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§ 2. 6动态平衡、平衡中的临界和极值问题「平衡状态：物体处于静止蟲瘗康皿 或匀速直线运动状态(解析法分析方法图解法I 止交分解法【考点自清】一、 平衡物体的动态问题(1) 动态平衡：指通过控制某些物理量使物体的状态发生缓慢变化。
在这个过程中物体始终 处于一系列平衡状态中。
(2) 动态平衡特征：一般为三力作用，其中一个力的大小和方向均不变化，一个力的大小变化而 方向不变，另一个力的大小和方向均变化。
(3) 平衡物体动态问题分析方法：解动态问题的关键是抓住不变量，依据不变的量来确定其他量的变化规律， 常用的分析方法有解析法和图解法。
晶品质心一新浪博客解析法的基本程序是：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程， 求出应变物理量与自变物理量的一般函数关系式， 然后根据自变量的变化情况及 变化区间确定应变物理量的变化情况。
图解法的基本程序是：对研究对象的状态变化过程中的若干状态进行受力分 析，依据某一参量的变化(一般为某一角)，在同一图中作出物体在若干状态下的 平衡力图(力的平形四边形或三角形)，再由动态的力的平行四边形或三角形的边 的长度变化及角度变化确定某些力的大小及方向的变化情况。
二、 物体平衡中的临界和极值问题1、临界冋题：(1) 平衡物体的临界状态：物体的平衡状态将要变化的状态。
物理系统由于某些原因而发生突变(从一种物理现象转变为另一种物理现 象，或从一种物理过程转入到另一物理过程的状态)时所处的状态，叫临界状态。
临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态。
(2) 临界条件：涉及物体临界状态的问题，解决时一定要注意“恰好出现” 或“恰好不出现”等临界条件。
晶品质心_新浪博客平衡物体的临界问题的求解方法一般是采用假设推理法， 即先假设怎样，然 后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。
解决这类问题关键是要注意“恰好出 址爭 LWH . Cit i?旣讯IF共点力的平衡 条件屮舍二0或现”或“恰好不出现”。
第5讲动态平衡问题和平衡中的临界、极值问题一、动态平衡问题“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力,是动态力,力的大小或方向要发生变更,但变更过程中的每一时刻的状态均可视为平衡状态,所以叫动态平衡,这是力平衡问题中的一类难题。
解动态平衡问题两种常用的方法是①解析法和②图解法。
二、平衡中的临界、极值问题1.临界状态:是从一种物理现象转变为另一种物理现象,或从一个物理过程转入另一个物理过程的转折状态。
临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态。
2.解答临界、极值问题的关键是找到临界条件。
1.如图所示,将所受重力为G的光滑小球用轻质细绳拴在竖直墙壁上,当把绳的长度增长,则下列推断正确的是()A.绳对球的拉力T和墙对球的弹力N均减小B.绳对球的拉力T增大,墙对球的弹力N减小C.绳对球的拉力T减小,墙对球的弹力N增大D.绳对球的拉力T和墙对球的弹力N均增大答案 A2.如图所示,轻绳OA、OB一端分别固定于天花板上的A、B两点,轻绳OC一端悬挂一重物。
已知OA、OB、OC能承受的最大拉力分别为150 N、100 N、200 N。
问悬挂的重物的重力不得超过多少?答案100√3 N考点一动态平衡问题所谓动态平衡问题,是指通过限制某些物理量,使物体的状态发生缓慢变更,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态。
解决此类问题的常用方法有解析法和图解法。
例1如图所示,用轻细绳AO和BO将质量为m的重物悬吊起来,静止时AO是水平的,BO 与竖直方向的夹角为θ。
已知重力加速度为g。
设AO绳的拉力为F1,BO绳的拉力为F2。
(1)假如保持节点O的位置不变,将B点向左缓慢移动(同时增加绳长),则()A.F2变小,F1变大B.F2变大,F1变小C.F1和F2的合力不变D.F1和F2的合力变小(2)假如保持节点O的位置不变,将A点向上缓慢移动(同时增加绳长),F1和F2分别怎样变更?答案见解析解析(1)方法1:在B点缓慢左移的过程中,θ缓慢增大,而O点始终保持受力平衡状态,F1和F2均发生变更,但它们的合力肯定不变,F'=mg,方向竖直向上;因F1=mg tanθ,F2=mm,所以θ增大,tan θ增大、cos θ减小。
专题强化二动态平衡平衡中的临界与极值问题学习目标 1.学会运用解析法、图解法等处理动态平衡问题。
2.会分析平衡中的临界与极值，并会进行相关的计算。
考点一动态平衡问题1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。
2.做题流程方法解析法1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。
3.根据自变量的变化确定因变量的变化。
例1(2021·湖南卷，5)质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图1所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。
凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。
用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是()图1A.推力F先增大后减小B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大C.墙面对凹槽的压力先增大后减小D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大答案C解析对小滑块受力分析，如图甲所示，由题意可知，推力F与凹槽对滑块的支持力F N始终垂直，即α＋β始终为90°，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α减小，β增大，由平衡条件得F＝mg cosα、F N＝mg sinα，可知推力F一直增大，凹槽对滑块的支持力F N一直减小，A、B错误；对小滑块和凹槽整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件可得，墙面对凹槽的压力大小F N1＝F sinα＝12mg sin2α，水平地面对凹槽的支持力F N2＝Mg＋mg－F cosα，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α由π2逐渐减小到零，根据数学知识可知墙面对凹槽的压力先增大后减小，水平地面对凹槽的支持力一直减小，C正确，D错误。
甲乙跟踪训练1.如图2所示，半径相同、质量分布均匀的圆柱体E和半圆柱体M靠在一起，E 表面光滑，重力为G；M下表面粗糙，E、M均静止在水平地面上。
处于平衡状态中的极值问题和临界问题预备知识：1、极值问题：平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
