《实变函数》第四章 可测函数

实变函数第四章▉▉第4章 Lebesgue （习题及参考解答）E E A 1．设是)(x f 上的可积函数，如果对于上的任意可测子集，有()0Af x dx =∫，试证：=0，)(x f ].[.E e a }1)(|{}0)(|{1kx f x E x f x E k ≥=≠∞=∪k ∀∈ 证明 因为，，而}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{k x f x E k x f x E −≤≥=∪，由已知，有111{||()|}{|()}{|()}()()()E x f x E x f x E x f x kkkf x dx f x dx f x dx ≥≥≤−=+∫∫∫000=+=.又因为11{|(){|()}1110(){|()}E x f x E x f x kkf x dx dx mE x f x k k k≥≥0=≥=≥∫∫≥ 并且11{|()}{|()1110(){|()E x f x E x f x kkf x dx dx mE x f x k k k ≥−≥−⎛⎞=≤−−≤⎜⎟⎝⎠∫∫}0−≤ 所以，0}1)(|{}1)(|{=−≤=≥kx f x mE k x f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=−≤+≥=≥kx f x mE k x f x mE k x f x mE因此，11{|()0}[{|()|}k mE x f x m E x f x k∞=≠=≥∪111{|()|}00k k mE x f x k ∞∞==≤≥==∑∑0)(=x f .从而，，.].[.E e a2. 设，f g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数，都有a })(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥)()(x g x f =，试证：，从而，()Ef x dx =∫()Eg x dx ∫.证明 我们证与f g 是同一个简单函数序列的极限函数. ∞=1){m m ψ对于及，令m ∀∈ 12,,1,0−=mm k }21)(2|{,m m k m k x f k x E E +≤≤= })(|{2,m x f x E E mm m ≥=并且再令，则是互不相交的可测集，并且. 定义简单函数k m E ,k m m k E E m ,21==∪∑==mk m m k E m m x kx 20)(2)(,χψ. E x ∈)()(lim x f x m m =∞→ψ.下面证明：，m ∀∈ m m m E x 2,0∈E x ∈∀0+∞=)(0x f , 若. 事实上，，则，有)()(0∞→∞→=m m x m ψ)()(lim 00x f x m n =∞→ψ. 即, .所以, +∞<)(0x f 若，则可取正整数，当)(00x f m >0m m ≥∀时, 有}21)(2|{})(0|{1210mm m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈−=∪ 故，存在使得)120(−≤≤mm k k }21)(2|{0mm k x f k x E x +<≤∈ mm k x f k 21)(20+<≤. 因此, 即，m m k E m m kx k x mk m 2)(2)(20,==∑=χψ. 故000|()()|()()m m 0f x x f x x ψψ−=− 011()02222m m m m k k k f x +−<−=→=)()(lim 00x f x m n =∞→ψ.从而，实变函数第四章▉▉同理，对m ∀∈ ，定义简单函数列∑==mkm m k E m m x kx 20)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,mm k m k x g k x E E +<≤=，. 12,,1,0−=mm k 并且.})(|{*,m x g x E E k m ≥=E x ∈)()(lim 0x g x m n =∞→ψ.，同上一样，我们可以证明：因，有a ∀∈ })(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，则，a ∀∈ })(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，，有)120(−≤≤∀m m k k,1{|()}22m k m mk k mE mE x f x +=≤< *,1{|()}22m k m m k k mE x g x mE +=≤<=并且.即，，mm m m m m mEm x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=N m ∈∀=)(x m ψ)(x m ϕ.)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞→∞→ϕψ.因此，⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，当为无理数，当x x x x x f 31)(3. 若，计算.∫1,0[)(dx x f x x E |]1,0[{0∈=01]1,0[E E −=为有理数}，解 设，则∫]1,0[)(dx x f +=∫∫1)()(]1,0[E dx x f dx x f∫∫∫+==0111E EE dx xdx xdx x10E E E ==+∫∫∫ 2]2[11101]1,0[====∫∫x dx xdx x .4. 设是中n 个可测集，若内每一点至少属于个集中的个集，证明：中至少有一个测度不小于n 1,,n E E ]1,0[]1,0[nq 1,,q n E E . 证明 令，其中：∑==ni E x x f i1)()(χi E χ为上的特征函数并且，有i E ]1,0[∈∀x q x x f ni E i≥=∑=1)()(χ所以，. 又因为q qdx dx x f =≥∫∫]1,0]1,0[)(1[0,1][0,1]()()inE i q f x dx x χ=≤=∑∫∫dx1n.1110,1()()i i nnnE E i i i i E i x dx x dx mE χχ=======∑∑∑∑∫∫nqmE i <，则 如果每个∑∑===⋅=>ni n i i q nq n n qmE 11nqmE i ≥这与矛盾. 从而，存在∑=≤ni i mE q 1(1)i i n ≤≤. 使得5. 设与都是f g E 上的可积函数，试证明：22g f +E 也是上可积函数.E 证明：（1）先证：设与都是)(x f )(xF 0()f x ≤上的可测函数并且E E ()F x ≤ ，若在].[.E e a )(x F 可积，则在)(x f 可积.N m l ∈∀,)()(0x F x f ≤≤ ，故].[.E e a ，因为事实上，l l x F x f )}({)}({0≤≤.因此，+∞<≤≤≤∫∫∫EE llE ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m m S E E ∩=，}||||{∞<=x x S m . 从而，是∞=∫1})}({{l l E dx x F m实变函数第四章▉▉单调递增有上界的数列，故∫Edx x F )(∫∫∫≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim )(.又因单调递增有上界，所以存在，并且∫∞=mE m dx x f 1})({∫∞→mE l dx x f )(lim∫∫∫+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim )(即. 所以，在+∞<≤∫dx x f E)(∫∞→∞→mE l l m dx x f )}({lim lim E )(x f 可积.E （2上可积.在E E 事实上，因为与在f g 上都可积. 所以, 与在||f ||g 上可积. 从而, +在E ||f ||g 上可积.||||f g ≤+E ，由（1）上可积.在6. 设+∞<mE ，是)(x f E 上的非负可测函数，，∞+<∫Edx x f )(})(|{k x f x E E k >=0lim =⋅∞→dx mE k k l .，试证明：k ∀∈ 证明 ，因为+∞<≤≤≤∫∫EE k dx x f dx x f kmE k)()(0所以)(0)(10∞→→≤≤∫k dx x f k mE Ek lim 0k k mE →∞=.故，又因为，由积分的绝对连续性（即，P85，定理4）, 对于∫+∞<Edx x f )(δ<mA 0>∀ε0>∃δE A ⊂,,使得对于任何可测集，恒有，∫Adx x f |)(|∫<=Adx x f ε)(.0>δN k ∈0对于，根据，存在0lim =∞→k k mE ，0k k ≥∀时，δ<k mE ，有ε<≤⋅≤∫dx x f mE k kE k )(0.0lim =⋅∞→k k mE k .从而, +∞<mE E E 7. 设为可测集，并且，为)(x f 上的非负可测函数，，试证:在}1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k E )(x f 上可积当且仅当级数收敛.∧∞=∑kk Ekm 1证明 设，k }1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k ∈ )(⇒，因为在)(x f E 可积，故111()()kkk k k k EE E f x dx f x dx k dx k mE ∞∞∞====≥=∑∑∑∫∫∫⋅即，级数收敛.∑∞=∧⋅1k kEm k k ∀∈ )(⇐, 因为，则}1)(|{+<≤=k x f k x E E k k E k k E mE kmE mE k dx k dx x f kk+=+=+≤∫∫)1()1()(.又因并且，根据Lebesgue 基本定理，有∑∞==1)()()(k E x x f x f k χdx x x f dx x f m kE EE )()()(χ∫∫=1()()()kE k EE f x dx f x x dx χ∞==∑∫∫11()()kk k k k E f x dx kmE mE ∞∞===≤+∑∑∫+∞<+=+=∑∑∑∞=∞=∞=k k k k k k k mE kmE mE kmE 111.E 从而，在)(x f 上可积.8. 设是 上的可积函数，证明：.∫=−+→],[00|)()(|limb a k dx x f b x f f实变函数第四章▉▉R ′0>∀ε)(x ϕ证明 （1）先证：，使得，存在时直线上的连续函数∫<−+→],[0|)()(|limb a k dx x f b x f ε.对于，记：N ∀∈ ⎪⎩⎪⎨⎧−<−>≤=N x f N N x f N N x f x f x f n )(,)(,|)(|,)()]([],[b a E x =∈，其中则0,|()|()[()](),()(),()N f x N f x f x f x N f x N f x N f x N≤⎧⎪−=−>⎨⎪+<−⎩因此，[,]|()[()]|N a b f x f x d −∫x=+dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|∫≤−dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|∫>−(||)|()[()]|N E f N f x f x d >−∫x =dx N x f N f E |)(|)|(|∫>+≤dx x f N f E |)(|)|(|∫>≤.0>∀ε0>∃δ因为在上是Lebesgue 可积的，故对于)(x f ],[b a ，，使∀δ<mA E A ⊂，恒有：Adx x f Aε<∫|)(|又因是单调的集列并且，则)|(|)|(|1+∞==>∞=f E n f E n ∩∞=1|)}(|{n f E =>=>∞→∞→)]|(|lim [)|(|lim n f E m n f mE n n 0)|(|=+∞=f mE .4|)(|)|(|ε<∫>dx x f N f E 0>δN ∃∈ .所以，对于，使得现在对于，取04>=NεηN x f )]([，由连续扩张定理，存在闭集F [,]a b ⊂)(x ϕ以及 上的连续函数，使得F F N x x f |)(|)]([ϕ=（A ）； NF E m 4)(ε<−（B ）；N x ≤|)(|ϕ（C ）. 因此，[,][]||[]|N N a b E Ff dx f dx ϕϕ−−=−∫∫([]||)|2()242N E Ff dx N m E F N Nεεϕ−≤+≤⋅−<⋅∫=从而，[,][,]()()||()[()]||[]()|N N a b a b f x x dx f x f x dx f x dx ϕϕ−≤−+−∫∫εεεϕ=+⋅≤−+≤∫∫>242|)(][||)(|2],[)|(|dx x f dx x f b a N N f E （2）再证：.0|)()(lim],[0=−+∫→dx x f b x f b a h 0>∀ε)(x ϕ，由（1）知，存在上的连续函数 使得对于3|)()(]1,1[εϕ<−∫+−dx x x f b a .)(x ϕ因为在上一致连续，则]1,1[+−b a )1(0<>∃δδ使得，当],[b a x ∈∀)1(||<<δh 时，恒有)(3|)()(|a b x h x −<−+εϕϕ.又因为[,]|()()|a b f x h f x dx +−≤∫[,]|()()|a b f x h x h dx ϕ+−+∫++dx x h x b a |)()(|],[∫−+ϕϕdx x f x b a |)()(|],[∫−ϕ],[b a x ∈(||1)h h δ∀<<(1,1x h a b )+∈−+，故并且对于，，有3|)()(|]1,1[εϕ<−≤∫+−dx x x f b a dx h x h x f b a |)()(|],[∫+−+ϕ所以，实变函数第四章▉▉≤−+∫dx x f h x f b a |)()(|],[[1,1]|()()|a b f x x d ϕ−+−∫xεεεε=++<333dx x x f dx x h x b a b a |)()(||)()(|],[],[∫∫−+−+ϕϕϕ+.从而，.0|)()(|lim],[0=−+∫→dx x f h x f b a h9. 设是f E 上的非负可积函数，是任意常数，满足c ∫≤≤Edx x f c )(0试证：存在，使得.c dx x f E =∫1)(E E ⊂1证明：设常数，合于，当时，存在，使得. 不妨设.∫≤≤Edx x f c )(0∫=Edx x f c )(c ∫≤≤Edx x f c )(0c dx x f E =∫1)(E E =1我们先证：在∫−=Et t dx x f t F ∩],[)()(),0[0+∞∈∀t),0[+∞上连续，，事事实上，对于0t t >∀，因为000[,][,]0()()()()t t Et t EF t F t f x dx f x dx −−≤−=−∫∫∩∩00[,][,]()()t t Et t Ef x dx f x dx −−=+∫∫∩∩δ<mA 0>∃δE A ⊂∀由积分的绝对连续性（p.85，定理4），，有，，2)(|)(|ε<=∫∫AAdx x f dx x f .δ<−≤∀00:t t t δ<−≤−00)),([t t E t t m ∩，故故，对于，因为εεε=+=+=−≤∫∫−−22)()()()(0],[],[000Ety t Et t dx x f dx x f t F t F ∩∩.)()(lim 00t F t F t t =+→. 所以，),0[0+∞∈∀t 同理，对，用上述完全类似方法可得.故，在)()(lim 00t F t F t t =−→)(t F ),0[+∞上连续.又因为（根据p.89的定义4）, 则，使得c dx x f dx x f EEt t t >=∫∫−+∞→)()(lim],[∩00>∃t c dx x f t F Et t >=∫−∩],[0)()(.)()0(0t F c F <<.故由于在闭区间上连续，由连续函数的介值定理，∃],0[0t 1t ∈)(t F E E t t E ⊂−=∩],[1110(0,)t ，有，使得c t F dx x f dx x f Et t E ===∫∫−)()()(1],[01∩.E 10. 设是g 上的可测函数，是大于1的数，是的共轭数，即p q p 111=+qp . 如果对任意，都有)(E L f P ∈1()fg L E ∈，试证：. )(E L g q∈11． 试证：1)1(1lim),0(1=+∫+∞∞→dt tkt kk k （i ）.dx x e dx x n x x n k ∫∫+∞−+∞−∞→=−),0(),0(11(lim αα(ii) .2≥∀k 证明：（i ）时，（寻找控制函数） )10(≤<t t 时，因为当tttttktt f kkk k 4111)1(1)(2111≤=≤≤+=；而当时，1>t 112111()(1)1((1)()2!k k k kk f t t k k t t k t t k k k=≤=−+⋅+++实变函数第四章▉▉224)211(2t t =−≤令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞≤<≤<=t t t tt F 1,410,4)(2从而，),0(+∞∈∀t ，并且在)()(t F t f k ≤)(t F ),0(+∞是R-可积的，故在)(t F ),0(+∞是L-可积的. 又因为tt kk tt kk kk k k k e etkt t ktt f −∞→∞→∞→∞→==⋅+=+=11lim])1[(1lim)1(1lim)(lim 11则由Lebesgue 控制收敛定理，∫∫∫∞∞→∞∞→∞∞→==+),0(),0(),0(1)(lim )(lim)1(1limdt t fdt t fdt tkt kk kk kk k10==∫+∞−dt e t ∫∞−=),0(dt et.(ii), 定义n ∀∈ 1(1),(0,]()0,(n n x ,)xx n f x nx n α−⎧−∈⎪=⎨⎪∈+∞⎩， 并且，1)(−−=αx ex F x),0(+∞∈x ),0(+∞∈∀x ， 则对于,有)(1(lim )(lim 11x F x e x nxx f x n n n n ==−=−−−∞→∞→αα. N n ∈∀，.)()(1x f x f n n +≤下面证明：ttx t G )1()(−=),0(+∞∈∀x ),1[+∞∈t ，取 事实上，，令，1ln()(ln txt t G −=，则▉▉第四章习题参考解答x t xt x t x t x t txt G t G −+−=−+−=′)1ln(11)1ln()()(2. x t xt x t h −+−=′)1ln()(，又因 又记222)()()(11)(x t xx t t x x t x t x tx t h −−−=−−−=′0)()()(222<−−=−−−=x t t x x t t tx x t x .xt xt x t G t G t h −+−=′=)1ln()()()(所以，关于单调递减并且故，t 0)(lim =∞→t h t ),1[+∞∈∀t ，有. 因此，0)(>t h 0)()()(>⋅=′t h t G t G .即, 在)(t G ),1[+∞n ∀∈ 单调增加. 从而，,)1(11()1()(1+=+−<−=+n G n x n x n G n n .所以,)()11()1()(1111x f x n x x n x x f n n n n +−+−=+−<−=αα.因此, ，n ∀∈ 1)()(|)(|−−=≤=αx e x F x f x f x n n ),0(+∞∈x，因为在1)(−−=αx e x F x ),0(+∞上可积，由Lebesgue 控制收敛定理，有∫∫∫+∞−−+∞∞→−∞→===−),0(1),0(),0(1)(lim )1(limdx x e dx x f dx x n x x n n n n n αα.+∞<mE 12. 设，试证明：在E 上当且仅当0⇒k f 0||1||lim =+∫∞→dx f f Ek k k . k ∀∈ 0>∀σ)(⇒，因为证明 ，实变函数第四章▉▉)1|(|]||1||[σσσ−≥=≥+k k k f E f f E 并且（在0⇒k f E 上），则我们有01|(|lim )||1||{lim =−≥=≥+∞→∞→σσσk k k k k f mE f f mE .0||1||⇒+k k f f E .故在上，1||1||≤+k k f f k ∀∈ +∞<mE ，由Lebesgue又因为对于，并且有界收敛定理，有00||1||lim ==+∫∫∞→E E k k k dx dx f f .0>∀σ)(⇐，因为对于(||)0(||)11kk E f EmE f dx σσσσσσ≥≤≥=++∫ ∫≥+Ef E k k k dx f f )|(|||1||σ≤)(0∞→→k . 则有0)|(|lim 10≤≥−≤∞→δσσk k f mE . 从而，0)|(|lim =≥∞→δk k f mE . 即.0⇒k f。

