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处于平衡状态中的极值问题和临界问题预备知识：1、极值问题：平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
解决临界问题的方法：是解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据临界条件求极值。
另外图解法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平等四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
2、临界问题：由某种物理现象变化灰另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的语句来表述。
解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后再根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
例1（两物体刚好发生相对滑动模型）（单选）如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m 的滑块，此时弹簧处于自然长度。
已知滑块与板的动摩擦因数及最大静摩擦因数均为3，现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直到竖直，此过程中弹簧的弹力大小F 随夹角θ的变化关系可能是图中的哪一个？分析：这是临界问题—两物体刚好发生相对滑动的模型。
由关键词“缓慢”，可知滑块处于动态平衡。
在板的右端缓慢抬起的过程中，可知在夹角θ较小时，滑块与板相对静止；夹角θ较大时，滑块相对板滑动。
进而分析可知，板与水平面的夹角存在一临界值α，此时滑块所受的摩擦力恰为最大静摩擦力。
易知，板与水平面的夹角小于临界角时，滑块所受的摩擦力为静摩擦力；大于临界角时，摩擦力为滑动力，从而问题得解。
解析：设板与水平面的夹角为α时，滑块相对于板刚要滑动。
则由sin cos mg mg αμα=得：tan αμ==，030α= 则θ在0030 的范围内，弹簧处于原长，弹力F ＝0。
当板与水平面的夹角大于α时，滑块相对板缓慢滑动，由平衡条件得：()()()()()sin sin cos sin cos sin cos cos (sin cos sin cos )sin sec sin cos cos F mg mg mg mg mg mg mg βθμθθμθθθβθββθθββθβββθβθβ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭=-=-=-=-=- (注意：其中tan βμ=)小结：解决这类问题的关键是寻找临界条件。
专题13平衡中的临界和极值问题授课提示：对应学生用书20页1.如图所示，一工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，手对砖夹竖直方向的拉力大小为F .已知砖夹的质量为m ，重力加速度为g ，砖夹与砖块之间的滑动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．若砖块不滑动，则砖夹与砖块一侧间的压力的最小值是()A ．F 2μB ．F μC ．F －mg 2μD ．F －mg μ答案：C解析：工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，砖夹处于平衡状态，在竖直方向满足F ＝mg ＋2f ，砖夹与砖之间恰好达到最大静摩擦力f ＝μN ，联立解得，砖夹与砖块一侧间的压力的最小值为N ＝F －mg 2μ，C 正确． 2．(多选)如图所示，质量为m 的小球固定在一轻杆的一端，轻杆另一端通过光滑铰链固定于O 点．现给小球施加一拉力F ，使小球与轻杆在竖直平面内绕O 点缓慢转动，转动过程中拉力F 与轻杆的夹角始终为θ＝60°.则从小球刚好离开地面至轻杆转过90°的过程中()A ．拉力F 有最大值，为233mg B ．拉力F 有最小值，为233mg C ．轻杆对小球的弹力F N 先增大后减小 D ．轻杆对小球的弹力F N 先减小后增大答案：AC解析：选取小球运动过程某一状态，对其受力分析，作出支持力与拉力的合成图，如图所示，由题意知，α＋β＝120°在力的三角形中应用正弦定理得mg sin 60° ＝F sin β ＝F N sin α，从小球刚好离开地面至轻杆转过90°的过程中，β从90°减小到0，sin β逐渐减小，拉力F 逐渐减小，因此当β＝90°时，F 最大，此时F ＝233mg ，α从30°增加到120°，sin α先增大后减小，弹力F N 先增大后减小，当α＝90°时，F N 最大．综上所述，A 、C 正确，B 、D 错误．3.[2024·海南省白沙学校期末考试]如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻细绳AB 和AC 的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC ＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F ，若要使绳都能伸直，下列F 中不可能的是(取g ＝10m/s 2)()A ．43 NB ．83 NC ．103 ND ．