解决临界问题的方法：是解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据临界条件求极值。
另外图解法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平等四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
2、临界问题：由某种物理现象变化灰另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的语句来表述。
解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后再根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
例1（两物体刚好发生相对滑动模型）（单选）如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m 的滑块，此时弹簧处于自然长度。
已知滑块与板的动摩擦因数及最大静摩擦因数均为3，现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直到竖直，此过程中弹簧的弹力大小F 随夹角θ的变化关系可能是图中的哪一个？分析：这是临界问题—两物体刚好发生相对滑动的模型。
由关键词“缓慢”，可知滑块处于动态平衡。
在板的右端缓慢抬起的过程中，可知在夹角θ较小时，滑块与板相对静止；夹角θ较大时，滑块相对板滑动。
进而分析可知，板与水平面的夹角存在一临界值α，此时滑块所受的摩擦力恰为最大静摩擦力。
易知，板与水平面的夹角小于临界角时，滑块所受的摩擦力为静摩擦力；大于临界角时，摩擦力为滑动力，从而问题得解。
解析：设板与水平面的夹角为α时，滑块相对于板刚要滑动。
则由sin cos mg mg αμα=得：tan αμ==，030α= 则θ在0030 的范围内，弹簧处于原长，弹力F ＝0。
当板与水平面的夹角大于α时，滑块相对板缓慢滑动，由平衡条件得：()()()()()sin sin cos sin cos sin cos cos (sin cos sin cos )sin sec sin cos cos F mg mg mg mg mg mg mg βθμθθμθθθβθββθθββθβββθβθβ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭=-=-=-=-=- (注意：其中tan βμ=)小结：解决这类问题的关键是寻找临界条件。
专题强化三 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题目标要求 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题.2.会分析平衡中的临界与极值问题．题型一 动态平衡问题1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态． 2．做题流程受力分析――――――――→化“动”为“静”画不同状态下的平衡图构造矢量三角形――――――――→“静”中求“动”⎩⎨⎧――――→定性分析根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化――――→定量计算⎩⎪⎨⎪⎧三角函数关系正弦定理相似三角形→找关系求极值3．常用方法 (1)图解法此法常用于定性分析三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况． (2)解析法对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程或根据相似三角形、正弦定理，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化．考向1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示．2．一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示．例1(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A 的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A物体的半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态．设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是()A．F1减小B．F1增大C．F2增大D．F2减小答案AD解析以球B为研究对象，受力分析如图所示，可得出F1＝G tan θ，F2＝Gcos θ，当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小，故A、D正确．例2(多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中()A．斜面对球的支持力逐渐增大B．斜面对球的支持力逐渐减小C．挡板对小球的弹力先减小后增大D．挡板对小球的弹力先增大后减小答案BC解析对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力N1和挡板的弹力N2，如图，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，N1和N2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力N1逐渐减小，挡板对小球的弹力N2先减小后增大，当N1和N2垂直时，弹力N2最小，故选项B、C正确，A、D错误．考向2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题1.一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等．基本矢量图，如图所示基本关系式：mg H ＝N R ＝TL例3 (2023·宁夏银川一中检测)如图所示，质量分布均匀的细棒中心为O 点，O 1为光滑铰链，O 2为光滑定滑轮，且O 2在O 1正上方，细绳跨过O 2与O 连接，水平外力F 作用于细绳的一端．用N 表示铰链对杆的作用力，现在水平外力F 作用下，θ从π2缓慢减小到0的过程中，下列说法正确的是( )A ．F 逐渐变小，N 大小不变B ．F 逐渐变小，N 逐渐变大C ．F 先变小再变大，N 逐渐变小D ．F 先变小再变大，N 逐渐变大 答案 A解析 受力分析如图所示，力三角形与几何三角形(△O 2OO 1)相似，则有G O 2O 1＝N OO 1＝FOO 2，因为O 2O 1、OO 1长度不变，故N 大小不变，OO 2长度变短，故F 变小，故A 正确，B 、C 、D 错误．2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化． 基本矢量图，如图所示例4 (多选)如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N .初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α(α＞π2)．