《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。

《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。

这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。

《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。

目录第一篇实变函数第一章集合1 集合的表示2 集合的运算3 对等与基数4 可数集合5 不可数集合第一章习题第二章点集1 度量空间，n维欧氏空间2 聚点，内点，界点3 开集，闭集，完备集4 直线上的开集、闭集及完备集的构造5 康托尔三分集第二章习题第三章测度论1 外测度2 可测集3 可测集类4 不可测集第三章习题第四章可测函数1 可测函数及其性质2 叶果洛夫定理3 可测函数的构造4 依测度收敛第四章习题第五章积分论1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介2 非负简单函数的勒贝格积分3 非负可测函数的勒贝格积分4 一般可测函数的勒贝格积分5 黎曼积分和勒贝格积分6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理第五章习题第六章微分与不定积分1 维它利定理2 单调函数的可微性3 有界变差函数4 不定积分5 勒贝格积分的分部积分和变量替换6 斯蒂尔切斯积分7 L-S测度与积分第六章习题第二篇泛函分析第七章度量空间和赋范线性空间1 度量空间的进一步例子2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间3 连续映射4 柯西点列和完备度量空间5 度量空间的完备化6 压缩映射原理及其应用7 线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间第七章习题第八章有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和连续线性泛函2 有界线性算子空间和共轭空间3 广义函数第八章习题第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间1 内积空间的基本概念2 投影定理3 希尔伯特空间中的规范正交系4 希尔伯特空间上的连续线性泛函5 自伴算子、酉算子和正常算子第九章习题第十章巴拿赫空间中的基本定理1 泛函延拓定理2 C[a，b]的共轭空间3 共轭算子4 纲定理和一致有界性定理5 强收敛、弱收敛和一致收敛6 逆算子定理7 闭图像定理第十章习题第十一章线性算子的谱1 谱的概念2 有界线性算子谱的基本性质3 紧集和全连续算子4 自伴全连续算子的谱论5 具对称核的积分方程第十一章习题附录一内测度，L测度的另一定义附录二半序集和佐恩引理附录三实变函数增补例题参考书目。

