平衡中的临界和极值问题

平衡中的临界和极值问题所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。

极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。

临界问题往往是和极值问题联系在一起的。

平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏但尚未被破坏的状态。

求解平衡的临界问题一般用极限法。

极限分析法是一种预测和处理临界问题的有效方法，它是指：通过恰当选择某个变化的物理量将其推向极端（“极大”、“极小”、“极右”或“极左”等）,从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。

在平衡中最常见的临界问题有以下两类： 一、以弹力为情景1. 两接触物体脱离与不脱离的临界条件是：相互作用力为零。

2. 绳子断与持续的临界条件是：作用力达到最大值；绳子由弯到直（或由直变弯）的临界条件是：绳子的拉力等于零。

例1：如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。

解：作出A 受力图如图所示，由平衡条件有：F ．cos θ-F 2-F 1cos θ=0, F sin θ+F 1sin θ-mg =0要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为：N F N 33403320≤≤变式训练1：两根长度不一的细线a 和b ，一根连在天花板上，另一端打结连在一起，如图，已知a 、b 的抗断张力（拉断时最小拉力）分别为70N ，80N.它们与天花板的夹角分别为37°、53°， 现在结点O 处加一个竖直向下的拉力F ，(sin37°=cos53°=0.6, cos37°=sin53°=0.8) 求： (1)当增大拉力F 时，哪根细绳先断?(2)要使细线不被拉断，拉力F 不得超过多少？变式训练2两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N 点，M 、N 两点间的距离为s ，如图所示，已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每根绳的长度不得短于__ ____．例2：如图所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面。

【答案】D 【详解】AB．对小球受力分析，如图所示,根据受力平衡可得 F mg tan , T mg ,移动过程中，θ逐渐增大，tanθ逐渐增大，
cos
cosθ逐渐减小，则水平拉力F逐渐增大，细线的拉力逐渐增大，故 AB错误；CD．以铁架台、小球整体为研究对象，根据受力平衡可得 FN (M m)g ，f F,可知桌面对铁架台的支持力不变，即铁架台对桌面的压力不变； 铁架台所受地面的摩擦力变大，故C错误，D正确。 故选D。
经典例题
[典例1]（2024·全国·高三专题练习）如图所示，壁虎在竖直玻璃面上斜 向上匀速爬行，关于它在此平面内的受力分析，下列示意图中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【详解】壁虎在竖直玻璃面上匀速爬行，属于匀速直线运动，对壁虎进行受力分析 由图可知，F与mg大小相等，方向相反。 故选A。
当物理情景中涉及物体较多时,就要考虑采用整体法和隔离法。
(1)整体法
研究外力对系统的作用 各物体运动状态相同
同时满足上述两个条件即可采用整体法。
(2)隔离法
分析系统内各物体各部分间相互作用 各物体运动状态可不相同
物体必须从系统中隔离出来,独立地进行受力分析,列出方程。
变式训练
变式3（2023秋·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）一 铁架台放在水平桌面上，其上用轻质细线悬挂一小置运动到虚线位置，铁架台始 终保持静止。则在这一过程中（ ） A．水平拉力F不变 B．细线的拉力变小 C．铁架台对桌面的压力变大 D．铁架台所受地面的摩擦力变大
A．5N
B．6N C．7.5N D．8N
【答案】B
【详解】设F与水平方向夹角为θ，根据平衡知识可知：F cos (mg F sin ) ，解得

第5讲动态平衡问题和平衡中的临界、极值问题一、动态平衡问题“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力,是动态力,力的大小或方向要发生变更,但变更过程中的每一时刻的状态均可视为平衡状态,所以叫动态平衡,这是力平衡问题中的一类难题。