123 N答案：A解析：由平衡条件有，水平方向有T B cos θ＋T C ＝F cos θ，竖直方向有T B sin θ＋F sin θ＝mg ，整理有T B ＝mg sin θ －F ，T C ＝2F cos θ－mg cos θsin θ.若要使绳都能伸直，则T B 和T C 均大于零，所以应该有mg 2sin θ <F <mg sin θ ，解得2033 N<F <4033N ，本题选不可能的，故选A. 4.[2024·山东省青岛市第一中学校考阶段练习](多选)质量为M的木楔倾角θ为37°，在水平面上保持静止．当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．如图所示，当用与木楔斜面成α角的力F拉木块，木块匀速上升(已知木楔在整个过程中始终静止).可取sin37°＝0.6.下列说法正确的有()A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.75B．当α＝37°时F有最小值C．当α＝30°时F有最小值D．F的最小值为0.96mg答案：ABD解析：物块匀速下滑时，有mg sin37°＝μmg cos37°，解得μ＝0.75，A正确；物块匀速上升时，有F cosα＝mg sinθ＋μ(mg cosθ－F sinα)，整理得F＝mg sin 2θcos （θ－α），当α＝θ＝37°时F 有最小值，最小值为F＝0.96mg，B、D正确，C错误．5.[2024·江苏省无锡期中考试]如图所示，倾角θ＝37°的质量为m＝10kg的粗糙斜面体A，置于粗糙水平面上，A与地面间的动摩擦因数足够大，质量m2＝1kg的B物体经平行于斜面的不可伸长的轻质细线跨光滑定滑轮悬挂质量为m3的物块C.已知A、B间的动摩擦因数为0.5，视最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2，求：(1)若不悬挂物块C时，通过计算，判断B是否会自行下滑；(2)欲使B能静止在斜面A上，C的质量范围；(3)若m3＝0.5kg时，地面对A的摩擦力的大小．答案：(1)会自行下滑(2)0.2kg≤m3≤1kg(3)4N解析：(1)若不悬挂物块C时，通过受力分析可知，重力沿斜面向下方向分力为G x＝m2g sinθ＝6N重力沿垂直斜面向上方向分力为G y＝m2g cosθ＝8NA、B间的动摩擦因数为0.5，则摩擦力大小为f＝μF N＝μG y＝4N 明显G x>f可得B会自行下滑；(2)当悬挂物块C时，通过受力分析如图当摩擦力沿斜面向上时拉力T有最小值为T min＝G x－f＝2N解得质量m3min＝0.2kg当摩擦力沿斜面向下时拉力T有最大值为T min＝G x＋f＝10N解得质量m3max＝1kg得C的质量范围为0.2kg≤m3≤1kg(3)当m3＝0.5kg时，拉力T大小为T＝m3g＝5N地面对A的摩擦力f＝T cosθ＝4N。
第5讲专题提升:动态平衡及平衡中的临界、极值问题基础对点练题组一力学中的动态平衡问题1.(2023黑龙江哈尔滨三中二模)如图所示,用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间。
开始时OB绳处于水平状态。
现保持O点位置不变,只通过改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B'点,此时OB'与OA之间的夹角θ<90°。
设此过程中OA、OB绳的拉力分别为F OA、F OB,下列说法正确的是()A.F OB先增大后减小B.F OB先减小后增大C.F OA先增大后减小D.F OA先减小后增大2.(多选)如图所示,一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环,系在两环上的等长细绳系住的书本处于静止状态,现将两环距离变小后书本仍处于静止状态,则()A.杆对A环的支持力不变B.B环对杆的摩擦力变小C.杆对A环的力不变D.与B环相连的细绳对书本的拉力变大3.如图所示,水平面上固定一光滑半球,球心O的正上方固定一个小滑轮,绳上系一小球,小球静置于半球面上的A点时,绳绕过定滑轮,另一端的拉力为F T。
现缓慢地将小球从B点释放到A点,则此过程中,小球对半球面的压力F N以及细线拉力F T的大小变化情况,以下说法正确的是()A.F T变小;F N不变B.F T变小;F N变小C.F T变大;F N不变D.F T 变大;F N 变大题组二 平衡中的临界、极值问题 4.课堂上,老师准备了“”形光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木,要将三个积木按如图所示(截面图)方式堆放在木板上,则木板与水平面夹角θ的最大值为( )A.30°B.45°C.60°D.90°5.如图所示,重力都为G 的两个小球A 和B 用三段轻绳连接后悬挂在O 点上,O 、B 间轻绳的长度是2l ,A 、B 间轻绳的长度是l 。
将一个拉力F 作用到小球B 上,使三段轻绳都伸直,同时O 、A 间和A 、B 间的两段轻绳分别处于竖直和水平方向上,则拉力F 的最小值为( )A.12G B.√33GC.GD.2√33G 6.(2024安徽合肥模拟)如图所示,某校门口水平地面上有一质量为150 kg 的石墩,石墩与水平地面间的动摩擦因数为√33,工作人员用轻绳按图示方式缓慢移动石墩,此时两轻绳平行,重力加速度g 取10m/s 2。
平衡中的临界和极值在生活中，平衡是一个重要的概念。
无论是身体的平衡还是心灵的平衡，我们都需要在各个方面寻找一个稳定的状态。
然而，有时候平衡并不仅仅是指两个方向的均衡，而是涉及到临界与极值的问题。