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM 由竖直被拉到水平的过程中( )A ．MN 上的张力逐渐增大B ．MN 上的张力先增大后减小C ．OM 上的张力逐渐增大D ．OM 上的张力先增大后减小 答案 AD解析 以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg 、OM 绳上拉力F 2、MN 上拉力F 1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F 1、F 2的夹角不变，在F 2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN 上的张力F 1逐渐增大，OM 上的张力F 2先增大后减小，所以A 、D 正确，B 、C 错误．一力恒定，另外两力方向均变化时常采用的方法有相似三角形、正弦定理或利用两力夹角不变作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化．考向3 “活结”的动态分析如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，T sin θ1＝T sin θ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sin θ＝d L 1＋L 2＝dL ，若两杆间距离d 不变，则上下移动绳子结点，θ不变，若两杆距离d 减小，则θ减小，2T cos θ＝mg ，T ＝mg2cos θ也减小．例5 如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G .现将轻绳的一端固定于支架上的A 点，另一端从B 点沿支架缓慢地向C 点靠近(C 点与A 点等高)．则在此过程中绳中拉力( )A ．先变大后不变B ．先变大后变小C ．先变小后不变D ．先变小后变大答案 A解析 对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F 1＝F 2，由几何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为θ，可知F1＝F2＝mg2cos θ①如图乙所示，设绳长为L，由几何关系得sin θ＝dL②其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确．题型二平衡中的临界、极值问题1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类：(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.(3)刚好离开接触面，支持力N＝0.2．极值问题平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．3．解题方法(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．例6如图所示，物体的质量为m＝5 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10 m/s2)答案5033 N ≤F ≤10033 N 解析 设AB 绳的拉力为F 1，AC 绳的拉力为F 2，对物体受力分析，由平衡条件有 F cos θ－F 2－F 1cos θ＝0， F sin θ＋F 1sin θ－mg ＝0，可得F ＝mg sin θ－F 1，F ＝F 22cos θ＋mg2sin θ.若要使两绳都能伸直，则有F 1≥0，F 2≥0， 则F 的最大值F max ＝mg sin θ＝10033 N ， F 的最小值F min ＝mg 2sin θ＝5033 N ， 即拉力F 的大小范围为5033 N ≤F ≤10033 N.例7 如图所示，质量m ＝5.2 kg 的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F 作用下，向右以v 0＝2.0 m/s 的速度做匀速直线运动．已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g ＝10 m/s 2.求所需拉力F 的最小值．答案 226 N解析 设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有F cos θ＝μ(mg －F sin θ)，整理得cos θ＋μsin θ＝μmg F ，1＋μ2sin(α＋θ)＝μmgF (其中sin α＝11＋μ2)，当θ＝π2－α时F 最小，故所需拉力F 的最小值F min ＝μmg1＋μ2＝226 N.课时精练1.如图所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有一光滑小金属环．现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N两点的拉力F1、F2的变化情况，下列判断正确的是()A．F1和F2都变大B．F1变大，F2变小C．F1和F2都变小D．F1变小，F2变大答案 C解析由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力大小相等．木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度后，绳子之间的夹角变小，绳对小金属环的合力大小等于小金属环的重力大小，保持不变，所以绳子上的拉力变小，选项C正确，A、B、D错误．2.(2023·山东烟台市高三模拟)如图所示，用一个质量不计的网兜把足球挂在光滑竖直墙壁上的A点，足球与墙壁的接触点为B.若只增大悬绳的长度，足球始终保持静止状态，关于悬绳对球的拉力F和墙壁对球的支持力N，下列说法正确的是()A．F和N都增大B．F增大，N减小C．F减小，N增大D．F和N的合力不变答案 D解析对球受力分析，由平衡条件得悬绳对球的拉力满足F cos θ＝mg，墙壁对球的支持力满，所以当增大悬绳的长度时，夹角θ减小，则由几何关系知cos θ增大，tan θ减足tan θ＝Nmg小，所以F和N都减小，故A、B、C错误；因为足球始终保持静止状态，所以F和N的合力始终与mg等大反向，故D正确．3.如图所示，轻绳PQ能承受的最大张力为80 N，现用它悬挂一质量为4 kg的物体，然后在轻绳的中点O施加一水平向左的力F，使中点O缓慢向左移动，已知重力加速度g＝10 m/s2，则当轻绳断裂瞬间，绳的PO段与竖直方向的夹角为()A ．30°B ．45°C ．53°D ．60°答案 D解析 设当轻绳断裂瞬间，绳的PO 段与竖直方向的夹角为θ，由平衡条件可得cos θ＝mg T m ＝40 N 80 N ＝12，解得θ＝60°，D 正确． 4.(2023·广东汕尾市高三月考)新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%棉田都是通过机械自动化采收，自动采棉机能够在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包，通过采棉机后侧可以旋转的支架平稳将其放下，放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m 的棉包放在“V ”型挡板上，两板间夹角为120°固定不变，“V ”型挡板可绕P 轴在竖直面内转动．