解动态平衡问题两种常用的方法是①解析法和②图解法。

二、平衡中的临界、极值问题1.临界状态:是从一种物理现象转变为另一种物理现象,或从一个物理过程转入另一个物理过程的转折状态。

临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态。

2.解答临界、极值问题的关键是找到临界条件。

1.如图所示,将所受重力为G的光滑小球用轻质细绳拴在竖直墙壁上,当把绳的长度增长,则下列推断正确的是()A.绳对球的拉力T和墙对球的弹力N均减小B.绳对球的拉力T增大,墙对球的弹力N减小C.绳对球的拉力T减小,墙对球的弹力N增大D.绳对球的拉力T和墙对球的弹力N均增大答案 A2.如图所示,轻绳OA、OB一端分别固定于天花板上的A、B两点,轻绳OC一端悬挂一重物。

已知OA、OB、OC能承受的最大拉力分别为150 N、100 N、200 N。

问悬挂的重物的重力不得超过多少?答案100√3 N考点一动态平衡问题所谓动态平衡问题,是指通过限制某些物理量,使物体的状态发生缓慢变更,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态。

解决此类问题的常用方法有解析法和图解法。

例1如图所示,用轻细绳AO和BO将质量为m的重物悬吊起来,静止时AO是水平的,BO 与竖直方向的夹角为θ。

已知重力加速度为g。

设AO绳的拉力为F1,BO绳的拉力为F2。

(1)假如保持节点O的位置不变,将B点向左缓慢移动(同时增加绳长),则()A.F2变小,F1变大B.F2变大,F1变小C.F1和F2的合力不变D.F1和F2的合力变小(2)假如保持节点O的位置不变,将A点向上缓慢移动(同时增加绳长),F1和F2分别怎样变更?答案见解析解析(1)方法1:在B点缓慢左移的过程中,θ缓慢增大,而O点始终保持受力平衡状态,F1和F2均发生变更,但它们的合力肯定不变,F'=mg,方向竖直向上;因F1=mg tanθ,F2=mm,所以θ增大,tan θ增大、cos θ减小。

专题强化二动态平衡平衡中的临界与极值问题学习目标 1.学会运用解析法、图解法等处理动态平衡问题。

2.会分析平衡中的临界与极值，并会进行相关的计算。

考点一动态平衡问题1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。

2.做题流程方法解析法1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。

2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。

3.根据自变量的变化确定因变量的变化。

例1(2021·湖南卷，5)质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图1所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。

凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。

用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是()图1A.推力F先增大后减小B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大C.墙面对凹槽的压力先增大后减小D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大答案C解析对小滑块受力分析，如图甲所示，由题意可知，推力F与凹槽对滑块的支持力F N始终垂直，即α＋β始终为90°，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α减小，β增大，由平衡条件得F＝mg cosα、F N＝mg sinα，可知推力F一直增大，凹槽对滑块的支持力F N一直减小，A、B错误；对小滑块和凹槽整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件可得，墙面对凹槽的压力大小F N1＝F sinα＝12mg sin2α，水平地面对凹槽的支持力F N2＝Mg＋mg－F cosα，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α由π2逐渐减小到零，根据数学知识可知墙面对凹槽的压力先增大后减小，水平地面对凹槽的支持力一直减小，C正确，D错误。

甲乙跟踪训练1.如图2所示，半径相同、质量分布均匀的圆柱体E和半圆柱体M靠在一起，E 表面光滑，重力为G；M下表面粗糙，E、M均静止在水平地面上。

处于平衡状态中的极值问题和临界问题预备知识：1、极值问题：平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

解决临界问题的方法：是解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据临界条件求极值。

另外图解法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平等四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。

2、临界问题：由某种物理现象变化灰另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的语句来表述。

解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后再根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。

例1（两物体刚好发生相对滑动模型）（单选）如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m 的滑块，此时弹簧处于自然长度。

已知滑块与板的动摩擦因数及最大静摩擦因数均为3，现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直到竖直，此过程中弹簧的弹力大小F 随夹角θ的变化关系可能是图中的哪一个？分析：这是临界问题—两物体刚好发生相对滑动的模型。