临界是指我们在寻找平衡时，达到不可忽略的边界状态。
这种状态可能会引起突破或者转折，有时甚至可能导致平衡的破裂。
而极值则是指某一方向上的最大或最小值，是达到理想平衡状态的极限。
平衡中的临界与极值是一个复杂而微妙的主题，不同的领域和情境下有着不同的定义和解释。
在物理学中，临界点是指物质在一定条件下由一种状态转变为另一种状态的边界点。
当水温降低到0摄氏度时，水会从液态变为固态，这个临界点就是冰点。
而极值则可以用来描述物质的特性，比如熔点和沸点。
在生物学中，平衡中的临界与极值也有着重要的意义。
人体的各种生理指标，如体温、血压、血糖等，在一定范围内的波动是正常的，但一旦超出了临界值，就可能导致疾病的发生。
高血压和低血糖都会对身体健康产生重大影响。
此时，我们需要通过药物治疗或生活方式的改变来恢复平衡。
在心理学和哲学中，平衡中的临界与极值是更为抽象而深刻的概念。
心理学家卡尔·荣格提出的个体心理理论中，他认为个人必须在自我和集体无意识之间寻求平衡。
个体心理是我们日常意识所能察觉到的内容，而集体无意识则包含了我们的本能、冲动和潜意识。
荣格认为，只有当个体心理与集体无意识达到平衡时，我们才能达到身心的和谐。
在生活中，平衡中的临界与极值也经常存在。
我们在工作和生活之间寻求平衡时，常常会遇到工作压力和生活满足之间的临界点。
有时候我们会为了工作进入超负荷的状态，但如果长时间处于极限状态，可能会导致身心俱疲。
另放松和休息过多也可能导致懒惰和效率下降。
我们需要在工作和生活之间找到一个合适的平衡点，既能保持高效的工作状态，又能享受生活的乐趣。
与平衡中的临界和极值有关的还有人际关系。
在人际关系中，我们常常需要在个人的利益和集体的利益之间寻求平衡。
动态平衡问题专题——临界、极值问题平衡物体的临界问题：某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态。
临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰恰不出现”某种现象的状态。
平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏而尚未破坏的状态。
涉及临界状态的问题叫做临界问题，解答临界问题的基本思维方法是假设推理法。
平衡物体的极值问题：受几个力作用而处于平衡状态的物体，当其中某个力的大小或方向按某种形式发生改变时，为了维持物体的平衡，必引起其它某些力的变化，在变化过程中可能会出现极大值或极小值的问题。
研究平衡物体的极值问题常用解析法和图解法。
1跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图。
已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ(μ＜tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量取值范围。
解析：先选物体B为研究对象，它受到重力m B g和拉力F T的作用，根据平衡条件有：F T＝m B g ①再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力F N、轻绳拉力F T和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图乙所示，根据平衡条件有：F N－mg cosθ＝0 ②F T－F fm－mg sinθ＝0 ③由摩擦力公式知：F fm＝μF N ④联立①②③④四式解得m B＝m(sinθ＋μcosθ)．再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：F N－mg cosθ＝0 ⑤F T＋F fm－mg sinθ＝0 ⑥第1页联立①⑤⑥④四式解得m B＝m(sinθ－μcosθ)．故，物体B的质量的取值范围是：m(sinθ－μcosθ)≤m B ≤m(sinθ＋μcosθ)．2如图，不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60º，轻杆BC与竖直墙夹角为30º，杆可绕C自由转动，若细绳承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大压力为300N，则在B点最多能挂多重的物体？解析：将物体对B点的拉力F进行分解，显然F=G假设绳与轻杆均被不拉断．当细绳承受的拉力F1最大时，轻杆所受的压力当轻杆承受的压力F2最大时，细绳所受的拉力由此可以当物体的重力逐渐增加时，轻杆承受的压力先达到最大．此时物体的重力达到最大．3半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，OA绳和OB绳所受的力大小如何变化？第2页第3页解析：OB绳的B 端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C 的过程中，物体始终处于平衡状态，找出不变的物理量，画出平行四边形进行分析．对结点O 受力分析如图：结点O 始终处于平衡状态，所以OB 绳和OA 绳上的拉力的合力大小保持不变，方向始终是竖直向上的．所以OA 绳受力大小变化情况：逐渐变小；OB 绳受力大小变化情况是：先变小后变大4如图，一倾角为θ的固定斜面上有一块可绕其下端转动的挡板P ，今在挡板与斜面间夹一个重为G 的光滑球，试分析挡板P 由图示位置逆时针转到水平位置的过程中，球对挡板的压力如何变化？解析：受力分析如图，将F 1与F 2合成，其合力与重力等大反向如图：挡板转动时，挡板给球的弹力F 1与斜面给球的弹力F 2合力大小方向不变，其中F 2的方向不变，作辅助图如上，挡板转动过程中，F 1第4页的方向变化如图中a 、b 、c 的规律变化，为满足平行四边形定则，其大小变化规律为先变小后变大，其中挡板与斜面垂直时为最小．与此对应，F 2的大小为一直减小．根据牛顿第三定律，球对挡板的压力是先减小后增加，对斜面的压力是不断减小。