初始时BP 板水平，在使BP 板逆时针缓慢转动60°的过程中，忽略“V ”型挡板对棉包的摩擦力，下列说法正确的是( )A ．BP 板水平时，棉包受到两个力的作用B ．当BP 板转过60°，AP 板水平时，棉包受到三个力的作用C ．当BP 板转过30°时，棉包对AP 板和BP 板的作用力大小不相等D ．在转动过程中棉包对BP 板的压力不变 答案 A解析 BP 板水平时或AP 板水平时棉包都只受到重力和支持力两个力作用，故A 正确，B 错误；当BP 板转过30°时，两板与水平方向夹角相等，由对称性知，棉包对AP 板和BP 板的作用力大小相等，故C 错误；在转动过程中棉包对BP 板的压力减小，故D 错误． 5.(多选)(2023·湖南岳阳市十四中高三检测)如图所示，水平面和竖直面构成的垂直墙角处有一个截面为半圆的光滑柱体，用细线拉住的小球静止靠在半圆柱体的P 点(P 点靠近底端)．通过细线将小球从P 点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点，细线方向始终保持与半圆相切．此过程中( )A．细线对小球的拉力逐渐减小B．圆柱体对小球的支持力逐渐减小C．水平地面对圆柱体的支持力逐渐减小D．圆柱体对竖直墙面的压力先增大后减小答案AD解析对小球进行受力分析，如图所示根据平衡条件有N1＝mg cos θ，T＝mg sin θ，当细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点过程中，θ逐渐减小，则细线对小球的拉力T逐渐减小，圆柱体对小球的支持力N1逐渐增大，A正确，B错误；对圆柱体与小球整体分析，如图所示，根据平衡条件有N3＝T cos θ＝12mg sin 2θ，T sin θ＋N2＝(M＋m)g，当细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点过程中，θ在0～π范围内2变化，θ逐渐减小，故N2逐渐增大，N3先增大后减小，C错误、D正确．6.(2023·宁夏六盘山高级中学模拟)如图所示，某健身者右手拉着抓把沿图示位置B水平缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中()A．绳子的拉力逐渐增大B．该健身者所受合力逐渐减小C．该健身者对地面的压力逐渐减小D ．该健身者对地面的摩擦力逐渐增大 答案 D解析 由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg ，A 、B 错误；对健身者受力分析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有T sin θ＋N ＝Mg ，又有T ＝mg ，可得N ＝Mg －mg sin θ，在水平方向，则有T cos θ＝f ，当从B 水平缓慢移到A 时，θ角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C 错误，D 正确．7.(2023·云南昆明市检测)如图所示，两质量均为m 的小球a 、b (均可看成质点)固定在轻杆两端，用两条与轻杆等长的细线悬挂在O 点，整个系统静止时，细线和轻杆构成正三角形，用力F 缓慢拉动小球b ，保持两细线绷紧，最终使连接a 球的细线竖直，重力加速度大小为g ，则连接a 球的细线竖直时，力F 的最小值是( )A.12mg B.32mg C ．mg D.3mg答案 B解析 末状态时，左边小球a 在最低点，细线Oa 处于竖直方向，小球a 处于平衡状态，合外力沿水平方向的分量为零，则此时轻杆上的弹力为零，故右侧小球b 受到重力、细线Ob 的拉力和力F 作用处于平衡状态，如图所示，由几何关系可知，当拉力F 方向与Ob 垂直时拉力F 最小，可得最小拉力F min ＝mg sin 60°＝32mg ，选项B 正确，A 、C 、D 错误．8.如图所示为一简易起重装置，AC 是上端带有滑轮的固定支架，BC 为质量不计的轻杆，杆的一端C 用铰链固定在支架上，另一端B 悬挂一个质量为m 的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A 连接在卷扬机上．开始时，杆BC 与AC 的夹角∠BCA >90°，现使∠BCA 缓慢变小，直到∠BCA ＝30°(不计一切阻力)．在此过程中，杆BC 所产生的弹力( )A ．大小不变B ．逐渐增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大答案 A解析 以结点B 为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F 、N 的合力F 合与G 大小相等、方向相反．根据三角形相似得F 合AC ＝F AB ＝NBC ，又F 合＝G ，得F ＝AB AC G ，N ＝BC ACG∠BCA 缓慢变小的过程中，AB 变小，而AC 、BC 不变，则F 变小，N 不变，故杆BC 所产生的弹力大小不变，故选A.9.(2023·河北邯郸市模拟)如图所示，置于水平地面的木板上安装有竖直杆，在杆上A 、B 两点间安装长为2d 的轻绳，两竖直杆间距为d .A 、B 两点间的高度差为d2，现有带光滑轻质钩子、质量为m 的物体钩住轻绳且处于平衡状态，重力加速度为g .下列说法正确的是( )A．开始平衡时轻绳的张力大小为mgB．开始平衡时轻绳的张力大小为3mg 3C．若将绳子的A端沿竖直杆上移，绳子拉力将变大D．若将木板绕水平轴CD缓慢向纸面外旋转，轻绳的张力先增大后减小答案 B解析设结点左侧绳长为l1，结点右侧绳长为l2，有l1cos θ1＋l2cos θ2＝d，由水平方向受力平衡，有T cos θ1＝T cos θ2，有cos θ1＝cos θ2＝d2d ＝12，竖直方向受力平衡，有2T sin θ1＝mg，解得T＝3mg3，A错误，B正确；将绳子的A端沿竖直杆上移或将木板绕水平轴CD缓慢向纸面外旋转，由A、B中分析可知，由于A、B两点的水平间距不变，左右两部分与水平方向夹角不变，所以绳子拉力大小不变，C、D错误．10.(2023·河北唐山市模拟)北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示．若支撑点距水平地面的高度为 3 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为33，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端不发生侧滑，则木棍的长度最大为()A．1.5 m B. 3 mC．2 m D．2 3 m答案 C解析设木棍与水平方向夹角为θ，木棍长度为L，粮仓对木棍的作用力大小为F，则为使木棍下端一定不发生侧滑，由平衡条件有F cos θ≤μF sin θ，由几何知识有tan θ＝hL2－h2，两式联立解得L≤2 m，即木棍的长度最大为2 m，故A、B、D错误，C正确．11.(多选)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂质量为m的物块A，另一端系一位于固定光滑斜面上且质量为2m的物块B，斜面倾角θ＝45°，外力F沿斜面向上拉物块B，使物块B由滑轮正下方位置缓慢运动到和滑轮等高的位置，则()A．