由关键词“缓慢”，可知滑块处于动态平衡。

在板的右端缓慢抬起的过程中，可知在夹角θ较小时，滑块与板相对静止；夹角θ较大时，滑块相对板滑动。

进而分析可知，板与水平面的夹角存在一临界值α，此时滑块所受的摩擦力恰为最大静摩擦力。

易知，板与水平面的夹角小于临界角时，滑块所受的摩擦力为静摩擦力；大于临界角时，摩擦力为滑动力，从而问题得解。

解析：设板与水平面的夹角为α时，滑块相对于板刚要滑动。

则由sin cos mg mg αμα=得：tan αμ==，030α= 则θ在0030 的范围内，弹簧处于原长，弹力F ＝0。

当板与水平面的夹角大于α时，滑块相对板缓慢滑动，由平衡条件得：()()()()()sin sin cos sin cos sin cos cos (sin cos sin cos )sin sec sin cos cos F mg mg mg mg mg mg mg βθμθθμθθθβθββθθββθβββθβθβ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭=-=-=-=-=- (注意：其中tan βμ=)小结：解决这类问题的关键是寻找临界条件。

问题解决能力
02
学生能够独立分析和解决一些复杂的动态平衡问题，具备了一
定的问题解决能力。
创新思维Байду номын сангаас养
03
课程鼓励学生提出新的想法和解决方案，培养了学生的创新思
维和解决问题的能力。
未来研究方向展望
更复杂的动态平衡问题
研究更复杂的动态平衡问题，如非线性、时变等条件下的临界、 极值问题。
临界、极值问题的优化算法
不等式法
通过构建不等式并求解，找到物体 的极值状态。
数值模拟法
通过计算机模拟物体的运动过程， 找到极值状态和对应的物理量。
03
CATALOGUE
平衡中的极值问题
极值条件的确定
确定平衡状态
首先分析物理系统或数学 模型的平衡状态，明确平 衡条件。
寻找极值条件
在平衡状态下，寻找使某 一物理量达到极值的条件 ，如最小势能、最大承载 力等。
动态平衡
物体在受到外力作用下，通过内部调节保持平衡状态，如人 体在行走中的平衡。
临界条件的确定
临界状态
物体处于平衡与不平衡之间的临界状态，稍微偏离平衡就会导致失稳。
临界条件
使物体保持平衡的最小条件，如支撑面的大小、摩擦系数等。
临界问题的求解方法
01
02
03
解析法
通过建立数学模型和方程 ，求解临界条件下的物理 量。
结果讨论
结合已有知识和文献资料，对实验结果进行深入 分析和讨论，解释实验现象的原因和机制。
结果应用
将实验结果应用于实际问题中，提出针对性的建 议和措施。
06
CATALOGUE
课程总结与展望
课程重点回顾
1 2 3

突破5平衡中的临界与极值问题1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述.常见的临界状态有：(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0);(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。

突破临界问题的三种方法(1)【解析】法根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。

通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。

(2)图解法根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。

(3)极限法极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大'、“极小”、“极右”、“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。

2.极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.一般用图解法或【解析】法进行分析.处理极值问题的两种基本方法(1)【解析】法：根据物体的平衡条件列方程，通过数学知识求极值的方法.此法思维严谨，但有时运算量比较大，相对来说较复杂，而且还要依据物理情境进行合理的分析讨论.学％科网(2)图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形，然后由图进行动态分析，确定极值的方法.此法简便、直观.【典例1】倾角为0=37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数《=0.5。

现给A施加一水平力F如图所示。

设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin 37°= 0.6, cos 37°= 0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是()A.3B.2【答案】A【典例2】如图所示，一球A 夹在竖直墙与三角劈B 的斜面之间，三角形劈的重力为G ,劈的底部与 水平地面间的动摩擦因数为用劈的斜面与竖直墙面是光滑的，问欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过 多大？（设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力）【答案】：球的重力不得超过 1 兴G【跟踪短训】1.将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连后，再用细线悬挂于O 点，如图所示。