【专题概述】1.临界状态：物体由某种物理状态变化为另一种物理状态时，中间发生质的飞跃的转折状态，通常称之为临界状态。
2.临界问题：涉及临界状态的问题叫做临界问题。
3. 解决临界问题的基本思路（1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程,找出临界状态。
（2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。
（3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题4.三类临界问题的临界条件（1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。
（2）绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零页脚内容1（3）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达最大值临界现象是量变质变规律在物理学上的生动体现。
即在一定的条件下，当物质的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着一种状态向另一种状态过渡的转折点，这个转折点常称为临界点，这种现象也就称为临界现象.如:静力学中的临界平衡；机车运动中的临界速度;振动中的临界脱离；碰撞中的能量临界、速度临界及位移临界；电磁感应中动态问题的临界速度或加速度；光学中的临界角；光电效应中的极限频率；带电粒子在磁场中运动的边界临界；电路中电学量的临界转折等.解决临界问题，一般有两种方法，第一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解；第二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。
【典例精讲】典例1：倾角为θ=37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ=0.5。
现给A施加一水平力F，如图所示。
设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等（sin37°=0.6，cos37°=0.8），如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是（）页脚内容2A.3B.2C.1D.0.5典例2：如图所示，物体A的质量为2 kg，两轻绳AB和AC(L AB＝2L AC)的一端连接在竖直墙上，另一端系在物体A上．现在物体A上施加一个与水平方向成60°角的拉力F，要使两绳都能伸直，试求拉力F 大小的取值范围．(g取10 m/s2)典例3：一个质量为1kg的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为6N，g=10m/s2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ，最小拉力与水平方向的夹角θ，正确的是（）页脚内容3A.μ=，θ=0B.μ=，tanθ=页脚内容4C.μ=，tanθ=D.μ=，tanθ=典例4：拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图).设拖把头的质量为m,拖杆质量可以忽略;拖把头页脚内容5与地板之间的动摩擦因数为常数,重力加速度为g,某同学用该拖把在水平地板上拖地时,沿拖杆方向推拖把,拖杆与竖直方向的夹角为.(1)若拖把头在地板上匀速移动,求推拖把的力的大小.(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为页脚内容6.已知存在一临界角,若,则不管沿拖杆方向的推力多大,都不可能使拖把从静止开始运动.求这一临界角的正切页脚内容7.典例5：如图所示,质量为m的物体,放在一固定斜面上,当斜面倾角为时恰能沿斜面匀速下滑.对物体施加一大小为F的水平向右恒力,物体可沿斜面匀速向上滑行.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,当斜面倾角增大并超过某一临界角页脚内容8时,不论水平恒力F多大,都不能使物体沿斜面向上滑行,试求: (1)物体与斜面间的动摩擦因数;(2)这一临界角的大小.典例6 如图所示,两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上,两根长度均为l的轻绳一端系在小环上,另一端系在质量为M的木块上,两个小环之间的距离也为l,小环保持静止.页脚内容9试求:(1)小环对杆的压力;(2)小环与杆之间的动摩擦因数至少为多大?【总结提升】所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最佳结果所需满足的极值条件.求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。
页脚内容10物理方法包括（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值。