实变函数与泛函分析概要第一章集合根本要求：1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。

2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。

3、会求集合的并、交、差、余集。

4、了解对等的概念及性质。

5、掌握可数集合的概念和性质。

6、会判断己知集合是否是可数集。

7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。

8、了解半序集和Zorn引理。

第二章点集根本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。

掌握聚点的性质。

3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。

4、会求己知集合的开集和导集。

5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。

6、会判断一个集合是非是开〔闭〕集，完备集。

7、了解Peano曲线概念。

主要知识点：一、根本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原那么：P0是E的聚点⇔P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn}，使Pn →P0 〔n→∞〕2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A⊂B，那么A⊂B，·Ａ⊂·Ｂ，－Ａ⊂－Ｂ。

T3：〔A∪B〕′=A′∪B′.3、开〔闭〕集性质〔§3中T1、2、3、4、5〕T1：对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´和―Ｅ都是闭集。

〔Ė称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此〕T2：〔开集与闭集的对偶性〕设E是开集，那么CE是闭集；设E是闭集，那么CE是开集。

T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。

T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。

T5：〔Heine-Borel有限覆盖定理〕设F是一个有界闭集，ℳ是一开集族{Ui}iєI它覆盖了F〔即Fс∪ｉєＩUi〕，那么ℳ中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F〔即F⊂ｍ∪Ui〕〔iєI〕4、开〔闭〕集类、完备集类。

第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构。

§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数， 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近， 这是可测函数的构造性特征。

本节难点 可测函数与简单函数的关系。

授课时数 4学时———---—-——-——-—-—--——-——————-—1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数（可取±∞）,若[],f a a R E>∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数。

2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质2 简单函数是可测函数若1nii E E ==⋃ （iE 可测且两两不交），()f x 在每个iE 上取常值ic ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0ii E i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f OE Oδεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续lim ()()x x f x f x →=若0,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x x Of x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x f OOδεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续）证明:任取[]x E f a ∈>， 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,xf x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f OE Oa δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a OE Eδ>⋂⊂。