平衡中的临界和极值在生活中，平衡是一个重要的概念。

无论是身体的平衡还是心灵的平衡，我们都需要在各个方面寻找一个稳定的状态。

然而，有时候平衡并不仅仅是指两个方向的均衡，而是涉及到临界与极值的问题。

临界是指我们在寻找平衡时，达到不可忽略的边界状态。

这种状态可能会引起突破或者转折，有时甚至可能导致平衡的破裂。

而极值则是指某一方向上的最大或最小值，是达到理想平衡状态的极限。

平衡中的临界与极值是一个复杂而微妙的主题，不同的领域和情境下有着不同的定义和解释。

在物理学中，临界点是指物质在一定条件下由一种状态转变为另一种状态的边界点。

当水温降低到0摄氏度时，水会从液态变为固态，这个临界点就是冰点。

而极值则可以用来描述物质的特性，比如熔点和沸点。

在生物学中，平衡中的临界与极值也有着重要的意义。

人体的各种生理指标，如体温、血压、血糖等，在一定范围内的波动是正常的，但一旦超出了临界值，就可能导致疾病的发生。

高血压和低血糖都会对身体健康产生重大影响。

此时，我们需要通过药物治疗或生活方式的改变来恢复平衡。

在心理学和哲学中，平衡中的临界与极值是更为抽象而深刻的概念。

心理学家卡尔·荣格提出的个体心理理论中，他认为个人必须在自我和集体无意识之间寻求平衡。

个体心理是我们日常意识所能察觉到的内容，而集体无意识则包含了我们的本能、冲动和潜意识。

荣格认为，只有当个体心理与集体无意识达到平衡时，我们才能达到身心的和谐。

在生活中，平衡中的临界与极值也经常存在。

我们在工作和生活之间寻求平衡时，常常会遇到工作压力和生活满足之间的临界点。

有时候我们会为了工作进入超负荷的状态，但如果长时间处于极限状态，可能会导致身心俱疲。

另放松和休息过多也可能导致懒惰和效率下降。

我们需要在工作和生活之间找到一个合适的平衡点，既能保持高效的工作状态，又能享受生活的乐趣。

与平衡中的临界和极值有关的还有人际关系。

在人际关系中，我们常常需要在个人的利益和集体的利益之间寻求平衡。

动态平衡析处理动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值，并会进行相关计算。
目录
目录
CONTENTS
01 研透核心考点 02 提升素养能力
目录
1
研透核心考点
考点一 动态平衡问题
考点二 平衡中的临界与极值问题
目录
研透核心考点
考点一 动态平衡问题
目录
研透核心考点
方法总结
模型
情境
OA 绳方向不 一力恒
变，OB 绳缓慢 力，另一
向上转动至竖 力方向
直位置，结点 O 不变
的位置不动
受力图
方法 图解法：两个力的合力 和第三个力等大、反 向，即 FA 逐渐减小， FB 先变小后变大
目录
研透核心考点
一力恒 用手拉住绳的
定，另外 另一端 N，将
两力方 重物向右上方
相似三角形法：力三角 形和几何三角形相似， 即mlCOg＝FRN＝lFATC
目录
研透核心考点
考点二 平衡中的临界与极值问题
1.临界、极值问题特征 (1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物 体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用 “刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力FN＝0。 (2)极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。
图2
目录
研透核心考点
解析 将A、B整体受力分析，如图甲所示，由平衡条件得FN＝(M＋m)g，可知 FN不变，f＝F；隔离B，受力分析如图乙所示，由平衡条件知F＝Mgtan θ，水 平力F缓慢地拉起B的过程中，θ增大，外力F逐渐增大，所以f增大，故C正确。