细绳OO′的拉力先减小后增大B．细绳对物块B的拉力大小不变C．斜面对物块B的支持力先减小后增大D．外力F逐渐变大答案BCD解析由题可知，物块缓慢移动，整体处于动态平衡状态，则绳OO′的拉力大小等于下面绳对A的拉力和绳对B的拉力的合力大小，由于绳对A的拉力和绳对B的拉力大小相等，都等于A物块的重力的大小，但是由于B物块上移，导致二者之间的夹角变大，则根据平行四边形定则可知合力变小，即绳OO′的拉力逐渐减小，故A错误，B正确；对物块B受力分析如图所示，当物块B上移时，α先减小后增大，在垂直斜面方向根据平衡条件可知，斜面对物块B的支持力先减小后增大，在沿斜面方向根据平衡条件可知，外力F逐渐变大，故C、D正确．12．(2020·山东卷·8)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m 的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行．A 与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为()A.13B.14C.15D.16 答案 C解析 A 、B 刚要滑动时受力平衡，受力如图所示． 对A ：T ＝mg sin 45°＋μmg cos 45°对B ：2mg sin 45°＝T ＋3μmg cos 45°＋μmg cos 45°整理得，μ＝15，选项C 正确．13.(多选)如图，倾角为30°的斜面体放置于粗糙水平地面上，物块A 通过跨过光滑定滑轮的柔软轻绳与小球B 连接，O 点为轻绳与定滑轮的接触点．初始时，小球B 在水平向右的拉力F 作用下，使轻绳OB 段与水平拉力F 的夹角θ＝120°，整个系统处于静止状态．现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角θ不变，从初始到轻绳OB 段水平的过程中，斜面体与物块A 均保持静止不动，则在此过程中( )A ．拉力F 逐渐增大B ．轻绳上的张力先增大后减小C ．地面对斜面体的支持力逐渐增大D ．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小 答案 AD解析 小球B 受重力mg 、轻绳OB 的拉力T 和拉力F ，由题意可知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，在T 转至水平的过程中，轻绳OB 的拉力T 逐渐减小，拉力F 逐渐增大，故选项A 正确，B 错误；整体(含斜面体，物块A 和小球B )受向下的重力、向上的支持力、向左的摩擦力以及拉力四个力的作用，根据对小球的受力分析可知，拉力F 的竖直方向分力逐渐增大，水平方向分力先增大后减小，所以地面对斜面体的支持力逐渐减小，地面对斜面体的摩擦力先增大后减小，故选项C错误，D正确．。
4.相互作用点点清专题之平衡中的临界与极值问题一知能掌握1.平衡中的临界问题某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态为临界状态，临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题，解决这类问题一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
2.平衡物体中的极值问题极值是指研究的平衡问题中某物理量变化时出现的最大值或最小值。
中学物理的极值问题可分为简单极值问题和条件极值问题，区分的依据就是是否受附加条件限制。
若受附加条件限制，则为条件极值。
3．平衡中的临界极值问题四种方法临界问题往往是和极值问题联系在一起的．解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件．要特别注意可能出现的多种情况．解决临界极值问题的四种方法(1)假设推理法。
假设推理法是解决临界问题的有效方法，即先假设达到临界条件，然后再结合平衡条件及有关知识列方程求解。
(2)解析法:根据物体的平衡条件列出平衡方程,在解方程时采用数学方法求极值.通常用到的数学知识有二次函数求极值、均分定理求极值、讨论分式极值、三角函数极值，以及几何法求极值等。
(3)图解法:此种方法通常适用于物体只在三个力作用下的平衡问题.首先根据平衡条件作出力的矢量三角形,如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量三角形进行动态分析,确定其最大值或最小值.此法简便、直观。
例如：在三角形中一条边a的大小和方向都确定，另一条边b只能确定其方向（即a、b间的夹角θ确定），欲求第三边c的最小值，则必有c垂直于b时最小，且c＝asinθ，如下图所示。
（4）极限法:极限法是一种处理极值问题的有效方法,它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(如“极大”“极小”等),从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来,快速求解.4.解决临界极值问题的基本步骤是：（1）选对象：明确研究对象；（2）析受力：对对象进行受力分析，画出物体的受力示意图；（3）列方程：结合临界条件、极限条件、平衡方程、几何条件列方程；（4）求结果：根据数学方法计算结果并讨论。
平衡中的临界和极值问题所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏但尚未被破坏的状态。
求解平衡的临界问题一般用极限法。
极限分析法是一种预测和处理临界问题的有效方法，它是指：通过恰当选取某个变化的物理量将其推向极端（“极大”、“极小”、“极右”或“极左”等）,从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。
在平衡中最常见的临界问题有以下两类： 一、以弹力为情景1. 两接触物体脱离与不脱离的临界条件是：相互作用力为零。
2. 绳子断与不断的临界条件是：作用力达到最大值；绳子由弯到直（或由直变弯）的临界条件是：绳子的拉力等于零。
例1：如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。
解：作出A 受力图如图所示，由平衡条件有：F ．cos θ-F 2-F 1cos θ=0, F sin θ+F 1sin θ-mg =0要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为：N F N 33403320≤≤变式训练1：两根长度不一的细线a 和b ，一根连在天花板上，另一端打结连在一起，如图，已知a 、b 的抗断张力（拉断时最小拉力）分别为70N ，80N.它们与天花板的夹角分别为37°、53°， 现在结点O 处加一个竖直向下的拉力F ，(sin37°=cos53°=0.6, cos37°=sin53°=0.8) 求： (1)当增大拉力F 时，哪根细绳先断?(2)要使细线不被拉断，拉力F 不得超过多少？变式训练2两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N 点，M 、N 两点间的距离为s ，如图所示，已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每根绳的长度不得短于__ ____．例2：如图所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面。