第四章 可测函数教学目的：1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质.2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近.3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点：1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性.2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明,Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式.4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.§4.1 可测函数及相关性质由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈∀α,{}α>∈)(:x f D x 记=αD 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数.我们知道,f 在D 上连续⇔R ∈∀α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数.又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为=)(x f )(x E λ⎩⎨⎧=01ED x Ex -∈∈由于 {}αα>∈=)(:x f D x D⎪⎩⎪⎨⎧=D E φ0101<<≤≥ααα是可测集,所以E λ是D 上的可测函数.即定理4.1.1 可测集的特征函数是可测的.今后,在不致混淆时,将{}α>∈)(:x f D x 简记为{}α>f .类似, {}α≥f 、{}α≥f 、{}α<f 、{}α≤f 、{}α=f 等的意义同上. 问:定义中α>f 可否换成α<f ?答:可以.定理4.1.2 设函数f 定义在可测集D 上,则下面四件事等价. (i)f 在D 上可测;(ii)对任何R ∈α,{}α≥f 可测; (iii)对任何R ∈α,{}α<f 可测; (iv)对任何R ∈α,{}α≤f 可测.其证明就是利用集合的运算. 证明:(i)⇒(ii) {}α≥f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->=∞=n f n 11α ,由(i), ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->n f 1α可测,从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧->∞=n f n 11α 可测,即{}α≥f 可测.(ii)⇒(iii){}α<f -=D {}α≥f(iii)⇒(iv){}α≤f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<=∞=n f n 11α(iv)⇒(i) {}α>f -=D {}α≤f定理4.1.3 设函数f 和g (i){}λ=f 、{}βα<<f 、{}βα<≤f 、{}βα≤≤f 、{}βα≤<f 都是可测集,其中+∞≤<≤∞-βα,λ是广义实数. (ii){}g f >是可测集.证明: (i)先设λ是实数,则{}λ=f {}λ≥=f {}λ>-f 是可测集;若∞=λ,则{}∞=f {}n f n >=∞=1可测;若-∞=λ,则{}-∞=f {}n f n -<=∞=1可测.可见, 对任何广义实数λ,{}λ=f 是可测集.对于其它集的可测性由定理3.1.2与集合的运算立即可得.(ii)分析:⇒>g f x ∃,使)()(x g x f >,若∞=)(x f ,则∞≠)(x g ,可∞-,不管怎样,f 、g 之间可以插进有理数.即:若{}1≥n n r 是有理数全体,则{}g f >{}{}{}g r r f n n n >>=∞= 1再利用函数f 和g 都是可测函数,可得右侧为可测集,即{}g f >是可测集.在数学分析中,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有一致收敛的连续函数列的极限函数连续,否则未必.如:n n x x f =)(,]1,0[∈x .)()(x f x f n →⎩⎨⎧=01101<≤=x x不连续.而可测函数对于极限运算是封闭的,这点也体现了它的优越性.定理 4.1.4 设{}1)(≥n n x f 是可测集D 上的一列可测函数,则函数)(sup 1x f n n ≥、)(inf 1x f n n ≥、)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞→都是可测函数. 证明:任取R ∈α,则})({sup 1α>≥x f n n })({1α>=∞=x f n n 可测.(此等式表明至少有一个α>)(x f n ,否则都α≤,就说明α为上界,由上确界是最小上界,便会得出α≤≥)(sup 1x f n n )})(inf {1α<≥x f n n })({1α<=∞=x f n n 可测.(至少有一个α<)(x f n ,否则都α≥,α为下界,其最大下界α≥≥)(inf 1x f n n ) 再由)(l i m x f n n ∞→)(s u p i n f 1x f k nk n ≥≥=、)(lim x f n n ∞→)(inf sup 1x f k nk n ≥≥=知)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞→都是可测函数.(n x 的上极限k nk n n n x x ≥≥∞→=sup inf lim1,k nk x ≥sup ↓;n x 的下极限k nk n n n x x ≥≥∞→=inf sup lim 1,k nk x ≥inf ↑)实变函数的第一个“差不多”是可测集与开集、闭集差不多;第二个“差不多”就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第二个“差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭.§4.2 可测函数的其它性质设D 是可测集,)(x p 是一个与D 中每一点有关的命题.若除了D 的一个零测子集E 外,使)(x p 对每一E D x -∈都成立,则称)(x p 在D 上几乎1xy处处成立,用a.e.表示.(即almost everywhere).例如,{}x n sin 在R 上几乎处处收敛于0或说0sin lim =∞→x n n a.e.在R(因为只有2ππ+=k x 时,极限不为0,其为可数集,当然为零测集);Cantor 集上的特征函数0)(=x C λ a.e.在]1,0[(因为Cantor 集为零测集).若说)(x f 在R 上a.e.有限,意即)(x f 不有限的点的集合为零测集. 为讲第二个“差不多” ,先讲连续函数,数学分析中求R 积分时,把曲的变成直的, 并称其为阶梯函数,此处我们称为简单函数, 它是由特征函数决定的. 设f 是可测集D 上的一个函数,若)(D f是由有限个实数1a ,2a ,…,n a 组成,并且{}k k a x f D x E =∈=)(: n k ,,2,1 =都是可测集,则我们称f 是D 上的一个简单函数.由此f 可以表示为)()(1x a x f K E k nk λ=∑=其中)(x kE λ可记作)(x k λ,为k E 上的特征函数.由可测函数定义,简单函数都是可测的.(定理3.3.4至多可数个可测集之并可测).易知,若f 、g 都是简单函数,则f λ、||f 、fg 、g f +、g f -等都是简单函数(因其值域是有限个实数),当然都是可测的.下面说明可测函数一定是简单函数的极限.定理4.2.1 设f 是可测集D 上的可测函数,则有D 上的简单函数列{}1≥k k ϕ,使对每一D x ∈,)()(x f x k →ϕ,此外(i)当0≥f 时,可使上述{}1≥k k ϕ满足对每一D x ∈,{}1≥k k ϕ单增收敛于)(x f ;(ii)当f 有界时, 可使上述{}1≥k k ϕ在D 上一致收敛于f . (即对任何0>ε,有K ,K k >∀,有εϕ<-|)()(|x f x k )提问:试举例说明,一列函数在每一点都收敛于)(x f ,但不一致收敛.答:如k k x x f =)( ]1,0[=D ,则⎩⎨⎧=01)(x f101<≤=x x ,这时)(x f k 在每一点都收敛,但不一致收敛.其原因是极限函数不连续.上述定理说明,可测函数和简单函数“差不多”.通过上图,我们形象地描述一下上述定理的证明思路.第一次:在-1和1之间取阶梯函数,每段长21; 第二次:在-2和2之间取阶梯函数,每段长221,其中-1和1之间是将第一次的段分一半,分细了,这段的一部分向上移了,所以-1和1之间的第二个阶梯函数部分比第一个大……,即)(1x ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=12111k1)(2)(211)(11-<<≤-≥x f kx f k x f 2,1,0,1-=k(k 的取法可由中间一段得出,因此时)(x f 必在-1和1之间,左等右不等,由1211-=-k 得1-=k ,由121=k得2=k ,所以2,1,0,1-=k .第二次k 的取法类似).)(2x ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=22122k2)(2)(212)(22-<<≤-≥x f kx f k x f 8,,6,7 --=k证明:对每一1≥n ,令)(x n ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=nk nn 21 n x f k x f k n x f n n -<<≤-≥)(2)(21)(若若若 n n n n k 2,,12⋅+⋅-=(i)显然{}1≥n n ϕ是一列简单函数,现固定D x ∈.若∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n =)(ϕ,从而)()(x f x n →ϕ; 若-∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n -=)(ϕ,从而)()(x f x n →ϕ; 最后,若)(x f 是一个实数,则当n 充分大时,存在唯一的n k ,使得n n n n k n 212⋅≤≤+⋅-,并且nnn n k x f k 2)(21<≤- 于是)(x n ϕn n k 21-=,nn x x f 21)()(0<-≤ϕ.令∞→n ,即得)()(x f x n →ϕ. 特别,设f 非负.由)(x n ϕ的构造方法(如图x 轴上方),易知:)(x n ϕ单增.(ii)最后若f 有界,M 是||f 的一个上界,则当M n >时,{}n f ≥及{}n f -<都是空集,从而对一切D x ∈,有nn x f x 21)()(<-ϕ,故{}1)(≥n n x ϕ一致收敛于)(x f .注1.由可测函数的定义,f 在可测集D 上是否可测,与f 在D 上的一个零测子集上的值无关.f 可测⇔{}α>∈)(:x f D x R ∈∀α 是可测集.若0)(=E m ,D E ⊂,即使f 在E 上乱动,对{}α>∈)(:x f D x 可测没有影响.即只要f 在E D -上可测,就说f 在D 上可测(在E 上无定义也可).说明:若)(1x f )(2x f = a.e.D ,则当1f ,2f 中有一个可测时,另一个也可测.而连续函数斤斤计较,动一点则不连续.注 2.设是D 上的可测函数列, 0)(=E m ,D E ⊂.若对每一个E D x -∈,)()(x f x f n →,由定理4.1.4知f 在E D -上可测,从而由注1, f 在D 上可测.这个结论也可以说成“可测函数列{}1≥n n f 在D 上几乎处处收敛的极限f 在D 上可测”.注 3.设f 和g 都是D 上的可测函数,若对某D x ∈,∞=)(x f ,且-∞=)(x g 或-∞=)(x f 且∞=)(x g ,则)()(x g x f +就没有意义.但如果所有使)()(x g x f +没有定义的点x 的全体是零测集,则我们同样可以讨论g f +的可测性,对g f -也如此.定理4.2.2 设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的.证明思路.以f 为例.因f 是可测集D 上的可测函数,从而有简单函数列)()(x f x f n →,进而简单函数列)()(x f x f n →,所以极限函数f 可测.再如证fg 可测,由已知,因)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,)(x f n 、)(x g n 为简单函数列,所以)(x f n )(x g n 也是简单函数列,且)(x f n )(x g n )()(x g x f →,因此极限函数)()(x g x f 可测.一定注意:可测与否与零测集无关.例题4.2.1 ]1,0[上的实函数是否一定可测?答:不一定.找]1,0[中的不可测子集E ,其上的特征函数不可测.即:取不可测集合]1,0[⊂E ,令⎩⎨⎧==01)()(x x f E λE x E x -∈∈]1,0[则{}α>∈)(:]1,0[x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=]1,0[E φ0101<<≤≥ααα ——→不可测.所以)(x E λ在]1,0[上不可测.例题4.2.2 零测集上的实函数是否一定可测?答:因{}E x f E x ⊂>∈α)(:,故也是零测集,从而零测集上的实函数一定可测.例题 4.2.3 设D E ⊂,其中D 可测,0)(=E m .若f 在E D -上可测,是否f 在D 上可测?答:{}α>∈)(:x f D x ={}α>-∈)(:x f E D x {}α>∈)(:x f D x 可测. 复述定理4.2.1f 在D 上可测⇒有D 上的简单函数列)()(x f x f n →,D x ∈∀且 (i)0≥f 时,)()(x f x f n ↑→(ii)当f 有界时, )(x f n )(x f .之后三个“注”说明可测函数与零测集无关.这样,若可测函数列)()(x f x f n → a.e.,则)(x f 是可测函数.可见,对可测函数来说,总的要求是宽的.重复定理4.2.2设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的.什么叫g f +几乎处处有定义?即{}( ∞=)(x f {})-∞=)(x g {}( -∞=)(x f {})∞=)(x g 是零测集. 其证明思路:①可测函数一定是一列简单函数列处处收敛的极限. ②也可用定义.如{}αλ>f 由)0}({>>λλαf 或)0}({<<λλαf 来证. 此处用方法①最清楚.简单函数)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,则)()(x f x f n λλ→,)()(x f x f n →, )(x f n )(x g n )()(x g x f →,)(x f n +)(x g n )()(x g x f +→ a.e.D(简单函数是处处有定义的,有限个实数是其值域,无∞±的情况,简单函数不允许取∞±)g f +在E D -可测,0)(=E m ,由注1, g f +在D 可测(即例题3).例题4.2.4 f 在D 上可测,f sin 在D 上是否可测? 答:因f 可测,则有简单函数列)()(x f x f n →D x ∈∀ 所以 )(sin )(sin x f x f n →由于n f 是简单函数,取有限个实数,当然)(sin x f n 也取有限个实数,因而n f sin 也是简单函数,所以f sin 可测.由此可见,不光可测函数的“＋、－、×、数乘、绝对值”可测,还有些复合函数也可测,但复合函数比较复杂.sin 连续故必可测.但若随便问))((x f g 可测吗?一下子说不清楚.f 、g 可测,则有简单函数f f n →、g g n →,这时))((x f g n n 也是简单函数,但))((x f g n n →))((x f g ? g 若连续,有))(())((x f g x f g n →g 若不连续,则没有))(())((x f g x f g n →,更不用说))((x f g n n →))((x f g 了.所以,连续函数的复合还连续,而可测函数的复合却不一定可测. 要点: 1.可测函数与零测集无关.2.可测函数是简单函数列处处收敛的极限.§4.3 可测函数用连续函数来逼近称F 是一个紧集,若F 的任何开覆盖存在有限子覆盖.其充分必要条件是F 是有界闭集.定理4.3.1 设F 是一个紧集,{}1≥n n f 是一列沿F 连续的函数.若{}1≥n n f 在F 上一致收敛于f ,则f 也沿F 连续(F x ∈∀,)()(lim 00x f x f Fx xx =∈→). 前面曾提到n x →⎩⎨⎧01101<≤=x x ]1,0[∈x ,由极限函数不连续⇒n x 不一致收敛.定理的证明思路与数学分析同.问: 数分怎样证明“连续函数)(x f n 在],[b a 一致收敛⇒)(x f 连续?” 