另外两个力方向均发生变化，但两者的夹角不变.作出不同
状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列
式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不
同位置判断各力的大小变化，如图5所示.
图5
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专题四
动态平衡问题
平衡中的临界、极值问题
方法5：相似三角形法
特征：一个恒力，两个变力，找出几何三角形.
000 kV的高压线上带电作业的过程.如图所示，绝缘轻绳OD一端固定在高压线杆塔
上的O点，另一端固定在兜篮D上.另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一
端连接兜篮，另一端由工人控制.身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C点运动
到处于O点正下方E点的电缆处.绳OD一直处于伸直状态，兜篮、王进及携带的设备
( √
)
[解析] 对系统整体受力分析可知，竖直方向受到的地面的支持力始终等于系统所
受的重力，故正确.
(2)斜面所受地面的摩擦力一定增加.
(
√ )
[解析] 对整体受力分析，可知斜面所受地面摩擦力一定增大，故正确.
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专题四
动态平衡问题
命题点3
平衡中的临界、极值问题
正弦定理法的应用
3. [2024河北邯郸开学联考]《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1
运动到B点的过程中，夹角θ从0°增大到90°，所以推力F一直减小，滑块受到的支持
力一直增大，A、B错误.将滑块和工件看作一个整体，对整体受力分析，如图所
示，根据平衡条件可得N＝(m＋M)g－F cos θ＝(m＋M)g－mg cos 2 θ，f＝F sin θ＝
1
2
mg cos θ sin θ＝ mg sin 2θ，夹角θ从0°增大到90°，地面对工件的支持力 N一直增

动态平衡问题专题——临界、极值问题平衡物体的临界问题：某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态。

临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰恰不出现”某种现象的状态。

平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏而尚未破坏的状态。

涉及临界状态的问题叫做临界问题，解答临界问题的基本思维方法是假设推理法。

平衡物体的极值问题：受几个力作用而处于平衡状态的物体，当其中某个力的大小或方向按某种形式发生改变时，为了维持物体的平衡，必引起其它某些力的变化，在变化过程中可能会出现极大值或极小值的问题。

研究平衡物体的极值问题常用解析法和图解法。

1跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图。

已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ(μ＜tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量取值范围。

解析：先选物体B为研究对象，它受到重力m B g和拉力F T的作用，根据平衡条件有：F T＝m B g ①再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力F N、轻绳拉力F T和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图乙所示，根据平衡条件有：F N－mg cosθ＝0 ②F T－F fm－mg sinθ＝0 ③由摩擦力公式知：F fm＝μF N ④联立①②③④四式解得m B＝m(sinθ＋μcosθ)．再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：F N－mg cosθ＝0 ⑤F T＋F fm－mg sinθ＝0 ⑥第1页联立①⑤⑥④四式解得m B＝m(sinθ－μcosθ)．故，物体B的质量的取值范围是：m(sinθ－μcosθ)≤m B ≤m(sinθ＋μcosθ)．2如图，不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60º，轻杆BC与竖直墙夹角为30º，杆可绕C自由转动，若细绳承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大压力为300N，则在B点最多能挂多重的物体？解析：将物体对B点的拉力F进行分解，显然F=G假设绳与轻杆均被不拉断．当细绳承受的拉力F1最大时，轻杆所受的压力当轻杆承受的压力F2最大时，细绳所受的拉力由此可以当物体的重力逐渐增加时，轻杆承受的压力先达到最大．此时物体的重力达到最大．3半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，OA绳和OB绳所受的力大小如何变化？第2页第3页解析：OB绳的B 端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C 的过程中，物体始终处于平衡状态，找出不变的物理量，画出平行四边形进行分析．对结点O 受力分析如图：结点O 始终处于平衡状态，所以OB 绳和OA 绳上的拉力的合力大小保持不变，方向始终是竖直向上的．所以OA 绳受力大小变化情况：逐渐变小；OB 绳受力大小变化情况是：先变小后变大4如图，一倾角为θ的固定斜面上有一块可绕其下端转动的挡板P ，今在挡板与斜面间夹一个重为G 的光滑球，试分析挡板P 由图示位置逆时针转到水平位置的过程中，球对挡板的压力如何变化？解析：受力分析如图，将F 1与F 2合成，其合力与重力等大反向如图：挡板转动时，挡板给球的弹力F 1与斜面给球的弹力F 2合力大小方向不变，其中F 2的方向不变，作辅助图如上，挡板转动过程中，F 1第4页的方向变化如图中a 、b 、c 的规律变化，为满足平行四边形定则，其大小变化规律为先变小后变大，其中挡板与斜面垂直时为最小．与此对应，F 2的大小为一直减小．根据牛顿第三定律，球对挡板的压力是先减小后增加，对斜面的压力是不断减小。