专题强化练(二) 动态平衡平衡中的临界、极值问题(40分钟70分)一、选择题1.(6分)(2023·宁波模拟)如图,有一段圆管,现有一只虫子沿如图所示的圆弧曲线从A点缓慢爬到B点,关于虫子爬过去的过程,下列说法正确的是()A.圆管对虫子的弹力可能不变B.圆管对虫子的摩擦力先减小后变大C.圆管对虫子的摩擦力一直减小D.圆管对虫子的作用力一定改变【解析】选B。
对虫子受力分析,有重力,圆管对其的支持力和摩擦力,设虫子在圆管上某点时过该点的切线与水平方向夹角为θ,由平衡条件,可得F N=mg cosθ,虫子从位置A向位置B缓慢爬行,θ角先减小后增大,圆管对虫子的弹力先增大后减小,故A错误;由平衡条件,有F f=mg sin θ,当虫子从位置A向位置B缓慢爬行的过程中,θ角先减小后增大,所以圆管对虫子的摩擦力先减小后变大,故B正确、C错误;圆管对虫子的作用力是支持力与摩擦力的合力,等于虫子所受重力,所以应保持不变。
故D错误。
2.(6分)(交通工具)(多选)如图为汽车的机械式手刹(驻车器)系统的结构示意图,结构对称。
当向上拉动手刹拉杆时,手刹拉索(不可伸缩)就会拉紧,拉索OD、OC分别作用于两边轮子的制动器,从而实现驻车的目的。
则以下说法不正确的是()A.当OD、OC两拉索夹角为60°时,三根拉索的拉力大小相等B.拉动手刹拉杆时,拉索AO上的拉力总比拉索OD和OC中任何一个拉力大C.若在AO上施加一恒力,OD、OC两拉索夹角越小,拉索OD、OC拉力越大D.若保持OD、OC两拉索拉力不变,OD、OC两拉索越短,拉动拉索AO越省力【解析】选A、B、C。
当OD、OC两拉索夹角为120°时,三根拉索的拉力大小才相等,A错误;拉动手刹拉杆时,当OD、OC两拉索夹角大于120°时,拉索AO上拉力比拉索OD和OC中任何一个拉力小,B错误;根据平行四边形定则可知,若在AO上施加一恒力,OD、OC两拉索夹角越小,拉索OD、OC拉力越小,C错误;若保持OD、OC两拉索拉力不变,OD、OC两拉索越短,则两力夹角越大,合力越小,即拉动拉索AO越省力,D正确。
2008高考物理复习物体平衡时的临界状态和极值问题所谓的临界状态是指一种物理现象转变为另一种物理现象，或者从一个物理过程转入到另一个物理过程的转折状态。
我们也可以将其理解为“恰好出现”或者“恰好不出现”某种现象的状态。
而平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要变化的状态。
所谓极值问题是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出现的最大值或者最小值。
研究物理极值问题和临界问题的基本观点有二：1、物理分析：通过对物理过程分析，抓住临界或者极值条件进行求解；2、数学讨论：通过对物理问题的分析，依据物理规律列出物理量之间的函数关系，用数学方法求极值。
这种方法一定要依据物理理论对解的合理性以及物理意义进行讨论或者说明。
研究临界问题的基本方法：一般采用先假设一种情况的存在，然后再根据平衡条件以及有关知识列方程求解。
研究平衡物体的极值问题有两种方法：1、解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。
通常我们会用到的数学知识有：二次函数极值、均分定理求极值、讨论分式极值、三角函数极值以及几何法求极值；2、图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力矢量三角形，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值。
这种方法比较简便，而且很直观。
例1、如图1所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直的墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围。
（北京市海淀区试题）解析、这是一个典型的临界问题。
作出物体A的受力图如图2所示，由平衡条件有：ΣF y=Fcosθ-F2-F1cosθ=0 (1)ΣF x=Fsinθ+F1sinθ-mg =0 (2)由（1）、（2）可得：F=mg/sinθ–F1（3）F=F2/2cosθ +mg/2sinθ（4）要使两绳都能绷直，则有F1≥0（5），F2≥0 （6）由（3）、（5）得F有最大值F max=mg/sinθ=40/（√3）N由（4）、（6）可知F有最小值F min=mg/2sinθ=20/（√3）N综合有F的取值范围为：20/（√3）N≤F≤40/（√3）N例2、如图3所示，位于斜面上的物体M在沿斜面向上的力F的作用下，处于静止状态，则斜面作用于物体的静摩擦力（）（1）、方向可能沿斜面向上；（2）、方向可能沿斜面向下；（3）、大小可能等于零；（4）、大小可能等于F。
平衡中的临界与极值问题1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．常见的临界状态有：(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)；(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松驰的临界条件为绳中张力为0；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大．研究的基本思维方法：假设推理法．2．极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或解析法进行分析．例1 重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F 使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？解析 木块在运动过程中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F 斜向上，设当F 斜向上与水平方向的夹角为α时，F 的值最小．木块受力分析如图所示，由平衡条件知：F cos α－μF N ＝0，F sin α＋F N －G ＝0解上述二式得：F ＝μG cos α＋μsin α令tan φ＝μ，则sin φ＝μ1＋μ2，cos φ＝11＋μ2可得F ＝μG cos α＋μsin α＝μG1＋μ2cos (α－φ) 可见当α＝φ时，F 有最小值，即F min ＝μG1＋μ2答案μG 1＋μ2与水平方向成α角且tan α＝μ 解决极值问题和临界问题的方法(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．(2)数学解法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)． 突破训练1 如图1 所示，质量均为m 的小球A 、B 用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O 点，在外力F 的作用下，小球A 、B 处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线OA 与竖直方向的夹角θ保持30°不变，则外力F 的大小 ( )图1A ．可能为33mgB ．可能为52mgC ．可能为2mgD ．可能为mg答案 BCD 解析 本题相当于一悬线吊一质量为2m 的物体，悬线OA 与竖直方向夹角为30°，与悬线OA 垂直时外力F 最小，大小为mg ，所以外力F 大于或等于mg ，故B 、C 、D 正确．。