证明:],[0b a x ∈∀,0>∀ε,0>∃δ,∀),(0δx x ∈=-)()(0x f x f )()()()()()(000x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-)()(x f x f n -≤+)()(0x f x f n n -+)()(00x f x f n -3ε<3ε+3ε+ε=若改为),(b a 也一样.本节中非常重要的一个结果:定理4.3.2(Egoroff)设f 和n f )1(≥n 都是测度有限的集D 上几乎处处有限的可测函数.若n f 在D 上几乎处处收敛于f ,则对任何0>ε,有D 的闭子集F,使ε<-)(F D m ,并且n f 在F 上一致收敛于f .(也称基本上一致收敛,有点象数分中的内闭一致收敛)证明:令{})()(lim )()(:1x f x f x f x f D x D n n n =∈=∞→都有限且和,则由条件知,1D 是可测集且0)(1=-D D m .令)(r nA 1D =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞=r x f x f k n k 1)()( ,2,1,=r n()(r n A 是1D 里那样的点: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-r x f x f k 1)()(与r k ,有关, r 不动,取∞+= ,1,n n k ,现在看这种集合有什么性质)对每一1≥r ,{}↑→≥1)(n r n A 1D ,且每一个)(r n A 都可测.(首先,每一个)(r n A 都是1D 子集,由{}↑≥1)(n r n A知)(1)(lim r n n r nn AA∞=∞←= ,也就是要证1)(1D A r n n =∞= ),易见)(1r n n A ∞= 1D ⊂，这是因为每个1)(D A r n ⊂,现在对1D x ∈∀,取01>r,由)()(lim x f x f n n =∞→知N∃,Nk >∀,有rx f x f k 1)()(<-,说明}1)()({rx f x f x k N n <-∈∞= ,当然1D x ∈}]1)()({[rx f x f k Nn <-∞= )(r N A =.所以)(1r nn Ax ∞=∈ ,因此⊂1D )(1r nn A ∞= ,于是得到1)(1D A r n n =∞= .即1)(lim D A r n n =∞←. 由测度性质(定理3.3.6(i)))(lim )(r n n A m ∞→)lim ()(r n n A m ∞→=)(1D m = (1)又∞<=)()(1D m D m ,所以对每一1≥r ,有r n ,使)()()(1r n r A m D m -)()(1r n rA D m -=12+<r ε (2)(对 (1)式利用极限定义,再根据测度的减法,∞<)(A m 时,)()()(A m B m A B m -=-)此时n f 在)(1r n r rA E ∞== 上一致收敛于f .(即0>∀ε有N ,N n ≥∀,E x ∈∀,有ε<-)()(x f x f n (下证)0>∀ε ,有00>r ,使ε<01r ,从而当0r n n >时,对一切)(00r n r A x ∈,有ε<<-01)()(r x f x f n .显然)(00r n r A E ⊂所以上述结论对E x ∈∀都成立.即n f 在)(1r n r rA E ∞== 上一致收敛于f .))(E D m -)(1E D m -=)()(11r n r rA D m ∞=-= ))(()(11r n r rA D m -=∞= (由)(11r n r r AD ∞=- )()(11r n r rA D -=∞= ) )()(11r n r rA D m -∑<∞= 112+∞=∑<r r ε2ε=此时有E 的闭子集F ,使2)(ε<-F E m ,则n f 在F 上一致收敛于f 且)]()[()(F E E D m F D m --=- )()(F E m E D m -+-≤ε<.思路是:几乎处处收敛→处处收敛→一致收敛→闭集上↑ ↑ ↑ ↑ D ⊃ 1D ⊃ E ⊃ F注:上述定理中要求D 测度有限即∞<)(D m .此条件非常重要.若∞=)(D m ,则没有上述定理.如:)()(),(x x f n n +∞=λ,)(0)(x f x f n =→)(∞→n .问:是否有闭集F 使1)(<-F R m 而且n f 在F 上一致收敛于0?这是不可能的.因为{}∞=≥∈1:n f R x m 做不到0→n f a.e.R引理4.3.1 设F 是R 中的闭集,函数f 沿F 连续,则f 可以开拓成R上的连续函数*f ,并且)(sup *x f Rx ∈)(sup x f Fx ∈=.n R证明:此时),(1n n n cb a F ∞== ,其中(){}n n b a ,两两不交.(f 在F 上有定义,不妨设在c F 上没有定义,故f 在端点n a ,n b 上有定义,在其内部无定义,重新定义:将端点连成线段即可) .(可能f 在c F 有定义不连续,同样重新定义) 今定义⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=)()()()(*n n b f a f x f x f 线性 -∞=∈∞=∈∈∈n n n n n n n n n n a b a x b b a x b a b a x F x 其中其中有限其中),,(),,(,),,( ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+)()()()(n n n n n n a x a b a f b f a ff*a nnn b n 1122kk显然*f 是R 上的连续函数.它是f 的开拓,且=∈)(sup *x f Rx )(sup x f Fx ∈.引理 4.3.2 设f 是可测集D 上的简单函数,则对任何0>ε,有沿D 连续的函数*f ,使{}()ε<≠*f f m .(是说简单函数和连续函数“差不多”,为可测函数与连续函数“差不多”作准备)证明:设{}n k k a D f ≤≤=1)((因f 为简单函数),其中k a 都是实数且两两不同.令{}k k k a f E == n k ,,2,1 =,则k E 可测,其中{}n k k E ≤≤1两两不相交,k nk E D 1== .对每一k ,有闭集k k E F ⊂,使F E m k k ε<-)((因可测集与闭集“差不多”)则f 沿F F k nk ==1连续.(对k nk F F x 10==∈∀ ⇒00k F x ∈⇒x 充分接近0x 时即 ⇒<),(0x x d ),(min 0,,2,10k k k n k F x d ≠=⇒00k k E F x ⊂∈所以0)(k a x f =.⇒从而)()(lim 00x f x f Fx x x =∈→.⇒即f 沿F 连续.)由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .{}())(*F D m f f m -≤≠)(11k nk k nk F E m ==-=)]([1k k nk F E m -≤=)(1k k nk F E m -∑≤=ε<(由第一章习题:-∞=n n A 1n n B ∞=1-⊂∞=n n A (1)n B ,由于在F 上,f f =*,所以可能不等的地方在F 外,即{}F D f f -⊂≠*).定理 4.3.3(Lusin)设f 是可测集D 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε有沿D 连续的函数*f 使{}()ε<≠f f m *,并且≤∈)(s u p *x f Dx )(s u p x f Dx ∈.证明:不妨设f 处处有限.先设∞<)(D m (为了应用Egoroff 定理),此时有简单函数列{}n f ,使对任何D x ∈,)()(x f x f n →.现对每一个1≥n ,由引理4.3.2,存在沿D 连续的函数*n f ,使{}()1*2+<≠n n n f f m ε,2,1=n令{}*1n n n f f E ≠=∞= ,则)(E m ∞=∑≤1n {}()11*2+∞=∑<≠n n nn ff m ε2ε=此时对每一E D x -∈(即{}*1n n n f f =∞= ),有)()(*x f x f n n = ,2,1=n从而对每一E D x -∈,)()(*x f x f n → (因∞<-)(E D m 故可用Egoroff 定理)由Egoroff 定理,,有有界闭集E D F -⊂使2)(ε<--F E D m而且*n f 在F 上一致收敛于f .由定理 4.3.1,f 在F 上连续,再由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .此时{}()f f m ≠*)(F D m -≤()[]E F E D m --=)()(E m F E D m +--≤ε<这样我们在∞<)(D m 即D 有界的条件下证明了定理.若∞=)(D m ,令)1,[+=n n D D n ,2,1,0±±=n则∞<)(n D m .由已证,对每一n ,有n D 的闭子集n F ,使f 沿n F 连续,而且2||2)(+<-n n n F D m ε,2,1,0±±=n此时,n n F F +∞-∞== 是闭集而且f 沿n F 连续.(一般,可数个闭集的并不一定是闭集,称σF 集.如:]2,1[1nn ∞= ]2,0(=.开集是σF 集是由于]1,1[),(1nb n a b a n -+=∞= .此处n n F F +∞-∞== 是闭集是因F x n ∈∀,x x n →有F x ∈(下证)由于R x ∈,故)1,[00+∈n n x .现x x n →,故又由F x n ∈,当n 充分大时0n n F x ∈.由0n F 闭且x x n →知F F x n ⊂∈0.)由引理4.3.1,f 作为F 上函数可以开拓成D 上的连续函数*f ,并且{}()*f f m ≠)(F D m -≤)(n n n n F D m ∞-∞=∞-∞=-=)]([n n n F D m -≤∞-∞=2||2+∞-∞=∑<n n εε<对于)(sup *x f Dx ∈)(sup x f Dx ∈≤,由引理4.3.1)(sup *x f D x ∈)(sup x f F x ∈=)(sup x f Dx ∈≤而得(因D F ⊂).记住:只有Egoroff 定理限定∞<)(D m .推论:若f 是],[b a 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε,有],[b a 上的连续函数*f ,使{}()ε<≠*f f m ,并且)(max *],[x f b a x ∈)(sup ],[x f b a x ∈≤.例:⎩⎨⎧=01)(x D无理数有理数x x 处处不连续.令0)(*≡x D ,则{}()ε<=≠0)()(*x D x D m .这提供了一种方法,研究可测函数命题可以先研究连续函数,二者“差不多”.000§4.4 测度收敛)()(x f x f n Dn ∞→−→−已经学过三种,即()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧测度收敛一致收敛几乎处处收敛逐点收敛4321 {}()εδεδε<≥-⇒>∀∃>∀>∀⇔⇒∈∀>∀∃>∀=-∈∀∈∀f f m N n N f f Dx N n N E m E D x Dx n n ,,0,0,,,00)(,第四种即今天要学习的测度收敛.设f 和n f )1(≥n 都是D 上几乎处处有限的可测函数.若对任何0>δ,{}()0→≥-δf f m n ()∞→n ,则称n f 在D 上测度收敛于f .记为f f n ⇒. 例 4.4.1.对每一1≥n ,把]1,0[n 等分,得到n 个小区间],1[n kn k -,n k ,,2,1 =.令 0≡f1)()(]1,0[1≡=x x f λ)()(]21,0[2x x f λ= )()(]1,21[3x x f λ=)()(]31,0[4x x f λ= )()(]32,31[5x x f λ= )()(]1,32[6x x f λ=………………图形见演示文稿《测度收敛反例》 此时对任何0>δ{}()δ≥-f f m n {}()δ≥=n f m 0−→−()∞→n .(因n 越大,n f 等于1的区间越小)即f f n ⇒.但对任何]1,0[∈x ,{}1)(≥n n x f 中有无穷项为1,无穷项为0,可见n f 不收敛.例 4.4.2.对每一1≥n ,令)()(),[x x f n n ∞=λ,0)(≡x f ,R x ∈.此时对∀R x ∈,)()(x f x f n →,但对21=δ,})21|({|≥-f f m n })21({≥=n f m )),((∞=n m ∞=.所以n f ⇒f .以上二例说明:测度收敛与几乎处处收敛和逐点收敛没有因果关系.但还是有关系的.即定理4.4.1(Riesz)设f 和)1(≥n f n 都是可测集D 上的几乎处处有限的可测函数,则(i)若f f n ⇒,则{}1≥n n f 中有子列{}1≥k n kf 几乎处处收敛于f .(ii)若∞<)(D m ,并且n f 几乎处处收敛于f ,则f f n ⇒. 证明:(i)此时对每一1≥k ,})21|({|k n f f m ≥-)(0∞→→n ,因此有k n 使 kk n f f m k 21})21|({|<≥- ,2,1=k <<<<k n n n 21 11f 1f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f 9f 10令})21|{|(1kn pk p f f E k≥-=∞=∞= (即集合序列的上极限) 则对每一1≥p})21|{|()(k n p k f f m E m k ≥-≤∞= })21|({|k n p k f f m k≥-∑≤∞=kp k 21∞=∑< 121-=p 令∞→p 得0)(=E m .即E 为零测集. 此时 cEE D -=})21|{|(1kn pk p f f k ≥-=∞=∞= 从而对每一E D E x c-=∈,必有10≥p 使∈x }21|{|0k n p k f f k<-∞= ,即0p k ≥∀有kn x f x f k 21|)()(|<-.也即)()(x f x f kn → )(∞→k .说明kn f 在c E 上处处收敛于f ,也就是说kn f 在D 上几乎处处收敛于f .(ii) (注意条件∞<)(D m ,否则即使n f 处处收敛于f ,也未必f f n ⇒)任给0>δ,0>ε,由于∞<)(D m ,由Egoroff 定理,有D 的可测子集E 使ε<-)(E D m 并且n f 在E 上一致收敛于f .于是有N,使δ<-|)(|f x f n E x ∈∀ N n >∀此时 {}δ≥-)()(x f x f n E D -⊂故 {}()δ≥-)()(x f x f m n ()E D m -≤ε< N n > 即f f n ⇒.例4.4.3.设)()(x f x f n ⇒,)()(x g x f n ⇒,则)()(x g x f =在E 上几乎处处成立.证明:由于)()(x g x f -)()()()(x g x f x f x f k k -+-≤,故对任何自然数n ,}1|:|{n g f E x ≥-∈⊂}21|:|{n f f E x k ≥-∈ }21|:|{ng f E x k ≥-∈, 从而})1|:|({n g f E x m ≥-∈≤})21|:|({n f f E x m k ≥-∈})21|:|({ng f E x m k ≥-∈+令∞→k ,即得})1|:|({ng f E x m ≥-∈0=. 但是}:{g f E x ≠∈}1|:|{1ng f E x n ≥-∈=∞=故0}):({=≠∈g f E x m ,即)()(x g x f = a.e.于E.讲可测函数最重要的一条是其与连续函数“差不多”,即Lusin 定理.我们所说的“差不多”是{}()ε<≠f f m *而不是f f =* a.e . 不要混同.古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈 兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子 己所不欲，勿施于人——孔子 读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹 立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修 读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿 书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦 书犹药也，善读之可以医愚——刘向 莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞 发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼 鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅 立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元 非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。