高考物理《平衡中的临界和极值问题》真题练习含答案1.如图所示，一工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，手对砖夹竖直方向的拉力大小为F .已知砖夹的质量为m ，重力加速度为g ，砖夹与砖块之间的滑动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．若砖块不滑动，则砖夹与砖块一侧间的压力的最小值是( )A ．F 2μB ．F μC ．F －mg 2μD ．F －mg μ答案：C解析：工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，砖夹处于平衡状态，在竖直方向满足F ＝mg ＋2f ，砖夹与砖之间恰好达到最大静摩擦力f ＝μN ，联立解得，砖夹与砖块一侧间的压力的最小值为N ＝F －mg 2μ，C 正确． 2．(多选)如图所示，质量为m 的小球固定在一轻杆的一端，轻杆另一端通过光滑铰链固定于O 点．现给小球施加一拉力F ，使小球与轻杆在竖直平面内绕O 点缓慢转动，转动过程中拉力F 与轻杆的夹角始终为θ＝60°.则从小球刚好离开地面至轻杆转过90°的过程中( )A ．拉力F 有最大值，为233mg B ．拉力F 有最小值，为233mg C ．轻杆对小球的弹力F N 先增大后减小D ．轻杆对小球的弹力F N 先减小后增大 答案：AC解析：选取小球运动过程某一状态，对其受力分析，作出支持力与拉力的合成图，如图所示，由题意知，α＋β＝120°在力的三角形中应用正弦定理得mg sin 60° ＝F sin β ＝F N sin α，从小球刚好离开地面至轻杆转过90°的过程中，β从90°减小到0，sin β逐渐减小，拉力F 逐渐减小，因此当β＝90°时，F 最大，此时F ＝233mg ，α从30°增加到120°，sin α先增大后减小，弹力F N 先增大后减小，当α＝90°时，F N 最大．综上所述，A 、C 正确，B 、D 错误．3.[2024·海南省白沙学校期末考试]如图所示，物体的质量为2 kg ，两根轻细绳AB 和AC 的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC ＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F ，若要使绳都能伸直，下列F 中不可能的是(取g ＝10 m/s 2)( )A ．43 NB ．83 NC ．103 ND ．123 N答案：A解析：由平衡条件有，水平方向有T B cos θ＋T C ＝F cos θ，竖直方向有T B sin θ＋F sin θ＝mg ，整理有T B ＝mg sin θ －F ，T C ＝2F cos θ－mg cos θsin θ .若要使绳都能伸直，则T B 和T C 均大于零，所以应该有mg 2sin θ <F <mg sin θ ，解得2033 N<F <4033N ，本题选不可能的，故选A.4.[2024·山东省青岛市第一中学校考阶段练习](多选)质量为M 的木楔倾角θ为37°，在水平面上保持静止．当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．如图所示，当用与木楔斜面成α角的力F拉木块，木块匀速上升(已知木楔在整个过程中始终静止).可取sin 37°＝0.6.下列说法正确的有()A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.75B．当α＝37°时F有最小值C．当α＝30°时F有最小值D．F的最小值为0.96mg答案：ABD解析：物块匀速下滑时，有mg sin 37°＝μmg cos 37°，解得μ＝0.75，A正确；物块匀速上升时，有F cos α＝mg sin θ＋μ(mg cos θ－F sin α)，整理得F＝mg sin 2θ，当α＝θ＝cos （θ－α）37°时F有最小值，最小值为F＝0.96mg，B、D正确，C错误．5.[2024·江苏省无锡期中考试]如图所示，倾角θ＝37°的质量为m＝10 kg的粗糙斜面体A，置于粗糙水平面上，A与地面间的动摩擦因数足够大，质量m2＝1 kg的B物体经平行于斜面的不可伸长的轻质细线跨光滑定滑轮悬挂质量为m3的物块C.已知A、B间的动摩擦因数为0.5，视最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，求：(1)若不悬挂物块C时，通过计算，判断B是否会自行下滑；(2)欲使B能静止在斜面A上，C的质量范围；(3)若m3＝0.5 kg时，地面对A的摩擦力的大小．答案：(1)会自行下滑(2)0.2 kg≤m3≤1 kg(3)4 N解析：(1)若不悬挂物块C时，通过受力分析可知，重力沿斜面向下方向分力为G x＝m2g sin θ＝6 N重力沿垂直斜面向上方向分力为G y＝m2g cos θ＝8 NA、B间的动摩擦因数为0.5，则摩擦力大小为f＝μF N＝μG y＝4 N明显G x>f可得B会自行下滑；(2)当悬挂物块C时，通过受力分析如图当摩擦力沿斜面向上时拉力T有最小值为T min＝G x－f＝2 N 解得质量m3min＝0.2 kg当摩擦力沿斜面向下时拉力T有最大值为T min＝G x＋f＝10 N 解得质量m3max＝1 kg得C的质量范围为0.2 kg≤m3≤1 kg(3)当m3＝0.5 kg时，拉力T大小为T＝m3g＝5 N地面对A的摩擦力f＝T cos θ＝4 N。