2020届高考物理第二轮专题复习选择题模拟演练平衡中的临界和极值问题一、单项选择题1、如图所示，质量均为m 的A 、B 两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg 的恒力F 向上拉B ，运动距离h 时，B 与A 分离．下列说法正确的是( )A ．B 和A 刚分离时，弹簧长度等于原长 B ．B 和A 刚分离时，它们的加速度为gC ．弹簧的劲度系数等于mg hD ．在B 与A 分离之前，它们做匀加速直线运动2、如图所示，在光滑水平面上有一辆小车A ，其质量为m A ＝2.0 kg ，小车上放一个物体B ，其质量为m B ＝1.0 kg.如图甲所示，给B 一个水平推力F ，当F 增大到稍大于3.0 N 时，A 、B 开始相对滑动．如果撤去F ，对A 施加一水平推力F ′，如图乙所示．要使A 、B 不相对滑动，则F ′的最大值F max 为( )A ．2.0 NB ．3.0 NC ．6.0 ND ．9.0 N3、不可伸长的轻绳跨过质量不计的滑轮，绳的一端系一质量M ＝15 kg 的重物，重物静止于地面上，有一质量m ＝10 kg 的小猴从绳的另一端沿绳上爬，如图所示，不计滑轮摩擦，在重物不离开地面的条件下，小猴向上爬的最大加速度为(g 取10 m/s 2) ( )A ．5 m/s 2B ．10 m/s 2C ．15 m/s 2D ．25 m/s 24、如图所示，三根长度均为l 的轻绳分别连接于C 、D 两点，A 、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距2l .现在C 点悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点可施加力的最小值为( )A ．mg B.33mg C.12mg D.14mg 5、如图所示，质量均为m 的木块A 和B ，用一个劲度系数为k 的轻质弹簧连接，最初系统静止，现在用力缓慢拉A 直到B 刚好离开地面，则这一过程A 上升的高度为( )A.mg kB.2mg kC.3mg kD.4mg k6、如图所示，一小球用轻绳悬于O 点，用力F 拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向60°角，且小球始终处于平衡状态．为了使F 有最小值，F 与竖直方向的夹角θ应该是( )A ．90° B．45° C．30° D．0°7、如图所示，用细线相连的质量分别为2m 、m 的小球A 、B 在拉力F 作用下，处于静止状态，且细线OA 与竖直方向的夹角保持θ＝30°不变，则拉力F 的最小值为( )A.332mgB.23＋12mgC.3＋22mgD.32mg8、如图所示，在斜面上等高处，静止着两个相同的质量为m 的物块A 和B ，两物块之间连接着一个劲度系数为k 的轻质弹簧，斜面的倾角为θ，两物块和斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g ，则弹簧的最大伸长量是( )图4A.mg kB.μmg cos θkC.mg sin θ＋μmg cos θkD.mg μ2cos 2θ－sin 2θk9、将一个半球体置于水平地面上，半球的中央有一个光滑小孔，上端有一光滑的小滑轮，柔软光滑的轻绳绕过滑轮，两端分别系有质量为m 1、m 2的物体(两物体均可看成质点，m 2悬于空中)时，整个装置处于静止状态，如图所示，已知此时m 1与半球的球心O 的连线与水平线成53°角(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)，m 1与半球面间的动摩擦因数为0.5，并假设m 1所受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在整个装置处于静止的前提下，下列说法正确的是( )A.无论m 1m 2的比值如何，地面对半球体的摩擦力都不为零B.当m 1m 2＝53时，半球体对m 1的摩擦力为零C.当1≤m 1m 2＜53时，半球体对m 1的摩擦力的方向垂直于图中的虚线向上D.当53＜m 1m 2≤5时，半球体对m 1的摩擦力方向垂直于图中的虚线向下10、如图所示，一块足够大的光滑平板能绕水平固定轴MN 调节其与水平面所成的倾角α.板上一根长为L ＝0.50 m 的细绳，它的一端系住一质量为m ＝0.1 kg 的小球，另一端固定在板上的O 点．当平板的倾角固定为α时，先将细绳平行于水平轴MN 拉直，然后给小球一沿着平板并与细绳垂直的初速度v 0＝3.0 m/s.重力加速度g 取10 m/s 2，cos 53°＝0.6，若小球能在板上做圆周运动，则下列说法中正确的是( )A ．当倾角α＝0°时，细绳中的拉力大小为18 NB ．当倾角α＝37°时，小球通过最高点时细绳拉力为零C ．当倾角α＝90°时，小球可能在竖直面内做圆周运动D ．当倾角α＝30°时，小球通过最低点时细绳拉力大小为4.3 N二、多项选择题11、如图所示，半圆柱体Q 放在水平地面上，表面光滑的圆柱体P 放在Q 和墙壁之间，Q 的轴线与墙壁之间的距离为L ，已知Q 与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，P 、Q 横截面半径均为R ，P 的质量是Q 的2倍，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，P 、Q 均处于静止状态，则( )A.L 越大，P 、Q 间的作用力越大B.L 越大，P 对墙壁的压力越小C.L 越大，Q 受到地面的摩擦力越小D.L 的取值不能超过115R12、如图所示，倾角为α的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a 放在斜劈的斜面上，轻质细线一端固定在物体a 上，另一端绕过光滑的滑轮固定在c 点，滑轮2下悬挂物体b ，系统处于静止状态。
若将固定点c 向右移动少许，而a 与斜劈始终静止，则A.细线对物体a 的拉力增大B.斜劈对地面的压力减小C.斜劈对物体a的摩擦力减小D.地面对斜劈的摩擦力增大13、如图所示，悬挂于O点的轻质弹簧，劲度系数k＝100 N/m，其下端拴一质量m＝1 kg的小物体A，紧挨物体A有一质量M＝2 kg的物体B，现对B施加一个竖直向上、大小为38 N的力F，系统处于静止状态，现突然改变力F的大小，使物体A、B以加速度a＝2 m/s2匀加速下降，直到A、B两物体分离，取g＝10 m/s2，则( )A．两物体刚开始匀加速下降时，力F大小为8 NB．两物体分离时，弹簧刚好恢复原长C．改变力F的大小后经0.4 s A、B两物体分离D．从改变力F到两物体分离的过程中，系统克服力F做的功为3.84 J14、如图所示，质量相同的木块A和B用轻质弹簧连接，静止在光滑的水平面上，此时弹簧处于自然伸长状态．现用水平恒力F推A，则从开始到弹簧第一次被压缩到最短的过程中，下列说法正确的是( )A．弹簧压缩到最短时两木块加速度相等B．弹簧压缩到最短时两木块速度相等C．两木块速度相等时，加速度a A<a BD．