（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。

即或为有限集或为可数集。

（3）可数个可数集的并集是可数集。

（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。

3、常见的可数集：有理数及其无限子集。

三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。

2、掌握集之间的并、交、差、余运算。

3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。

4、理解集列的收敛、单调集列的概念。

5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。

6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。

7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。

四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。

五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。

即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。

我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。

第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。

二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。

2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。

3、开集、闭集具有对偶性。

4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。

2011实变函数复习要点第一章 集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。

2. 对等和基数及其性质。

3. 可数集合的概念及其性质。

4. 不可数集合的概念及例子。

~（二）考核要求 1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。

2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。

De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=c cA A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。

?例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。

例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。

（2）综合应用：集合的对等的证明 例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。

4. 可数集合 -（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。

（2）综合应用：可数集合的性质。

5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。

第二章 点集 （一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。

2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。

|3. 开集、闭集及其性质。

4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。

（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。

2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。

如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系?如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。

实变函数论课后答案第四章1第四章第一节习题 1．证明：E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数证明：设1()ini E i f c x χ==∑，1()imi F i g d x χ==∑，这里{}1ni i E =互不相交，{}1mi i F =互不相交令ij i j K E F =⋂，1,1i n j m ≤≤≤≤ ij i j a c d =+， 1,1i n j m ≤≤≤≤则易知1111()()()()iji jn m n mi E j F i j E F i j i j f g c x d x c d x χχχ⋂====+=+=+∑∑∑∑先注意：若1m i i K K ==，i K 互不相交，则1()()i mK K i x x χχ==∑ （m可为无穷大）（x K ∀∈，i ∃使i x K ∈，()1()iK K x x χχ==，,()0K x K x χ∀∉=，且i ∀，i x K ∉则()0i K x χ=）且1111(())(())()(())m m m mcc i i j i j i j i j j j j j E E F E F E F E F =====⋂⋃⋂=⋂⋃⋂111()(())(())1()()()()()mm mii cci j i j i j j j j mE EF E F E F E F j x x x x x χχχχχ===⋂⋂⋂⋂==+=+∑同理：1()1()()()mji jcj i i nF E F F E i x x x χχχ=⋂⋂==+∑11()()i j n mi E j F i j f g c x d x χχ==+=+∑∑11()()1111(()())(()())mmi j i j cci j j i j i nmm ni E F j E F E F F E i j j i c x x d x x χχχχ==⋂⋂⋂⋂=====+++∑∑∑∑11()()1111()()()()mmijcci j j i j i nmnmi j E F i j E F F E i j i j c d x c x d x χχχ==⋂⋂⋂=====+++∑∑∑∑这显然还是一个简单函数，因为 若(,)(,)i j k l ≠，则()()i j k l E F E F ⋂⋂⋂=∅11(())(())mmcc i j k j j j E F E F ==⋂⋂⋂=∅，（i k ≠） 11(())(())mm cc j i k l i i F E F E ==⋂⋂⋂=∅，（j k ≠）11(())(())mm cc i j k i j i E F F E ==⋂⋂⋂=∅，（,i k ∀） 1()(())mc i j i j j E F E F =⋂⋂⋂=∅，显然，()()()iiijE F E F x x x χχχ⋂=，事实上，i j x E F ∀∈⋂，()()1()()iiiiE F E F x x x x χχχχ+==若,i j i x E F x E ∉⋂⇒∉或i x F ∉ 则()()0()iiijE F E F x x x χχχ⋂==1111(())(())()()i j i j n m n mi E j F i j E F i j i j f g c x d x c d x x χχχχ====⋅==∑∑∑∑11()i j n mi j E F i j c d x χ⋂===∑∑当(,)(,)i j k l ≠时()()()()i j k l i k j l E F E F E F E F ⋂⋂⋂=⋂⋂⋂=∅则f g ⋅也是简单函数1a R ∀∈，显然1()()i ni E i af x ac x χ==∑仍为简单函数2．证明当()f x 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时，()f x 也是12E E ⋃上的非负可测函数证明：显然()0f x ≥于1E ，且()0f x ≥于2E 表明()0f x ≥于12E E ⋃ 又1a R ∀∈，{}{}{}1212|()|()|()E E x f x a E x f x a E x f x a ⋃>=>⋃> 由于f 在1E ，2E 上分别可测，{}1|()E x f x a >和{}2|()E x f x a >均为可测集，从而由P61推论2，{}{}12|()|()E x f x a E x f x a >⋃>={}12|()E E x f x a ⋃>为可测集，再由P101Th1知f 在12E E ⋃上可测或直接用P104Th4的证明方法. 3．设mE <+∞，()f x 是E 上几乎处处有限的非负可测函数，证明对0ε>，都有闭集F E ⊂，使(\)m E F ε<，而在F 上()f x 是有界的证明：令{}0|()0E E x f x ==，{}|()E E x f x E ∞∞==，由条件f 在E 上几乎处处有限，0mE ∞=.由()f x 可测于E 上知，{}{}0|()0|()0E E x f x E x f x =≥⋂≤是可测集（P103Th2,P64Th4可测集的交仍可测）令{};0()E E x f x +=<<+∞，1;()k A E x f x k k⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1;()\;()k A E x f x k E x f x k ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭可测，1k k E A +∞+==，且1k k A A +⊂由P64Th5 ()lim k k m E mA +→+∞=，而mE <+∞，则()m E +<+∞ 故0ε∀>，0k ∃使00()2k m E mA ε+≤-<，而0k A E +⊂故0(\)2k m E A ε+<由0E ，0k A 可测，∃闭集01k F A ⊂，01(\)8k m A F ε<，∃闭集00F E ⊂使00(\)8m E F ε<令10F F F =⋃，则F 为闭集，且在F 上00()f x k ≤≤ 由于E F ∞⋂=∅，00\\(\)E F E E E F E E E F ∞+∞+=⋃⋃=⋃⋃ 又000001\\(\)(\)E E F E E F F E F E F +++⋃=⋃⋃⊂⋃ 而011\(\)(\)k k E F E A A F ++⊂⋃，故00(\)(\)m E F mE m E E F F ∞+≤+⋃⋃0010(\)(\)m E F m E F +≤++ 01(\)(\)882842k k m E A m A F εεεεεεε+≤++≤++=+< 证毕.4．设{}()n f x 是可测集合E 上的非负可测函数序列，证明：如果对任意0ε>，都有1[|()]nn mE x fx ε∞=><+∞∑，则必有lim ()0.n n f x a e E →∞=于又问这一命题的逆命题是否成立？证明：()n f x 非负可测，令{}0|lim ()0n n E E x f x →∞==则由CH1.§1习题8的证明方法：（P11,见前面的习题解答）{}|()0x f x ≤=0111|()m k n m nE E x f x k +∞+∞+∞===⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭（一般，{}111|lim ()()||()()|n m nk n m nE x f x f x E x f x f x k +∞+∞+∞→∞===⎧⎫==-≤⎨⎬⎩⎭） 在本题的假设下，我们需证0(\)0m E E = 由De Morgan 公式0111111\|()|()cm m k n m n k n m nE E E x f x E E x f x k k +∞+∞+∞+∞+∞+∞======⎛⎫⎧⎫⎧⎫=≤⋂=>⎨⎬⎨⎬⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭ （()m f x 可测，故1|()m E x f x k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭为可测集）故而0111()|()m k n m n m E E m E x f x k +∞+∞+∞===⎛⎫⎛⎫⎧⎫-≤>⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭∑ 所以我们只用证11,|()0m n m n k m E x f x k +∞+∞==⎛⎫⎧⎫∀>=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭,k n N ∀∀∈1111|()|()|()m m m m n n m n m n m E x f x m E x f x E x f x k k k +∞+∞+∞+∞====⎛⎫⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫>≤>≤>⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭∑由于1[|()]n n mE x f x ε∞=><+∞∑，故1lim |()0mn m nE x f x k +∞→+∞=⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭∑ 111|()lim |()0m m n m n n m n m E x f x E x f x k k +∞+∞+∞→+∞===⎛⎫⎧⎫⎧⎫>≤>=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭∑ 故0(\)0m E E =得证，即lim ()0.n n f x a e E →∞=于逆命题一般不成立{}1|()n n E x f x ε+∞=><+∞∑的必要条件是{}lim |()0n n E x f x ε→+∞>= 当mE =+∞时，()()n f x f x →不能推出()()n f x f x ⇒于E （[0,]1n χ→于1R ，但[0,]1n χ⇒不于1R ） 当mE <+∞时，()().n f x f x a e E →于，()()n f x f x ⇒于E但不能保证{}1|()n n E x f x ε+∞=><+∞∑5．