平衡中的临界和极值
【原创版】
目录
一、临界平衡状态的定义与特点
二、压杆的临界力及计算方法
三、提高压杆稳定性的方法
四、总结
正文
一、临界平衡状态的定义与特点
临界平衡状态是指杆件在平衡状态下，受到的力或变形接近于使其失去平衡的极限状态。

在这种状态下，杆件的稳定性变得非常敏感，微小的扰动都可能导致其失去平衡。

临界平衡状态的特点是，杆件的内部应力达到极限值，变形也达到最大值。

二、压杆的临界力及计算方法
压杆的临界力，也称为临界载荷，是指压杆在临界平衡状态下所能承受的最大轴向压力。

压杆的临界力可以通过公式 Fcr=πEI/L计算，其中
E 为杨氏模量，I 为截面惯性矩，L 为压杆长度。

三、提高压杆稳定性的方法
为了提高压杆的稳定性，可以采取以下几种方法：
1.增加压杆的截面面积，从而提高其抗弯能力；
2.选择具有较高杨氏模量和截面惯性矩的材料制造压杆，以提高其临界力；
3.缩短压杆的长度，以降低其临界力；
4.在压杆表面添加支撑或约束，以减小其受到的外部扰动。

四、总结
临界平衡状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态，此时杆件的稳定性非常敏感。

压杆的临界力可以通过公式 Fcr=πEI/L计算。

例6 如图所示，物体的质量为m＝5 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固 定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC＝θ＝60°)， 在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若 要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围.(g取10 m/s2)
答案
50 3 3
N≤F≤1300
3
N
设AB绳的拉力为F1，AC绳的拉力为F2，对物体受力分析，由平衡条 件有 Fcos θ－F2－F1cos θ＝0， Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0， 可得 F＝smingθ－F1，F＝2cFo2s θ＋2smingθ. 若要使两绳都能伸直，则有F1≥0，F2≥0，
例5 如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的
轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，
另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高).
则在此过程中绳中拉力
√A.先变大后不变
C.先变小后不变
B.先变大后变小 D.先变小后变大
对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过
点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，且O2在O1正上方，细绳跨过O2与
O连接，水平外力F作用于细绳的一端.用FN表示铰链对杆的作用力，现在
水平外力F作用下，θ从
π 2
缓慢减小到0的过程中，下列说法正确的是
√A.F逐渐变小，FN大小不变
B.F逐渐变小，FN逐渐变大
C.F先变小再变大，FN逐渐变小
D.F先变小再变大，FN逐渐 对BP板的作用力大小为零，故D错误.
方法点拨
一力恒定，另外两力方向均变化时常采用的方法有相似三角形、 正弦定理或利用两力夹角不变作出动态圆，恒力为圆的一条弦， 根据不同位置判断各力的大小变化.