两木块加速度相同时，速度v A<v B15、如图(a)，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的vt 图线如图(b)所示．若重力加速度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则可求出 ( )A．斜面的倾角B．物块的质量C．物块与斜面间的动摩擦因数D．物块沿斜面向上滑行的最大高度16、如图所示，水平面上有一个足够长的木板A, 上面叠放着物块B.已知A、B的质量均为m，A与地面间动摩擦因数μ1＝0.2, A与B间动摩擦因数μ2＝0.1，重力加速度g取10 m/s2，若给A板一个水平向右的初速度，在以后的运动过程中，A、B加速度的大小可能为( )A．a A＝5 m/s2, a B＝1 m/s2B．a A＝2 m/s2, a B＝2 m/s2C ．a A ＝3 m/s 2, a B ＝1 m/s 2D ．a A ＝1 m/s 2, a B ＝1 m/s 2答案与解析 1、C解析：A 、B 分离前，A 、B 共同做加速运动，由于F 是恒力，而弹力是变力，故A 、B 做变加速直线运动，当两物体要分离时，F AB ＝0，对B ：F －mg ＝ma ，对A ：kx －mg ＝ma .即F ＝kx 时，A 、B 分离，此时弹簧处于压缩状态， 由F ＝mg ，设用恒力F 拉B 前弹簧压缩量为x 0， 又2mg ＝kx 0，h ＝x 0－x ，解以上各式得k ＝mg h，综上所述，只有C 项正确． 2、C解析：根据题图甲所示，设A ，B 间的静摩擦力达到最大值F fmax 时，系统的加速度为a .根据牛顿第二定律，对A 、B 整体有F ＝(m A ＋m B )a ， 对A 有F fmax ＝m A a ， 代入数据解得F fmax ＝2.0 N.根据题图乙所示情况，设A 、B 刚开始滑动时系统的加速度为a ′， 根据牛顿第二定律得：以B 为研究对象有F fmax ＝m B a ′以A 、B 整体为研究对象，有F max ＝(m A ＋m B )a ′ 代入数据解得F max ＝6.0 N ．故C 正确． 3、A解析：小猴以最大加速度向上爬行时，重物对地压力为零，故小猴对细绳的拉力等于重物的重力，即F ＝Mg ；小猴对细绳的拉力等于细绳对小猴的拉力，即F ′＝F ；对小猴受力分析，受重力和拉力，根据牛顿第二定律，有F ′－mg ＝ma ，解得a ＝（M －m ）gm＝5 m/s 2，A 正确．4、C解析：对C 点进行受力分析，由平衡条件可知，绳CD 对C 点的拉力F CD ＝mg tan 30°，对D 点进行受力分析，如图所示，绳CD 对D 点的拉力F 2＝F CD ＝mg tan 30°，故F 2是恒力，又绳BD 的拉力F 1方向一定，则F 1与在D 点施加的力F 3的合力与F 2等值反向，由图知当F 3垂直于绳BD 时，F 3最小，由几何关系可知，F 3＝F CD sin 60°＝12mg ，选项C 正确．5．B解析：最初A 、B 处于静止状态，而且弹簧处于压缩状态，根据平衡条件对A 有k Δl 1＝mg ，B 刚好离开地面时弹簧处于拉伸状态，此时地面对B 支持力为零，根据平衡条件对B 有k Δl 2＝mg ，这一过程A 上升的高度为Δl 1＋Δl 2＝2mgk.6．C解析：如图所示，小球受三个力而处于平衡状态，重力mg 的大小和方向都不变，绳子拉力F T 方向不变，因为绳子拉力F T 和外力F 的合力等于重力，通过作图法知，当F 的方向与绳子方向垂直时，由于垂线段最短，所以F 最小，则由几何知识得θ＝30°，故C 正确，A 、B 、D 错误．7.D解析：因小球A 、B 处于静止状态，系统受到的合外力为零，对系统受力分析，如图所示，F 与细线方向垂直时，F 最小为F min ，由图中几何关系可得：F min ＝3mg sin θ＝32mg ，选项D 正确.8.D解析：物块静止在斜面上，在斜面所在平面内受三个力作用，一个是重力沿斜面向下的分力mg sin θ，一个是静摩擦力F f ≤F fm ＝μmg cosθ，方向不确定，一个是水平方向的弹簧弹力kx ，则物块所受静摩擦力F f 大小等于kx 与mg sin θ的合力，当静摩擦力最大时有kx ＝F 2fm －mg sin θ2，可得x ＝mg μ2cos 2θ－sin 2θk，故D 正确.] 9.B解析：对半球体、m 1、m 2整体受力分析，只受重力和支持力这一对平衡力，相对地面没有运动趋势，不受地面的摩擦力，故A 错误；若半球体对m 1的摩擦力为零，对m 1受力分析如图，将重力正交分解，根据共点力平衡条件，x 方向有F T －m 1g cos 53°＝0，y 方向有F N －m 1g sin53°＝0；对m 2受力分析可知F T ＝m 2g ，解得m 1m 2＝53，故B 正确；当1≤m 1m 2＜53时，有m 1g cos 53°＜m 2g ≤m 1g cos 53°＋μm 1g sin 53°，m 1有上滑趋势，摩擦力垂直于图中的虚线向下，故C 错误；当53＜m 1m 2≤5时，有m 1g cos 53°－μmg sin 53°≤m 2g ＜m 1g cos 53°，m 1有下滑趋势，摩擦力垂直于图中的虚线向上，故D 错误.10、答案：B解析：当α＝0°时，拉力F 1＝m v 20L ＝1.8 N ，A 错误．当α＝37°时，由牛顿第二定律得小球在最高点时有F 2＋mg sin 37°＝m v 21L；小球从释放到最高点，由动能定理得－mgL sin 37°＝12mv 21－12mv 20，解得F 2＝0，B 正确．当倾角α＝90°时，假设小球能在竖直面内做圆周运动，则小球从释放到到达最高点的过程中，由动能定理可知－mgL ＝12mv 2－12mv 20，解得v 2＝－1 m 2/s 2，故假设不成立，小球不能在竖直面内做圆周运动，C 错误．当α＝30°时，设小球通过最低点时速度为v 3，由动能定理得mgL sin 30°＝12mv 23－12mv 20，在最低点有F 3－mg sin 30°＝m v 23L，解得F 3＝3.3 N ，选项D 错误．二、多项选择题 11.AD解析：设Q 的质量为m ，P 、Q 连线与水平方向的夹角为θ，隔离P 受力分析可知，L 越大，θ越小，P 、Q 间的作用力F N2＝2mgsin θ越大，墙壁对P 的作用力F N1＝2mgtan θ越大，根据牛顿第三定律，可知P 对墙壁的压力越大，选项A 正确，B 错误；对P 、Q 整体受力分析，由平衡条件可知，L 越大，Q 受到地面的摩擦力F f ＝F N1越大，选项C 错误；Q 与地面即将发生相对滑动时有μ·3mg ＝F N1＝2mgtan θ，可得tanθ＝43，L ＝2R cos θ＋R ＝115R ，所以L 的取值不能超过115R ，选项D正确. 12、AD解析：根据平衡条件有m b g =2T cos θ，解得=2cos b m gT，将固定点c向右移动少许，则θ增大，拉力T 增加，故A 正确；对斜面体、物体a 、物体b 整体受力分析，受重力、细线的拉力、地面的静摩擦力和支持力作用，如图所示，根据平衡条件有N =G 总–T cos θ=G总–12b m g ，恒定不变；根据牛顿第三定律，斜劈对地面的压力不变，B 错误；地面对斜劈的静摩擦力f =T sin θ=12b m g tan θ，随着θ增大，摩擦力增大，故D 正确；对物体a 受力分析，受重力、支持力、拉力和静摩擦力作用，由于不知道拉力与重力的下滑分力的大小关系，故无法判断静摩擦力的方向，不能判断静摩擦力的变化情况，C 错误。