设mE <+∞，()f x 在E 上非负可测，证明对于任意y ，{}|()yE E x f x y =都是可测的，进而证明使0y mE >的y 最多有可数多个证明：因为()f x 在E 上可测，P103,Th2{}1,|()y R E x f x y ⇒∀∈≥都是可测集，从而{}{}{}|()|()|()E x f x y E x f x y E x f x y ==≥⋂≤也是可测集显然，11[|0][|]y y k E x mE E x mE k +∞=>=≥下证：k N ∀∈，1[|]y E x mE k≥要么是空集，要么是有限集 事实上，若0k ∃使01[|]y E x mE k ≥为无限集，则由P18,Th1,存在可数集1201,,,,[|]n y y y y E x mE k ⊂≥由于i j y y ≠时ijy y E E ⋂=∅，1i y i E E +∞=⊂，1111()i i y y i i i mE m E mE k +∞+∞+∞===+∞≥≥=≥=+∞∑∑矛盾 6．证明：如果()f x 是n R 上的连续函数，则()f x 在n R 任何可测子集E 上都可测.证明：1a R ∀∈，则从()f x 是n R 上的连续函数，我们易知[|,()]n a F x x R f x a =∈<是开集.事实上若0a x F ∈，0()f x a <则从()n f C R ∈，0δ∃>使0(,)x B x δ∀∈，00()()(())f x f x a f x a <+-=则0(,)a B x F δ⊂，故a F 是开集，从而可测.而E 可测，故[|()]a E x f x a F E =<=⋂作为两个可测集的交也可测，这说明()f x 在E 上可测（P103,Th2）. 7．设()f x 是1R 可测集E 上的单调函数，证明()f x 在E 上可测.证明：不妨设()f x 在E 上单调不减，即12,x x E ∀∈，若12x x <，则12()()f x f x ≤1a R ∀∈，我们来证明[|()]E x f x a =≤是可测集，这样由本节定理2知()f x 可测于E （P103）.若1a R ∈使得[|()]a E x f x a ≤=∅，则显然a E 可测若1a R ∈使得a E ≠∅，此时若令0sup a y E =，则要么0y =+∞，要么0y <+∞（1） 若0y =+∞，则,M a M M y E ∀∃<∈，故,x x E M ∀∈∃使x M a y x E >∈，由()f x 在E 上单调不减，我们有()()xM f x f y a ≤≤，即a E E E ⊂⊂，从而a E E =为可测集（2） 若0y <+∞，则要么0y E ∈，要么0y E ∉若0y E ∈，则0()f y a ≤，此时0(,)x E y ∀∈⋂-∞，0,x a x y E x y y ∃∈<<，由()f x 单调不减于E 知，()()x f x f y a ≤<故0(,)a E y E ⋂-∞⊂，而0a y E ∈，从而有00(,](,]a E y E E y ⋂-∞⊂⊂⋂-∞，故0(,]a E E y =⋂-∞为可测集.若0y E ∈，而0()f y a >，0a y E ∉，则0(,)x y E ∀∈-∞⋂，0,x a x y E x y y ∃∈<<0x x y y <<，()()x f x f y a ≤<则00(,)(,)a y E E y E -∞⋂⊂⊂-∞⋂ 即0(,)a E y E =-∞⋂为可测集.若0y E ∉，则0a y E ∉，同样可证0(,)a E E y E =⋂-∞⋂可测.若()f x 单调不增，则()f x -在E 上单调不减，从而可测，故(())()f x f x --=在E 上可测.8．证明n R 中可测子集E 上的函数()f x 可测的充要条件是存在E 上的一串简单函数()m x ψ使()lim ()m m f x x ψ→+∞= （x E ∈）证明：（1）E 上的简单函数是可测的； 设1()()im i E i x c x ϕχ==∑为E 上的简单函数，1,m i i i E E E ==互不相交，iE 为E 的可测子集，易知，,()iE i x χ∀是可测的（()F x χ可测F ⇔是可测集）故由P104Th5，()ii E c x χ可测，1()imi E i c x χ=∑可测，由此，若存在E 上的一串简单函数()m x ψ， ()lim ()m m f x x ψ→+∞= （x E ∈）则从{}()m x ψ可测，且lim()m m x ψ→+∞P107推论2，()f x 在E 上可测 （2）若()f x 可测，则由P107Th7，,f f +-都是非负可测的，故由定义存在简单函数列()n x ϕ+，()n x ϕ-，（1,2,n =），()()n x f x ϕ++，()()n x f x ϕ-- （x E ∈）显然，()n x ϕ--也是简单函数，由本节第一题，()()()n n n x x x ψϕϕ+-=-仍为简单函数，且()()n x f x ψ→ （x E ∈）.证毕.9． 证明：当1()f x 是1p E R ∈，2()f y 是2q E R ∈中的可测函数，且12()()f x f y ⋅在12E E E =⨯上几乎处处有意义时，12()()f x f y ⋅是E 上的可测函数.证明：（1）若p E R ∈，q F R ∈分别是p R ，q R 中的可测集，则函数 (,)()()E F f x y x y χχ=是p q R R ⨯上的可测函数，事实上，1a R ∀∈，若0a <，则{}(,)|(,)p q p q x y R R f x y a R R ∈⨯>=⨯是可测集 若1a ≥，则{}(,)|(,)p q x y R R f x y a ∈⨯>=∅是可测集 若01a ≤<，则{}(,)|(,)p q x y R R f x y a E F ∈⨯>=⨯是可测集（P72Th1）(1) 推出(2): 1c R ∀∈,p E R ∈可测,q F R ∈可测，则()()E F c x y χχ在p q R R ⨯上可测.现在来证明本题结论：1()f x 在1E 上可测，故由本节第8题结论，存在1E 上的简单函数列()()1()()n n im n n i E i x a x ϕχ==∑，()11nm n i i E E ==∑，()()n n i j E E ⋂=∅（当i j ≠）使得1()()n x f x ϕ→，1x E ∀∈同样，从2f 在2E 上可测知，存在2E 上的简单函数列()n y ψ，使2()()n y f y ψ→于2E 上.从上述（1）（2）知，()()n n x y ϕψ在p q R R ⨯上可测，且 12()()()()n n x y f x f y ϕψ→于12E E ⨯上 由上P107推论2知12()()f x f y 在p q R R ⨯上可测. 证法二（更简单）将1()f x ，2()f y 看成(,)x y 的函数1a R ∀∈，{}{}121112(,)|()(,)|()E E x y f x a E x y f x a E ⨯>=>⨯从1()f x 在1E 上可测知，{}11(,)|()E x y f x a >为p R 中的可测集，2E 可测，故{}112(,)|()E x y f x a E >⨯为p q R R ⨯中的可测集，故{}121(,)|()E E x y f x a ⨯>为p q R R ⨯中的可测集，则1()f x 作为12E E E =⨯上的函数是可测的同理，2()f y 在E 上也可测，P104Th5得12()()f x f y ⋅在E 上也可测.10． 证明：如果()f x 是定义于n R 上的可测子集E 上的函数，则()f x 在E 上可测的充要条件是对1R 中Borel 集合B ，1()[|()]f B E x f x B -∈都是E 的可测子集，如果()f x 还是连续的，则1()f B -还是Borel 集（提示：用1B 表示1R 中那些使1()f B -是E 上的可测子集的B 所构成的集合族，比较1B 和1R 中的Borel 集合类B ）.证明：记{}11|()B R f B E -=⊂是上的可测子集1B ，我们来证明1B 是一个σ-代数1）∅∈1B ：1()f -∅=∅显然是E 的可测子集 2）若A ∈1B ，1()f A -是E 的可测子集，则1111111 ()(\)()\()\()c f A f R A f R f A E f A -----===也是E 的可测子集（P61推论1） 则c A ∈1B 3）若i A ∈1B ，（1,2,i =）则i ∀，1()i f A -是E 的可测子集， 1111()()i i i i f A f A +∞+∞--===也是E 的可测子集，故1i i A +∞=∈1B故1B 是一个σ-代数现在，若1:f E R →是一可测函数，则1(,)[|()][|()][|()]f a b E x a f x b E x f x b E x a f x -=<<=<⋂<是为可测集（[|()]E x f x b <，[|()]E x a f x <都是可测集（P60Th2）） 则(,)a b ∈1B故1B 包含所有的1R 上的开集（由一维开集的构造），从而包含所有的Borel 集，这就证明了∀Borel 集，1()f B -是E 的可测子集 反过来，若∀Borel 集，1()f B -是E 的可测子集，则由于1a R ∀∈，(,)a -∞为开集，故是Borel 集知1(,)[|()]f a E x f x a --∞=<为可测集，故f 是E 上的可测函数.令{}11|()B R f B Borel -=⊂为集2B ，则一样：（1）∅∈2B ；（2）,c A A ∈∈22B B ；（3）121,,,i i A A A +∞=∈∈22B B ，故2B 也是一个σ-代数若f 连续，则(,)a b ∀ （1,a b R ∈⋃+∞）1(,)f a b -是开集（相对于E ）,从而是Borel 集，故(,)a b ∈2B ，从而2B 包含所有的Borel 集，故∀Borel 集B ，1()f B -同样为Borel 集若:n n f R R →的同胚，则f 将Borel 集映为可测集11．设()f x 是E 上的可测函数，()g y 是1R 上的连续函数，证明：[()]g f x 是E 上的可测函数（注意：如果()f x 在n R 上连续，()g y 在1R 上可测，[()]g f x 未必可测，特别是()f x ，()g y 都可测时，[()]g f x 未必可测）证明：1a R ∀∈，从g 连续知，1(,)g a -+∞显然为1R 上的开集，由1R 上的开集的构造定理知（本书上只证了有界开集，事实上，无界开集也有类似的构造），∃至多可数个互不相交的开区间n I 使11(,)m n n g a I -=+∞=（m 有限或+∞）而1f -保持集合关系不变，即1111()()m m n n n n f I f I --===，而f 可测，故1()n f I -可测，故11()mn n f I -=可测，从而有1111111[|(())]()(,)((,))()()m mn n n n E x g f x a g f a f g a f I f I -----==>=+∞=+∞==可测，故()g f x 是E 上的可测函数存在反例：《实分析中的反例》，可测函数f 和连续函数g 构成不可测的复合函数f g设E 是[0,1]中具有正测度的Cantor 集，令 ([0,]([0,1]\))()([0,1]\)m x E x m E ϕ⋂= （无处稠密完备集P70,习题1）则ϕ是由[0,1]到[0,1]上的一个同胚映射，P54习题3的证明过程中（见周民强书P84），已知，若*m E <+∞，[,]E a b ⊂，*([0,])m x E ⋂是[,]a b 上的连续函数故从[0,1]\[0,1]E ⊂知，([0,]([0,1]\))()([0,1]\)m x E x m E ϕ⋂=是连续函数：[0,1][0,1](0)0,(1)1ϕϕ==且ϕ是严格递增的因E 是完备集，故E 是自密闭集，[0,1]\E 是相对开集（或c E 是开集），[0,1]\[0,1]c E E =⋂，[0,1]c E ⋂是开集,[0,1]x y ∀∈，y x >1()()[([0,]([0,1]\))([0,]([0,1]\))]([0,1]\)y x m y E m x E m E ϕϕ-=⋂-⋂1[(,]([0,1]\)]([0,1]\)m x y E m E =⋂1[(,)((0,1)\)]([0,1]\)m x y E m E ≥⋂注意：E 是无处稠密集，故(,)z x y ∃∈，使z E ∉，(0,1)\z E ∈，(,)((0,1)\)z x y E ∈⋂由于(,)((0,1)\)x y E ⋂为开集，故0δ∃>，使(,)(,)([0,1]\)z z x y E δδ-+⊂⋂ 则[(,)((0,1)\)](,)20m x y E m z z δδδ⋂≥-+=>故()()y x ϕϕ>，即()y ϕ严格单调，从而[0,1]到[0,1]上的一个同胚映射设(0,1)\E 这一有界开集可写成互不相交的构成区间的并，1(0,1)\(,)k k k E αβ+∞==，从而1([0,1]\)((0,1)\)()k k k m E m E βα∞===-∑，又因为([0,]([0,1]\))([0,]([0,1]\))()()([0,1]\)k k k k m E m E m E βαϕβϕα⋂-⋂-=[(,]([0,1]\)]([0,1]\)k k m E m E αβ⋂=[(,)((0,1)\)]()()([0,1]\)([0,1]\)k k k k m E m E m E αβϕβϕα⋂-==故以从ϕ是同胚，1[([0,1]\)][((,))]k k k m E m ϕϕαβ+∞==1((),())k k k m ϕαϕβ+∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭1(()())k k k ϕβϕα∞==-∑1()1([0,1]\)kk k m E βα∞=-==∑注意：()([0,1]\)[0,1][0,1]E E ϕϕϕ⋃==，且()([0,1]\)E E ϕϕ⋂=∅ 就得()[0,1](([0,1]\))1(([0,1]\))110m E m m E m E ϕϕϕ=-=-=-= （()E ϕ也是完备疏集，则同胚不能保证测度的等号！）又0mE >，故由P66第二题的解答最后知，设A 是E 的一个不可测子集（A 总是存在的！）由于()()A E ϕϕ⊂，()0m E ϕ= 则()0m A ϕ=，()A ϕ可测，而1()A A ϕϕ-=不可测.令()B A ϕ=，并在[0,1]上如下定义函数1:(){0[0,1]\x B f f x x B∈=∈则f 是[0,1]上的可测函数，又g ϕ=是[0,1]到[0,1]上的连续函数，然而复合函数1[()][()]{0[0,1]\x Af g x f x x Aϕ∈==∈是不可测集A 的特征函数所以，它是一个不可测的函数.12.证明：若12()(,,,)n f x f x x x =是n R 上的可微函数；则 12(,,,),1,2,,n if x x x i n x ∂=∂都是n R 上的可测函数.证明：只证1i =的情形，其它一样证 ()f x 在n R 上可微，故0n x R ∀∈，00012001(,,,)()lim()|n y x h f x h x x f x f y hx =→+-∂=∂ 故从0lim ()()0,()()nn n a h g x g x a g x g x →=⇔∀→→这一原则知，n x R ∀∈000120011(,,,)()()limlim [()()]1n m m m f x x x f x m f x m g x f x x m→+∞→+∞+-∂==-∂这里 121()(,,,)m n g x f x x x m=+，由于f 可微，f 连续，故()m g x 是连续的，从而可测，又f 连续，故[()()]m m g x f x -可测，故其逐点收敛的极限1()f x x ∂∂也是可测的.。