数学方法包括（1）用三角函数关系求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值。
一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高.若将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。
在中学物理问题中，有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定,但若我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。
对于不确定的临界状况、可以采用假设的方法来处理运用假设法解题的基本步骤是：1．明确研究对象；2．画受力图；页脚内容113．假设可发生的临界现象；4．列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解．【专练提升】1、如图所示，木块A放在水平桌面上，木块左端用轻绳与轻质弹簧相连，弹簧的左端固定，用一轻绳跨过光滑定滑轮，一端连接木块右端，另一端连接一砝码盘(装有砝码)，轻绳和弹簧都与水平桌面平行，当砝码和砝码盘的总质量为0.5 kg时，整个装置静止，弹簧处于伸长状态，弹力大小为3 N，若轻轻取走盘中的部分砝码，使砝码和砝码盘的总质量减小到0.1 kg，取g＝10 m/s2，此时装置将会出现的情况是( )A．弹簧伸长的长度减小B．桌面对木块的摩擦力大小不变C．木块向右移动D．木块所受合力将变大2、(多选)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )A．绳OO′的张力也在一定范围内变化B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化3、质量为m＝0.8 kg的砝码悬挂在轻绳PA和PB的结点上并处于静止状态，PA与竖直方向的夹角37°，PB沿水平方向，质量为M＝10 kg的木块与PB相连，静止于倾角为37°的斜面上，如图所示．(取g＝页脚内容1210 m/s2，sin 37°＝0.6)求：(1)轻绳PB拉力的大小；(2)木块所受斜面的摩擦力和弹力大小．4. 如下图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α＝60°，两小球的质量比为( )页脚内容13A．B．页脚内容14C．D．5.某同学设计了一个验证平行四边形定则的实验，装置如下图所示．系着小物体m1、m2的细线绕过光滑小滑轮与系着小物体m3的细线连接在O点，当系统达到平衡时绕过滑轮的两细线与竖直方向夹角分别为37°和53°，则三个小物体的质量之比m1∶m2∶m3为(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8)( )A．3∶4∶5 B．4∶3∶5C．4∶5∶3 D．3∶5∶46．有三个质量相等、半径为r的圆柱体，同置于一块光滑圆弧曲面上，为了使下面两圆柱体不致分开，页脚内容15则圆弧曲面的半径R最大是多少？平衡中的临界问题答案【典例精讲】典例1思路点拨：若物体刚好不下滑，此时静摩擦力沿斜面向上，达到最大值，根据平衡条件和摩擦力公式求出F与G的比值最小值；同理，物体刚好不上滑时求出F与G的比值最大值，得到F与G的比值范围。
【答案】A；页脚内容16页脚内容17典例2【答案】33 N ≤F ≤33N典例3【答案】B 。
【解析】拉力斜向上比较省力，设夹角为θ；此时，对物体受力分析，受拉力、重力、支持力和摩擦力，根据平衡条件，有：页脚内容18典例4【答案】（1）（2）【解析】(1)拖把头受到重力、支持力、推力和摩擦力处于平衡,设该同学沿拖杆方向用大小为F的力页脚内容19(2)若不管沿拖杆方向用多大的力不能使拖把从静止开始运动,应有页脚内容20这时(1)式仍满足.联立(1)(5)式得(6)现考察使上式成立的角的取值范围.注意到上式右边总是大于零,且当F无限大时极限为零,页脚内容21有使上式成立的角满足页脚内容22,这里是题中所定义的临界角,即当时,不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把.页脚内容23临界角的正切为典例5【答案】（1）（2）页脚内容24角页脚内容25典例6【答案】(1)(2).【解析】因为作用在M的两根轻绳长度均为l,且两个小环之间的距离也为l,两个小环的质量均为m,故两个小环对杆的压力大小相等,设每个小环对杆的压力大小为页脚内容26,【专练提升】1、【答案】B页脚内容272、【答案】BD3、【答案】(1)6 N (2)64.8 N 76.4 N【解析】(1)对点P受力分析如图所示页脚内容28根据共点力作用下物体的平衡条件得：F B－F A sin 37°＝0F A cos 37°－mg＝0联立解得：F B＝＝N ＝6 N故轻绳PB拉力的大小为6 N页脚内容29(2)对木块受力分析如图所示4、【答案】A【解析】由F N与F T水平方向合力为零可知，F N＝F T；竖直方向有2F T cos 30°＝m1g，又F T＝m2g，从而2m2g页脚内容30×＝m1g，解得＝页脚内容315、【答案】B6、【答案】(2＋1)r【解析】设下面圆柱对上面圆柱的支持力为F，圆弧曲面对下面圆柱的支持力为F N，对上面圆柱受力分析，有2F cos 30°＝mg①对整体受力分析有页脚内容322F N cos θ＝3mg②下面两圆柱恰好不分开时，对下面右侧圆柱受力分析，如图所示，页脚内容33。
