+2=0有实数根，则整数k的最大值为（）A.4B.5C.6D.74.定义新运算a*b：对于任意实数a,b满足a*b=（a+b）（a-b）-1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2=（3+2）（3-2）-1=5-1=4．若x*k=2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根5.设x1，x2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根，实数a,b满足：ax12003+bx22003=2003，ax12004+bx22004=2004，则ax12005+bx22005的值为（）A．2005 B．2003 C．-2005 D．-20036.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac＝(2ax0+b)2④若x0是一元二次方程其中正确的（）A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③二．填空题8.已知：m、n是方程x2+2x-1=0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）= ．9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）①方程x2-x-2=0是倍根方程；②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0；③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac.三、解答题10.当m为何值时，一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0．（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？11.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．12.已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m,n恰好是这个方程的两个根，求△AB C的周长．一元二次方程根与系数的关系测试题（解析）一、选择题1.关于x的一元二次方程3x2+2x+1=0的根的情况，下列判断正确的是（）B．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断【答案】C【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：Δ=22-4×1×3=4-12=-8，故原方程无实数根，故选：C．2.一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p,q,则p+q等于（）A.0B.1C.0或-2D.0或-1【答案】D【分析】利用根据根与系数的关系得，p+q=-p,pq=q,当q≠0时，p=1，当q=0时，p=0，然后计算p+q的值．【解答】解：根据根与系数的关系得，p+q=-p,pq=q,解得p=1，q=-2或p=q=0，所以p+q=-1或p+q=0．故选：D．3.若关于x的一元二次方程（k-5）x2-2x+2=0有实数根，则整数k的最大值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（k-5）x 2-2x+2=0有实数根，，解得：k≤211且k≠5． ∵k 为整数， ∴k 的最大值为4． 故选：A ．【答案】Dx2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根可得：x1+x2=2【分析】由根与系数关系，x1，003，x1×x2=2005；化简式子ax2005+bx22005的值为：（x1+x2）（ax12004+bx22004）-x1x2（ax12003+bx22003）；1=2003，x1×x2=2005，ax12003+bx22003=2003，ax12004+bx22004=2004代入即可得出将x1+x2结果．x2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根可得：x1+x2=2003，x1×x2=2【解答】解：x1，005，故ax2005+bx22005=（x1+x2）（ax12004+bx22004）-x1x2（ax12003+bx22003），1=2003×2004-2005×2003，=-2003．故选：D．6.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac＝(2ax0+b)2④若x0是一元二次方程其中正确的（）A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③【答案】B【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．【解答】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ=b2-4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，∴Δ=0-4ac＞0，∴-4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0，二．填空题8.已知：m、n是方程x2+2x-1=0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）= ．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，∴m+n=-2，mn=-1，m2+2m-1=0，n2+2n-1=0，∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）=（m2+2m-1+m+4）（n2+2n-1+n+4）=（m+4）（n+4）=mn+4（m+n）+16=-1+4×（-2）+16=7，故答案为：7．9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）①方程x2-x-2=0是倍根方程；②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0；③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac.【解答】解：①解方程x2-x-2=0得，x1=2，x2=-1，得，x1≠2x2，∴方程x2-x-2=0不是倍根方程；故①不正确；②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，x，1=2或x2=4，因此x2=1时，m+n=0，当x2=1当x时，4m+n=0，2=4∴4m2+5mn+n2=（m+n）（4m+n）=0，故②正确；∴2b2=9ac.故④正确，故答案为：②③④11.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【分析】（1）把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b,从而可判断三角形的形状；（2）根据判别式的意义得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；（3）利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，则a=b,所以△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a=b=c,∴方程化为x2+x=0，解得x1=0，x2=-1．12.已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m,n恰好是这个方程的两个根，求△AB C的周长．【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．【解答】（1）证明：∵Δ=（k+2）2-8k=k2+4k+4-8k=（k-2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根；（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，∴16-4（k+2）+2k=0，解得k=4，∴方程为x2-6x+8=0，解得x=4或x=2，∴m、n的值分别为2、4，∴△ABC的周长为10；当边长为4的边为底时，则m=n,即方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，即（k-2）2=0，解得k=2，∴方程为x2-4x+4=0，解得m=n=2，此时2+2=4，不符合三角形的三边关系，舍去；综上可知△ABC的周长为10．。