第四章 可 测 函 数为了建立新的积分,我们已经对n R 中的一般集合定义了测度概念. 在本章中我们将定义可测函数的概念，讨论可测函数的性质. 我们会看到,可测函数类是包含连续函数类的一种范围相当广泛的函数类。

这个函数类对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的. 我们还要讨论可测函数与连续函数的关系，从而进一步研究可测函数的结构。

最后研究可测函数的几种不同类型的收敛概念及其相互关系，使我们对可测函数有较深刻的理解。

§1 可测函数及其性质教学目的:使学生了解可测函数的原始定义及等价命题，掌握其运算性质。

本节重点：可测函数的定义及性质，几乎处处的概念。

在本书引言中指出，定义新的积分需要研究什么样的函数()f x ，使得对任何实数,a b ，点集{:()}x a f x b <≤都有“长度”，即都是可测集.可测函数的概念就是由此产生的。

因为本章讨论的函数可以取值±∞，所以在给出可测函数概念之前，我们要介绍有限函数的概念和包含±∞在内的实数运算的规定.设n E R ⊂，称()f x 是E 上的有限函数，是说对任意的x E ∈，函数值()f x 都是有限实数。

包含±∞在内的实数运算作如下规定：（i ）()()+∞++∞=+∞,()()-∞+-∞=-∞;（ii)对任意的有限实数a ,()a ++∞=+∞，()a +-∞=-∞;（iii ）对任意的0b >,0c <，b ⋅+∞=+∞，()b ⋅-∞=-∞，c ⋅+∞=-∞，()c ⋅-∞=+∞;（iv ）()()()()+∞⋅+∞=-∞⋅-∞=+∞，()()()()+∞⋅-∞=-∞⋅+∞=-∞。

而()()+∞-+∞，()()+∞+-∞,()()-∞--∞，()()-∞++∞，+∞+∞，+∞-∞，-∞+∞，-∞-∞，认为是没有意义的. 0()⋅±∞在一般情况下，也是不允许的.定义 4.1.1 设()f x 是定义在可测集n E R ⊂上的函数，如果对任何有限实数a ,[]{:,()}E f a x x E f x a >=∈>都是可测集,则称()f x 为定义在E 上的可测函数，或者说，()f x 在E 上可测。