平衡中的临界与极值问题1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．常见的临界状态有：(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)；(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松驰的临界条件为绳中张力为0；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大．研究的基本思维方法：假设推理法．2．极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或解析法进行分析．例1 重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F 使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？解析 木块在运动过程中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F 斜向上，设当F 斜向上与水平方向的夹角为α时，F 的值最小．木块受力分析如图所示，由平衡条件知：F cos α－μF N ＝0，F sin α＋F N －G ＝0解上述二式得：F ＝μG cos α＋μsin α令tan φ＝μ，则sin φ＝μ1＋μ2，cos φ＝11＋μ2可得F ＝μG cos α＋μsin α＝μG1＋μ2cos (α－φ) 可见当α＝φ时，F 有最小值，即F min ＝μG1＋μ2答案μG 1＋μ2与水平方向成α角且tan α＝μ 解决极值问题和临界问题的方法(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．(2)数学解法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)． 突破训练1 如图1 所示，质量均为m 的小球A 、B 用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O 点，在外力F 的作用下，小球A 、B 处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线OA 与竖直方向的夹角θ保持30°不变，则外力F 的大小 ( )图1A ．可能为33mgB ．可能为52mgC ．可能为2mgD ．可能为mg答案 BCD 解析 本题相当于一悬线吊一质量为2m 的物体，悬线OA 与竖直方向夹角为30°，与悬线OA 垂直时外力F 最小，大小为mg ，所以外力F 大于或等于mg ，故B 、C 、D 正确．。

图253
解析：将木板推回桌面需要施加的最小推力应当满 足：①将木板缓慢推回，即木板可视为平衡状态， 或者说是推力仅克服摩擦力做功，而不增加木板的 动能；②要减小摩擦力，即使木板对桌面的压力减 小．根据上述分析，我们作出木板受力分析图，如 图所示，其中推力F与水平方向成θ角．运用正交分 解法进行求解．
mg
sin
－F
③
F2＝2 F co s －
mgcos sin
④
要使两绳都能绷直，则有：F1 0，F2 0⑤
由③④⑤可解得F的取值范围为：
20 3 N F 40 3 N
3
3
例4、如图255所示倾角为θ的斜面与水平面保持相 对静止，斜面上有一个质量为m的物体A，物体A与 斜面间的动摩擦因数为μ(μ<tanθ)．现给A施加一水平 推力F.设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等,求水 平推力F为多大时，物体A能在斜面上静止？
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
2kg,用外力顶靠在竖直墙上,已知木块与墙之间最大静 摩擦力和木块对墙的压力成正比,即fm＝kFN，比例系 数k＝0.5,则垂直作用于BC边的外力F应取何值木块才 能保持静止?(g＝10m/s2,sin37°=0.6，cos37°＝0.8)
解析：20N≤F≤100N.静摩 擦力向上最大时F有最小 值，静摩擦力向下最大时 F有最大值．
所以由TA＝cosG30，得G＝TA cos30＝10
3 N＝5 2